1
TÀI LIỆU
DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9 CHƯA ĐẠT CHUẨN KIẾN THỨC, KỸ NĂNG
MÔN TOÁN
( LƯU HÀNH NỘI BỘ)
I.PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
Nội dung Tiết thứ
CHUYÊN ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 tiết)
Tính chất cơ bản của phân thức 1 - 2
Phân tích đa thức thành nhân tử 3 - 4
Quy đồng mẫu nhiều phân thức 5 - 6
Phép cộng, trừ các phân thức đại số 7
Phép nhân, chia các phân thức đại số 8
Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai 9 - 10
Bài tập 11
Kiểm tra 1 tiết 12
CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH (13 tiết)
PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải. 13
Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0. 14
Phương trình tích. 15
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 16
PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương trình bậc hai một ẩn. 17
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai. 18
Công thức nghiệm thu gọn. 19
Dạng toán năng suất
38 - 39
II.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Dạng toán số - chữ số
40
Dạng toán chuyển động
41 - 42
Dạng toán năng suất
43 - 44
Dạng toán có nội dung Hình học - Hóa học
45
Kiểm tra theo chuyên đề
46
HÌNH HỌC
CHUYÊN ĐỀ 1: GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ tam gi¸c
Tam gi¸c
1
C¸c trêng hîp b»ng nhau cña tam gi¸c
2
3
Tính chất các đờng đồng quy trong tam giác
3
Tam giác đồng dạng
4
Các trờng hợp đồng dạng của tam giác
5
25
Tip tuyn ca ng trũn 26
Gúc ni tip.
Mi liờn h gia gúc ni tip v cung b chn
27
Gúc to bi tip tuyn v dõy cung 28
4
Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường
tròn.Cung chứa góc
29
Tứ giác nội tiếp 30
Độ dài đường tròn, diện tích hình tròn 31
Kiểm tra 32
0
= 1, a
1
= a (a
0)
(n thừa số a)
.
m n m n
a a a
(m, n
N ) a
m
:a
n
= a
m-n
(m, n
N,m
n)
(x
m
)
n
= x
m.n
9
: 3m
7
= 5m
2
2. Nhân đơn thức với đa thức:
a) Công thức:
b) Ví dụ:
1. 5x(3x
2
- 4x + 1) = 5x.3x
2
+ 5x(-4x) + 5x.1 = 15x
3
– 20x
2
+ 5x
2. (2
53
)
3
-
60
= 2
15.43533
= 6 +
15215
=
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) (3xy - x
2
+ y)
3
2
x
2
y b) (5x
3
- x
2
)(1 - 5x)
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
A(B + C) = AB + AC ; A(B - C) = AB – AC
6
Giải:
a) (3xy - x
2
+ y)
3
2
x
2
y = 3xy.
3
y
2
b) (5x
3
- x
2
)(1 - 5x) = 5x
3
- 25x
4
- x
2
+ 5x
3
= - 25x
4
+ 10x
3
- x
2
Bài 2. Tìm x biết: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30
Giải: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30
36x
2
- 12x - 36x
2
+ 27x = 30
x + y)(
2
1
x + y) b) (x -
2
1
y)(x -
2
1
y)
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau (với 0
a ):
a) aa 27.3
b)
42
9 ba
c) aa 123
3
Bài 3. Triển khai và rút gọn các biểu thức sau: (với x, y không âm)
a) ( 2x )( 42 xx ) b) (
yx
)(
yxyx
2
)
Tiết 2 : TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC (Tiếp)
2
) + (-10xy
3
: 3xy
2
)
= 5xy + 4x
2
-
3
10
y
7
2. Chia đa thức một biến đã sắp xếp.
Ví dụ: Thực hiện phép chia:
1.
2
(6 13 5):(2 5)
x x x
Giải:
2
6 13 5
x x
2 5
x
2 3 4 4 3 2
12 14 3 6 6 12 14 3
x x x x x x x x
và
2 2
1 4 4 1
x x x x
4 3 2
6 12 14 3
x x x x
2
4 1
x x
- (
4 3 2
4
x x x
)
3 2
2 11 14 3
Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng
A
B
, trong đó A, B là các đa thức và B
khác đa thức 0.
Ví dụ:
5
22
8
6
yx
yx
;
1
x + 2
b) Phân thức bằng nhau:
Ví dụ:
2
x +1 1
x 1 x -1
vì (x +1)(x - 1) = x
2
- 1
c) Tính chất cơ bản của phân thức:
A C
B D
5 5 5( 1)
x x x
x x
b)
2 2
8 3 24
2 1 6 3
x x x
x x
Bài 2. Áp dụng quy tắc đổi dấu để rút gọn phân thức:
)3(15
)3(45
xx
xx
=
)3(15
)3(45
xx
63
3
=
x
xx
7
.7.9
2
=
x
xx
7
73
= 3x với x > 0
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Rút gọn phân thức:
a)
5
22
8
6
yx
yx
b)
2
2
)(15
)(10
yxxy
yxxy
9
1. Định nghĩa:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đa thức.
Ví dụ:
a) 2x
2
+ 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)
b) x - 2
x
y +5
x
- 10y = [(
x
)
2
– 2 y
x
] + (5
x
- 10y)
=
x
(
x
- 2y) + 5(
x
- 2y)
(A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
A
2
- B
2
= (A + B)(A - B)
(A+B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
(A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
x
2.
2
9 ( 3)( 3)
x x x
3.
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 .2 4
x y x y x y x y x y x y x y xy
Cách khác:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 2 ( 2 ) 4
x y x y x xy y x xy y xy
c) Phương pháp nhóm hạng tử:
AB + AC = A(B + C) 10
Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được
nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
2
– 21xy
2
+ 28x
2
y
2
= 7x(2x - 3y
2
+ 4xy
2
)
b) 2(x + 3) – x(x + 3)
c) x
2
+ 4x – y
2
+ 4 = (x + 2)
2
- y
2
= (x + 2 - y)(x + 2 + y)
Bài 2: Giải phương trình sau :
2(x + 3) – x(x + 3) = 0
x 3 0 x 3
x 3 2 x 0
2 x 0 x 2
- 13 x = 0
TIẾT 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (Tiếp)
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)
Tam thức bậc hai có dạng: ax
2
+ bx + c = ax
2
+ b
1
x + b
2
x + c (
0
a
) nếu
1 2
1 2
bb ac
b b b
+ 64 - 16y
2= (y
2
+ 8)
2
- (4y)
2
= (y
2
+ 8 - 4y)(y
2
+ 8 + 4y)
b) x
2
+ 4 = x
2
+ 4x + 4 - 4x = (x + 2)
2
- 4x
= (x + 2)
2
-
2
2
= (a - b) (a - b) (a + b)
= (a - b)
2
(a + b)
3 3 3 3 3 3
3
3
2 2 2
b) 27 27
(3 )
3 9 3
x y a b y y x a b
y x ab
y x ab x xab a b
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x
3
+ 4x
x y x xy y x y
b) x
2
+ 5x - 6 = x
2
+ 6x - x - 6
= x(x + 6) - (x + 6)
= (x + 6)(x - 1)
c) a
4
+ 16 = a
4
+ 8a
2
+ 16 - 8a
2
= (a
2
+ 4)
2
- (
a) Vì x
5
+ x
3
+ x
2
+ 1= x
3
(x
2
+ 1) + x
2
+ 1 = (x
2
+ 1)(x
3
+ 1)
nên (x
5
+ x
3
+ x
2
+ 1):(x
3
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
3
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số:
Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau:
5 7
à
12 30
v
* Bước 1: Tìm BCNN (12;30) = 60
* Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu: 60:12=5
60:30=2
* Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng.
5 5.5 25
12 12.5 60
7 7.2 14
30 30.2 60
13
2. Quy đồng mẫu nhiều phân thức:
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
3 2
3 3
2 4 2( 2) 2 2 2
x x
x x
x x x x
2
2 3
3 3
4 ( 2)( 2) 2 2 2
x
x x
x x x x x
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
6
x
9x
3
2
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu với một phân
thức để tìm MTC thuận tiện hơn).
a)
1
x
5x3x4
3
2
;
1
x
x
x21
2
12
x
3
x
2
Phân tích các mẫu:
x
2
- 8x + 16 = (x - 4)
2
3x
2
- 12x = 3x(x - 4)
MTC: 3x(x - 4)
2
2
2
222
)4x(x3
x6
)4x(x3
x3.x2
)4x(
x2
16x8x
x2
)(2-
3
)
Quy đồng:
1 1
2 3 2 3
=
2 3 2 3 4
4
4 3 1
Bài 3: Giải phương trình:
x 2 1 2
x 2 x x x 2
Giải: ĐKXĐ:
x 0;x 2
x 2 1 2
II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
a) ;
x y x y
x y x y
; b)
1 1
;
x y x y
;
Bài 2: Chứng minh đẳng thức :
3 2 3 6
6 2 4
2 3 2 6
15
TIẾT 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu:
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau
và giữ nguyên mẫu thức.
b)
2.2
2.22
2.2
2.22
2.2
22
x
xx
x
x
x
x
2
2
22
2
2
yy 6
6
2
=
)6(6
12
y
y
+
)6(
6
yy
=
(y -12)y
6y(y-6)
+
6.6
6 ( 6)
y y
=
)6(6
3612
2
3. Phép trừ các phân thức đại số:
*Quy tắc: Muốn trừ phân thức
B
A
cho phân thức
D
C
, ta cộng
B
A
với phân thức đối
của
D
CVí dụ:
a)
1
3
2
x
x
-
2
1
x
B
A
+
D
C
B
CA
B
C
B
A
16
3
( 1)( 1)
x
x x
2
( 3) ( 1)
( 1)( 1)
x x x
x x x
2
1 1
( 1) ( 1)
x
x x x x
b)
2
3
x
x
-
( 3 )( 3 )
( 2)( 3 )
x x
x x
+
2 2
2 3
x x
x x
2 2
3 ( 4)
( 2)( 3 )
x x
x x
x
x
=
1
2
2
x
xx
-
1
1
x
x
+
1
2
2
x
x
2
2
2 2 2 4
4
x x x x x
x
3 2
4
x x
x
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Tính:
1
11
x
x
Bài 2: Cho biểu thức: P
(B; D ≠ 0)
17
Ví dụ:
a)
4
1
)2)(2(
)1)(1(
2
1
.
2
1
2
2
x
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
2. Phép chia các phân thức đại số:
Ví dụ:
a)
1
7
1
2
.
2
7
2
1
:
2
7
2
1
.2
:
2
x
x
xx
x
xx
x
x
xx
xx
x
(x
1, x
-
yx
x
xy
x
Bài 2: Rút gọn biểu thức: Q =
x
x
x
x
x
x
1
3
1
)1(3
1
33
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn biểu thức: A=
x
x
x
x
x
x
4
2
.
22
: . ( , , 0)
A C A D
B C D
B D B C18
TIẾT 9: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a,
2
A A 0
A A
A A 0
b,
A.B A. B A 0,B 0
1 5a 4a
Thay a =
2
vào biểu thức trên ta được:
1224251
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Rút gọn
20 45 75 180 2 5 3 5 5 5 6 5 2 5
Bài 2: Cho biểu thức:
1 1 2
:
1
1 1
a
A
a
a a a a
( 1) ( 1)( 1) ( 1) 1
a a a a a a
a a a a a a a a
b) A > 0
1
0 1 0 1
a
a a
a
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn:
3 2
3 1 3 1
B
Bài 2: Cho biểu thức:
2 2 2 2 2 2
a a b
Q 1 :
a b a b a a b
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI (Tiếp )
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a)
2 2
A B A B A 0,B 0 ; A B A B A 0,B 0
;
b)
A 1
AB AB 0,B 0
B B
c)
A A B
B 0
B
B
;
d)
C A B
C
A 0,B 0,A B
với
1
a
,
0
a
Giải:
2
1 1 1
:
1 2 1
1 1
:
( 1) ( 1)
1 1
0
a
). Vậy M < 1
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
5 5 5 5
5 5 5 5
20
Giải:
Giải:
a) Điều kiện:
x 0;x 1
2 2
2 2
3
x 1 x 1
x x x x 1 x 1 x x. x x
P . .
4
4 x x 1 x 1 4 x
x 1 x 1
x 1 x 1 . x 1 x 1
x x 1 x 1
x x 2 x 2
. .
x 1 x 1
4 x 4 x
x x 1 x 1
Các giá trị này không thỏa mãn điều kiện, do đó không có giá trị nào của x để P = 0.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
5 5 5 5
5 5 5 5
Bài 2: Cho biểu thức Q =
1 x x
1 x
a) Tìm điều kiện xác định Q?
b) Rút gọn Q.
c) Tìm x để Q = 1.
Bài 3: Cho phân thức P =
2
2 2 2
6x 1 6x 1 x 36
.
x 6x x 6x 12x 12
2
2
2 2
y 3y xy 3x
y y 3 x y 3 y 3 x y
y 3y xy 3x y 3
x y x y x y x y x y x y x y x y
b)
2
2
3
2
2 2 4
2 4 8 2
8 2
2 2 4
x x
x x
x x
x x x
2 2
2
2
2
2
1 1
1 1 1 2 2
2
1 1 2 4
1 1
1
4 1 4 1
1 1 4
2
x x
x x x x
P
x x x x
x x
x
x x x x
x x x
x x
2
1 1
2 2
3
P x
x
x
x
. Kết hợp với điều kiện ta được:
1
0
3
x
Câu 3: Giải phương trình:
2
14 1
1
x 3
x 9
Giải: Ta có phương trình
2
14 1
= 1 + 4.20 = 81 > 0,
81 9
1 2
1 9 1 9
x 4;x 5
2 2
,
x
1
= 4; x
2
= -5 đều thoả mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình có hai nghiệm x
1
= 4; x
2
= -5. 22
TIẾT 12: KIỂM TRA
Câu 3: Cho biểu thức
1 x x
A x
x x 1 x 1
a) Tìm điều kiện xác định của A? Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
3
4
c) Tìm x để A < 8.
ĐỀ SỐ 2
Câu 1: Tính:
2 2
1 1
2 5 2 5
b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên. 23
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT)
ĐỀ SỐ 1
Câu Lời giải Điểm
Câu 1
2 3
2
x 1 x 3
2 3 2 3 2 3 2 3 2
xy 4y 2xy 4y xy 4y 2xy 4y 3xy 3
c)
x y x y x y x y xy
1 đ
1 đ
1đ
Câu 2
2
2 1 3 1
:
2 1
4 2 3
2 1 2 1
x
4 2 3
3 1
2 1 1 1
16 12 2
4 2 3 4 2 3
2 2
x 1
x x x x
A .
x 1
x
2
2 x
A 2 x
x
b) Với x =
24
Câu Lời giải Điểm
Câu 1
Ta có:
2 2
2 2
1 1
2 5 2 5
1 1 1 1
5 2 5 2
5 2 5 2
5 2 5 2
4
4
5 4
5 2 5 2
x
Bình phương hai vế của (2) ta có:
2
2 2
2 2
2
2 4 4
3
x x x
x x x x x
Vậy nghiệm của phương trình là
2
3
x
.
1 đ
2 3 3
1 :
3 3 2 2
a a a a
A
a a a a
3 2
:
3 3
a
A
a a
2 3 1( )
a a a
a a a
a a a
a a l
0,5 đ
0,5 đ 1 đ
1 đ
3
2
từ vế trái sang vế phải và
Copyright: Tài liệu đại học ©