BÀI TẬP TỔNG HỢP VÉC TƠ

I. CÁC QUY TẮC CẦN NHỚ

1) Quy tắc ba điểm :
Với ba điểm A , B , C bất kỳ ta luôn có :
AB BC AC
 
  
hoặc
AB AC CB
 
  

2) Quy tắc hình bình hành : ABCD là hình bình hành


AB AD AC
 
  

3) Quy tắc trung điểm :
M là trung điểm AB và I là điểm tùy ý


0
MA MB
 
  
và

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

A. - Chứng minh các đẳng thức véc tơ

Bài 1 Cho 4 điểm A , B , C , D . Chứng minh :
a)
AB CD AD CB
  
   
b)
AB CD

 



AC BD

 

Bài 2 Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M tùy ý . Chứng minh :
2
MA MC MB MD MO
   
    

Bài 3 Cho

ABC . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB. Chứng minh :
a)

  

Bài 6 Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N , I , J lần lượt là trung điểm AD , BC , AC , BD. Chứng minh :
a) 2
AB DC MN
 
  
b)
2
AB DC IJ
 
  

Bài 7 Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm AB và CD. K là trung điểm EF. Chứng minh :
a)
4
AB AC AD AK
  
   
b)
0
KA KB KC KD
   
    

c) Với O là điểm tùy ý thì
4
OA OB OC OD OK
   
    

AE BF CD AF BD CE GG
     
      

c) Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm
Bài 11
Cho

ABC có trọng tâm G , trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của A qua
O. Chứng minh :
a)
HB HC HD
 
  
b) 2
HA HB HC HO
  
   
c) 2
HA HB HC OA
  
   

c)
OA OB OC OH
  
   
d) Chứng minh O , G , H thẳng hàng
Bài 12
Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , CD.

DAB ,

ABC . Chứng minh các đường
thẳng AG
1
, BG
2
, CG
3
, DG
4
đồng quy tại một điểm

B. - Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài 13
Cho

ABC và điểm I , F sao cho
3 0
IA IC
 
  
và
2 3 0
FA FB FC
  
   
.Chứng minh I , F , B thẳng hàng
Bài 14
Cho

MA MB MC
  
   
. Chứng minh A , B , C thẳng hàng
Bài 16
Cho

ABC . Trên Bc lấy điểm D sao cho
2
5
BD BC

 
. Gọi E là điểm thỏa mãn
4 2 3 0
AE EB EC
  
   
.
a) Phân tích
ED

theo hai véc tơ
EB

và
EC

b) Chứng minh ba điểm A , E , D thẳng hàng
Bài 17

 

b) Gọi G là trọng tâm

BMN . Tính
AG

theo
,
AB AC
 

c) Gọi I là điểm xác định bởi
BI kBC

 
. Tính
AI

theo
,
AB AC
 
và k. Tìm k để AI đi qua G
Bài 19
Cho

ABC có G là trọng tâm . I là trung điểm của AG và K là điểm thuộc AB sao cho AB = 5AK
a) Phân tích các véc tơ
, , ,



Bài 21
Cho

ABC , I là điểm thỏa mãn
5 7 0
IA IB IC
  
   
. Gọi G là trọng tâm

ABC.
Chứng minh
2 3
5 5
AM AB AC
 
  

Bài 22 Cho

ABC , lấy I và J sao cho
2
IA IB

 
và
3 2 0
JA JC

   

b) Phân tích
AS AB AC AD AE
   
    
theo
AI


c) Chứng minh ba điểm A , I , S thẳng hàng
Bài 24
Cho

ABC , lấy M , N , K sao cho :
2 2 0
MB MC NA NC KA KB
     
      

a) Phân tích
,
KM KN
 
theo hai véc tơ
,
AB AC
 

b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng

f)
3 2 2 0
MA MB MC
  
   

g)
4 3 0
MA MB MC
  
   
h)
2 4 0
MA MB MC
  
   
k)
2 4 3
MA MB MC BC
  
   

Bài 26
Cho tam giác ABC , M là điểm tùy ý. Chứng minh các véc tơ sau không phụ thuộc vào vị trí của M :
a) 2
a MA MB MC
  
   
b) 3 2
b MA MB MC

4 0
MA MB MC MD
   
    

c)
4 3 2 0
MA MB MC MD
   
    
d)
2 2 3
MA MB MC MD
  
   

Bài 29
Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau :
a)
2
MA MB MC DA
  
   
b)
2 2 0
MA MB MC MD
   
    

c)

u MA MB MC MD
   
    
cùng phương với
AB


Bài 32
Cho tam giác ABC , tìm tập hợp các điểm M sao cho :
a)
MA MB MA MB
  
   
b)
2 4
MA MB MB MC
  
   

Bài 33
Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:
3 2 3
MA MB MC MA MB MC
    
     

Bài 34
Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định. Tìm điểm M trên d sao cho :
a)
2

b) Gọi E là điểm thỏa 2
ME BN

 
chứng minh đường thẳng ME luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 37
Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là hai điểm thay đổi thỏa điều kiện: 3 3 4
MN MA MB MC
  
   
.
a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Gọi P là điểm thỏa
2
MP BN MB
 
  
chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 38
Cho hình bình hành ABCD có các điểm M , I , N lần lượt thuộc các cạnh AB , BC , CD sao cho AB = 3AM ,
BI = kBC , CD = 2CN. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNB . Định k để AI đi qua G.
Bài 39
Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý.
a) Chứng minh rằng vector
v MA 2MB 3MC
  
   
không phụ thuộc vào vò trí của M.
b) Hãy dựng điểm I sao cho


Bài 41
Cho tam giác vng ABC vng tại B. Biết AB = 6 ; BC = 10. Tính
BA BC

 

Bài 42
Cho hình vng ABCD tâm O , cạnh a. Xác định các véc tơ sau và tính độ dài của chúng :
a)
v OA OB OC OD
   
    
b)
u AD AB
 
  
c)
w AD AC
 
  

Bài 43
Cho tam giác ABC đều , cạnh 2a. Tính độ dài các véc tơ :
u BA BC
 
  
,
.
v CA CB

   