Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
1
CHNG 1 : MU
1.1 Gii thiu, nhim v, i tng môn hc.
C hc kt cu là môn khoa hc thc nghim, nghiên cu cách tính  bn, 
cng và n nh ca công trình.
 bn là m bo cho công trình có kh nng chu ng c tác dng ca
các ti trng và các nguyên nhân khác mà không b phá hoi.
 cng nhm m bo cho công trình không có chuyn v và rung ng ln
ngn cn s làm vic bình thng ca công trình.
n nh nhm tìm hiu kh nng bo toàn v trí và hình dng ban u trong các
dng cân bng ca trng thái bin dng.
Vy nhim v ch yu ca C hc kt cu là xác nh ni lc trong công trình.
T ó s tính toàn xác nh kích thc, cu to ca công trình.
i tng môn hc : Bao gm nhng h thanh liên kt vi nhau.
1.2 S  công trình , s  tính toán, các gi thuyt tính toán.
Trong s  công trình các yu t ch yu c gi li, còn các yu t ph thì
có th b qua. Vy s  công trình là hình nh n gin hóa ca công trình c th,
trong ó ch k n các s liu c bn   xác nh phm cht ca công trình.
 tính toán công trình ta cn phi a công trình thc t v s  tính
Trong s  công trình các thanh c thay bng ng trc, mt ct ngang
c thay bng các i lng c trng nh din tích F, mômen quán tính J, Vy
s  tính là s  công trình ã c n gin hóa.
Thí d hình v 1.1 và 1.2
P
1
P
2
1
P

quán tính, ví d ti trng ca búa trên cc.v.v
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
3
CHNG 2 : CU TO H PHNG
2.1 Khái nim c bn.
1. Kt cu bt bin hình, bin hình và bin hình tc thi
Kt cu bt bin hình là kt cu khi chu tác dng ca mi loi ti trng, dng
hình hc ban u ca nó không b thay i (b qua thay i do bin dng àn hi)
P
Thí d hình 2.1 : Kt cu bin hình là kt cu khi chu tác dng ca ti trng,
dng hình hc ban u ca nó b thay i hu hn mc dù ta vn xem tng cu kin
cu nó là cng tuyt i.
Thí d hình 2.2 : Ngoài hai loi kt cu bt bin hình và bin hình trên còn
mt loi kt cu khi chu ti trng dng hình hc ban u ca nó b thay i mt
lng vô cùng nh mc dù ta xem tng cu kin cu nó là tuyt i cng. Loi này
c gi là kt cu bin hình tc thi.
Thí d hình 2.3 : Kt cu bin hình tc thi.
Tóm li khi xây dng công trình nht thit phi cu to nó thành h bt bin
hình, không c cu to làm cho công trình b bin hình hoc bin hình tc thi.
2.Ming cng (tm cng) : Tm cng có th là mt thanh thng, thanh cong,
thanh gp khúc hoc mt h thanh bt bin hình nh hình v 2.4a,b
a) b)
c)
Ta qui c biu din các tm cng nh hình 2.4 c
3. Bc t do ca im, ca tm cng
Bc t do ca h là s thông s hình hc c lp, xác nh v trí ca h ó i
vi mt h khác c xem là c nh.
Trong mt phng : mt im có hai bc t do còn mt tm cng có ba bc t
do. T khái nim trên ta nhn thy mun im hay tm cng c nh (không chuyn

ng vi K khp n, trong ó K = D-1
c. Liên kt hàn
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
5
Liên kt hàn dùng  ni 2 tm cng A và B nh hình v 2.7a c gi là liên
kt hàn n
Còn liên kt ni trên hai tm cng nh hình 2.7c,d thì gi là liên kt hàn bi
hay liên kt hàn phc tp.
d)
a)
b)
c)
Nh vy liên kt hàn n kh c 3 bc t do. Trong liên kt hàn có 3 thành
phn : 2 phn lc có phng cho trc và 1 phn lc mômen.
Vì kh c 3 bc t do nên 1 liên kt hàn n tng ng vi 3 liên kt
thanh hoc 1 liên kt thanh và mt liên kt khp.
Tng t liên kt bi, liên kt hàn bi có s bc t do kh c tng ng
vi K =D-1 ln s bc t do ca liên kt hàn n.
2. Các liên kt gi ni t.
 ni các cu kin vi t ngi ta dùng các loi liên kt gi  là gi di
ng, gi c nh, ngàm trt, ngàm cng S liên kt thanh tng ng vi mi
loi gi  theo bng 2.1
1
2 3
2.3 Cách s dng các loi liên kt ni các tm cng.
Khi ni các tm cng thành h bt bin hình ta cn phi xem xét 2 iu kin
sau :
- iu kin cn :  s lng liên kt phi s dng.
- iu kin  : Cách sp xp b trí và s dng các liên kt ó.

bt bin hình là: phi dùng 1 liên kt hàn, hoc
- Dùng 3 liên kt thanh không c song song hoc
ng qui
- Dùng 1 liên kt thanh và 1 liên kt khp thì thanh
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
7
phi có phng không c i qua khp
2. Ni 3 tm cng:
Nu ta xem 1 tm cng c nh còn li 2 tm t do chúng ta cn phi liên kt 2
tm cng còn li do ó ta phi kh c 6 bc t do.  kh c 6 bc t do ta có
nhiu cách.
a)
b)
c) d)
e)
f)
g)
1
2
3
h)
1
2
3
i) k)
- Dùng 6 liên kt thanh hình 2.11 a,b,c
- Dùng 3 liên kt khp hình 2.11 d
- Dùng 2 liên kt hàn hình 2.11 e
- Dùng 4 liên kt thanh, 1 liên kt khp hình 2.11 f,g

Khi chúng ta thêm hoc bt 1 b ôi vào 1 h thì tính cht ng hc ca h
không thay i. nu h bt biên hình thì sau khi thêm (hay bt) b ôi h vn bt
bin hình. Ngc li nu h bin hình thì sau khi thêm (hay bt) b ôi h vn bin
hình.
Da vào tính cht này ta có th phân tích cu to hình hc ca h.
- T mt tm cng ban u ta
thêm ln lt các b ôi c 1 tm
cng hình 2.14
- T h ban u ta ln lt loi b
các b ôi cho n cui cùng là h bt
bin hình nu ban u h là bt bin
hình và là h bin hình nu ban u là h
bin hình
2.4 Cách phân tích ng hc ca kt cu.
1. Bc t do ca kt cu - iu kin cn:
a. H kt cu không ni vi t
Kt cu có D tm cng thì 1 tm cng xem nh c nh, (D-1) tm cng còn li
có 3(D-1) bc t do.
Kt cu có T liên kt thanh, K khp n (k c s khp bi ã i ra khp
1
2
3
a)
3
2
a)
1
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
9

ni vi nhau bng các khp n và phc tp (
khp 1,4 và 7 liên kt n, khp 2,6 là khp phc
tp có  phc tp là 2, khp 3,5 là khp phc tp
có  phc tp là 3).
Theo hình v ta có D =10, K = 13 , T = 0, H =
0. Theo 2.1 ta có
T+2K+3H – 3(D-1) ≥ 0 => 0 + 2.13 + 0 –
3(10-1) = -1< 0 Không thõa mãn iu kin cn.
Không cn xét iu kin 
Kt lun : H bin hình vì thiu liên kt.
Thí d 2.2 : Phân tích ng hc kt cu cho
hình 2.16
Gii :
Xét iu kin cn : H ã cho là kt cu ni t ta dùng h thc 2.2  xét iu
kin cn.
Có nhiu cách quan nim khác nhau  áp dng h thc 2.2
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
10
- Nu cho rng các thanh gãy khúc là tm cng thì  h thc 2.2 ta có :
D = 4 , K =3, T= 0, H= 0 và C
0
= 6 (theo bng 2.1)
Ta có : T + 2K + 3H + C
0
– 3D ≥ 0
0 + 2.3 + 3.0 + 6 – 3.4 = 0. Vy thõa mãn iu kin cn
- Nu cho rng mi thanh thng là 1 tm cng thì : D = 8, T = 0, K =3,
H = 4, và C
0

11
CHNG 3 : NG NH HNG
3.1 Khái nim v ti trng di ng, ti trng tiêu chun.
Ti trng ng khi tác dng gây ra lc quán tính và do thay i v trí nên
giá tr ca yu t xét cng thay i theo. Phng pháp  gii quyt nh sau:
-Xem ti trng ng nh ti trng tnh di dng bng cánh nhân giá tr ca
ti trng vi h s xung kích (1 + µ). (cha nghiên cu)
-S di ch ca ti trng cho thy giá tr ca yu t xét s thay i theo v
trí ca nó. Quá trình di chuyn ti trng s có ch cc i, gi là v trí bt li
nht, ta dng li ó  tính.  tìm v trí bt li ca ti trng tó có c
giá tr cci ca yu tang xét ta dùng phng pháp ng nh hng.
Ti trng di ng trên công trng là oàn tàu, ô tô, nhng ti trng
này rt phc tp, do ó khi thit k ly oàn ti trng tiêu chun nào  tính
toán là do nhim v thit k quy nh.
Hình 3.1 gii thiu mt soàn ti trng tiêu chun trong quy trình thit k cu
hin ang dùng  nc ta.
60kN
120kN
120kN
6m
1,6
10m
60kN
120kN
120kN
1,6
6m
60kN
120kN
120kN

l
1,5mx5
ZZZZZ 0,36Z
a, oàn ôtô tiêu chun H.30;
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
12
z
l
z=l/2
z=l
A
z
1
0,5
b, oàn ôtô tiêu chun H.10. Vi oàn ôtô tiêu chun H.8 và H.13 thì khong
cách gia các trc xe cng nh khong cách gia các xe hoàn toàn nh trên, còn tr
s ti trng bng ti trng ca oàn ôtô H.10 nhân vi 0,8 cho oàn H.8, nhân vi
1,3 cho oàn H.13;
c, Xe bánh tiêu chun XB – 80 (ch có mt xe);
d, Xe xích tiêu chun X – 60 (ch có mt xe);
e, Tàu ha tiêu chun T – Z, trong ó Z là ti trng trc ca u máy. Thí d T
– 10 thì mi trc ca u máy ;là 100 kN (10T), toa xe là 0,36.100 = 36 kN/m
3.2 ng nh hng
1. Khái nim – Cách v:
a.Khái nim:
Theo nguyên lý cng tác dng giá tr ca mt yu t nào ó do nhiu ti trng
ng thi tác dng lên kt cu sinh ra bng tng các giá tr ca yu tó do tng ti
trng tác dng riêng r sinh ra. Mt khác giá tr ca ti trng tng lên hoc gim i
bao nhiêu ln thì giá tr cu yu t do ti trng ó sinh ra cng ng lên hoc gim i

nguyên chiu dài, thng là mét.
b.Cách vng nh hng.
Có nhiu cách  vng nh hng, ây ta ch xét cách vng nh
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
13
ng theo phng pháp tnh.
-Chn h trc có trc z song song vi trc dm biu th v trí ca ti trng n
v, trc vuông góc vi trc z biu th giá tr ca yu t xét. Gc ta  thng ly
ng ng vi gi trái ca mi dm.
-Vit biu thc quan h gia giá tr ca yu t xét vi v trí ca ti trng n v
z ta c S = f(z) gi là phng trình ng nh hng.
-n c vào biu thc S = f(z) vng nh hng ca yu t S, sau khi v
cn ánh du (+), (-), ghi tung   nhng v trí c bit và ghi tên ng nh
ng.
2. ng nh hng dm n gin.
a. ng nh hng phn lc (V
A
, V
B
, H
A
=0).
Chn gc ta  O tng ng vi gi trái ca dm, trc z hng sang phi,
trc V biu th giá tr ca phn lc hng lên trên.
- ng nh hng V
A
:
∑m
B

= l.V
B
– P.z = 0, mà P =
1 =>
l
z
V
B
=
Khi z = 0 có V
B
= 0
Khi z = l có V
B
= 1
Ni hai m (0,0) và (1,1) ta c
ng nh hng V
B
nh hình 3.3c.
Tng nh hng V
A
và V
B
suy ra
cách v nhanh dng nh hng phn lc
ca dm n gin nh sau: khi vng
nh hng phn lc ca gi nào trên
ng chun  v trí tng ng vi gi ó
dng tung  bng +1, ni nh tung 
này vi m có tung  bng không tng

 vng nh hng ni lc (mômen un, lc ct) ca mt mt ct ta tng
ng ct dm ti mt ct ó. Mi phn dm u cân bng di tác dng ca ngoi
lc và ni lc tác dng lên phn ó.
- Cho P = 1 di chuyn  phn dm bên trái (0 ≤ z ≤ a), xét s cân bng ca
phn dm bên phi (phn có ít lc hn), tó vit c phng trình cho nhánh trái.
ΣM
C
ph
=0 ⇔ -M
C
+ b.V
B
= 0 =>M
C
= b.
l
z
ΣY=0 ⇔ Q
C
= -V
B
= -
l
z
Khi z = 0 có M
C
= 0; Q
C
= 0;
Khi z = a có M

- Khi P = 1 di chuyn  phn dm bên phi (a ≤ z ≤ l), xét s cân bng ca
phn dm bên trái.
ΣM
C
tr
=0 ⇔ M
C
- a.V
A
= 0 => M
C
= a.V
A
= a.
l
zl
−
ΣY=0 ⇔ Q
C
- V
A
=0 => Q
C
= V
A
=
l
zl
−
Khi z = a có M

ng vi các gi ta dng các tung  bng khong cách t gi n mt ct, ni nh
các tung  này vi các m có tung  bng 0 trên ng chun  gi bên kia
bng ng thng, ng nh hng mômen un là tam giác có nh  v trí di
mt ct và tung  ti nh bng tích các khong cách t mt ct n hai gi chia
cho chiu dài dm.
- ng nh hng ca lc ct: Trên dng chun ti nhng v trí tng ng
vi gi trái và phi ta ln lt dng các tung  bng 1 và -1, ni các nh tung
 này vi các m có tung  bng 0 tng ng vi các gi phi và trái bng
ng thng, t mt ct hng dóng, ng nh hng lc ct là hai tam giác
vuông có nh nm tng ng vi các gi.
3.ng nh hng dm mút tha
Gi chiu dài mút tha bên trái là l
1
, mút tha bên phi là l
2
, im gc là gi
trái, vy z bin i (- l
1
≤ z ≤ l + l
2
)
a. ng nh hng phn lc.
- Phn lc gi A: ΣM
B
= V
A
.l + p(l - z) = 0 ⇒ V
A
=
l

l
1
−
Khi z = 0 có V
A
= 1; V
B
= 0
Khi z = l có V
A
= 0; V
B
= 1
Khi z = l + l
2
có V
A
=
l
zl
−
=
l
l
2
− ; V
B
=
l
l

−
Khi z = -l
1
→ M
C
= - b.
l
l
1
; Q
C
=
l
l
1
Khi z = 0 → M
C
= 0 ; Q
C
= 0
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
16
Khi z = a → M
C
=
l
ab
; Q
C

e)
g)
h)
i)
k)
m)
n)
p)
q)
r)
l)
dah Vb
dah Mc
dah Qc
dah Md
dah Qd
dah Me
dah Qe
dah Ma
dah Mb
dah Q
ph
B
tr
dah Q
A
tr
dah Q
B
A

l
2
l
1+
h
2
1
l
2
1
l
2
l
l
l
2
l
l
2
a.l
l
2
+ Khi P = 1 di ng phía phi M
C
(a [ z [ l + l
2
). Xét cân bng phía trái: M
C
= a.V
A

C
= -a.
l
l
2
; Q
C
=
l
l
2
−
→ Vng nh hng nhánh phi
T cách v M
C
, Q
C
suy ra cách v nhanh ng nh hng mômen, lc ct
nh sau:
+ u tiên vng nh hng ca ni lc ca mt ct tng ng trên dm
n gin có chiu dài bng khong cách 2 gi, sau ó kéo dài ng nh hng
cho phn mút tha.
+ Áp dng v nhanh ng nh
ng Q
A
tr
, Q
A
ph
, Q

= 0
Khi z = h
1
thì M
D
= -h
1
+ Khi P = 1 di ng trên phn phi mt ct D (h
1
[ z [ l + l
2
), xét cân bng
phn trái (ít lc hn): ΣM
D
= 0 ⇔ M
D
= -z.P = -z và Q
C
= 0
Khi z = 0 thì M
D
= 0
Khi z = h
2
thì M
D
= -h
2
Tó ta có cách v nhanh ng nh hng mômen và lc ct ngoài nhp:
-ng nh hng mômen un: Trên ng chun tng ng vi u mút

nhng dm i vi dm này nó là chính nhng i vi dm kia nó là ph. Ta
nhn bit theo nhn xét sau:
-Dm có s liên kt vi t tng ng vi t hai liên kt thanh tr lên
thì nó luôn luôn là dm chính.
-Dm không có liên kt vi t thì nó luôn là dm ph.
-Dm có 1 liên kt ni vi t thì khi  ngoài cùng nó s luôn là dm ph,
khi  trong nó s là va chình, va ph.
u ý: Quá trình tính toán c tin hành t dm ph, ri n dm chính. Ti
trng tác dng lên dm chính s không gây ra phn lc trong dm phi vi nó,
ngc li khi có ti trng tác dng lên dm ph nó s gây ra phn lc và ni lc
trong tt c các dm chính i vi nó.
b. ng nh hng ca dm tnh nh nhiu nhp.
Khi vng nh hng có th xy ra 2 trng hp: Yu t xét thuc dm ph,
dm chính hay dm va chính va ph.
a)
b)
K
V
I
dah Vb
dah Mk
dah Vh
dah Qk
dah M
I
dah Q
I
dah M
v
dah Q

l
5
c.l
l
5
6
l
4
l
5
5
l
d
l
5
c
l
5
l
6
h
1
- Yu t vng nh hng thuc dm ph: Vng nh hng V
B
và M
K
: Khi P =1 di ng trên dm BC, ta xem nh dm BC là mt dm n gin và d
dàng vc ng nh hng ca dm này. Nhã phân tích khi P=1 di chuyn
trên các dm khác không nh hng gì n V
B

1
l
z
(1)
Dm CD có ∑m
F
= l
3
.V
H
+ V
C
.l
2
= 0 ⇒ V
H
=
3
2
l
l
−
V
C
(2)
Thay (1) vào (2) có V
H
=
3
2

chun ( hình 3.7g)
ng t ta vc ng nh hng M
I
, M
V
Q
V
Tóm li  vng nh hng ca dm tnh nh nhiu nhp ta thc hin.
- Khi P = 1 di ng trên dm cha yu t cn vng nh hng, xem ây
nh 1 dm c lp, ngha là ch có nó làm vic, còn li các dm khác không làm
vic, ng nh hng ca các dm này trùng ng chun ( thng ây là dm
mút tha).
- Khi P = 1 di ng trên dm chính i vi dm cha yu t cn vng nh
ng thì ng nh hng trùng vi ng chun ( vì không gây ra phn lc và
ni lc).
- Khi P = 1 di ng trên dm phi vi dm cha các yu t cn vng
nh hng thì ng nh hng tng ng là on thng i qua nh tung  ti
l1
z
P=1
B
V
C
l4
l3l2
V
C
F HD
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang

n dm nên tng ng vi
mt này thì ng nh hng
luôn bng 0.
- Khi P = 1 di ng
trong khong gia 2 mt
truyn lc liên tip (trong
phm vi 1 dm) thì ng
nh hng là 1 on thng
ni nh 2 tung  tng ng
vi 2 mt truyn lc  2 u.
* Cách vng nh hng cho dm chu ti trng gián tip:
- Vng nh hng cho ti trng di ng tác dng trc tip lên dm chính.
- Ti v trí tng ng vi các mt truyn lc ly tung  bng tung ng
nh hng ã v
d)
(P=1 truyÒn qua m¾t)
(P=1 ®Æt trùc tiÕp trªn dÇm chÝnh)
(P=1 truyÒn qua m¾t)
(P=1 ®Æt trùc tiÕp trªn dÇm chÝnh)
h)
C
dah Q
C
dah Q
g)
dah M
C
e)
dah M
C

- Ni nh tung  các ng nh hng bng các n thng c ng
nh hng ca dm chu ti trng gián tip.
Áp dng phng pháp ã nêu ta vc các ng nh hng ca dm chu
ti trng truyn qua mt nh trên hình 3.9 c,e,h.
3.3 S dng ng nh hng  tính yu t xét di tác dng ca các
dng ti trng khác nhau.
1. Ti trng cnh
a. Ti trng cnh tp trung.
Gi s trên công trình có ti trng cnh tp trung P
1
, P
2
, , P
n
tác dng. Cn
phi tính giá tr các yu t xét S do h ti trng sinh ra.
Trên ng nh hng ca yu t S, tung  tng ng vi các ti trng P
1
,
P
2
, , P
n
là y
1
, y
2, ,
y
n
(hình 3.10)

+ S
2
+ + S
n
= P
1
.y
1
+ P
2
.y
2
+ +P
n
.y
n
=
i
n
i
yP.
1
∑
(3.3)
Vy: Giá tr ca yu t S do ti trng cnh tp trung gây ra bng tng i
s ca tích các lc vi tung ng nh hng tng ng
* Chú ý:
- Lc P
i
ly du (+) khi cùng chiu P = 1

Ví d 3.1: S dng ng nh hng, tính M
C
và Q
C
cho dm chu ti trng c
nh nh hình 3.12a. Kim tra li kt qu bng cách v biu  lc ct và mômen
un. Cho bit P
1
= 0,5T, P
2
= 1T, P
3
= 0,8T.
y
ph
i
tr
i
y
P
i
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
22
C
BiÓu ®å M
e)
30
34
26

a)
PP
P
1
2
3
Gii:
Vng nh hng M
C
và Q
C
hình
3.12b,c. Theo công thc (3.3) ta có
M
C
= P
1
.y
1
+ P
2
.y
2
+ P
3
.y
3
=
Tmxxx 4,3
8

Q
C
=
Tmxxx 8,0
8
3
8,0)
8
5
(1)
8
2
(5,0 =++−
Bài tp Ví d 3.1: S dng ng
nh hng, tính M
C
và Q
C
cho dm chu
ti trng cnh nh hình 3.12a. Kim tra
li kt qu bng cách v biu  lc ct và
mômen un. Cho bit P
1
= 1,5T, P
2
=2,5T, P
3
= 0,6T.
Ti trng c nh phân bu:
Gi s ti trng phân bu có cng  tác dng là q tác dng lên công trình.

Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
23
Tính M
C
và Q
C
theo ng nh hng hoc Sc bn vt liu.
Theo ng nh hng :
0,5
8m
26m
0,3125
c)
dah Q
C
2,5
C
0,5
dah M
b)
4
5m
a)
C
8m
0,3125
2,5
5m
ΣM

B
=
kN130
2
26.10
=
M
C
= 130.8 -
kNm130
2
13.13.10
=
Q
C
= 130 - 10.13 = 0
b. Ti trng cnh là mômen tp trung:
Gi s trên công trình chu tác dng ti trng là mômen tp trung M
Giá tr ca yu t xét tính theo công thc:
S =
∑
=
n
i
ii
tgm
1
. α
Trong ó:
m

S
trái
=
∑
=
n
i
ii
tgm
1
. α
tr
S
phi
=
∑
=
n
i
ii
tgm
1
. α
ph
Vy: Giá tr yu t S do h ti ti trng c
nh là các mômen tp trung gây ra bng tng
các tích s gia mômen vi tg góc nghiêng ca
ng nh hng  v trí tng ng.
Ví d 3.3: S dng ng nh hng 
tính M

1
+ P
2
.y
2
+ q.ω + M.tgα
M
A
= 8.(-1) +12(-3) + 4
2
)4.(4
−
-
10.(-1) = -66kNm
Q
A
= 8.1 +12.1 +4.4.1 -10.0 =
36kN
 Tính M
C
cn phân bit 2
trng hp
- Khi M t bên trái mt ct C:
tgα
tr
= 0
M
C
= 12.(-1) + 4
2

P
i
tr
i
α
i
α
ph
m
i
a)
e)
dah Q
d)
dah M
dah Q
2
c)
dah M
1
b)
1
C
1
1
2
4
1
4
q

q: cng  ti trng phân b ( ly du theo P =1).
ω: din tích ng nh hng
l
d
dah S
ω
b)
dzdz
l
ω
2
y
1
y
ω
t p
ω
a)
d
q
- Trng hp chiu dài ti trng phân bu nhn hn chiu dài t ti ca
ng nh hng (d < l),(hình 3.18). V trí bt li là v trí có tung ng nh
ng tng ng vi u trái (y
tr
) và u phi (y
ph
) ca ti trng phân b bng nhau.
(y
tr
= y