NỘI DUNG ÔN TẬP ỨNG DỤNG VỀ ĐẠO HÀM
Chương 1. Ôn tập phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
hàm số.
Chương 2. Hệ thống một số dạng toán tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phương pháp đổi
biến số.
Chương 3. Hệ thống một số dạng toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức nhiều biến số
bằng phương pháp đổi biến số.
Các dạng toán:
a. Căn cứ vào mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức để phát hiện ra cách đổi biến.
b. Phương pháp đổi biến số S = x + y, P = x.y đối với bài toán tìm GTLN, NN của biểu thức
đối xứng theo 2 biến số x, y.
c. Phương pháp đổi biến số đối với biểu thức đối xứng theo 3 biến số x, y, z.
d. Tìm GTLN, NN qua biểu thức trung gian (do biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến).
CHƯƠNG 1. ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG CÁCH
KHẢO SÁT TRỰC TIẾP HÀM SỐ
1.1/ Phương pháp giải bài toán: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D.
Phương pháp chung
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D. Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận.
Lưu ý 1: Nếu D là đoạn [a; b] thì có thể làm như sau:
- Tính đạo hàm y
’
.
- Tìm các nghiệm của y
’
trong đoạn [a; b], giả sử các nghiệm này là x
1
, x
2

- Tính f(a), f(b), f(x
1

f x x x x
π π
 
= − ∈ −
 
 
f(x)=5cosx–cos5x,
.
4 4
x
π π
− ≤ ≤
x
sinx+2cos
2
( ) , 0; .
x
2
cosx+2sin
2
f x x
π
 
= ∈
 
 
4 4
2 2 2 6 2 6y x x x x
= + + − + −
[ ]

t t
+
=
+ +
.
Ta có:
2
'
2 2
2
( )
( 1)
t t
f t
t t
− −
=
+ +
, f
’
(t) = 0
⇔
0
2
t
t
=


= −

1)0()( == ftMaxf
.
Từ đó có GTNN, GTLN của hàm số ban đầu lần lượt là
3
1
−
và 1.
• Phân tích sai lầm
Theo lời giải trên thì hàm số f(x) nhận GTNN là
3
1
−
khi: sinx = -2, điều này không xảy ra.
2
Tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
sin 1
sin sin 1
x
y
x x
+
=
+ +
Mặc dù đã lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí nhưng chưa tìm điều kiện cho nó dẫn đến bài
toán tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới
2
1
( )
1

như sau:
t -1 0 1
+∞
f
’
(t) + 0 -
1
f(t)
0
3
2
Từ bảng biến thiên suy ra GTNN, GTLN của hàm số f(t) trên đoạn
[ ]
1;1−
lần lượt là 0 (khi
và chỉ khi t = -1) và 1 (khi và chỉ khi t = 0).
Từ đó có: Maxy = 1 đạt được khi và chỉ khi:
Π=
kx
, Miny = 0 khi và chỉ khi:
Π+
Π
− 2
2
k
.
Nhận xét
Nếu biểu thức xác định của hàm số có thể phân chia thành các nhóm số hạng và giữa
chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua nhau thì ta
có thể đưa bài toán đó về bài toán đơn giản hơn bằng phương pháp đổi biến số.

2
1
sin cos
2
u
x x
−
=
và bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
1
( )
2
u
f u u
−
= +
trên đoạn
2; 2 .
 
−
 

Trên đoạn
2; 2
 
−
 
dễ dàng tìm được GTNN, GTLN của hàm số f(u) lần lượt là -1 (khi
và chỉ khi u = -1) và

2
1 1
( ) 2
2 2
h t t t= − + +
.
Và bài toán trở thành tìm GTNN, GTNN của hàm số h(t) trên đoạn [-1; 1].
Đáp số: Maxy =
17
8

⇔

12
x k
Π
= + Π
hoặc
5
12
x k
Π
= + Π
; Miny = 2
⇔

( ).
4
x k k Z
Π

Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý rằng
[ ]
2
4 2 ( 1)(3 ) 4, 1;3t x x x= − + − ≤ ∀ ∈ −
, từ đó suy
ra
2 2.t
− ≤ ≤
(hoặc lập BBT của hàm số
( ) 1 3t x x x= + − −
trên
[ ]
1;3D = −
để suy ra
2 2.t
− ≤ ≤
)
Bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
( ) 2
2
t
g t t= + −
trên đoạn
[ ]
2;2−
.
Đáp số: Maxy = 2
⇔
x = 3; Miny =

1
−
−
+
=
xx
y

6 6
sin cos .sin .cosy x x a x x
= + +
(với a là tham số)
xxy cos1sin1 +++=
y =
2 2
sin os 1
3 3
x c x+
+
)8cos4(cos
2
1
)4cos2sin1(2 xxxxy
−−+=
xx
xx
y
24
24
cos2sin3

6 2
4 1 , 1;1y x x x= + − ∈ −
y =
( )
2
2 2
3
1 1x x− + −
4 2 4 2 2 2
(4cos 3sin )(4sin 3cos ) 25sin cos .y
α α α α α α
= + + +
3 2
3 2
1 1 1
y x x x
x x x
= + − − + +
f(x)=
22
5884
2
234
+−
+−+−
xx
xxxx
4 2 2
2 2
2 1 1 1 3

6 /3( ) ( ) .
a b ab
a b ab
a b a b
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c a b c
+ ≥
+ ≥
+ ≥ +
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +
2/ BĐT Côsi - Với a, b, c không âm, ta có:
( )
3
3
2 , 3 , 27a b ab a b c abc a b c abc
+ ≥ + + ≥ + + ≥

2.2/ Ví dụ minh họa
a. Căn cứ vào mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức để phát hiện ra cách
đổi biến.
Ví dụ 1
Nhận xét và hướng dẫn giải
5
Cho x, y, z là các số dương. Tìm GTNN của biểu thức
3
3
.

= +
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:
3
3 3
3
3
xyz
x y z
t
xyz xyz
+ +
= ≥ =
.
Do đó bài toán quy về tìm GTNN của hàm số
1
( )P t t
t
= +
trên khoảng
[
)
3; .+∞
Vì
2
'
2
1
( ) 0, 3
t

+ = + −
 ÷
 
2
2
2
4 4 2 2
4 4 2 2
2 2 2 (2 ).
x y x y x y
b
y x y x y x
 
 
 
 ÷
+ = + − = + − −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
Từ (2a) và (2b) ta thấy nếu đặt
x y
t
y x
= +
thì:
4 2

T
’
(t
)
- +
+∞
+∞
T(t)
-2 2
Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của T(t) trên D là -2 khi và chỉ khi: t = -2.
6
Cho x, y khác 0. Tìm GTNN của biểu thức
4 4 2 2
4 4 2 2
.
x y x y x y
T
y x y x y x
 
= + − + + +
 ÷
 
Từ đó có: Min(T) = -2, đạt được khi và chỉ khi x = - y (x và y khác 0) .
Ví dụ 3
Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có H =
( )
x
y
y

≤≤
y
x
, do đó






∈ 1;
2
1
t
.
Bài toán trở thành: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
t
ttH
1
2)( ++=
trên đoạn






1;
2
1


1;
2
1
là
2
9
khi: t =
2
1
, còn GTNN trên đoạn này của
H(t) bằng 4 khi: t = 1.
Đáp số: Max(H) =
2
9

⇔
(x; y) = (1; 2) ; Min(H) = 4
⇔
x = y (với
1 , 2).x y≤ ≤
Ví dụ 4
Nhận xét và hướng dẫn giải
Biến đổi:
2 2
2 2
1 1
2
2
x y x y

Vì thế quy về bài toán quen thuộc: Tìm GTNN của hàm số
1
( )
2
Q t t
t
= +
−
trên khoảng
( )
∞+;2
.
Ta có



=
=
⇔=
−
+−
=
3
1
0)(',
)2(
34
)('
'
2

 ÷
= + +
 ÷
−
 
với x, y dương và x khác y.
Tìm GTLN, NN của H =
( )








++
yx
yx
11
. Biết x, y thoả mãn điều kiện
.21 ≤≤≤ yx
Q(t)
4
Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của Q(t) trên khoảng
( )
∞+;2
là Q(3) = 4.
Đáp số: Min(P) = 4 đạt được khi và chỉ khi x
2

Đặt S = x + y = 1, P = xy
Ta có: M = (xy)
3
– 3xy (x + y) + (x + y)
3
+ 1 = (xy)
3
– 3xy + 2 = P
3
– 3P + 2.
8
Cho x, y thoả mãn x + y = 1, Tìm GTLN, GTNN của M = (x
3
+ 1)(y
3
+ 1).
Lại có 1 = S
2

≥
4P suy ra:
1
.
4
P ≤

Vậy bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số M(P) = P
3
– 3P + 2 với
1


81
64
Từ bảng biến thiên suy ra GTNN không tồn tại còn GTLN của Q bằng 4, đạt được khi và
chỉ khi
1
1
x y
xy
+ =


= −

, giải hệ ta được
( )
1 5 1 5 1 5 1 5
; ; , ; .
2 2 2 2
x y
 
   
+ − − +
 
=
 ÷  ÷
 
 ÷  ÷
 
   

3
( ) 6 3
2
M t t t t= − − + +
.
Để x, y tồn tại ta phải có: (x + y)
2

≥
4xy nên t
2
≥
2(t
2
– 2) từ đó có
2 2t− ≤ ≤
.
Từ đó có GTNN, GTLN của
( )M t
trên [-2; 2] là: Max(M) =
13
,
2
Min(M) = -7.
c. Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau:
Tính chất 1: M phụ thuộc vào 2 trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc x
2
+ y
2
+ z

2
– 2xy – 2yz – 2zx để biểu diễn đại lượng còn lại theo t.
2. Tìm ĐK cho t ta thường dùng một trong ba BĐT sau:
x
2
+ y
2
+ z
2

≥
xy + yz + zx hoặc (x + y + z)
2

≥
3(xy + yz + zx) hoặc 3(x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥
(x + y + z)
2

3. Quy về bài toán đơn giản.
Ví dụ 7
Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có: R = (x + y + z)(x

2
1
1
2
t −
≤
suy ra
3 3.t− ≤ ≤
Tìm GTLN, NN của R(t) trên đoạn
3; 3
 
−
 
, được: Max(R) = 1 ; Min(R) = -1.
d. Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm GTNN,
GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian.
Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN của biểu thức M không có dấu hiệu đổi biến số nhưng đánh giá
được M
≥
N thì thay vì tìm GTLN, NN của M ta đi thực hiện bài toán: tìm GTLN, NN của biểu
thức trung gian N.
Ví dụ 8
Nhận xét và hướng dẫn giải
Rõ ràng không có dấu hiệu nào để biểu diễn các biến số của biểu thức cho trong bài toán
theo một biến số mới, ta sẽ tìm GTNN của biểu thức M ban đầu thông qua việc tìm GTNN của
một biểu thức trung gian T, biểu thức này được xác định qua lập luận sau:
+ Trước hết theo BĐT Cô si ta có
M = x + y + z
3
3

– 3xyz.
+ Để tìm GTNN của biểu thức M ta đi tìm GTNN của biểu thức
3
3
3
3T xyz
xyz
= +
.
Đặt
3
3u xyz=
thì việc tìm GTNN của biểu thức T được quy về việc tìm GTNN của hàm số
9
( )T u u
u
= +
trên khoảng
3
0;
2
 


 
(vì
3
3
0 3
2

3
3
3 15
3
2
T xyz
xyz
= + ≥
, đẳng thức xảy ra
⇔
x = y = z (8b).
+ Từ các kết quả (8a) và (8b) suy ra GTNN của biểu thức M ban đầu là
15
2
đạt được khi và chỉ khi
x = y = z.
Ví dụ 9
Nhận xét và hướng dẫn giải
Biến đổi giả thiết: xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1)
⇔
xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z),
Do đó có: N = x
2
+ y
2
+ z
2
= (x + y + z)
2
– 2(xy + yz + zx)

zyxzyxN
, đẳng thức có
⇔
x = y = z. (9b)
Đặt t = x + y + z (0 < t < 3) thì từ (9b) ta có:
3
2
4
2 2 ( )
27
t
N t t f t≥ − + − =
.
Đến đây, bằng cách khảo sát hàm số ta được GTNN của hàm số f(t) trên khoảng (0 ; 3) là
4
3
, đạt được khi và chỉ khi
2
3
=t
. Từ đó có: Min(N) =
4
3
, đạt được khi và chỉ khi
.
2
1
=== zyx
Ví dụ 10
Nhận xét và hướng dẫn giải

2
3)()(
1
2
)1)(1(
2
11
32222
2
xyttft
t
xy
xy
xy
xy
xyyxyx
xyyx
xy
x
y
y
x
yx
xy
y
y
x
x
P
==−+=−+=

2
) là
2)
4
1
( =f
, từ đó có kết quả bài toán.
BÀI TẬP
Bài 1 (PP thế). 1/ Cho x + y = 1. Tìm GTLN, NN của P = x
3
+ y
3
+ 3(x
2
– y
2
) + 3(x + y).
2/ Cho x, y
≥
0 và x + y = 1. Tìm GTNN của P = 3
2x
+ 3
y
.
3/ Cho x, y > 0 và x + y =5/4. Tìm GTNN của P =
4 1
.
4x y
+
4/ Cho

1/ Cho x, y > 0. Tìm GTNN của
.
xy
x y
P
x y
xy
+
= +
+
2/ Cho các số dương x, y thỏa:
1
1x
y
+ ≤
. Tìm GTNN của biểu thức
x y
H
y x
= +
.
3/ Cho x, y dương và
1.x y+ ≤
Tìm GTLN, NN của:
1
C xy
xy
= +
.
12

, c. D = x
2
y
2
(x
2
+

y
2
).
2/ Cho x, y khác 0 thoả mãn: xy(x+y) = x
2
+ y
2
- xy. Tìm GTLN của
33
11
yx
N +=
.
3/ Cho 2 số x, y thỏa mãn: 1 – y
2
= x(x – y). Tìm GTLN, NN của F =
6 6
3 3
1x y
x y y x
+ −
+

+ y
2
+ xy =3. Tìm GTLN, NN của P = x
3
+ y
3
– x
2
– y
2
.
8/ Cho x, y > 0 và x
2
- xy + y
2
= 1. Tìm GTLN, GTNN của P =
4 4
2 2
1
1
x y
x y
+ +
+ +
.
9/ Cho x, y thỏa x
2
(2x
2
– 1) + y

11/ Cho x, y là hai số thực dương thỏa
2
33
=+ yx
. Chứng minh:
2
22
≤+ yx
.
12/ Cho x, y dương và xy + x + y = 3. CMR:
2 2
3 3 3
.
1 1 2
x y xy
x y
y x x y
+ + ≤ + +
+ + +
.
Bài 4 (PP Thế). Cho x, y, z thỏa x + y + z = 0 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 1. Tìm GTLN của M = x
5
+ y
5

x y x y
x y
+ + + +
+ +
.
5/ Cho các số x, y thỏa: x
2
+ xy + 4y
2
= 3. Tìm GTLN, NN của biểu thức P = x
3
+ 8y
3
– 9xy.
Bài 6.
1/ Cho các số thực x, y, z thay đổi thoả mãn đẳng thức x
2
+ y
2
+ z
2
=1.Tìm GTLN và GTNN của
biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx.
2/ Cho x, y, z không âm và x
2
+ y
2
+ z
2
= 3. Tìm GTLN, NN: Q = xy + yz + zx +

2
+ z
2
) – 4xyz – 9x + 2012.
3/ Cho x, y > 0 và x + y
1.≤
Tìm GTNN của
2 2
1 1 3
.
x y xy
A
x y x y xy
+ +
= + + +
+
4/ Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn
1x y+ ≥
. Tìm GTNN của:
( ) ( )
4 4 2 2 2 2
A 3 x y x y – 2 x y 1= + + + +
.
5/ Cho x, y, z > 0 và có tổng bằng 1. Tìm GTNN của:
1 1 1
Q x y z
y z x
 
  
= + + +

9
x y z
x y y z x z
+ + ≥
+ + +
.
9/ Cho a, b, c > 0, CMR:
1 1 1 9
2a b c abc
+ + ≥
+
.
10/ Cho
, , 0x y z >
và thỏa
1x y z+ + =
. Chứng minh rằng
18
2
xyz
xy yz zx
xyz
+ + >
+
.
11/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. CMR:
18
2
xyz
xy yz zx