Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
CHỦ ĐỀ I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN
PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
§1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)
1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)<f(x
2
).
2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)>f(x




≤∆
>
0
0a
Giải tìm m
 Chú ý: Nếu hệ số a của y
/
có chứa tham số
thì phải xét khi a = 0
• Tương tự cho hàm số giảm:
y
/
≤ 0 ∀x∈ R



≤∆
<
⇔
0
0a
2.Hàm số nhất biến :
dcx
bax
y
+
+

y
x m
−
=
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
b) Xác định m để đồ thi hàm số khơng cắt
đường thẳng x=-1.
c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm
số ln đồng biến trên khoảng xác định
của nó.
Bài 4: Chứng minh rằng
a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2).
b)
1
2 x R
x
e x
+
≥ + ∀ ∈
.
c)
x>1
ln
x
e
x
≥ ∀
.
Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một

0
∈(a, b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x
0
) = 0.

Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ tại x
0
)
a) Nếu f’(x
0
) > 0 trên khoảng (x
0
-δ; x
0
); f’(x) < 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ δ) thì x
0
là một điểm cực đại của
hàm số f(x).
b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x
0
- δ; x
0
) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x

0
là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) > 0 ⇒ x
0
là điểm cực tiểu.
2) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) < 0 ⇒ x
0
là điểm cực đại.
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y
/
= 0.
3) x
0
là cực trị của hàm số 
/
( ) 0
0
/
( )

/
= 0 tìm nghiệm x
0
 Đạo hàm y
//
.Tính y
//
(x
0
)
* Nếu y
//
(x
0
) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x
0
* Nếu y
//
(x
0
) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x
0
•
Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x
0
Cách 1:  Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số đạt cực trò tại x
0





Cách 2:
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Đạo hàm y
//
 Hàm số đạt cực trò tại x
0
:



≠
=
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy

 Cực đại: { y
/
(x

0
tại x
0
khi





≠
=
=
0)(
)(
0)(
0
//
00
0
/
xf
yxf
xf
đổi dấu qua x
0
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y
/
khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:

0
) = 0 <=> u
/
v−v
/
u = 0 =>
u u
v v
′
=
′
.
Do đó giá trò cực trò y(x
0
) =
u (x )
0
v (x )
0
′
′
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
- Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
( )
0
' 0 ó nghiêm
0

y y
y y
+ >

⇔

>

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm dưới trục hồnh
0
. 0
CD CT
CD CT
y y
y y
+ <

⇔

<

- Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hồnh
. 0
CD CT

→
chỉ tăng hoặc chỉ giảm và khơng có cực trị.
B . CÁC BÀI TẬP:
Bài tập:1 Định tham số m để:
i) Hàm số y =
3 2
1
( 6) 1
3
x mx m x
+ + + −
có cực đại và cực tiểu.Kết quả: m < - 2 hay m > 3
2i)Hsố y =
2
2
1
x mx
mx
+ −
−
có cực trị. Kết quả: - 1 < m < 1
3i) Hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x
1
, x
2
và khi đó x

y y
x x x x
−
− −
= 2.Kết quả : m < 1
Bài 3: Cho hàm số
4 2
2 2 1y x mx m= − + − +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).
Bài 4: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hồnh là tiếp tuyến của (C).
b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị
đó.
Bài 5: Định m để hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= − + − + +
đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 6: Cho hàm số
2

: ( )
x D f x m
x D f x m
∀ ∈ ≥
∃ ∈ =
(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại (cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là
GTLN (GTNN) của hàm số trên (a, b)
3)Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
• Xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b]
• Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) _ x
1
, x
2
… . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
• Tính f(x
1
) ; f(x
2
) ………. So sánh → KL
f(a) ; f(b)
• Kết luận:
max y

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y= x 1 3x 6x 9 + + − + +
trên đoạn[-1,3].
ℑ4. TIỆM CẬN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tiệm cận đứng:
Nếu
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
thì đường thẳng (d) có phương trình x= x
0
là tiệm cân đứng của đồ thị (C).
2) Tiệm cận ngang:
Nếu
0
lim ( )
x
f x y
→∞
=
thì đường thẳng (d) có phương trình y= x
0
là tiệm cân ngang của đồ thị (C).
Cách xác đònh tiệm cận :
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học

b)
3
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
−
c)
2
3 1
1 2
x x
y
x
+ +
=
−
. d)
2
2
1
3 2 5
x x
y
x x
+ +

lim lim
o
x x
x
y y
±
→
→±∞
= =
với x
o
là
nghiệm mẫu
5.Tìm phương trình tiệm cận:
TCĐ: x = …; TCN: y=…
6.Lập bảng biến thiên
7.Nhận xét về đồ thị:
• Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng
của đồ thị)
• Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục
Oy và Ox
• Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
10. Vẽ đồ thị.
Sự khác biệt : Hàm đa thứcđồ thị khơng có tiệm cận, hàm hữu tỉ khơng cần xét đaọ hàm cấp hai( khơng có điểm
uốn).
1.Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )

•
)(lim
23
dcxbxax
x
+++
+∞→
=



<∞−
>+∞
)0(
)0(
a
a
•
)(lim
23
dcxbxax
x
+++
−∞→
=



<∞+
>−∞

∞
CT
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học
a > 0
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
−
y
/
− 0 + 0 −
y +
∞

−
∞
y +
∞

/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔ x= 0; x
1,2
=±
a
b
2
−
•KL: tăng? Giảm?
•Giá trò cực trò : y(0) = c
có một cực trò
• Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(±
a
b
2
−
) =−
a4
∆
Có 3 cực trò
+ Giới hạn :
)(lim
24
cbxax
x
++
±∞→
=

∞
+
∞
y +
∞
CĐ +
∞
CT CT
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y
/
+ 0 − y
/
+ 0 − 0 + 0 −
y
−
∞
−
∞

O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2:hàm số khơng có cực trị
⇔ ?
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
b<0
a > 0
b>0

/
=
2
)( dcx
bcad
+
−
ad−bc < 0 ad−bc > 0
y
/
< 0 ∀ x ∈D y
/
> 0 ∀ x ∈D
Hàm số không có cực trò
Hàm số nghòch biến trên D Hàm số đồng biến trên D
+ Tiệm cận: • x =
c
d
−
là tiệm cận đứng vì
lim
d
x
c
ax b
cx d
±
 
→ −
 ÷

y
/
+ || +
y a/c ||+
∞

−
∞
a/c
y +
∞
|| a/c
a/c −
∞
+ Vẽ đồ thò : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai
tiệm cận .
Phần III: ƠN TẬP CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi ln cùng phương với trục Ox.
Các bước giải
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1)
Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:
Ví dụ 1: 1. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x

Dạng 2: h/số nghịch biếnDạng 1: h/số đồng biến
x
O
I
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x dx=
∫
( )
(I)
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x g x dx
= −
∫
( ) ( )
(II)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
b
a
V f x dx

x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
Giải: (0,75 đ)
Ta có: e
x
= 2 ⇔ x = ln2
Diện tích hình phẳng cần tìm S =
( )
1 1
ln2 ln2
2 2
x x
e dx e dx− = −
∫ ∫
(0,25 đ)
=
( )
1
ln2
2 ( 2) (2 2ln 2) 2ln 2 4
x
e x e e− = − − − = + −
(đvdt) (0,25đ + 0,25đ)
Ví dụ : ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x
3
– 3x
2
và trục Ox.
Giải:

Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
– (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)
2
(x –1)
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hồnh.
Bài 4: Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2

2
) y=g(x) là số nghiệm của phương trình
hồnh độ giao điểm f(x) = g(x) (1)
PP cụ thể:
1. Cho hai đồ thò (C
1
) : y = f(x) ; (C
2
) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thò (C
1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt

0
0a
• Nếu (*) là phương trình bậc 3 :
1) Đưa về dạng (x – x
0
)(Ax
2
+ Bx + C) = 0




==++
=
(2) )(0
2
0
xgCBxAx
xx

2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x
0
3) Tính ∆ của (2), xét dấu ∆ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 n
o
pb x
1
, x
2
khác x

và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong.
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình
1
1
1
−=
−
+
mx
x
x
(điều kiện x khác 1)
0)2(
2
=+−⇔ xmmx
0))2(( =+−⇔ mmxx
+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm
+Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và
x =
2m
m
+
. Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)
Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.
+ m
≠
0 và m
≠
- 2 có hai giao điểm.
B ÀI TÂP:

−
. KQ: -28 < a ≤ 0
Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số
u cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài tốn sau:
Tiếp tuyến tại M(x
0
; f(x
0
))
o TT có phương trình là : y - f(x
0
)= f
/
(x
0
)(x− x
0
)
o Từ x
0
tính f(x
0
) ; Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/
(x
0

f (x) k (2)

có nghiệm
3. Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = −
a
1
4. Giả sử M(x
0
; f(x
0
)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f
/
(x
0
).
5. Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? −> f(x
0
) = ?
6. Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x
0
) + f(x

2
– 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông
góc nhau
Bài 4: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Lập PTTT của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với trục tung và trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Viết PTTT Của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 7: Cho hàm số y = x
3
– 3x. Lập các PTTT kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 8: Cho hàm số y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến tại M đi qua
gốc tọa độ O.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1 : Cho hàm số

3 2
6 9 4 0x x x m− + − − =
Bài 3: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm
cực trị đó
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1; +∞)
Bài 4 : Cho hàm số
3 2
5
- 2
3
= + +y x x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x
3
-6x
2
-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
CHUYÊN ĐỀ 2: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
§1. NGUYÊN HÀM:
1). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )
a,b R a 0∈ & ≠

∫
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
sin cosxdx x C
= − +
∫
1
ax ax
e dx e C
a
= +
∫
cos sinxdx x C
= +
∫
1
sin cosaxdx ax C
a
= − +
∫
2
2
π
π
= + ≠ +
∫
tan ,
cos
dx
x C x k

x C x
x
= + ≠
∫
2
1
π
= − + ≠
∫
cot ,
sin
dx
ax C x k
ax a
Bài tập:
Ghi nhớ:
− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của
các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng
tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một
tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.
Áp Dụng: Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
1.
4
x dx
∫
2.
(3 1)x dx−
∫

e dx−
∫
9.
(3sinx-5cos 1)x dx−
∫
10.
2
7
(3sinx+2cos )
os
x dx
c x
−
∫
11.
2
(2 )
os
x
x
e
e dx
c x
−
+
∫
12.
2 5x dx+
∫
13.

2
sin 3xdx
∫
20.
2
cos (1 7 )x dx−
∫
21.
sinx sin 5xdx
∫
22.
sinxcos3xdx
∫
23.
cos2xcos3xdx
∫
24.
7
sin .cosx xdx
∫
25.
tan5xdx
∫
26.
2
tan xdx
∫
27.
1
( 1)

∫
32.
sin
1 5cos
x
dx
x+
∫
33.
sin
cos
x
e xdx
∫
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I =
f[u(x)].u '(x)dx
∫
bằng cách đặt t = u(x)
• Đặt t = u(x)
dt u'(x)dx⇒ =
• I =
f[u(x)].u '(x)dx f (t)dt=
∫ ∫
Dạng 2: Tính I =
f (x)dx
∫
Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm
biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
1

∫
Đặt
lnt x=
3.
∫
+ ).( dxbaxf
n
Đặt
n
baxt +=
4.
∫
dxxxf )cos,(sin

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc:
2
2cos1
sin,
2
2cos1
cos
22
x
x
x
x
−
=

x
cos
=
8.
∫
±
).
1
(
22
dx
ax
f
Đặt
22
axxt ±+=
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
1.
7
(2 )x x dx−
∫
(đặt t= 2-x) 2.
3 4x xdx−
∫
(đặt
3 4t x= −
) 3.
2
1 1
sin dx

(đặt
x
t e=
)
7.
2 2
(1 )
x
dx
x+
∫
(đặt t=1+x
2
) 8.
3 2
2x x dx+
∫
(đặt t=2+x
2
) 9.
sin(ln )x
dx
x
∫
(đặt t=lnx)
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx= −
∫ ∫
Hay

 
   
 
   
 
   
 
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ Dạng 2:
( ) ln( )+
∫
f x ax b dx
Đặt
.
ln( )
( )
( )
= + =
⇒
+
=
=

dv e dx
a
=
=
⇒
=
=



 



Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu
= −
∫ ∫
để tính
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
@ Dạng 4:
sin
.
∫
 
 
 
ax
ax

x
x x e dx− +
∫
7i)
(2 1)
x
x e dx
−
+
∫
8i)
sin
x
e xdx
∫
(2 3)
x
x e dx−
∫
9i)
2
( 4 1)
x
x x e dx− +
∫
10i)
(2 1)
x
x e dx
−

Dạng 1:
sin(ax+b).sin(cx+d)dx
∫
;
sin(ax+b).cos(cx+d)dx
∫

cos(ax+b).cos(cx+d)dx
∫
.
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:
n m
sin ax.cos axdx
∫
(n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n, m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một trong
2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n, m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax.
Dạng 3:
R(sinx,cosx)dx
∫
R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính

dx
g(x)
∫
với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x) r(x) A B C
2 2
g(x) (x x ) (x x )
a(x ).(x x ) (x x )
1 2
1 2 2
= = + +
− −
− α − −
(*) ( x
1
; x
2
là nghiệm của g(x)).
2
2 1 2 1
( ) ( ) ( )( ) ( ) (**)r x A x x B x x x x C x x= − + − − + −
*) Ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ
số A, B, C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng).
*) Sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức .
Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỷ: dùng phương pháp đổi biến số.
Phuơng pháp chung:
• PP đổi biến dạng 1

t
a
x
cos
=
o
∫
±
).
1
(
22
dx
ax
f
Đặt
22
axxt ±+=
Bài 4: Cho hai hàm số
( )
1 1
2
2 4
sinF x x x
= +
;
( )
2
cosf x x=
.

−
.
Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng
( )
F
π π
=
.
Bài 6: Cho hàm số
( )
8 2 4sin cos cos cosf x x x x x=
.
a. Giải phương trình
( ) ( )
0f x f x
′′
+ =
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x

0f x f x
′
− =
.
Bài 8: Cho hàm số
x
y xe=
.
a. Tính
y
′
và
( )
2y
′
.
b. Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2007
x
f x x e
= +
.
Bài 9: Cho hàm số
( )
sin
x
f x e x=
. Chứng minh rằng hàm số
( ) ( )

§2. TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
2). Bài tập:
 Ghi nhớ:
− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc
hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta
phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức
nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con
biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
4
0
2cos cosx xdx
π
∫
b.
4
cos sinx x dx
π

1
x
f x
x
=
+
và hàm số
( )
2
1lnF x x
= +
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
. b. Áp dụng câu a. tính
1
2
0
1
xdx
x
+
∫
.
Bài 3: Cho hàm số
( )

4
0
f x dx
π
′
∫
.
Bài 5: Tính các tích phân sau:
1.
∫
3
2
1
1
dx
x
. 2.
∫
+
2
1
2
3
2
dx
x
x
3.
∫
−

dxxx
7.
∫
π
0
.3cos.2sin dxxx
. 8.
0
6
cos3 .cos5x xdx
π
−
∫
9.
∫
π
0
2
.sin dxx
.
10.
4
6
cot xdx
π
π
∫
11.
3
2

∫
15.
0
2
1
4 3
6 5
x
dx
x x
−
+
− +
∫
16.
2
1
3 1
1
x
dx
x
−
+
∫
17.
2
2
0
2 5 1

π
−
∫
22.
2
sin
3
x
dx
π
π
−
∫
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1). Công thức tổng quát:
( ) ( ) ( )
.
b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ
′
=
 
 
∫ ∫
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của
( )

→ hoặc
sin
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
sinp x q+
nằm trong
n
.
b). TH2:
( )
cos .sinf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
cost x=

→ hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức

nằm trong dấu
n
.
d). TH4:
( )
2
1
β
α
∫
tan .
cos
f x dx
x
.
→ Đặt
=
tant x

→ hoặc
= +tant p x q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +tan
n
t p x q
nếu như biểu thức

+pcotx q
nằm trong
n
.
2). Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
6
3
0
2 1
cos
sin
xdx
x
π
+
∫
b.
2
3
6 1cos sinx xdx
π
π
+
∫
c.
( )
1

4
2
0
π
∫
tan
cos
x
e dx
x
c.
( )
2
2
6
3 1
π
π
+
∫
cot sin
dx
x x
d.
4
2 1
1
x
dx
e x

−
∫
d.
( )
4
2
0
2cos
sin cos
xdx
x x
π
+
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau đây:
a.
3
3
4
0
sin
cos
xdx
x
π
∫
b.
3
2 3
0

∫
+
3
3
0
2
1
1
(HD: x=tant) 2.
dx
x
∫
+
3
3
2
9
1
(HD: x=3tant) 3
dxx
∫
−
−
−
2
1
1
2
1
(HD: x=sint)

1
( 0)
a
dx a
a x
>
−
∫
(HD: x=asint) 8.
0
sin 4
1 sin
x
dx
x
π
+
∫
(
x t
π
= −
)
Bài 6: Tính các tích phân sau đây: ( Tổng hợp)
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Ti liu ụn thi TN THPT nm 2010-2011 Trng THPT Khỏnh Lõm
1.


1

( 1 )t x=
5.

+
6
0
sin31cos

dxxx

( 1 3sin )t x= +
6.
dx
x
x
e

+
1
ln1
(t=lnx) 7.
dx
x
x
e

+
1
ln32
( 2 3ln )t x= +

2
0
3
13
1

3
( 3 1)t x= +
11


2
1
1
dx
e
e
x
x
.
( 1)
x
t e=
12.
ln8
ln3
1
x
e dx+


( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

(1)
2). Cỏc bc thc hin:
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùohaứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh
( )
b
a
uv

Trong trng hp ny ta t:
( )
( )
u p x
dv q x dx
=

=

Ghi nh :
Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ khi th vo cụng thc ta c
b
a
vdu

phc tp hn
b
a
udv

ban u.
b). Dng 2:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

Trong ú
( )

b.
( )
2
0
2 cosx x xdx
π
+
∫
c.
4
2
0
cosx xdx
π
∫
d.
4
2
0
cos
xdx
x
π
∫
e.
( )
1
2
2
0

∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
3
2
1
3 1 lnx xdx
+
∫
b.
( )
1
0
1lnx x dx
+
∫
c.
2
1
ln
e
xdx
∫
d.
( )
1
2
0
1lnx x dx

−
+
π
π
5.
dxex
x2
1
0
∫
6.
dxexx
2
1
0
2
)13(
∫
+−
7.
xdxe
x
cos
2
0
∫
π
8.
dxex
x2

13.
∫
e
dxx
1
2
)(ln
14.
∫
−
e
dxxx
1
)ln2(
15.
∫
+
2
0
2
cos
1
π
dx
x
x

16.
xdxe
x

)1(
ln
20.
dxe
x
∫
4
0
.
Bài toán 7: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối. Tính
b
f (x) dx
a
∫

+) Tìm nghiệm của f(x) = 0.
Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) hoặc có nghiệm nhưng không có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc có một nghiệm
x= a hoặc x = b các nghiệm còn lại không thuộc [a;b] thì
b
f (x) dx
a
∫
=
b
f (x)dx
a
∫
Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c ∈(a;b) thì
b
f (x) dx

1
ln
x
x x e dx
x
+
∫
c.
( )
2
2
2
6
2
π
π
+
∫
cot sin
sin
x x dx
x
d.
2
0
2
3 1
sin
cos
x xdx

−
 ÷
+
 
∫
g.
0
2
2 2
2 3
cos cos
sin
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫
h.
1
2
0
3 1lnx x dx
+
∫
§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:

C
để tìm.)
• Bước 2: Áp dụng công thức (2).
• Bước 3: Rút gọn biểu thức
( ) ( )
f x g x−
, sau đó xét dấu của hiệu này.
• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
c). Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ
sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,
( )
1
C
nằm trên
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≥
, và
( )
1
C
nằm dưới
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )

đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình
( )
0f x
=
(PTHĐGĐ của
( )
C
và trục Ox) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (3).
4). Bài tập:
ÁP Dụng 1:
Bài i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
1.
1, 0, 0, 3y x y x x= − = = =
2.
2
3 4, 0, 1, 3y x x y x x= + − = = − =
3.
3 2
5 4 , 0, 1, 3y x x x y x x= − + = = − =
4.
3
sin , 0, 0,
2
y x y x x
π
= = = =
5.
x
os , 0, ,

y x x y x x
π
= = = =
10.
2
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
Bài 2i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
1.
2
, 4 4 , 0, 3y x x y x x x= − = − = =
2.
2
, 2 0y x x y= − + + =
3.
2 2
5, 3 7y x x y x x= + − = − + +
4.
( 1)( 2)( 3), 0y x x x y= − + − =
5.
, 1, 2
x
y e y x= = =
6.(C):
3 2
3 6 2y x x x= + − +
và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1;
8.
sin , cos , 0,y x y x x x
π
= = = =

3 1:C y x x
= − +
và đường thẳng
3:d y =
.
Bài 5: Cho đường cong
( )
3 2
3 4:C y x x x
= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến
d
của
( )
C
tại gốc tọa độ O. Từ
đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và
d
.
Bài 7: Cho parabol
( )
2
6 5:P y x x
= − +
.
a. Viết phương trình các tiếp tuyến của
( )

a. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
P
tại điểm tung độ bằng 4.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
P
, trục Ox và tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 11: Cho đường cong
( )
2 1
1
:
x
C y
x
+
=
+
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
; ;C Ox Oy
. Tính thể
tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 12: Cho đường cong
( )
4 2
:C y x x= −
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
( )

ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
8.
4 4
cos sin , 0, 0,
2
y x x y x x
π
= + = = =
CHUN ĐỀ 3: HÀM SỐ MŨ VÀ LƠGARIT
A. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
LŨY THỪA
aaaa
n

=•
( n thừa số)
0
1
1

n
n
a
a
a
−
• =
• =

.

1
( ) ( )
(m,n N, n>1)

m n n m m n
m
n m
n
n
n
a a a
a a
a a
• = =
• = ∈
• =
Hàm số mũ : y =
x
a
với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
>

1
)()(
10
xgxf
xgxf
DD
a
xgxf
a
aa
[ ]



>−−
>
⇔>
0)()().1(
0
)()(
xgxfa
a
aa
xgxf
)()( thì1a0
)()( ì th1a
)()(
)()(
xgxfaa
xgxfaa

• log
a
(B.C) = log
a
B + log
a
C
• log
a
B
C
 
 ÷
 
= log
a
B − log
a
C
• log
α
a
B
β
=
β
α
log
a
B

x với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R
+ a > 1 ; h/s đồng biến, tức là:
với x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
> log
a
x
2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến,tức là:
x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
<log
a
x
2


0g(x)
0)(
10
)(log)(log
xf
a
xgxf
aa
BÀI TẬP CƠ BẢN:
Bài 1 Lũy thừa với số hữu tỉ
1.Tính
a)
1 2
3 5
-0,25
1 1
A = 625
27 32
− −
   
+ −
 ÷  ÷
   
b)
2
1
1
3
6
4

1 1
2 2
4 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
: ( )
a b a b
B a b
a a b a b
 
− −
 
= − −
 
+ +
 
 

3 3 3 3
4 4 4 4
1 1
2 2
a b a b
C ab
a b
  
− +
 ÷ ÷
  
= −

. 1
1
a a a
A a
a
a a
− −
= +
+
−

1
1
3 3
2
3
2 2
3 3
3 3
:
a b a b
B ab
a b
a b
−
−
 
− −
 
 ÷

− −
 
− +
 ÷
= −
 ÷
+
−
 ÷
 

2
3
112
1
.
22
)1(
2
−
−
−−
−






−

16
B
− +
 
=
 ÷
 
c)
( )
18
3 2 3 1 2 4
0,2 .125 . 5 .(0,04)C
+ − +
=
2.Rút gọn các biểu thức
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Tốn -Tin học
Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
5
9
3
3
2 2 2 2
:
5 5 5 5
A
 
=
 ÷
 


a
a
a
C
b
b
−
+
+
+
+
−
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
=
 
 ÷
 
3.Giải các phương trình
a)
8 4
8 9 0x x− − =
b)
10 5
3 4 0x x− − =
c)

log 3
c)
3
2
1
3
1
log
81
d)
2
log 5
16
e)
5
log 3
1
25
 
 ÷
 
2.Tính các lôgarít
a)
2
4
log
a
a
b)
3

3 27
3
1
log 2 log 3log 4
16
81A
+ −
=
b)
5 2008
5
1
log 4 2log 3log 1
2
5B
+ −
=
c)
1
1
log 2 log 3log 4 2
16
2
1
a a
a
C
a
+ − −
 

.Tính
2
log 0,3
7.Chứng minh các đẳng thức
a)
a x
log log
log ( )
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+
b)
log
1 log
log
a
a
ab
c
b
c
= +

c)

ln
e
c)
log1000
d)
log0,01
e)
3ln 2
loge
f)
2
log
ln10
e
−
Bài 5 Hàm số mũ và logarit
1.Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau trên tập xác định của nó
a)
2
3
x
y
 
=
 ÷
 
b)
1
4
x

b)
2 1
x
y = −
c)
3 1
2
5
x
x
y
−
= +
d)
( ) ( )
5
2 3 2
x x
y
π π
= + −
3.Tính đạo hàm các hàm số
GV: Dương Văn Trạng Tổ: Toán -Tin học
Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm
a)
2
3 1
x x x
y e e e
−

x
y
x
−
=
+
c)
(2 )
x
y x=
d)
2x
y x
−
=
6.Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số
a)
( )
2
4
x
y x x e= −
b)
( )
2
ln 1y x= +

7.Chứng minh rằng
1
x

+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
b f(x)
a
+
+β.
b f (x)
a
−
+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
f (x)
a
+β.
f (x)
b
+ γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t =
f (x)
a
;
1
t
=
f (x)

f(x)=a
b
a

>

< ≠




Cách 2 . S ử dụng pp đưa về cùng cơ số
a a
f (x) 0 (hay g(x) 0)
0 a 1
f (x) g(x)
log f(x) log g(x)
> >
= <=> < ≠
=





Cách 3 . S ử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ
Cách 4 . S ử dụng pp mũ hố 2 vế :
Cách 5 . S ử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất)
Cách 6 . S ử dụng pp đồ thị
* Giải bất phương trình mũ và logarit

u(x) u(x)
u(x) u(x)
u(x)
TH1: 0 < u(x) <1 ; f (x) g(x)
TH1: u(x) > 1 ; f (x) g(x)
TQuat :
log f(x) log g(x)
log f(x) log g(x)
log f(
<=> ≤
<=> ≥
≥
≥
u(x)
0 < u(x) 1
f(x) 0
g(x) 0
[ u(x) -1][f (x) g(x)] 0
x) log g(x)

≠

>

<=>

>


− ≥

−
=
b)
2
3
1
.0,2 25
0,04
x x
x
−
=
c)
2
2
1 1
.
x
x
x
x
e
e
e
 
=
 ÷
 
d)
( ) ( )

=
h)
1
5 .8 100
x
x
x+
=
2.Giải các phương trình
a)
2
3 2.3 15 0
x x
− − =
b)
1 3
5 5 26 0
x x− −
+ − =
c) 3
3.4 2.10 25 0
x x x
− − =
d)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x

100
x
x
x
= +
c)
2 2
sin cos
9 9 10
x x
+ =
d)
2 2 2
2 2 2
2.4 6 9
x x x x x x− − −
+ =
e)
2 2 2
3 3 2 6
2.25 10 2
x x x x x x+ + +
+ =
f)
2 4 4
3 8.3 9.9
x x x x+ + +
− =
g)
2 2


5.Giải các phương trình
a)
5 12 13
x x x
+ =
b)
2 2
log log 52
3
x
x x+ =
c)
3 5
log ( 1) lg (2 1)x x+ = +
d)
2 7
log ( 1) lg (2 5)x x+ = +
e)
( )
5
log 3
2
x
x
+
=
6.Giải các phương trình (làm thêmi)
a)
( )