Chuyên đề 1
Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị
Hàm Số
§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định lý 1.1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.
• Nếu f

(x) > 0, ∀x ∈ I thì y = f(x) đồng biến trên I.
• Nếu f

(x) < 0, ∀x ∈ I thì y = f(x) nghịch biến trên I.
• Nếu f

(x) = 0, ∀x ∈ I thì y = f(x) không đổi trên I.
Lưu ý.
• Nếu f

(x) ≥ 0, ∀x ∈ I và f

(x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f(x) đồng biến trên I.
• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số y = f(x) liên
tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y

. Tìm các điểm tại đó y

bằng 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

− 2x
2
+ 3. e) y = −x
4
+ 2x
3
− 2x − 1.
f) y =
√
x
2
− 2x − 3.
g) y =
2x + 3
x + 2
. h) y =
x + 2
3x −1
.
i) y =
x
2
− 4x + 4
1 − x
.
1.2. Tìm m để hàm số y = x
3
+ (m − 1) x
2
+

nghịch biến trên (1; +∞).
1
1.9. Tìm a để hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
1.10. Tìm m để hàm số y = −x
3
+ 3x
2
+ mx + 2 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3.
§2. Cực Trị Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định lý 1.2. Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x
0
. Khi đó, nếu y = f(x) có đạo hàm tại x
0
thì f

(x
0
) = 0.
Định lý 1.3. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x
0
và có đạo hàm trên (a; x
0
), (x
0
; b). Khi đó

0
) = 0
f

(x
0
) < 0
thì hàm số đạt cực đại tại x
0
.
• Nếu

f

(x
0
) = 0
f

(x
0
) > 0
thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
Lưu ý. Nếu y

(x
0
) = 0 thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại x

để kết luận.
Lưu ý. Nếu y

(x
0
) = 0 thì phải kiểm tra dấu của y

để kết luận.
C. Bài Tập
1.11. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) y = 2x
3
− 3x
2
+ 1. b) y = −x
3
− 3x + 2. c) y = x
3
+ 3x
2
+ 3x.
d) y = x
4
− 2x
2
+ 3. e) y = −x
4
+ 2x
3
− 2x − 1.

− mx
2
+

m
2
− m + 1

x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
a) Đạt cực đại tại x = 1.
b) Có cực đại, cực tiểu. c) Không có cực trị.
1.14. Cho hàm số y = x
4
− 2 (m + 1) x
2
+ 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
a) Có ba điểm cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 0.
c) Đạt cực trị tại x = 1.
1.15. Tìm m để hàm số y = −x
4
+ 2 (2m − 1) x
2
+ 3 có đúng một cực trị.
1.16. (B-02) Tìm m để hàm số y = mx
4
+

m
2
− 9

f(x) ≥ m, ∀x ∈ D
∃x
0
∈ D : m = f(x
0
)
.
Lưu ý.
• Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
• Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D.
• Tính y

, y

= 0 ⇒ x
i
∈ D.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Xét tính đơn điệu trên khoảng cho trước.
PP1:
• Tính y

và chỉ ra y

≥ 0, ∀x ∈ D (hoặc y

≤ 0, ∀x ∈ D).
• Từ y

3
− 3x
2
+ 1 trên (1; 4).
e) y = x −5 +
1
x
trên (0; +∞). f) y = x −
1
x
trên (0; 2].
g) y =
4
1 + x
2
.
h) y = x
4
+ 2x
2
− 1.
i) y = x +
√
4 − x
2
.
1.19. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau
a) y = x +
√
2 cos x trên

và điểm A (−3; 0). Tìm điểm M ∈ (P) sao cho khoảng cách AM ngắn nhất và tính
khoảng cách đó.
1.21. Tìm m để hàm số y = x
3
+ 3x
2
− mx − 4 đồng biến trên (−∞; 0).
1.22. (BĐT-79) Tìm m để hàm số y = −
1
3
x
3
+ (m − 1) x
2
+ (m − 3) x − 4 đồng biến trên (0; 3).
1.23. Tìm m để hàm số y = mx
3
− 3 (m − 1) x
2
+ 9 (m − 2) x + 1 đồng biến trên [2; +∞).
1.24. Tìm m để hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ (m + 1) x + 4m đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞).
1.25. (BĐT-50) Tìm m để hàm số y =
mx
2
+ 6x − 2
x + 2

.
Định nghĩa 1.7. Đường thẳng x = x
0
được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim
x→x
+
0
f(x) = +∞; lim
x→x
+
0
f(x) = −∞; lim
x→x
−
0
f(x) = +∞ hoặc lim
x→x
−
0
f(x) = −∞.
Định nghĩa 1.8. Đường thẳng y = ax + b, (a = 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim
x→+∞
[f(x) − (ax + b)] = 0 hoặc lim
x→−∞
[f(x) − (ax + b)] = 0.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.
• Tìm lim

3 −4x
x + 1
.
d) y =
√
x
2
+ x
x −1
.
e) y =
√
x + 3
x + 1
.
f) y = 2x −1 +
1
x
.
g) y =
x
2
− 4x + 4
1 − x
.
h) y =

x
2
+ x − 1. i) y = x +

x + 3m
bằng 45
0
.
1.32. Tìm m để đồ thị hàm số y =
x
2
+ mx − 1
x −1
có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích
bằng 4.
1.33. Tìm m để đồ thị hàm số y =
2x
2
− (5m − 1) x + 4m
2
− m − 1
x −m
có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một
tam giác có diện tích bằng 4.
1.34. Cho hàm số y =
3x −1
x −2
. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến hai tiệm
cận không đổi.
1.35. (A-07) Cho hàm số y =
−x
2
+ 4x − 3
x −2

)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng
(a; b) chứa điểm x
0
sao cho trên một trong hai khoảng (a; x
0
) và (x
0
; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía
trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Mệnh đề 1.10. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa x
0
, f

(x
0
) = 0 và f

(x) đổi dấu
khi qua điểm x
0
thì U (x
0
; f(x
0
)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x).
B. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát
• Hàm số y = ax
3
+ bx
2

C. Bài Tập
1.38. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x
3
+ 3x
2
− 4. b) y = −x
3
+ 3x − 2. c) y = −x
3
+ 1. d) y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1.
e) y = x
3
+ x − 2. f) y = −2x
3
− x − 3. g) y = −x
3
+ 3x
2
− 1.
h) y =
1
3
x
3
− x

.
e) y = −x
4
+ 2x
2
− 2. f) y = 2x
4
− 4x
2
+ 1. g) y = −2x
4
− 4x
2
+ 1. h) y = x
4
− 4x
2
+ 3.
1.40. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y =
4
2 −x
. b) y =
x − 3
2 − x
. c) y =
x + 3
x −1
. d) y =
−x + 2

+ 5x + 4
x + 2
. d) y =
−x
2
− 2x
x + 1
.
e) y =
x
2
− 2x
x −1
. f) y =
2x
2
− x + 1
1 −x
.
g) y = −x + 2 +
1
x −1
. h) y = x − 1 +
1
x + 1
.
6
Chuyên đề 2
Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ
Phương Trình Đại Số

4
+ x
2
+ 4x − 3 ≥ 0.
2.2. Giải các bất phương trình sau
a)
x − 2
x
2
− 9x + 8
≥ 0.
b)
x
2
− 3x − 2
x −1
≥ 2x + 2.
c)
x + 5
2x −1
+
2x −1
x + 5
> 2. d)
1
x
2
− 5x + 4
<
1

= 18x
3
.
e)

x
2
+ 1

3
+ (1 − 3x)
3
=

x
2
− 3x + 2

3
.
f) (4 + x)
2
− (x − 1)
3
= (1 − x)

x
2
− 2x + 17


= 6x
2
− 12x + 8. f) x
4
= 2x
3
+ 3x
2
− 4x + 1.
2.5. Giải các phương trình sau
a) (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 2. b) (x + 1)
4
+ (x + 3)
4
= 16.
c) (x + 3)
4
+ (x − 1)
4
= 82.
d) x
4
+ (x − 1)
4
=
29

− 4x
3
+ 6x
2
− 4x + 1 = 0. b) 2x
4
+ 3x
3
− 16x
2
− 3x + 2 = 0.
c) 2x
4
+ 3x
3
− 27x
2
+ 6x + 8 = 0. d) x
4
− 5x
3
+ 8x
2
− 10x + 4 = 0.
2.8. Giải các phương trình sau
a)

x
2
+ 5x

2
(x + 1) (2x + 1) = 810.
2.9. Giải các phương trình sau
a)
1
2x
2
− x + 1
+
1
2x
2
− x + 3
=
6
2x
2
− x + 7
. b)
4x
4x
2
− 8x + 7
+
3x
4x
2
− 10x + 7
= 1.
c)

2
+

x
x + 1

2
= 1. f)

1
x
2
+ x + 1

2
+

1
x
2
+ x + 2

2
=
13
36
.
2.10. Giải các phương trình sau
a) |x − 1| =



− x = 4.
d)
√
x
2
+ 4x + 4 = 5 − x
2
.
e)


x
2
− 5x + 4


= x
2
+ 6x + 5. f)


x
2
− 5x + 5


= −2x
2
+ 10x − 11.




− 6 = 0.
c)


x
2
+ 3x − 10


+


x
2
− 4


= 0. d)


x
2
+ 3x − 4


+


+ 6x + 5. d)


x
2
− 2x


+ x
2
− 4 > 0.
2.13. Giải các phương trình sau
a) |9 − x| = |6 −5x| + |4x + 3|. b)


x
2
− 5x + 4


+


x
2
− 5x


= 4.
c) |7 − 2x| = |5 −3x| + |x + 2|. d) |x − 1|− 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4.


f(x) = g(x) ⇔

g(x) ≥ 0
f(x) = g
2
(x)
.
•
3

f(x) =
3

g(x) ⇔ f(x) = g(x). •
3

f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g
3
(x).
•

f(x) < g(x) ⇔



f(x) ≥ 0
g(x) > 0
f(x) < g
2

Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
B. Bài Tập
2.14. Giải các phương trình sau
a) x −
√
x −1 −7 = 0. b)
√
2x + 9 =
√
4 − x +
√
3x + 1.
c)
√
3x −3 −
√
5 − x =
√
2x −4.
d)

2x +
√
6x
2
+ 1 = x + 1.
e)
3
√
2x −1 +

< 3x. d)
√
x
3
+ 1 ≥ x + 1.
2.16. Giải các bất phương trình sau
a) (CĐ-09)
√
x + 1 + 2
√
x − 2 ≤
√
5x + 1. b) (A-05)
√
5x −1 −
√
x −1 >
√
2x −4.
c)

2x +
√
6x
2
+ 1 > x + 1.
d) (A-04)

2 (x
2

2
+

x +
1
4
= 9.
d)

x + 2
√
x − 1 +

x − 2
√
x −1 =
x + 3
3
.
2.18. Giải các bất phương trình sau
a)

x
4
+
√
x − 4 ≥ 8 − x.
b) (D-02)

x

x
2
− 5x + 4. f)
√
x
2
+ x − 2 +
√
x
2
+ 2x − 3 ≤
√
x
2
+ 4x − 5.
2.19. Giải các phương trình sau
a) (D-06)
√
2x −1 + x
2
− 3x + 1 = 0.
b)

7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
√
3 − 2x − x

2
−
7
x
2
+

x −
7
x
2
= x.
2.20. Giải các bất phương trình sau
a)
1 −
√
1 − 4x
2
x
< 3.
b)
1 −
√
21 − 4x + x
2
x + 1
≥ 0.
c)
2x
√

d)
√
3x −2 +
√
x −1 = 4x − 9 + 2
√
3x
2
− 5x + 2.
2.22. Giải các phương trình sau
a) x +
√
4 − x
2
= 2 + 3x
√
4 − x
2
.
b) (x − 3) (x + 1) + 4 (x −3)

x+1
x−3
= −3.
c)
4
x
2
+
x

+ 3x + 2 ≥ 2
√
x
2
+ 3x + 5. b) x
2
+
√
2x
2
+ 4x + 3 ≥ 6 − 2x.
c) x(x + 1) −
√
x
2
+ x + 4 + 2 ≥ 0.
d) x
2
− 2x + 8 − 6

(4 −x) (2 + x) ≤ 0.
e)
x
x + 1
− 2

x + 1
x
> 3.
f)

+ 4x = (x + 2)
√
x
2
− 2x + 24.
2.25. Giải các phương trình sau
a)
3
√
2 −x = 1 −
√
x − 1. b) (A-09) 2
3
√
3x −2 + 3
√
6 − 5x − 8 = 0.
c) 2

x
2
+ 2

= 5
√
x
3
+ 1. d) 2

x

3

x +
3
√
35 − x
3

= 30.
2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau
a) (B-2012) x + 1 +
√
x
2
− 4x + 1 ≥ 3
√
x.
b) (A-2010)
x −
√
x
1 −

2 (x
2
− x + 1)
≥ 1.
c)
3
√

c)
√
2x −1 +
√
x
2
+ 3 = 4 − x.
d) x
5
+ x
3
−
√
1 − 3x + 4 = 0.
e) x
3
+ 4x − (2x + 7)
√
2x + 3 = 0. f) (CĐ-2012) 4x
3
+ x − (x − 1)
√
2x + 1 = 0.
2.29. Giải các phương trình sau
a)
√
x
2
− 2x + 5 +
√

+ 3x −
1
2
.
§3. Hệ Phương Trình Đại Số
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Đưa về hệ mẫu mực. (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp)
2. Phương pháp thế.
• Loại 1: Rút một biểu thức từ một phương trình rồi thế vào phương trình kia.
• Loại 2: Giải cụ thể một phương trình rồi thế vào phương trình kia.
• Loại 3. Thế hằng số.
3. Đặt ẩn phụ.
4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
• Nếu y = f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f(u) = f(v) ⇔ u = v.
• Nếu y = f(x) luôn đồng biến trên D còn y = g(x) luôn nghịch biến hoặc không đổi trên D thì phương trình
f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên D.
B. Bài Tập
2.30. Giải các hệ phương trình sau
a)

x
2
+ y
2
+ xy = 7
x + y + xy = 5
. b)

x + y + xy = 1
x

a)

x
2
− 2y
2
= 2x + y
y
2
− 2x
2
= 2y + x
. b)





x −3y =
4y
x
y − 3x =
4x
y
.
c)






x
2
− xy = 2
2x
2
+ 4xy −2y
2
= 14
. b)

x
2
− 2xy + 3y
2
= 9
x
2
− 4xy + 5y
2
= 5
.
c)

x
3
+ y
3
= 1
x

3
− 3x = y
3
− 3y
. b) (DB-06)

x
2
+ 1 + y (y + x) = 4y

x
2
+ 1

(y + x − 2) = y
.
c) (B-08)

x
4
+ 2x
3
y + x
2
y
2
= 2x + 9
x
2
+ 2xy = 6x + 6

1
y
2y = x
3
+ 1
.
c)

x
2
+ y
2
+
2xy
x+y
= 1
√
x + y = x
2
− y
. d)

6x
2
− 3xy + x + y = 1
x
2
+ y
2
= 1

c) (D-2012)

xy + x − 2 = 0
2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy −y = 0
. d)

x
3
+ 2y
2
= x
2
y + 2xy
2

x
2
− 2y −1 +
3

y
3

x
3
− 8x = y
3
+ 2y
x
2
− 3 = 3

y
2
+ 1

. d) (A-2011)

5x
2
y − 4xy
2
+ 3y
3
− 2 (x + y) = 0
xy

x
2
+ y
2

+ 2 = (x + y)

y
3
+ 27 = 18y
3
4x
2
y + 6x = y
2
. d)

x
3
− y
3
= 9
x
2
+ 2y
2
= x − 4y
.
2.38. Giải các hệ phương trình sau
a)

x (3x + 2y) (x + 1) = 12
x
2
+ 2y + 4x −8 = 0
. b)


+ y
2
= 5
√
y − 1 (x + y −1) = (y −2)
√
x + y
. f) (A-08)

x
2
+ y + x
3
y + xy
2
+ xy = −
5
4
x
4
+ y
2
+ xy (1 + 2x) = −
5
4
.
2.39. Giải các hệ phương trình sau
a)

√

2
+ y
2
− x + y =
1
2
. d) (A-2010)


4x
2
+ 1

x + (y − 3)
√
5 − 2y = 0
4x
2
+ y
2
+ 2
√
3 −4x = 7
.
§4. Phương Trình & Hệ Phương Trình Chứa Tham Số
A. Kiến Thức Bổ Sung
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D. Ta có:
• m = f(x) có nghiệm trên D ⇔ min
x∈D
f(x) ≤ m ≤ max


x
2
− 3mx + m + 1 = 0.
a) Có nghiệm. b) Vô nghiệm c) Có hai nghiệm trái dấu.
2.41. Tìm m để phương trình x
2
+ 2 (m + 1) x + 9m − 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt.
2.42. Tìm m để phương trình (m − 2) x
2
− 2mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
2.43. Tìm m để phương trình (m − 2) x
4
− 2 (m + 1) x
2
+ 2m − 1 = 0.
a) Có một nghiệm. b) Có hai nghiệm phân biệt. c) Có bốn nghiệm phân biệt.
2.44. (D-04) Tìm m để hệ

√
x +
√
y = 1
x
√
x + y
√
y = 1 −3m
có nghiệm.
2.45. Tìm m để bất phương trình

x
2
− 1 có nghiệm thực.
2.49. (B-06) Tìm m để phương trình
√
x
2
+ mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt.
2.50. (B-04) Tìm m để phương trình m

√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
+ 2

= 2
√
1 − x
4
+
√
1 + x
2
−
√
1 − x

+ 3mx − m
2
= 0 luôn có nghiệm.
2.55. (DB-04) Tìm m để hệ

x
2
− 5x + 4 ≤ 0
3x
2
− mx
√
x + 16 = 0
có nghiệm.
2.56. (D-2011) Tìm m để hệ

2x
3
− (y + 2) x
2
+ xy = m
x
2
+ x − y = 1 − 2m
có nghiệm.
2.57. Tìm m để hệ
√
1 − x
2
+ 2

2
) và ba điểm A (x
A
; y
A
) , B (x
B
; y
B
) , C (x
C
; y
C
). Ta có
• Hai vectơ bằng nhau:
−→
u =
−→
v ⇔

x
1
= x
2
y
1
= y
2
.
• Các phép toán vectơ:

−→
v = x
1
x
2
+ y
1
y
2
.
• Hai vectơ vuông góc:
−→
u ⊥
−→
v ⇔
−→
u .
−→
v = 0.
• Độ dài vectơ: |
−→
u | =

x
2
1
+ y
2
1
.

• Khoảng cách giữa hai điểm: AB =



−−→
AB



=

(x
B
− x
A
)
2
+ (y
B
− y
A
)
2
.
• Tính chất trung điểm: I là trung điểm của AB ⇔ I

x
A
+ x
B

−−→
AD = 3
−−→
AB −2
−→
AC.
Tìm tọa độ điểm M sao cho
−−→
MA + 2
−−→
MB = 5
−−→
MC.
3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (2; 5) , B (1; 1) , C (3; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình
hành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó.
3.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (−3; 2) , B (4; 3). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho tam giác
MAB vuông tại M.
3.4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (1; −1) , B (5; −3), đỉnh C thuộc trục Oy và trọng tâm G thuộc
trục Ox. Tìm tọa độ đỉnh C và trọng tâm G.
3.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho A(−1; 3) , B (0; 4) , C (3; 5) , D (8; 0). Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
3.6. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 6) , B (−2; 0) , C (2; 0). Gọi M là trung điểm AB, G là trọng
tâm tam giác ACM và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh GI vuông góc với CM.
3.7. (A-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (0; 2) , B

−
√
3; −1

. Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác OAB.

u (b; −a) và ngược lại.
2. Phương trình tham số của đường thẳng.
• Đường thẳng qua M (x
0
; y
0
) và có vectơ chỉ phương
−→
u (a; b) có phương trình tham số:

x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
.
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng.
• Dạng: ax + by + c = 0 (a
2
+ b
2
= 0).
• Nhận xét: • Đường thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến
−→
n (a; b).
• Cho x
0
tuỳ ý ⇒ y
0

|
−→
n
1
.
−→
n
2
|
|
−→
n
1
|. |
−→
n
2
|
.
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d (M, ∆) =
|ax
0
+ by
0
+ c|
√
a
2
+ b
2

, d
2
. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và cắt d
1
, d
2
lần lượt tại B, C sao cho tam giác
ABC cân tại A.
3.17. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; −5) và hai đường cao lần lượt có phương trình là
d
1
: 5x + 3y − 4 = 0 và d
2
: 3x + 8y + 13 = 0. Lập phương trình cạnh AC.
3.18. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB là 5x − 3y + 2 = 0; các đường cao qua đỉnh
A và B lần lượt là d
1
: 4x − 3y + 1 = 0 và d
2
: 7x + 2y − 22 = 0. Lập phương trình hai cạnh còn lại.
3.19. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC. Các đường thẳng BC, BB

, B

C

lần lượt có phương
trình là y −2 = 0, x −y + 2 = 0, x −3y + 2 = 0 với B

, C

và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y −5 = 0.
Viết phương trình đường thẳng AB.
3.26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ :

x = −2 −2t
y = 1 + 2t
và điểm M (3; 1). Tìm điểm M (3; 1) sao cho
đoạn M B là ngắn nhất.
3.27. (B-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (2; 2) và các đường thẳng d
1
: x + y −2 = 0, d
2
: x + y −8 = 0. Tìm điểm
B ∈ d
1
và C ∈ d
2
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
3.28. (B-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1; 1) , B (4; −3). Tìm điểm C thuộc d : x − 2y − 1 = 0 sao cho khoảng
cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
3.29. (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 và d : 2x − y − 2 = 0. Tìm tọa độ
điểm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
3.30. (A-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba đương thẳng d
1
: x + y + 3 = 0, d
2
: x − y − 4 = 0, d
3
: x − 2y = 0. Tìm
M thuộc d

trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
3.38. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có đỉnh A (−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc
đường thẳng ∆ : x − y −4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
3.39. (B-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I

1
2
; 0

, AB : x−2y+2 = 0, cạnh AB = 2AD.
Tìm toạ độ các đỉnh biết A có hoành độ âm.
3.40. (A-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: x − y = 0, d
2
: 2x + y − 1 = 0. Tìm các đỉnh hình
vuông ABCD biết A thuộc d
1
, B thuộc d
2
và B, D thuộc trục hoành.
3.41. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương
trình là x + 3y = 0 và x − y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M

−
1
3
; 1

. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ

+ y
2
− 2ax − 2by + c = 0

a
2
+ b
2
> c

Có tâm I (a; b) và bán kính R =
√
a
2
+ b
2
− c.
2. Tiếp tuyến với đường tròn.
• Tiếp tuyến tại M đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là
−−→
IM.
• Phương trình tiếp tuyến tại M là: (x
0
− a) (x −x
0
) + (y
0
− b) (y − y
0
) = 0.

AIB = 120
0
, với I là tâm của (C).
3.46. (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x −1)
2
+ y
2
= 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định toạ độ
điểm M ∈ (C) sao cho

IMO = 30
0
.
3.47. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+y
2
+4x+4y+6 = 0 và đường thẳng ∆ : x+my−2m+3 =
0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm M để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
3.48. (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + 2 = 0 và đường tròn (C) : x
2
+ y
2
−4x −2y = 0.
Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C), (A, B là tiếp điểm). Tìm
tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
3.49. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x −2)
2
+ y

2
) : x
2
+ y
2
− 12x + 18 = 0 và
đường thẳng d : x − y −4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C
2
) tiếp xúc với d và cắt (C
1
) tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
3.53. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
:
√
3x + y = 0 và d
2
:
√
3x −y = 0. Gọi (T ) là đường
tròn tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T),
biết tam giác ABC có diện tích bằng
√
3
2

= 1

b
2
= a
2
− c
2

.
• Trong đó:
Các đỉnh: A
1
(−a; 0), A
2
(a; 0), B
1
(0; −b), B
2
(0; b).
Các tiêu điểm: F
1
(−c; 0), F
2
(c; 0).
Trục lớn: A
1
A
2
= 2a.

25
+
y
2
4
= 1. b)
x
2
9
+
y
2
4
= 1.
c) x
2
+ 4y
2
= 4.
3.55. Viết phương trình chính tắc của các đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau
a) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai e =
√
3
2
.
b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4.
c) (E) có một tiêu điểm là F

√
3; 0


và elip (E) :
x
2
3
+
y
2
2
= 1. Gọi F
1
và F
2
là các tiêu điểm
của (E) (F
1
có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF
1
với (T ); N là điểm đối xứng
của F
2
qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF
2
.
3.59. (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh
của hình thoi có phương trình x
2
+ y
2
= 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của

).
• Nếu y =
u(x)
v(x)
thì y
0
=
u

(x
0
)
v

(x
0
)
.
B. Bài Tập
4.1. Tìm m để hàm số y = x
3
− 3 (m + 1) x
2
+ 9x − m đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa |x
1
− x

2
).
4.3. (D-2012) Tìm m để hàm số y =
2
3
x
3
− mx
2
− 2

3m
2
− 1

x +
2
3
có hai điểm cực trị x
1
và x
2
sao cho x
1
x
2
+
2 (x
1
+ x

x −1
có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục Ox.
4.8. (A-02) Cho hàm số y = −x
3
+ 3mx
2
+ 3

1 − m
2

x + m
3
−m
2
. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của hàm số.
4.9. Tìm m để hàm số y = x
3
−
3
2
mx
2
+
1
2
m
3
có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

4.14. (A-2012) Tìm m để hàm số y = x
4
− 2 (m + 1) x
2
+ m
2
có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam
giác vuông.
4.15. (A-07) Tìm m để hàm số y =
x
2
+ 2 (m + 1) x + m
2
+ 4m
x + 2
có cực đại cực tiểu đồng thời các điểm cực trị cùng
với gốc toạ độ tạo thành một tam giác vuông.
18
4.16. (B-2012) Tìm m để hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 3m
3
có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện
tích bằng 48.
4.17. (A-05) Tìm m để hàm số y = mx +
1
x
có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm

• Số giao điểm của (C
1
) và (C
2
) bằng số nghiệm của phương trình f(x) = g(x).
Lưu ý. Phương trình f(x) = g(x) gọi là phương trình hoành độ giao điểm.
2. Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị.
• Đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau tại M (x
0
; y
0
) ⇔

f(x
0
) = g(x
0
)
f

(x
0
) = g

(x
0
)
.
B. Bài Tập
4.20. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x

, x
2
, x
3
thoả mãn điều kiện x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
< 4.
4.26. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
−mx
2
+ 4x + 4m − 16 cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.
4.27. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y =
x − 1
x + 1
luôn cắt đường thẳng y = m −x với mọi giá trị của m.
4.28. Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y =
2x −1
x + 1
tại hai điểm thuộc hai
nhánh phân biệt.
4.29. (D-2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số y =
2x + 1

4
− (3m + 4) x
2
+ m
2
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập
thành cấp số cộng.
4.35. (D-09) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x
4
− (3m + 2) x
2
+ 3m tại bốn điểm phân biệt có
hoành độ nhỏ hơn 2.
4.36. (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
− 8x
2
+ 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9.
4.37. (D-02) Tìm m để đồ thị hàm số y =
(2m − 1) x −m
2
x −1
tiếp xúc với đường thẳng y = x.
4.38. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
− 2mx
2
+ m
3
− m

x
3
−2x
2
+ 3x (C) tại tâm đối xứng và chứng
minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
4.40. (DB-08) Cho hàm số y = x
3
+ 3mx
2
+ (m + 1) x + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 đi
qua điểm A (1; 2).
4.41. (TN-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
3x −2
x + 1
tại điểm có tung độ bằng −2.
4.42. (DB-06) Cho hàm số y =
x + 3
x + 1
. Tiếp tuyến tại điểm (S) bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và
Q. Chứng minh S là trung điểm P Q.
4.43. Cho hàm số (Cm) : y = x
3
+ 1 − m (x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của
(Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8.
4.44. (TN-09) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2x + 1
x −2
, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5.
4.45. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

góc với tiệm cận xiên của (C).
4.49. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x
x −1
sao cho tiếp tuyến và hai tiệm cận cắt
nhau tạo thành một tam giác cân.
4.50. Tìm m để (Cm) : y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C (0; 1) , D, E sao cho
các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
4.51. (A-2011) Cho hàm số (C) : y =
−x + 1
2x −1
. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị
(C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k
1
, k
2
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m
để tổng k
1
+ k
2
đạt giá trị lớn nhất.
4.52. (B-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x
3
− 6x
2

4.56. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
3
− 3x
2
− 1. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
x
3
− 3x
2
− k = 0.
4.57. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x
3
− 3x
2
+ 1. Biện luận theo m số nghiệm phương trình
4x
3
− 6x
2
− m = 0.
4.58. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x
4
+ 2x
2
+ 3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x
4
− 2x
2
+ m − 1 = 0.

− 9x
2
+ 12x − 4. Tìm m để phương trình sau có
sáu nghiệm phân biệt 2|x|
3
− 9x
2
+ 12 |x| = m.
4.62. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −2x
3
+3x
2
−2. Tìm m để phương trình 2|x|
3
−3x
2
+2 (m + 1) = 0
có đúng bốn nghiệm.
4.63. (DB-03) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
2x
2
− 4x − 3
2 (x −1)
. Tìm m để phương trình 2x
2
− 4x −
3 + 2m |x −1| = 0 có hai nghiệm phân biệt.
4.64. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
x
2

có ba nghiệm phân biệt.
4.67. (B-09) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x
4
− 4x
2
. Với các giá trị nào của m, phương trình
x
2


x
2
− 2


= m có đúng sáu nghiệm thực phân biệt.
4.68. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
4
− 4x
2
+ 3. Tìm m để phương trình


x
4
− 4x
3
+ 3



x
3
m
+ 3x
2
− 2 nhận I (1; 0) làm điểm uốn.
4.75. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y =
2x −1
x − 1
có tọa độ là các số nguyên.
4.76. Tìm trên đồ thị hàm số y =
−x
2
+ 3x − 1
x −1
các điểm có toạ độ nguyên.
4.77. Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm) : y = x
3
+ 2 (m − 1) x
2
+

m
2
− 4m + 1

x − 2

m
2

4.83. Cho hàm số y =
x + 1
x −1
có đồ thị (C). Tìm trên (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
d : x + 2y − 3 = 0.
4.84. (B-03) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
− 3x
2
+ m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
4.85. (DB-04) Tìm trên đồ thị hàm số y =
x
x + 1
những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
d : 3x + 4y = 0 bằng 1.
4.86. Cho hàm số y =
4x + 1
x + 1
có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ.
4.87. Cho hàm số y =
x
2
− x + 1
x −1
. Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm I của
hai tiệm cận là nhỏ nhất.
4.88. Cho hàm số y =
3x −5
x −2
có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là

=
1
a
n
(a = 0, n ∈ N
∗
).
• Căn bậc n: b là căn bậc n của a ⇔ b
n
= a.
Lưu ý: Khi n lẻ thì a có đúng một căn bậc n là
n
√
a.
Khi n chẵn thì a < 0 không có căn bậc n.
a = 0 có một căn bậc n là 0.
a > 0 có hai căn bậc n là ±
n
√
a.
• Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: a
m
n
=
n
√
a
m
(a > 0; m, n ∈ Z; n ≥ 2).
• Lũy thừa với số mũ thực: a

= a
α−β
.
• (a
α
)
β
= a
αβ
.
• (ab)
α
= a
α
.b
α
.
•

a
b

α
=
a
α
b
α
.
• Nếu a > 1 thì a


−0,75
+

1
8

−
4
3
.
c) 27
2
3
+

1
16

−0,75
− 25
0,5
.
d) (−0,5)
−4
− 625
0,25
−

2

7
2
2+
√
7
.5
1+
√
7
.
g)

4
2
√
3
− 4
√
3−1

.2
−2
√
3
.
h)

6

25 + 4

1
3
√
b + b
1
3
√
a
6
√
a +
6
√
b
.
23
c)
√
a −
√
b
4
√
a −
4
√
b
−
√
a −

2
√
3
− 1

a
2
√
3
+ a
√
3
+ a
3
√
3

a
4
√
3
− a
√
3
.
f)

a + b
3
√

a +
4
√
a
√
a + 1
.a
1
4
+ 1.
h)

a +
b
3
2
a
1
2

a
1
2
− b
1
2
a
1
2
+

và 5
400
.
d)
3
√
7 +
√
15 và
√
10 +
3
√
28.
5.4. Tính A =

a + b + c + 2
√
ab + bc +

a + b + c − 2
√
ab + bc, (a, b, c > 0, a + c > b)
§2. Lôgarit
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Định nghĩa. α = log
a
b ⇔ a
α
= b (a, b > 0; a = 1).

b + log
a
c.
• log
a
b
c
= log
a
b − log
a
c.
• log
a
1
b
= −log
a
b.
• log
a
b
α
= αlog
a
b.
• log
a
n
√

4. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.
• Lôgarit thập phân: Là lôgarit có cơ số a = 10. Ký hiệu: log x hoặc lg x.
• Lôgarit tự nhiên: Là lôgarit có cơ số a = e. Ký hiệu: ln x.
B. Bài Tập
5.5. Tính
a) log
3
4
√
3.
b) 2log
27
log 1000. c) log
25
8.log
8
5.
d) log 45 − 2 log 3.
e) 3log
2
log
4
16 + log
1
2
2.
f) log
2
48 −
1

10
log
2
20 + log
2
8
.
b)
log
2
24 −
1
2
log
2
72
log
3
18 −
1
3
log
3
72
. c)

log
7
2 +
1



5
√
5
  
n dấu căn
.
f) 9
2log
3
4+4log
81
2
.
g) 16
1+log
4
5
+ 4
1
2
log
2
3+3log
5
5
.
h)


√
5
4

.
5.7. So sánh các cặp số sau:
a) log
3
6
5
và log
3
5
6
.
b) log
1
2
e và log
1
2
π.
c) log
2
10 và log
5
30.
d) log
5
3 và log

7
2.
5.11. Tính log
3
√
25
135 theo a, b, biết a = log
4
75, b = log
8
45.
5.12. Chứng minh rằng ab + 5 (a −b) = 1, biết a = log
12
18, b = log
24
54.
5.13. Cho y = 10
1
1−log x
, z = 10
1
1−log y
. Chứng minh rằng x = 10
1
1−log z
.
5.14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (abc)
a+b+c
3
≤ a

2.
Hàm số m
ũ.
• Dạng: y = a
x
(0 < a = 1).
• Tập xác định: D = R.
• Đạo hàm: y

= a
x
ln a.
• Tính chất:
a > 1: Hàm số luôn đồng biến.
a < 1: Hàm số luôn nghịch biến.
O O
y y
x x
a > 1 0 < a < 1
1 1
3. Hàm số lôgarit.
• Dạng: y = log
a
x (0 < a = 1).
• Tập xác định: D = (0; +∞).
• Đạo hàm: y

=
1
x ln a

= e
x
. • (e
u
)

= u

e
u
. • (a
x
)

= a
x
ln a.
• (a
u
)

= u

a
u
ln a.
• (lnx)

=
1

x
2
− 2

−2
.
b) y =

2 −x
2

2
7
.
c) y =

x
2
− x − 2

√
2
.
d) y = log
2
(5 −2x). e) y = log
3

x
2

.
e) y = ln
e
x
1+e
x
.
f) y =

x
2
−
1
4

e
2x
.
g) y =

e
4x
+ 1 − ln x

π
.
h) y =
2 ln x+1
4 ln x−5
.

2
− x
4

.
f) y = x
2
− ln (1 − 2x) trên [−2; 0].
g) y = x
2
e
−x
trên [0; ln 8]. h) y = x
2
ln x trên [1; e]. i) y = 5
x
+ 5
1−x
trên [0; log
5
8].
§4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Phương trình mũ cơ bản.
• Dạng: a
x
= b (0 < a = 1).
• Cách giải:
b ≤ 0: Phương trình vô nghiệm.
b > 0: a