C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Bài tập chọn lọc
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
Định nghĩa:
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó
thì từng phương trình của hệ không đổi
Cách giải
Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S
2
≥
4P
Giải hệ để tìm S và P
Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình:
t
2
- St + P = 0
Ví dụ
Giải hệ phương trình
2 2
7
13
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =


2 2

Ví dụ
Giải hệ phương trình

2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x

= − +


= − +



3
3
13 6
13 6
x x y
y y x

= −


= −



2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy

− + =


− =


2 2
2 2
2 3 3
2 2 6
x xy y
x xy y

− + =


+ − =


Bài tập chọn lọc
Bài 1. Giải các hệ phương trình
( 2)( 2)
( 4)( 3) 6

18
1 1
x y
x y

+ =

− −



+ =

− −

4 1
1
2 2
20 3
1
2 2
x y x y
x y x y

− =

+ −




2 2
10
4
x y
x y

+ =

+ =

5
13
6
x y
x y
y x
+ =



+ =


2
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

CÁC BÀI HPT CÓ CHỨA THAM SỐ
Bài 1. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình
4
1

3
4 6
mx y
x my
+ =


+ =


1. Tìm m để hpt có vô số nghiệm?
2. Tìm m để hpt vô nghiệm?
3. Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0 ?
KQ:
3 6
2 2
x y
m m
= =
+ +
.
Bài 3. Cho hệ phương trình
2
( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
+ + = −




+ + =

1. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x
0
; y
0
) thì điểm A(x
0
; y
0
) luôn luôn thuộc
một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
2. Xác định m để A thuộc góc vuông phần tư thứ nhất.
3. Xác định m để A thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
5
.
Bài 31. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình:
4 2
.
mx y m
x my m
+ = +


+ =

có nghiệm duy nhất
(x; y) với x; y là các số nguyên.
Bài 45. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD.

, x
2
không
phụ thuộc vào k?
Bài 3. Tìm các giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình:
1/ x
2
+ (m - 2)x + m + 5 = 0 thỏa mãn
2 2
1 2
10x x+ =
2/ x
2
- (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thỏa mãn x
1
= ‘2x
2
3/ x
2
- mx + m + 1 = 0 thỏa mãn x
1
x
2
+ 2(x
1
+ x

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2
|
Bài 7. Cho phương trình: x
2
- mx + m - 1 = 0
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2( 1)
x x
P
x x x x
+
=
+ + +

+ (3k + 1)x - 9 = 0; 6x
2
+ (7k - 1)x - 19 = 0
Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Bài 5. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình sau vô
nghiệm:
a
2
x
2
+ (a
2
+ b
2
- c
2
)x + b = 0
Bài 6. Cho ba phương trình
x
2
+ 2ax + ac = 0; x
2
- 2bx + ab - c = 0; x
2
+ 2cx + c = 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình trên có nghiệm
Bài 7. Cho phương trình: ax
2

2 2
1 2
C x x= +
d.
1 2
2 1
1 1
x x
D
x x
= +
+ +
Bài 11. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình: 3x
2
+ 5x - 6 = 0. Không giải phương trình
hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có các nghiệm
1 1
2
1
y x
x
= +
;
2 2
1
1

3 3
1 2
5
35
x x
x x
− =



− =


Bài 20. Cho phương trình bậc hai: x
2
- 2x - m
2
= 0 có các nghiệm x
1
, x
2
. Lập phương trình bậc
hai có các nghiệm y
1
, y
2
sao cho:
a. y
1
= x

− =


Bài 22. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình vô nghiệm
x
2
+ ax + b - 1 = 0
x
2
+ bx + c - 1 = 0
x
2
+ cx + a - 1 = 0
Bài 23. Cho 2 phương trình:
x
2
+ 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x
2
+ 2x + a) - 2(a - 1)(x
2
+ 1) = 0 (2)
Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) vô
nghiệm.
Bài 24. Cho phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + m - 1 = 0.
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b. Chứng minh rằng biểu thức: A = x
1
(1 - x

+ + =
Bài 26. Tìm các giá trị của m và n để hai phương trình sau tương đương
x
2
+ (4m + 3n)x - 9 = 0.
x
2
+ (3m + 4n)x + 3n = 0
Bài 27. Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x
1
, x
2
a. Chứng minh rằng phương trình cx
2
+ bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt
b. Chứng minh rằng S = x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4

≥
4
Bài 28. Cho phương trình: x
2

2
+ cx + a = 0.
Có một phương trình vô nghiệm, một phương trình có nghiệm
Bài 31. Cho biết phương trình x
2
+ bx + c = 0, với b, c là các số hữu tỉ có một nghiệm là
1 2
2 4
+
. Tìm các cặp số (b, c)
6
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Bài 32. Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương
trình bậc hai:
(m - 2)x
2
- 2(m - 1)x + m = 0. Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là
2
5
Bài 33. Tìm giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình: mx
2
- 2(m - 2)x + (m - 3) = 0
thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 2

2
phân biệt thỏa mãn
1 2
1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =
.
Bài 36. Cho phương trình x
2
+ 5x - 1 = 0 (1)
Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là lũy
thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1).
Bài 37. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a và b:
(a + 1)x
2
- 2(a + b)x + (b - 1) = 0.
Bài 38. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m:
x
2
- (3m
2
- 5m + 1)x - (m
2
- 4m + 5) = 0.
Bài 39. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2 2

Bài 45. Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu
2
4
b c
a a
≥ +
.
Bài 46. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm nếu
bm = 2(c + n):
x
2
+ bx + c = 0 và x
2
+ mx + n = 0.
Bài 47. Cho phương trình bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực α mà af(α) ≤ 0 thì phương trình có nghiệm.
Bài 48. Cho biết các phương trình ax
2
+ bx +2 c = 0 và ax
2
+ bx - c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm. Vận
dụng bài 22 để chứng minh phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm.
7
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

2
+ (3m - 1)x - 3 = 0 và 6x
2
- (2m - 3)x - 1 = 0.
Bài 55. Tìm giá trị của m để một nghiệm của phương trình 2x
2
- 13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một
nghiệm của phương trình x
2
- 4x + m = 0 (2).
Bài 56. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c ≠ 0. Biết rằng các phương trình
x
2
+ ax + bc = 0(1) và x
2
+ bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó.
Bài 57. Cho các phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2).
1. Biết phương trình (1) có nghiệm dương m,
2. Chứng minh rằng phương trình (2) có nghiệm n sao cho m + n ≥ 2.
Bài 58. Cho các phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2).
Tìm liên hệ giữa các số a, b, c biết rằng các nghiệm x
1

- x
1
= x
4
- x
2
= 1. Xác định b và c.
Bài 60. Tìm các số a, b sao cho các phương trình: x
2
+ ax + 6 = 0 và x
2
+ bx + 12 = 0 có ít nhất
một nghiệm chung và
a b+
nhỏ nhất.
Bài 61. Tìm m để phương trình x
2
+ mx + 2m - 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.
Bài 62. Tìm m để phương trình
2 2
2 2 4 3 0x m x x m+ − − + + =
có nghiệm.
Bài 63. Tìm m để phương trình 3x
2
- 4x + 2(m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.
Bài 64. Tìm m để phương trình (m - 1)x
2
- (m - 5)x + (m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn
hơn -1.
Bài 65. Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phương trình x

4
(x
1
< x
2
< x
3
< x
4
) thỏa mãn điều kiện:x
4
- x
3
= x
3
- x
2
= x
2
- x
1
.
Bài 76. Cho phương trình ẩn x: x
2
- 2(m - 1)x - 3 - m = 0.
1. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
2. Tìm m sao cho nghiệm x
1
, x
2

+ x + a = 0 (1)
x
2
+ ax + 1 = 0 (2)
Tìm các giá trị của a để hai phương trình:
a. Tương đương với nhau.
b. Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 81
a. Chứng minh hằng đẳng thức: (m
2
+ m - 1)
2
+ 4m
2
+ 4m = (m
2
+ m + 1)
2
b. Cho phương trình: mx
2
- (m
2
+ m + 1)x + m + 1 = 0. Tìm điều kiện của m để phương
trình có hai nghiệm phân biệt khác -1.
Bài 84. Cho phương trình: (m + 2)x
2
- (2m - 1)x - 3 + m = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1

1
x
2
= 2x
2
- 2.
Bài 88. Cho phương trình: x
2
- 2(m - 1)x - m = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thỏa mãn:
1 1
2
1
y x
x
= +
,
2 2
1
1
y x
x
= +
.
Bài 89. Cho phương trình: 3x

B x x x x= + −
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 91. Cho phương trình: x
2
- 4x - (m
2
+ 3m) = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Xác định m để:
2 2
1 2 1 2
4( )x x x x+ = +
.
Bài 92. Cho phương trình: x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa
mãn:

2
3 1
2
x x x x
 
+ + ≤ +
 ÷
 ÷
 
.
Bài 94. Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để
phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b
2
.
Bài 95. Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để
phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb
2
= (k + 1)
2
ac.
Bài 96. Cho hai phương trình: x
2
+ mx + 2 = 0 (1) x
2
+ 2x + m = 0 (2)
a. Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

x x
x x
+
= +
.
Bài 105. Cho hai phương trình: 2x
2
+ mx - 1 = 0 (1) mx
2
- x + 2 = 0 (2)
Với giá trị nào của m, phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung.
Bài 106. Giả sử x
1
và x
2
là hai nghiệm của phương trình: 3x
2
- cx + 2c -1 = 0. Tính theo c giá
trị của biểu thức:
3 3
1 2
1 1
S
x x
= +
.
Bài 107. Xác định a để 2 phương trình: x
2
+ ax + 8 = 0 và x
2

x x
.
Bài 110. Biết rằng x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: ax
2
+ bx + c = 0. Hãy viết phương
trình bậc hai nhận
3 3
1 2
,x x
làm hai nghiệm.
Bài 111. Cho f(x) = x
2
- 2(m + 2)x + 6m + 1.
1. Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
2. Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có
hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 112. Cho phương trình: x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ m - 6.
1. Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
2. Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2


Bài 117. Cho hai phương trình: x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 và x
2
+ a
2
x + b
2
= 0
Cho biết a
1
a
2
≥ 2(b
1
+ b
2
). Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 119. Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x + m
2
– 3m + 4 = 0.
1. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1

không phụ thuộc vào m
3. Lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
1 2
1 2
1 2
1 1
,
1 1
x x
X X
x x
− −
= =
+ +
.
Bài 121. Cho phương trình: x
2
+ (m + 1)x + m = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức:
2 2
1 2
E x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 122. Cho phương trình: (a - 3)x
2

1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
2. Xác định m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài 125. Cho phương trình: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn: x
1
- x
2
= 5 và
3 3
1 2
35x x− =
. Tính các nghiệm đó.
Bài 126. Giả sử phương trình: ax
2
+ bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt trong
đó có đúng một nghiệm dương x
1
thì phương trình: ct
2
+ bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân
biệt trong đó t
1
> 0 thỏa mãn: x
1

không phụ thuộc vào m.
11
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Bài 138. Giả sử phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Xác
định m để biểu thức:
2 2
1 2 1 2
10E x x x x= + +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính min E.
Bài 140. Cho phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + 4m = 0
a. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phương
trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
b. Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm còn lại.
Bài 141. Cho phương trình: x
2
- mx + m -1 = 0. Có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Với giá trị nào của m, biểu
thức:

1
1 1
1
x x
a
− − =
+
(2)
Bài 145. Cho phương trình: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a. Với giá trị nào của a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
b. Xác định a để phương trình có hai nghiêm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 146. Cho phương trình: x
2
- ax + a + 1 = 0 có hai nghiệm là x
1
và x
2
.
a. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
3 3 3x x
M
x x x x
+ −
=

, x
2
không phụ thuộc vào m.
c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
2 1
5
2
x x
x x
+ = −
.
Bài 150. Cho phương trình: (m - 1)x
2
- 2(m + 1)x + m = 0.
a. Giải và biện luận phương trình theo m.
b. Khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
:
• Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập với m.

1 2
x x=
.
Bài 153. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
- 3x + a = 0
Gọi t
1
, t
2
là hai nghiệm của phương trình: t
2
- 12t + b = 0
Cho biết:
1 2 1
2 1 2
x x t
x t t
= =
. Tính a và b.
A. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Kiến thức cơ bản
Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta
luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số tương ứng

( ) ( )
0, , ,
f x f x
x x D x x
x x
−
> ∀ ∈ ≠ ⇒
−
Hàm số f(x) đồng biến trên D
+
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
0, , ,
f x f x
x x D x x
x x
−
< ∀ ∈ ≠ ⇒
−
Hàm số f(x) nghịch biến trên D
Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho
trước và a
≠
0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:

'
a a
d d
b b
=

⇔

≠

+
{ }
' ' 'd d A a a∩ = ⇔ ≠
+
'
'
'
a a
d d
b b
=

≡ ⇔

=

+
' . ' 1d d a a
⊥ ⇔ = −
e. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a

0 0
1
x y
x y
+ =
Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a
≠
0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a
≠
0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a
≠
0)
- Đồ thị hàm số y = ax
2
(a
≠
0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối

(a
≠
0) và đường thẳng y = mx + n (m
≠
0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a
≠
0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình
2
y ax
y mx n

=

= +

14
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình
ax
2
= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

∀ ∈ ⇒ − ∈
+ f(-x) = - f(x)
x D
∀ ∈
e. Chú ý
- Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung
- Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc tọa độ
Sơ lược về hàm bậc hai tổng quát y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0)
a. Tính chất
Hàm bậc hai y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) xác định với mọi giá trị x thuộc R
- Nếu a > 0: Hàm số nghịch biến
( ; ]
2
b
x
a
∀ ∈ −∞ −
, đồng biến
[ ; )
2
b
x

xứng
2
b
x
a
= −
- Nếu a > 0: Parabol có bề lõm quay lên trên nhận S làm điểm thấp nhất
- Nếu a < 0: Parabol có bề lõm quay xuống dưới nhận S làm điểm cao nhất nhất
a. Chú ý
15
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

- Tọa độ giao điểm của (P): y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) và (D): y = mx + n là nghiệm của hệ
2
y ax bx c
y mx n

= + +

= +

- Hoành độ giao điểm của (P): y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) và (D): y = mx + n là nghiệm của

tích của tam giác đó.
Bài 3: Cho hàm số
y x=
.
a. Vẽ đồ thị hàm số;
b. Vẽ đường thẳng y = 2, cắt đồ thị hàm số
y x=
ở A và B. Tam giác OAB là tam giác
gì? Vì sao? Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.
Bài 4: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của
hàm số với giá trị tìm được của m.
c. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm
cố định.
Bài 5: Cho hàm số: y = (3m – 2)x – 2m.
a. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
b. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
c. Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ứng với giá trị của m tìm được ở câu a, b.
Bài 6: Cho ba đường thẳng y = -x + 1, y = x + 1 và y = -1.
a. Vẽ ba đường thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b. Gọi giao điểm của đường thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 là A, giao điểm của đường
thẳng y = -1 với hai đường thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 theo thứ tự là B và C. Tìm
tọa độ các điểm A, B, C.
c. Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 7: Cho đường thẳng (d): ;y = - 2x + 3.
a. Xác định tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính
khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng d.
16
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

, đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
3−
.
b. Khi a = - 5, đồ thị hàm số đi qua điểm A(- 2; 3).
c. Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(1; 3) và N(- 2; 6).
d. Đồ thị hàm số song song với đường thẳng
7y x=
và đi qua điểm
( )
1;7 7+
.
Bài 12: Cho đường thẳng: y = 4x (d).
a. Viết phương trình đường thẳng (d
1
) song song với đường thẳng (d) và có tung độ gốc
bằng 10.
b. Viết phương trình đường thẳng (d
2
) vuông góc với đường thẳng (d) và cắt trục Ox tại
điểm có hoành độ bằng – 8.
c. Viết phương trình đường thẳng (d
3
) song song với đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A,
cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8.
Bài 13: Cho hàm số: y = 2x + 2 (d
1
)
1
2
2

1
) với đường thẳng (d
2
) và (d
3
) lần lượt là A và B.
Tìm tọa độ các điểm A, B.
c. Tam giác AOB là tam giác gì? Vì sao?
d. Tính diện tích tam giác AOB.
Bài 15: Cho hai đường thẳng: y = x + 3 (d
1
) và y = 3x + 7 (d
2
).
a. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d
1
) và (d
2
) với trục Oy lần lượt là A và B. Tìm tọa
độ trung điểm I của đoạn AB.
c. Gọi J là giao điểm của hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
). Chứng minh tam giác OIJ là tam
giác vuông. Tính diện tích của tam giác đó.
Bài 16: Cho hai đường thẳng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d
1
) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d

) trùng nhau.
Bài 17: Cho hàm số y = (m + 3)x + n (m ≠ - 3) (d). Tìm các giá trị của m, n để đường thẳng
(d):
a. Đi qua điểm A(1; - 3) và B(- 2; 3).
b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1 3−
, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
3 3+
.
c. Cắt đường thẳng 3y - x - 4 = 0.
d. Song song với đường thẳng 2x + 5y = - 1.
e. Trùng với đường thẳng y - 3x - 7 = 0.
Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
1
(0; )
4
F
a
và đường thẳng (d):
1
4
y
a
= −
(a ≠ 0).
Gọi M(x; y) là một điểm thuộc mặt phẳng, H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng (d).
a. Tính MF
2
và MH
2

2 3x = +
và
2 3
2 3
x
−
=
+
.
c. Tìm các giá trị của k khi x = 2, y = 10.
Bài 21: Cho hàm số: y = (2m + 1)x
2
.
a. Tìm m, biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 4x – 2 tại điểm A có hoành độ 1.
b. Với giá trị tìm được của m hãy vẽ đồ thị hàm số y = (2m + 1)x
2
và đồ thị y = 4x – 2
trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
c. Bằng đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị vẽ trong ý b.
Bài 22. Cho hàm số y = ax2 + bx + c (a
≠
0). Tìm các giá trị của a, b, c biết đồ thị của hàm số
thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a. Hàm số nhận giá trị – 1 khi x = 0, x = 1 và nhận giá trị bằng 1 khi x = -1
b. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng 1/2 và 1
c. Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(-1, 0), B(1, 3) và C(3, 2).
Bài 23. Cho đường thẳng (d): y = (k - 2)x + q. Tìm các giá trị của k và q biết rằng đường thẳng
(d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a. Đi qua điểm A(-1; 2) và B(3; 4)

.
1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là - 2; 1. Viết phương trình đường
thẳng MN.
3. Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (d) của nó song song với đường thẳng MN
và chỉ cắt (P) tại 1 điểm.
Bài 27. Cho hàm số
2
1
2
y x= −
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Lập phương trình đường thẳng (D) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P).
Bài 28. Cho hàm số:
2
( ) 2 2 1y f x x x= = − − +
.
1. Vẽ đồ thị hàm số trên.
2. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x) ≤ 1.
Bài 29. Cho hàm số: y = x
2
và y = x + m (m là tham số).
1. Tìm m sao cho đồ thị (P) của hàm số y = x
2
và đồ thị (D) của y = x + m có hai giao điểm
phân biệt A và B.
2. Tìm phương trình của đường thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P).
3. a). Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm theo tọa độ của hai điểm ấy.
b). Áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu 1) là

3. Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB.
Bài 33. Cho parabol (P):
2
1
4
y x=
và đường thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có hoành độ
lần lượt là
- 2 và 4.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Viết phưong trình của (D).
3. Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tương ứng hoành độ)
[ ]
2;4x∈ −
sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 34. Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):
2
1
4
y x= −
và đường thẳng (D): y = mx -
2m - 1.
1. Vẽ (P).
2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
3. Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 35.Trong cùng hệ trục vuông góc có parabol (P):
2
1
4

3 2
2
2 2 8 8
( )
4
x x x
y f x
x
+ − −
= =
−
.
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Vẽ đồ thị (D) của hàm số.
3. Qua điểm M(2; 2) có thể vẽ được mấy đường thẳng không cắt đồ thị (D) của hàm số?
Bài 39. Cho parabol (P): y = x
2
- 4x + 3.
1. Chứng minh đường thẳng y = 2x - 6 tiếp xúc với (P).
2. Giải bằng đồ thị bất phưong trình: x
2
- 4x + 3 > 2x - 4.
20
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Bài 40. Cho parabol
2
1
2
y x=

2. Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm được ở câu 1).
3. Vẽ (D) và (P) vừa tìm được ở câu 1) và 2).
4. Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm
3
; 1
2
C
 
−
 ÷
 
và có hệ số góc m.
a. Viết phưong trình đường thẳng của (d).
b. Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông
góc với nhau.
Bài 44. Cho hàm số y = x
2
có đồ thị (P) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
1. Vẽ (P).
2. Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lượt có hoành độ -1 và 2. Chứng minh rằng;
tam giác OAB vuông.
3. Viết phưong trình đường thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P).
4. Cho đường thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số).
a. Chứng minh rằng; (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b. Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2

(P).
1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
2. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc và
cùng tiếp xúc với (P).
Bài 48. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): y = - x
2
+ 4x - 3 và đường thẳng (D); 2y
+ 4x - 17 = 0.
1. Vẽ (P) và (D).
2. Tìm vị trí của A thuộc (P) và B thuộc (D) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.
Bài 49. Cho parabol (P): y = - x
2
+ 6x - 5. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(3; 2) và có hệ số
góc m.
1. Chứng tỏ rằng với mọi m, đường thẳng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B, C.
2. Xác định đường thẳng (d) sao cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 50. Cho parabol (P):
2
1
2
y x=
và đường thẳng (d) có phưong trình:
1
2
y mx= +
.
1. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
2. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ
tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.
Bài 51. Cho hai đường thẳng (d

) vừa tìm được.
3. Gọi A là điểm trên đường thẳng (d
1
) có hoành độ x = 2. Tìm phưong trình đường thẳng
(d
3
) đi qua A vuông góc với cả hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
). Tính khoảng cách giữa (d
1
)
và (d
2
).
Bài 53. Cho hàm số: y = mx - 2m - 1 (1) (m
≠
0).
1. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O. Vẽ đồ thị (d
1
) vừa tìm được.
2. Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lượt với các trục Ox và
Oy. Xác định m để tam giác AOB có diện tích bằng 2 (đ.v.d.t).
3. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Bài 54. Cho parabol (P): y = ax
2
và hai điểm A(2; 3), B(- 1; 0).
1. Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm M(1; 2). Khảo sát và vẽ (P) với a tìm được.
2. Tìm phưong trình đường thẳng AB rồi tìm giao điểm của đường thẳng này với (P) (ở câu

1
2
y x= −
.
2. Chứng minh rằng (d) là một tiếp tuyến của (P).
3. Biện luận số giao điểm của (P) và (d’): y = x - m bằng hai cách (đồ thị và phép toán).
Bài 57. Cho parabol (P):
2
1
4
y x=
và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B thuộc (P) có hoành
độ lần lượt là 2 và - 4.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P).
2. Viết phưong trình đường thẳng (d).
3. Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
4. Tìm trên trục Ox điểm N sao cho NA + NB nhỏ nhất.
Bài 58. Cho parabol (P): y = ax
2
và hai điểm A(- 2; - 5) và B(3; 5).
1. Viết phưong trình đường thẳng AB. Xác định a để đường thẳng AB tiếp xúc với (P).
Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm được.
3. Một đường thẳng (D) di động luôn luôn vuông góc với AB và cắt (P) tại hai điểm M và
N. Xác định vị trí của (D) để
5
2
MN =
.
Bài 59. Cho hàm số: y = x

2
) có phưong trình:
(d
1
):
3
2 3
2
m
y x m
−
= + −
và (d
2
):
1 2
( 2)
3
m
y m x
−
= − + +
.
1. Chứng minh rằng (d
1
) và (d
2
) đi qua các điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định.
2. Viết phưong trình các đường thẳng (d
1

của AB.
5. Tìm trên (P) các điểm mà đường thẳng (D) không đi qua với mọi m.
Bài 63. Cho parabol (P): y = x
2
- 4x + 3 và điểm A(2; 1). Gọi (D) là đường thẳng đi qua A và
có hệ số góc m.
1. Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.
2. Xác định m để MN ngắn nhất.
Bài 64. Cho hàm số: y = x
2
- 2mx + m
2
- 1 có đồ thị là (P).
1. Chứng minh rằng; với mọi m, đồ thị (P) luôn luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
2. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đỉnh của parabol luôn luôn chạy trên một đường thẳng
song song với trục hoành.
CÁC DẠNG BÀI TẬP ÔN THI VÀO LỚP 10
( SƯU TẦM )

PHẦN 1. CÁC LOẠI BÀI TẬP VỀ BIỂU THỨC

Bài 1: Cho biểu thức :

+
−+
−
+
+
=
6







+
−
65
2
3
2
2
3
:
1
1
xx
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của x để P<0
Bài 3: Cho biểu thức:
P=


1
13
1
x
x
x
x
xx
x

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
5
6
Bài 4: Cho biểu thức :
24
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

P=








−−+
−
−
















−
+
+








+
−
−
+




−
+
−
+
+
+








−
−
+
+
+
+
12
2
12
1
1:1
12
2








−
−
−−+
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P
≤
0
Bài 8: Cho biểu thức:
P=





3
3
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P.
a−1
Bài 9: Cho biểu thức:

1 1 2 1 2
:
1
1 1
x x x x x x
P
x
x x x x
 
+ − + −
 
= − +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− +
 
 

a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với
7 4 3x = −