TRẦN ANH TUẤN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI
Các chuyên đề
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
HÀ NỘI - 2011
WWW.VNMATH.COM

Mục lục
I Đại số - Lượng giác - Giải tích 9
Chương 1 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số 11
1.1. Phương trình, bất phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1. Phương trình, bất phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2. Phương trình trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3. Phương trình, bất phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Phương trình, bất phương trình chứa căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Vấn đề 1 : Phương trình, bất phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Vấn đề 3 : Phương pháp nhân liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Vấn đề 4 : Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Vấn đề 5 : Phương trình, bất phương trình có tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1. Phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2. Phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc coi một phương trình là phương trình bậc hai (ba) theo
một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.3. Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.4. Phương pháp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.5. Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5. Số nghiệm của phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Vấn đề 1 : Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Vấn đề 2 : Chứng minh phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

k
trong khai triển nhị thức (a + b)
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5. Hệ số của x
k
trong khai triển (a + b)
n
(c + d)
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6. Hệ số của x
k
trong khai triển (a + b + c)
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.7. Tính tổng các hệ số tổ hợp :
n
k=0
a
k
C
k
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.8. Phương pháp cơ bản với a
k
chỉ là hàm số mũ theo biến k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.9. Phương pháp đạo hàm với a
k

5.5. Biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . 103
5.6. Bài toán về sự tương giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.7. Sự tiếp xúc của hai đường cong và tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Vấn đề 1 : Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Vấn đề 2 : Hai đường cong tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Vấn đề 3 : Tiếp tuyến đi qua một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Vấn đề 4 : Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.8. Hàm số trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.9. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Chương 6 Mũ và lôgarít 127
6.1. Hàm số mũ, hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2. Hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3. Phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Vấn đề 1 : Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Vấn đề 2 : Phương pháp logarit hai vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Vấn đề 3 : Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Vấn đề 4 : Phương pháp phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Vấn đề 5 : Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4. Bất phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Vấn đề 1 : Bất phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Vấn đề 3 : Phương pháp phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.5. Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.6. Phương trình mũ và lôgarit trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.7. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Chương 7 Tích phân 149
7.1. Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Vấn đề 3 : Tìm hằng số C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Vấn đề 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Vấn đề 3 : Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy . . . . . . . . . . . 193
Vấn đề 4 : Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.2. Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Vấn đề 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.3. Đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Dựng thiết diện song song với một đường thẳng . . . . . . . 197
Vấn đề 3 : Dựng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khác
Xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.4. Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Vấn đề 1 : Chứng minh hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . 199
Chương 11 Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc 201
11.1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Vấn đề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.2. Hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Vấn đề 3 : Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Vấn đề 3 : Lập phương trình của mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Vấn đề 4 : Phương pháp tọa độ giải hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
13.2. Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Vấn đề 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước . . . . . . . 254
Vấn đề 2 : Vị trí tương đối của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Vấn đề 3 : Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Vấn đề 4 : Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Vấn đề 5 : Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
13.3. Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Vấn đề 1 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Vấn đề 2 : Tìm điểm trên đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Vấn đề 3 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ và ∆
′
trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Vấn đề 4 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Vấn đề 5 : Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Vấn đề 6 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Vấn đề 7 : Góc giữa hai đường thẳng ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Vấn đề 8 : Phương trình đường thẳng biết đường thẳng đó song song, hoặc vuông góc với đường thẳng
hoặc mặt phẳng khác, hoặc nằm trên mặt phẳng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Vấn đề 9 : Phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ cắt ∆
′
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Vấn đề 10 : Hình chiếu và tính đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Vấn đề 11 : Bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
13.4. Hình học không gian trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
13.5. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
III Hướng dẫn và đáp số 287
8
Phần I

c
2
x
2
+ (a
2
− b
2
− c
2
)x + b
2
= 0.
Bài 1.4 : Cho phương trình :
x
2
− (2m + 3)x + m
2
+ 2m + 2 = 0.
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.
2. Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm
1
x
1
,
1

3. Tìm giá trị lớn nhất, giá tr ị nhỏ nhất của E = (x
1
+ x
2
)
2
+ x
2
1
x
2
2
.
Bài 1.6 : Cho phương trình :
mx
2
− 2(m −2)x + m − 3 = 0.
Tìm m để phương trình có :
11
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. hai nghiệm trái dấu ; 2. hai nghiệm dương phân biệt ; 3. đúng một nghiệm âm.
Bài 1.7 : Giải các bất phương trình sau :
1.
x
2
− 4x + 3
3 − 2x
< 1 − x ;
2. (−x

2
− 2(m −1)x + 3m − 3 ≥ 0 ;
Bài 1.9 : Giải hệ bất phương trình sau :
x
2
− 7x + 6 ≤ 0
x
2
− 8x + 15 ≥ 0
Bài 1.10 : Tìm m để :
1. x
2
− mx + m + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R ; 2. mx
2
+ 4x + m > 0, ∀x ∈ R ; 3. mx
2
− mx − 5 < 0, ∀x ∈ R.
Bài 1.11 : Tìm m để các hàm số sau xác định với mọi x ∈ R :
1. y =
m(m + 2)x
2
+ 2mx + 2 ;
2. y =
1
(1 − m)x
2
− 2mx + 5 − 9m
;
Bài 1.12 : Cho f(x) = (m + 1)x
2

+ mx + 3 ≥ 0 với m ọi x ∈ [−1;1].
Bài 1.17 : Tìm m để f(x) = x
2
− 2mx − m ≥ 0 với mọi x > 0.
Bài 1.18 : Tìm m để f(x) = mx
2
− 2(m + 1)x − m + 5 > 0 với mọi x < 1.
Bài 1.19 : Tìm m để f(x) = 2x
2
− (3m + 1)x − (3m + 9) ≤ 0 với mọi x ∈ [−2;1].
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 12
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.1.2 Phương trình trình bậc ba
Bài 1.20 : Cho phương trình :
x
3
− (m
2
− m + 7)x −(3m
2
+ m −6) = 0.
1. Tìm m để phương trình có một nghiệm là −1.
2. Với m > 0 tìm được ở câu trên, hãy giải phương trình .
Bài 1.21 : Giải các phương trình sau :
1. x
3
− 6x

mx
3
− (3m −4)x
2
+ (3m −7)x −m + 3 = 0
có ba nghiệm dương phân biệt.
1.1.3 Phương trình, bất phương trình bậc bốn
Bài 1.24 : Giải các phương trình sau :
1. x
4
− 3x
2
+ 4 = 0 ;
2. (x − 1)(x + 5)(x − 3)(x + 7) = 297 ;
3. (x + 2)(x − 3)(x + 1)(x + 6) = −36 ;
4. x
4
+ (x − 1)
4
= 97 ;
5. (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 16 ;
6. 6x
4
− 35x
3
+ 62x

4
+ (1 −2m)x
2
+ m
2
− 1 = 0.
1. Vô nghiệm ; 2. Có hai nghiệm phân biệt ; 3. Có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 1.26 : Tìm các giá trị của a sao cho phương trình
(a − 1)x
4
− ax
2
+ a
2
− 1 = 0
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 1.27 : Cho phương trình :
(m − 1)x
4
+ 2(m −3)x
2
+ m + 3 = 0.
Tìm m để phương trình trên vô nghiệm.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 13
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 1.28 : Cho phương trình :
x

phương hai vế, chuyển vế, phân tích thành nhân tử.
3. Một số phương trình và bất phương tr ình thông dụng (giả sử a > 0).
• |x| = a ⇔ x = a hoặc x = −a.
• |x| < a ⇔ −a < x < a.
• |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a.
• |x| > a ⇔ x < −a hoặc x > a.
• |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a hoặc x ≥ a.
Bài 1.31 : Giải phương trình |x
2
− 8x + 15| = x − 3.
Bài 1.32 : Giải các phương trình và bất phương trình sau :
1. |x
2
− 5x + 4| = x
2
+ 6x + 5;
2. |x −1| = 2x − 1;
3. | − x
2
+ x − 1| ≤ 2x + 5;
4. |x
2
− x| ≤ |x
2
− 1|.
Bài 1.33 : Giải các phương trình và bất phương trình sau :
1.
x
2
− 2

;
2. log
5
log
¹⁄₂
x
2
− 4|x|
|x|− 7
≤ 0 ;
3. |x
2
− 2x − 8| > 2x ;
4. |x
3
− 7x − 3| < x
3
+ x
2
+ 3 ;
5. |x
3
− x
2
+ 4| + x
3
− x
2
− 2x − 2 ≤ 0 ;
6. ||x| −1| < 1 − x ;

2
−3x −7| + |2x
2
− x −9| + |3x
2
−7x −5| < x + 15 ;
3. |x −1| + |2 − x| > 3 + x ;
4. |x
2
− 3x − 17| − |x
2
− 5x − 7| > 3.
Bài 1.37 : Tìm m để bất phương trình : x
2
+ |x + m| < 2 có ít nhất một nghiệm âm.
Bài 1.38 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p :
2|x − p| + 5|x − 3p| + 4x + 6p + 12 ≤ 0.
Bài 1.39 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p :
|2x + 21p| − 2|2x − 21p| < x − 21p.
Bài 1.40 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho bất phương trình
x
2
− |x − a| − |x − 1| + 3 ≥ 0
đúng với mọi x ∈ R.
Bài 1.41 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x
2
+ 2x − 1 + |x − a|
lớn hơn 2.
Bài 1.42 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

f(x) = g(x).
2. Phương trình
√
f(x) = g(x) ⇔
g(x) ≥ 0
f(x) =
(
g(x)
)
2
.
3. Bất phương trình
√
f(x) >
√
g(x) (hoặc ≥ ) tương đương với
g(x) ≥ 0
f(x) >
g(x).
4. Bất phương trình
√
f(x) < g(x) (hoặc ≤ ) tương đương với
f(x) ≥ 0
g(x) ≥ 0
f(x) <
(
g(x)
)
2
.

1.
√
2x
2
+ 4x − 1 = x + 1;
2.
√
4x
2
+ 101x + 64 = 2(x + 10);
3.
√
x
2
+ 2x = −2x
2
− 4x + 3;
4.
√
(x + 1)(x + 2) = x
2
+ 3x − 4.
Bài 1.49 : Giải các bất phương trình:
1.
√
x
2
+ x −6 < x −1;
2.
√

− 7x + 5
−
1
x
2
+ 2x + 5
;
4. y =
√
x
2
− 5x − 14 − x + 3.
Bài 1.51 : Giải các phương trình sau :
1.
√
5x
2
− 6x − 4 = 2(x − 1); 2.
√
x
2
+ 3x + 12 = x
2
+ 3x.
Bài 1.52 : Giải các bất phương trình sau :
1.
√
x
2
+ 6x + 8 ≤ 2x + 3;

1. Nếu phương trình chứa hai loại căn, có thể
(a) Đặt u =
n
√
ax + b, rút x, thế vào phương trình được phương trình ẩn u.
(b) Hoặc cũng có thể đặt u =
n
√
u(x), v =
m
√
v(x), lũy thừa để rút ra ràng buộc giữa u và v để được 1 phương trình
theo u, v. Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được hệ hai ẩn u, v.
2. Đặt u =
n
√
u(x), lũy thừa hai vế được phương trình chứa u, x. Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được hệ hai ẩn
u, x.Giải phương trình bậc hai (có ∆ là bình phương một số).
3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt u =
√
u(x), đưa về phương trình bậc hai theo u với x coi như là tham số.
4. Nếu phương trình chứa
√
a ±
√
b và
√
ab ta thường đặt u =
√
a ±

3
+ 1) ;
4. 2x
2
− 3x + 2 = x
√
3x − 2 ;
5. 6x
2
− 10x + 5 − (4x − 1)
√
6x
2
− 6x + 5 = 0 ;
6.
4
√
97 − x +
4
√
x = 5 ;
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 17
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 1.54 : Giải các phương trình sau :
1.
√
x + 3 +

√
x + 1 = 2
4
√
2x + 1 ;
5.
√
x
2
+ 4x + 3 +
√
x
2
+ x =
√
3x
2
+ 4x + 1 ;
6.
3
√
x +
√
5 − x ≤ 3 ;
7.
3
√
x − 1 +
3
√

√
x
2
+ x + 1 = 2 ;
11.
√
2x
2
+ x + 9 +
√
2x
2
− x + 1 = x + 4.
Bài 1.55 : Giải các phương trình sau :
1.
√
1 − x +
√
1 + x + 2
√
1 − x
2
= 4 ;
2. 2x +
√
x + 1 +
√
x + 2
√
x

2
+ 7x + 8
4x + 2
;
3.
√
x
2
+ x + 2 =
3x
2
+ 3x + 2
3x + 1
;
4.
x + 2 + x
√
2x + 1
x +
√
2x + 1
=
√
x + 2 ;
5. (
√
x + 3 −
√
x + 1)(x
2

3
√
x
2
+ x ;
3.
4
√
x + 1 +
√
x = 1 +
4
√
x
3
+ x
2
;
4.
√
x + 3 + 2x
√
x + 1 = 2x +
√
x
2
+ 4x + 3 ;
5.
√
x

√
x + 3 = 9x
2
− x −4 ;
9. 12
√
x + 2
√
x − 1 = 3x + 9 ;
Bài 1.58 : Giải các phương trình sau :
1.
√
x + 3 +
3
√
x = 3 ;
2.
4
√
x +
4
√
x − 1 =
4
√
x + 1 ;
3.
√
2 − x
2

2
;
Bài 1.59 : Giải các phương trình sau :
1.
8
√
1 − x +
8
√
x = 1 ;
2. 2
√
x +
4
√
1 − 2x = 1 ;
3.
√
x + 4 +
√
x +
√
1 − x = 3 ;
4.
2 +
√
x
3 +
√
1 − x

n
√
u
1
(x) ±
n
√
v
1
(x)) + (
m
√
u
2
(x) ±
m
√
v
2
(x)) = f(x), trong đó f(x); u
1
(x) − v
1
(x); u
2
(x) − v
2
(x) có
cùng nghiệm x = x
0

2
− 5x − 1;
5.
1 − x
x
=
2x + x
2
1 + x
2
;
6. x
2
+ x − 1 = (x + 2)
√
x
2
− 2x + 2;
7.
3
√
x + 24 +
√
12 − x = 6;
8. 2
√
x
2
− 7x + 10 = x +
√

1
x
;
3. (x − 1)
√
x + 1 +
√
2x + 1 =
√
x + 2 ;
4.
1
x
2
+
√
x + 5 =
1
x
+
√
2x + 4 ;
5. 2 +
√
x + 6 =
√
2x + 5 +
√
x + 3 ;
6. 1 +

(b) Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a;b) thì phương trình f(x) = c (với c là hằng số)
nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 19
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Phương pháp giải là :
(a) Nhận thấy x = x
0
là một nghiệm của phương trình đã cho.
(b) Nếu x > x
0
, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.
(c) Nếu x < x
0
, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.
(d) Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = x
0
.
Cách 2 : Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a;b) thì phương tr ình f(u) = f (v) tương đương với
u = v.
Cách 3 : Nếu hàm số y = f(x) thỏa mãn f
′
(x) = 0 có nhiều hơn 1 nghiệm thì chúng ta lập bảng biến thiên để suy ra
phương trình có tối ta bao nhiêu nghiệm, rồi nhẩm đủ số nghiệm đó, dẫn đến đó là tất cả các nghiệm của phương
trình.
Cách 4 : Nếu f(x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f(x) = g(x) tương đương với
f(x) = c
g(x) = c.

√
2x − 1 = 2 ;
5.
√
x
2
− x + 4 +
√
2x − 1 = 5 ;
Vấn đề 5 : Phương trình, bất phương trình có tham số

1. Sử dụng phương trình, bất phương trình cơ bản;
2. Sử dụng đặt ẩn phụ, và đặt điều kiện "chặt" cho ẩn;
3. Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai;
4. Sử dụng phương pháp hàm số để chỉ ra điều kiện có nghiệm.
Bài 1.63 : Tìm điều kiện của m để phương trình
√
x
2
+ 2x − m = 2x − 1 :
1. có nghiệm thực ; 2. có đúng một nghiệm thực ; 3. có hai nghiệm thực phân biệt.
Bài 1.64 : Tìm điều kiện của m để phương trình x +
x +
1
2
+
x +
1
4
= m có nghiệm thực.

2
− 1 = 0 có nghiệm thực.
Bài 1.68 : Tìm điều kiện của m để phương trình
√
x
2
− 2x − 3 = x + m
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 21
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. có nghiệm thực ; 2. có hai nghiệm thực phân biệt.
Bài 1.69 : Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
√
x + 1 +
√
1 − x = m.
Bài 1.70 : Tìm điều kiện m để phương trình
√
x +
√
9 − x =
√
−x
2
+ 9x + m có nghiệm thực.
Bài 1.71 : Tìm điều kiện m để phương trình
x + 4
√

2
= m :
1. có nghiệm thực duy nhất ; 2. có nghiệm thực.
Bài 1.75 : Chứng tỏ rằng phương trình
3x
2
− 1
√
2x − 1
=
√
2x − 1 + mx luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m.
Bài 1.76 : Tìm m để phương trình (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3)
x + 1
x − 3
= m có nghiệm thực.
Bài 1.77 : Tìm m để phương trình
3
√
1 − x +
3
√
1 + x = m có nghiệm thực.
Bài 1.78 : Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình m
√
x
2
+ 2 = x + m.
Bài 1.79 : Tìm m để phương trình
√

+ 1 −
√
x = m.
Bài 1.83 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :
x
√
x +
√
x + 12 = m
√
5 − x +
√
4 − x .
Bài 1.84 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :
m
√
x − 2 + 2
4
√
x
2
− 4 −
√
x + 2 = 2
4
√
x
2
− 4.
Bài 1.85 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :

2
− 2x =
√
mx + 1.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 22
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 1.88 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
x +
√
1 − x
2
= m.
Bài 1.89 : Cho phương trình :
−x
2
+ 2x + 4 (3 − x)(x + 1) = m − 3.
1. Tìm m để phương trình có nghiệm.
2. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.
Bài 1.90 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
√
x + 1 +
√
3 − x − (x + 1)(3 − x) = m.
Bài 1.91 : Cho phương trình :
|x + 1| + m|x − 1| = (m + 1)
√
x

1.
x
2
(y + 1)(x + y + 1) = 3x
2
− 4x + 1
xy + x + 1 = x
2
2.
x
3
y = 16
3x + y = 8
3.
y(1 + x
2
) = x(1 + y
2
)
x
2
+ 3y
2
= 1
4.
x −
1
x
= y −
1

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
7.
x
3
− 8x = y
3
+ 2y
x
2
− 3 = 3(y
2
+ 1)
8.
|x
2
− 2x| + y = 1
x
2
+ |y| = 1
9.
x
2
+ y
2
+
2xy
x + y

= −49
x
2
− 8xy + y
2
= 8y −17x
13.
√
y(
√
x +
√
x + 3) = 3
√
x +
√
y = x + 1
14.
√
x + 1 +
1
y
=
x
y
√
xy +
√
y + 1 +
√

3
= y
2
+ 2x
2
;
4.
x
3
= 3x + 8y
y
3
= 3y + 8x;
5.
x − 3y =
4y
x
y − 3x =
4x
y
;
6.
x
3
= 5x + y
y
3
= 5y + x.
Bài 1.97 : Giải các hệ phương trình sau :
1.

√
2y − y
√
x − 1 = 2x −2y
5.
y
2
= (5x + 4)(4 − x)
y
2
− 5x
2
− 4xy + 16x − 8y + 16 = 0
6.
x
3
+ 1 = 2y
y
3
+ 1 = 2x
7.
√
x + y +
√
x − y = 1 + x
2
− y
2
√
x +

4
;
3.
x
2
+ y
2
= 2x
2
y
2
x + y + 1 = 3xy;
4.
x − y + xy = 1
x
2
+ y
2
= 2;
5.
x
2
+ y
2
+ x
2
y
2
= 1 + 2xy
(x −y)(1 + xy) = 1 − xy;

x
= 2
1
x
+
1
y
+ x + y = 4;
9.
x + y +
x
y
+
y
x
= 4
x + y +
x
2
y
+
y
2
x
= 4;
10.
x + y + x
2
y
2

2
= 13;
Bài 1.99 : Giải các hệ phương trình sau :
1.
x + y + xy = 5
x
2
+ y
2
+ xy = 7
2.
x
y
+
y
x
=
13
6
x + y = 5
3.
x
2
+ xy + y
2
= 1
x − y − xy = 3
4.
x
2

2x
2
− 4xy + y
2
= −1
3x
2
+ 2xy + 2y
2
= 7
8.
y
2
− 3xy = 4
x
2
− 4xy + y
2
= 1
9.
x
2
+ y
2
= 1
√
x + y +
√
x − y = 2
10.

√
2
√
x +
√
y = 4
Bài 1.100 : Giải các hệ phương trình sau :
1.
x
2
+ x + y + 1 + x + y
2
+ x + y + 1 + y = 18
x
2
+ x + y + 1 − x + y
2
+ x + y + 1 − y = 2;
2.
x
y
+
y
x
=
7
√
xy
+ 1
x

x +
√
y = 1
|x|+ |y| = 1;
6.
√
x +
√
y = 4
√
x + 5 +
√
y + 5 = 6;
7.
x + y −
√
xy = 7
x
2
+ y
2
+ xy = 133;
8.
(x −y)(x
2
− y
2
) = 7
(x + y)(x
2