Chương III
- 43 -
Chương 3
PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU VÀ HỆ
THỐNG
Trong chương trước, ta đã dùng hàm theo biến thời gian để làm mô hình toán học mô tả tín
hiệu. Mô hình này cho biết các đặc điểm của tín hiệu bằng cách chỉ ra sự thay đổi của tín
hiệu theo thời gian. Mô hình này được gọi là biểu diễn thời gian của tín hiệu. Biểu diễn thời
gian của các tín hiệu vào-ra và bên trong một hệ thống cũng chỉ ra các đặc điểm của hệ thống
đó.
Tuy nhiên, các đặc điểm của tín hiệu và hệ thống không chỉ thay đổi theo thời gian mà còn
thay đổi theo cả tần số, nói cách khác các đặc điểm này cũng là hàm theo tần số. Ta gọi các
hàm theo tần số này là biểu diễn tần số (frequency-domain representation). Cả biểu diễn thời
gian và biểu diễn tần số đều cần thiết cho bài toán phân tích tín hiệu và hệ thống. Có những
trường hợp, biểu diễn thời gian không chỉ ra được các thông tin cần thiết, nhưng cũng có lúc,
có những thông tin cần thiết không thể rút ra được từ biểu diễn tần số.
Chương này trình bày về biểu diễn tần số của tín hiệu và hệ thống. Từ biểu diễn tần số này, ta
có thể phân tích tần số cho tín hiệu và hệ thống. Nội dung chính gồm ba phần:
1. Lý thuyết chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier. Đây là cơ sở lý thuyết của việc biểu
diễn tần số cho tín hiệu và hệ thống.
2. Phân tích tần số cho tín hiệu. Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn tín
hiệu trong miền tần số- đó là phổ tần số. Phần này gồm:
- Định nghĩa phổ tín hiệu.
- Các đặc điểm của phổ
- Các đặc trưng của tín hiệu trong miền tần số.
3. Phân tích tần số cho hệ thống. Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn
hệ thống trong miền tần số- đó là đáp ứng tần số. Phần này gồm:
- Định nghĩa đáp ứng tần số.
- Các đặc trưng của hệ thống trong miền tần số.
- Cách xác định đáp ứng tần số.
3.1 BIỂU DIỄN CHUỖI FOURIER CỦA TÍN HIỆU

+
⎩
⎨
⎧
≠
=λ
=φφ
11
1
Tt
t
n
*
mn
mn0
mn
dt)t()t(
1
Tt
t
tnf2j

(gọi là khoảng khai triển)
3.1.2 Khai triển chuỗi Fourier cho tín hiệu trong khoảng thời gian T
1
Theo mục 2.3.2, ta có tín hiệu xấp xỉ của tín hiệu x(t) trong khoảng t
1
< t < t
1
+ T
1
là:
∑
∞
−∞=
π
∧
=
n
tnf2j
n
1
eA)t(x

Hệ số A
n
là:
∫∫
+
π−
=φ
λ

Cũng theo Fourier, nếu x(t) thỏa điều kiện Dirichlet thì )t(x
∧
sẽ tiến gần đến x(t) trong
khoảng t
1
< t < t
1
+ T
1
:
111
n
tnf2j
n
TttteA)t(x)t(x
1
+<<==
∑
∞
−∞=
π
∧

Điều kiện Dirichlet (do P. L. Dirichlet đề xuất):
1.
∫
+
∞<
11
1

Tần số |n|f
1
được gọi là tần số hài của )t(x
∧
.
-
Vì trong khoảng khai triển có )t(
0
φ
= 1 là hằng số và ta có số chu kỳ của )t(
n
φ là số
nguyên với mọi |n| > 0 nên tất cả các
)t(
n
φ
lặp lại ở bên ngoài khoảng khai triển.
Vậy, )t(x
∧
được lặp lại ở bên ngoài khoảng khai triển và tuần hoàn với chu kỳ T
1
.
Tóm lại, )t(x
∧
= x(t) ở trong khoảng khai triển và tuần hoàn với chu kỳ T
1
ở bên ngoài khoảng
khai triển. Như vậy chuỗi Fourier hội tụ về một tín hiệu tuần hoàn là mở rộng tuần hoàn của
một đoạn tín hiệu trong khoảng khai triển. Hình vẽ sau minh họa cho điều này:


0
= 1/f
0
là chu kỳ của tín hiệu.
Ví dụ:
Một bộ tạo tín hiệu trong phòng thí nghiệm tạo ra xung vuông như hình vẽ. Tìm chuỗi
Fourier hàm mũ phức hội tụ về x(t) với mọi t.
Tín
hiệu
Chuỗi
Fourier
Khoảng
khai triển
Chương III
- 46 -
2. Tính chất của hệ số Fourier X
n

- Khi n = 0, hệ số Fourier là:

Đây chính là giá trị trung bình của x(t) trong khoảng khai triển
-
Nếu tín hiệu x(t) là tín hiệu thực thì biên độ của các hệ số Fourier là hàm chẵn theo n
và pha là hàm lẻ theo n:
nn
nn
AA
AA
−∠=∠
=
−
−
=
∧ Tín hiệu tuần hoàn có thể xem là tổng của vô số hàm cosin, biên độ là 2|A
n
|, pha là
n
A
∠
, tần
số là hài của tần số cơ bản nf
1
. Ngoài cách biểu diễn tín hiệu tuần hoàn là hàm theo thời gian,
ta còn có thể biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thông qua cặp thông số |A
n
| và
n
A∠ . Ta gọi cách
biểu diễn này là biểu diễn tần số hay là biểu diễn theo phương pháp
phổ (spectrum).

∑
=
<<−==

ở đây f
0
= 1/T.
Bên ngoài khoảng –T/2 < t < T/2, )t(x
∧
lặp lại tuần hoàn với chu kỳ T. Như vậy, ta có thể suy
ra biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn từ biểu diễn tần số của tín hiệu tuần hoàn
bằng cách cho
∞→T .
Khi
∞→T , các vạch phổ sẽ tiến đến rất gần nhau, khoảng cách giữa hai vạch phổ sẽ vô
cùng bé, phổ rời rạc trở thành phổ liên tục. Lúc đó ta có các giới hạn sau:
Chương III
- 49 -
df
T
1
f
0
→= , fnf
0
→ , )f(AA
n
→
Áp dụng các giới hạn này vào công thức khai triển Fourier của tín hiệu tuần hoàn, ta được:
dfdte)t(xdte)t(x

∞−
π−
= dte)t(x)f(X
ft2j

Hàm X(f) này chính là biểu diễn tần số của x(t) hay là phổ của x(t). X(f) còn được gọi là
phép biến đổi Fourier (Fourier transform) của x(t).
Phổ X(f) hoàn toàn đặc trưng cho tín hiệu x(t) nên ta có thể tìm được x(t) từ X(f) qua một
phép biến đổi gọi là
biến đổi Fourier ngược (inverse Fourier transform)
Để tìm biểu thức tính biến đổi Fourier ngược, ta cũng thực hiện tương tự như tìm biểu thức
tính biến đổi Fourier. Ta tìm biến đổi Fourier ngược của X(f) từ biểu thức khai triển chuỗi
Fourier cho tín hiệu tuần hoàn )t(x
∧
với giới hạn
∞
→T
như sau:
∫
∑
∞
∞−
π
∞
−∞=
π
∞→
∧
∞→
=== dfe)f(XeAlim)t(xlim)t(x

⎯→←
Ta cũng có thể biểu diễn phép biến đổi Fourier là hàm theo
f2
π
=
ω
.
3.2.2 Tính chất của biến đổi Fourier
Các tính chất của biến đổi Fourier rất hiệu quả trong việc tính biến đổi Fourier của các tín
hiệu phức tạp. Sau đây ta xét một số tính chất thông dụng.
1. Tính tuyến tính
Nếu
)f(X)t(x
F
⎯→← và )f(Y)t(y
F
⎯→←
Thì
)f(bY)f(aX)t(by)t(ax
F
+⎯→←+
Chương III
- 50 -
Ta hay dùng tính chất này để tính biến đổi Fourier của các tín hiệu mà có thể phân tích được
thành tổng của các tín hiệu đơn giản.

Chương III
- 51 -
3. Đảo thời gian
Nếu
)f(X)t(x
F
⎯→←
Thì
)f(X)t(x
F
−⎯→←−

−⎯→←
Chương III
- 52 -
5. Điều chế
Nếu
)f(X)t(x
F
⎯→←
Thì
)ff(X
2
1
)ff(X
2
1
)tf2cos()t(x
00
F
0
++−⎯→←π


Ta đã xét biến đổi Fourier đối với các tín hiệu năng lượng. Đối với tín hiệu không phải là tín
hiệu năng lượng, ta có thể sử dụng biến đổi Fourier trong một giới hạn nào đó.
1. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu xung delta
fA)t(A
F
∀⎯→←δ
Do tính tương hỗ giữa miền thời gian và tần số nên ta có thể suy ra:
)f(At A
F
δ⎯→←∀

2. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu bước nhảy đơn vị
Ta tìm biến đổi Fourier của tín hiệu bước nhảy đơn vị từ biến đổi Fourier của hàm dấu. Ta
định nghĩa hàm dấu như sau:
⎩
⎨
⎧
<−
>
=
0t1
0t1
)tsgn(
Biến đổi Fourier của hàm dấu là:
fj/1)tsgn(
F
π⎯→←

a
+δ+−δ⎯→←π

Chương III
- 54 -
5. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
Ta đã biết rằng ta có thể biểu diễn tín hiệu thực tuần hoàn dưới dạng chuỗi Fourier.
Ta xét tín hiệu )t(x
∧
thỏa điều kiện Dirichlet và tuần hoàn với chu kỳ T
0
. Khai triển Fourier
cho tín hiệu )t(x
∧
:
∑
∞
−∞=
π
∧
=
n
tnf2j
n
0
eA)t(x
{}
)nf(X
T
1
A
0
0
n
=

Ví dụ:
Tìm phổ của tín hiệu đồng hồ máy tính )t(x
∧
sau đây:

4 V
-0.04 0 0.04 0.08 )s(t µ


Chương III
- 56 -
3.3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU LIÊN TỤC
Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn tín hiệu trong miền tần số- đó là
phổ tần số.
3.3.1 Giới thiệu về phổ tần số
Như đã trình bày ở phần trên, phổ tần số (hay nói ngắn gọn là phổ) chính là một hàm biểu
diễn các đặc trưng của tín hiệu theo biến tần số. Ta tìm phổ của tín hiệu bằng cách tính biến
đổi Fourier của tín hiệu đó:
{}
dte)t(x)t(xFT)f(X
ft2j π−
∞
∞−
∫
==
Nói chung, hàm X(f) là hàm phức theo biến tần số thực. Do hàm phổ là hàm phức nên phổ
gồm
phổ biên độ (amplitude spectrum)- là biên độ của X(f) và phổ pha (phase spectrum)- là
pha của X(f).
Để hiểu hơn về phổ tín hiệu, ta xét ví dụ đơn giản về phổ của tín hiệu cosine sau:
)tf2cos(A)t(x
xxx

2
A
)t(x
−πθ−πθ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=

Phần trong dấu ngoặc vuông trên là phasor. Ta thấy có thể xác định tín hiệu x(t) dựa vào biên
độ và pha của hai phasor trên tại hai tần số f
x
và –f
x
. Ta cũng gọi biên độ và pha của các
phasor là phổ biên độ và phổ pha. Do chúng có mặt ở cả hai phía tần số dương và âm nên
được gọi là
phổ hai phía (double-sided spectrum).
Ta minh họa phổ biên độ và phổ pha một phía và hai phía qua hình vẽ sau:

3. Đặc điểm 3
Tín hiệu thực và lẻ có phổ ảo và lẻ

4. Đặc điểm 4
Phổ biên độ của tín hiệu thực là hàm chẵn và phổ pha của tín hiệu thực là hàm lẻ Chương III
- 58 - 5. Đặc điểm 5
Việc dịch chuyển tín hiệu theo thời gian không làm ảnh hưởng đến phổ biên độ mà chỉ ảnh
hưởng đến phổ pha.
thông, năng lượng và công suất của tín hiệu.
1. Băng thông của tín hiệu
Băng thông của tín hiệu (signal bandwidth)
là bề rộng của dải tần số mà phổ chiếm trên trục
tần số. Ta có thể xác định băng thông tín hiệu dựa vào phổ biên độ. Ví dụ phổ biên độ của
một tín hiệu nằm trong dải tần số từ 10 Hz đến 20 Hz, ta nói băng thông của tín hiệu đó là:
B = 20 – 10 = 10 (Hz)
Khi thiết kế hệ thống ta phải quan tâm đến băng thông của các tín hiệu truyền qua hệ thống
hay là có mặt trong hệ
thống để đảm bảo không có thông tin nào trong tín hiệu bị mất mát.
Về lý thuyết, băng thông của tín hiệu rất lớn, có thể lớn đến vô cùng. Tuy nhiên, trong thực
tế, ta thấy hầu hết năng lượng tín hiệu đều tập trung trong một dải tần nào đó gọi là
băng
thông có nghĩa (significant-signal bandwidth), ký hiệu là B và được xác định như sau:
Băng thông B của tín hiệu liên tục là sai khác giữa hai tần số dương sao cho trong khoảng đó
phổ biên độ lớn hơn hay bằng
α lần phổ biên độ cực đại. Hệ số
α
được chọn tùy ý dựa vào
ứng dụng. Thường chọn
707.0
2
1
≈=α băng thông tương ứng được gọi là băng thông -3dB

Từ G(f) ta có thể xác định được năng lượng của tín hiệu trong một dải tần số từ f
1
đến f
2
nào
đó:
df)f(Gdf)f(GE
2
1
1
2
f
f
f
f
12
∫∫
+=
−
−

3. Mật độ phổ công suất của tín hiệu
Mật độ phổ năng lượng là chỉ dành cho tín hiệu năng lượng. Đối với tín hiệu công suất, ta
dùng mật độ phổ công suất PSD (Power Spectral Density). Đó là hàm công suất của tín hiệu
trong một đơn vị tần số. Khi ta lấy tích phân của mật độ phổ công suất trên suốt trục tần số,
ta sẽ nhận được công suất tín hiệu.
Ta xét hàm:
{}
⎭
⎬

Pdf)f(S =
∫
∞
∞−

Vậy hàm S(f) là mật độ phổ công suất của tín hiệu.
Từ S(f) ta có thể xác định được công suất của tín hiệu trong một dải tần số từ f
1
đến f
2
nào
đó:
df)f(Sdf)f(SP
2
1
1
2
f
f
f
f
12
∫∫
+=
−
−

Chương III
- 61 -
3.4 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO HỆ THỐNG LIÊN TỤC

1. Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha
Đáp ứng tần số là biến đổi Fourier của đáp ứng xung, do đó đáp ứng tần số là một hàm phức
theo tần số và có thể biểu diễn dưới dạng biên độ và pha như sau:
{}
)f(Hjft2j
e|)f(H|dte)t(h)t(hFT)f(H
∠
∞
∞−
π−
===
∫

Từ định nghĩa đáp ứng tần số Y(f) = X(f).H(f), viết lại theo biên độ và pha, ta có:
)f(Hj)f(Xj)f(Yj
e|)f(H|e|)f(X|e|)f(Y|
∠∠∠
=
Từ đây ta suy ra:
Chương III
- 62 -
)f(H)f(X)f(Y
|)f(H|.|)f(X||)f(Y|
∠+∠=∠
=

Do |H(f)| chỉ ra liên quan giữa phổ biên độ tín hiệu ra với phổ biên độ tín hiệu vào nên ta gọi
|H(f)| là
đáp ứng biên độ của hệ thống (system amplitude response). Cũng như vậy,
)f(H∠ được gọi là
Chương III
- 63 -
Trường hợp tín hiệu vào là tín hiệu sin, tín hiệu ra sẽ có cùng dạng sin với cùng tần số, chỉ có
biên độ và pha là khác đi. Sự khác đi về biên độ và pha đó có thể xác định trực tiếp từ đáp
ứng biên độ và đáp ứng pha. Cụ thể là:
[]
)f(Htf2cos|)f(H|.|X|)t(y
)tf2cos(|X|)t(x
111
1
∠+θ+π=
θ
+
π
=


Chương III
- 64 -
Ta thường gọi đáp ứng biên độ và đáp ứng pha tại một tần số nào đó là độ lợi (gain) và độ
dịch pha (phase shift)
của hệ thống tại tần số đó.
Từ đây ta có thể mở rộng ra cho trường hợp tín hiệu vào có dạng tổng của các tín hiệu sin.
Trong trường hợp này, ta tìm tín hiệu ra đơn giản bằng cách tìm tín hiệu ra ứng với từng tín
hiệu sin thành phần, sau đó cộng các tín hiệu ra thành phần lại với nhau. Tín hiệu ra thành
phần được tính rất đơn giản dựa vào độ lợi và dịch pha của h
ệ thống.
Hầu hết hệ thống đều có đáp ứng xung là hàm thực. Do đó đáp ứng biên độ là hàm chẵn và
đáp ứng pha là hàm lẻ:
)f(H)f(H
|)f(H||)f(H|
−∠=−∠
=
−

Nếu hệ thống nhân quả thì h(t) = 0 khi t < 0. Do đó h(t) không chẵn và cũng không lẻ, H(f)
có cả phần thực và phần ảo khác 0. Do đó, dịch pha của hệ thống không thể bằng 0 trên toàn
trục tần số, ngoại trừ trường hợp giá trị đầu ra là G lần giá trị đầu vào với G là hằng số.
Trong trường hợp này,
)t(.G)t(h
δ
=

Hệ thống như thế này không thể thực hiện được về mặt vật lý.
2. Băng thông của hệ thống
Ta định nghĩa băng thông của hệ thống giống như định nghĩa băng thông của tín hiệu:
Băng thông của hệ thống liên tục (system bandwidth) là sai khác giữa hai tần số dương sao

1
đến f
2.

Ví dụ:
Cho mạch lọc RC sau:

Chương III
- 65 -
(a) Tìm tín hiệu ra nếu tín hiệu vào là:
)t12cos(4)t4cos(4)t(x
π
+
π
=

Số hạng đầu là tín hiệu đơn tần chứa thông tin, số hạng sau là tín hiệu giao thoa thêm vào.
(b) Xác định băng thông -3dB. Đây là mạch lọc loại gì?

pha của hệ thống như vừa xét trên.
Trễ pha của hệ thống được định nghĩa như sau:
Trễ pha của hệ thống (system phase delay) là thời gian một tín hiệu đơn tần phải trải qua khi
nó đi qua hệ thống.
Để tìm trễ pha, ta xét tín hiệu vào là tín hiệu sin:
)tf2cos(A)t(x
θ
+
π
= Trễ pha tìm được là:
f2
)f(H
)f(t
p
π
∠
−=
Nếu đáp ứng pha có giá trị âm tại các tần số dương thì tín hiệu bị trễ đi khi truyền qua hệ

−
−
=

Vậy tín hiệu mang tin tần số 2 Hz đi qua mạch lọc trên sẽ bị trễ đi một khoảng thời gian là
1/16 (s).
4. Trễ nhóm của hệ thống
Để định nghĩa trễ nhóm, ta xét tín hiệu:
)tf2cos()t(m)t(x
cm
π
=

ở đây m(t) là tín hiệu thông dải, tần số thấp, nằm trong khoảng
c1
fff0 <
≤
≤
. Ta gọi tín hiệu
x
m
(t) là tín hiệu điều biên, m(t) là tín hiệu mang tin và )tf2cos(
c
π
là sóng mang. Tần số của
sóng mang là f
c
. Khi truyền tín hiệu điều biên qua hệ thống, thì tín hiệu này sẽ bị trễ đi một
khoảng thời gian nào đó. Do tín hiệu điều biên có chứa một nhóm tần số bao quanh tần số
sóng mang nên thời gian trễ này được gọi là trễ nhóm. Vậy ta có định nghĩa trễ nhóm như