Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GTLN VÀ GTNN
CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

Huỳnh Chí Hào

A. PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Để giải bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số nhiều biến bằng phƣơng pháp hàm số, thông thường ta
thực hiện theo các bước sau :
 Biến đổi các số hạng chứa trong biểu thức về cùng một đại lượng giống nhau.
 Đưa vào một biến mới t, bằng cách đặt t bằng đại lượng đã được biến đổi như trên.
 Xét hàm số
)(tf
theo biến
t
. Khi đó ta hình thành được bài toán tương đương sau : Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
)(tf
với
Dt 
.
 Lúc này ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
)(tf
với
Dt 
.
 Chú ý : trong trường hợp không thể xây dựng trực tiếp được hàm số

 Thích hợp cho các đề thi khối B và D.

Thí dụ 1. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1.
Tìm GTNN của biểu thức
22
22
11
P x y
yx


  





Lời giải.
 Ta biến đổi
 
2
2
1
2
()
P xy
xy
  

 Do

Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

2

 
;
1
'
2
2
t
t
tf


ta thấy
 
0' tf
với mọi







16
1
;0t
, suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên nửa khoảng

ftfP
t
.
Thí dụ 2. (Khối A 2006) Cho các số thực
0, 0xy
thỏa
22
()x y xy x y xy   
.
Tìm GTLN của biểu thức
33
11
A
xy

.
Lời giải.
 Đặt
x y S
và
xy P
với
0P 
, từ giả thiết ta có
3
2


S
S























S
S
xy
yx
yx
xyyx
yx
xyyxyx Suy ra
2
( ) 16A f t

 Vậy GTLN
16P
khi
2
1
 yx
.
Thí dụ 3. Cho các số thực dương thay đổi
,xy
thỏa điều kiện
1xy
.
Tìm GTNN của biểu thức
33
11
P
x y xy


.
Lời giải.






yx
xyt

 Xét hàm số
tt
tf
1
31
1
)( 


với
4
1
0  t22
/
1
)31(
3
)(
tt
tf 


3
 BBT
 Suy ra
324
6
33










 fP

 Vậy GTLN
324 P

2
1
yx
.
Thí dụ 4. (khối D 2009) Cho các số thực không âm
,xy
thỏa điều kiện
1xy
.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
22
(4 3 )(4 3 ) 25S x y y x xy   

Lời giải.
 Do
1 yx
nên
xyxyyxS 25)34)(34(
22
xyxyyxyx 259)(1216
3322
 
xyyxxyyxyx 34)(3)(1216
322

4
1
0  t232)(
/
 ttf
16
1
0)(
/
 ttf  Vậy GTLN
2
25
S
khi
2

và
2
12x x y  
.
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2 17P xy x y   
.
Lời giải.
 Ta có
34012
2
 xyxx+
∞
8
0
+
t
f
/
(t)
f(t)
_
3-
3
6
0
4+2

 xxxxxxxxxP

 Xét hàm số
793)(
23
 xxxxf
với
34  x963)(
2/
 xxxf
1;30)(
/
 xxxf

 Vậy GTLN
20P
khi
6,3  yx








20
2
0
0
x
yx
y
x


1
1
1)2(3
3)2()2(
2
222






xx

3
1
PGTNN
khi
1; 1xy
.
Thí dụ 7. Cho các số thực thay đổi
,xy
thỏa điều kiện
1xy  
,
22
1x y xy x y    
.
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
1
xy
P
xy


.
Lời giải.
 Từ giả thiết
1)()(1
222
 xyyxxyyxxyyx

 Đặt
yxt 

-12
20
-13
-
+
+
20

+
-
1
3
0
2
1
0
P
P
/
x

Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

5
 Xét hàm số
1
1
)(
2


t


  


  Vậy GTLN
3
1
P
khi
3
1
 yx
hoặc
1 yx

GTNN

2
2



t
tt
xy

 Ta có
tt
t
ttt
xyyx 


 220
2
842
4)(
23
2

 Khi đó
2
2
2
2



)(



tt
tt
tf
2;
3
2
0)(
/


 ttxf
 Vậy GTLN
2P
khi
1 yx
.
Thí dụ 9. Cho các số thực thay đổi

0
-1
2-
∞
+
∞
-2
7
1
_
t
f
/
(t)
f(t)
_
-2
1
2
2

Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

6
Lời giải.
 Ta có
11




 Đặt
tyxxyt  1
22


1
32
2



t
t
P

 Xét hàm số
1
32
)(
2



t
t
tf
với

2
1
)1(  fP
khi
1 yx

GTLN
6
25
)
3
1
(  fP
khi
1
3
xy   
.
Thí dụ 10. (Khối B 2011)Cho a, b các số thực dương thỏa
22
2( ) ( )( 2)a b ab a b ab    
.
Tìm GTNN của biểu thức
3 3 2 2
3 3 2 2
49
a b a b
P
b a b a
   







a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
ab
baa
b
b
a
22
22
12)2(
11
12

 Đặt











 ttt
a
b
b
a
a
b
b
a
P

181294
23
 ttt

 Xét hàm số
181294)(
23
 ttttf
với

f
/
(t)
t+
∞
+
∞
t
f
/
(t)
f(t)
+
5
2
-23
4

Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

7
 Suy ra
4
23
2
5




.
Lời giải.
 Đặt
t xy
. Ta có:
 
 
2
1
1 2 2 4
5
xy x y xy xy xy        

 và
 
 
2
1
1 2 2 4
3
xy x y xy xy xy      
. ĐK:
11
53
t  
.
 Suy ra :
 

,

' 0 0, 1( )P t t L    

1 1 2
5 3 15
PP
   
  
   
   
và
 
1
0
4
P   Vậy GTLN là
1

acacac
cbcb
cbcbcb
baba
bababa
P










 Nhận xét: Do
22abc 
nên
2 2 2
,,abc
là các số thực dương
 Xét A =
22
22
x y xy
A
x y xy



tf
với
t0


22
2
/
)1(
22
)(



xx
x
tf
P
/
2
15
1
3
-
1
5
2

3
1
)(
3
1
)(
3
1
3
222222222222
 cbacbabccbbaP

 Vậy GTNN
4P
khi
2 cba
.
Thí dụ 13. Cho hai số thực x, y thỏa mãn
1, 1xy
và
3( ) 4 .x y xy

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
33
22
11
3.P x y
xy

   

 Vì
1, yx
nên
.0)1)(1(  yx
Hay là
01)(  yxxy

.401
4
3
 aa
a

 Vậy ta có
43  a
.
 Mặt khác, từ giả thiết ta lại có
.
3
411

yx

 Suy ra
xyyx
yxxyyxP
611
3)(3)(
2
3

a
aaaf

 Ta có
].4;3[,0
8
)
2
3
(3
8
2
9
3)('
22
2
 a
a
aa
a
aaafa
3
4
)(' af

+




.1,3
3,1
4
yx
yx
a
.

+
∞
0
+
t
f
/
(t)
f(t)
_
0
1
3
1

Mt k thut tỡm GTLN v GTNN ca hm s THPT chuyờn Nguyn Quang Diờu

9
Thớ d 14. Cho cỏc s thc khụng õm
,,x y z

nên
3393
2
tt
vì
.0t

Khi đó
.
5
2
3
2
t
t
A



Xét hàm số
.33,
2
35
2
)(
2
t
t
t
tf


Vậy GTLN của A là
3
14
, đạt đ-ợc khi
.1 zyx

Thớ d 15. Cho hai s thc x tha món
0 1, 0 1xy
v
4.x y xy

Hóy tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc
22
7.M x y xy

Li gii.
Đặt
.4tyxtxy
Theo định lí Viet đảo x, y là nghiệm của ph-ơng trình

.04)(
2
ttXXXh

Vì
1,0
21
xx
nên ph-ơng trình

t
s
th
th
tt

3
1
4
1
t
.
Khi đó

,9169
2
2
ttxyyxM
với
.
3
1
4
1
t

Ta có




32
9

3
1

9
11


64
81


4
5


-
0
+
Mt k thut tỡm GTLN v GTNN ca hm s THPT chuyờn Nguyn Quang Diờu

10
Suy ra: M
max
9
11

, đạt khi


Thớ d 16. Cho x, y l hai s thc tha món
22
3.x y xy

Hóy tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc
4 4 3 3
4A x y xy x y

Li gii.
Điều kiện:
3;1 yx
.
Đặt
03;01 yvxu
. Khi đó hệ đã cho trở thành















0tf
có nghiệm
21
, tt
thoả mãn
21
0 tt
200
2
2
00.1
2


a
aa
f
.
Đặt
xyt
. Từ giả thiết
3
22
xyyx
ta có:
+)


tttttf
. ttttf ,0223'
2
. Vậy hàm số nghịch biến trên , nên:


333max;51min
13
13



ftfftf
t
t

Để ý rằng
11 yxt
và
33 yxt

Vậy
5min A
, đạt khi
1 yx
()
2
22
33
xy x y
xy










P = x
5
+ y
5
+ z
5
= x
5
+ y
5
(x + y)
5
= -5xy(x
3

24
t

f’(t) = 0  t =
1
6


t
2
3


1
6


1
6

2
3

f’(t)
– 0 + 0 –
f(t)
56
36

56





  


(có nghiệm) hay
2
3
1
6
()
xy
xy
z x y

  





  


(có nghiệm) 
Cách 2:
 Với x + y + z = 0 và
2 2 2


, do đó
66
(*)
33
x  

 Khi đó:
5 2 2 3 3 2 2
( )( ) ( )P x y z y z y z y z     2
5 2 2 2 2
1
(1 ) ( )( ) ( )
2
x x y z y z yz y z x x


        


2
5 2 2 2 2 3
1 1 5
(1 ) (1 ) (2 ).

f x x

   

 Ta có
6 6 6 6 6 6
,
3 6 9 3 6 9
f f f f
       
       
       
       
       
Do đó
6
()
9
fx

Suy ra
56
36
P 


Khi
66
,
36

.
 Vì
 
 
 
2
22
2. 2 1. 1 2 1 2 1x y x y       
2 2 1 5( 1)x y x y      
.
Nên từ
2 2 1 1x y x y     5( 1) 1x y x y     
. Đặt t = x + y , ta có:
1 5( 1) 1 6t t t     

 Khi đó: F =
22
1 2 1 2
()
22
x y t
x y t
   

.
 Xét
2

2
ax ( ) (6) 18
6
t
M f t f

  
GTNN của F là:
5
2
đạt được tại:
2
1
1
x
t
y





 Vậy GTLN của F là
2




Lời giải.
 Từ giả thiết ta có:

22
12x y xy xy xy    

1xy
.

2 2 2
1 ( ) 3 3x y xy x y xy xy       

1
3
xy


.
 Ta có
22
1x y xy  
nên
6 6 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 3x y x y x y x y

    


t



=
()ft

 Hàm số
()ft
trên
 
1
;1 \ 0
3





 Ta có
2
2
2 4 3
'( ) 0
( 1)
tt
ft
t
  


và
3x y z  
.
Tìm giá trị lớn nhất của
2 2 2
A x y z  

Lời giải.
 Cho
,,x y z
thuộc
 
0;2
và
3x y z  
. Tìm giá trị lớn nhất của
2 2 2
A x y z  

 Giả sử:
 
3 3 1 1;2x y z x y z z z z          

Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

13
 Lại có:

 
2 2 2

khi
0; 1; 2x y z  

Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

14
II. XÂY DỰNG GIÁN TIẾP HÀM SỐ
()ft
BẰNG SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG
THỨC:
Phương pháp chung:
 Dự đoán khả năng dấu bằng xảy ra hoặc giá trị đặc biệt trong điều kiện để đặt được biến phụ t





yx
xy


1)(2
2
)(3
22
2
22
222
















9
)(
2
 t
t
tf
với
2
1
t2
2
9
)(
/

t
tf
 Suy ra

, điều kiện
3
1
3
)(
0
2



cba
cabcabtx
f
/
(t)
f(t)
+
1
2
9
16

Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

15
 Xét hàm số
2

()ft
là hàm nghịch biến:
//
1 11
( ) 2 3 0
33
f t f

   


.
Suy ra
()ft
là hàm số đồng biến
 BBT
t
0
1
3

 
/
ft

-
()ft10 6 3

Tìm GTLN của biểu thức
2 2 2
3( ) 4P a b c abc   
.
Lời giải.
 Giả sử
2
3
10  ccba

 Ta có
abccabbaP 436)(3
22

abccc )3(23)3(3
22
2
22
2
)3(23)3(3








2
27
2
3
)(
23
 tttf
với
2
3
1  tcctf 33)(
2/


 BBT:

0
0
+
t
f

     
.
Lời giải.
 Theo bất đẳng thức Côsi ta có

3
31 xyzzyx 3
3111
xyz
zyx


 Suy ra
3
3
3
3
xyz
xyzP 

 Xét hàm số
t
ttf
3
3)( 
với
3

1
()(  ftfP

 Vậy GTNN
10P
khi
3
1
 zyx

Thí dụ 5. (Khối A 2003) Cho các số đương
,,x y z
thỏa
1x y z  
.
Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
2 2 2
1 1 1
P x y z
x y z
     
.
Lời giải.
 Ta có
2
3
2
3
2

ttf
9
9)( 
với
9
1
0  t

9
1
3
0
2









zyx
t0
999
9)(
2

82
1
9
0
_
f(t)
f
/
(t)
x

Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

17  Suy ra
82)
9
1
()(  ftfP

 Vậy GTNN
82P
khi
3
1
 zyx
.
Thí dụ 6. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa

bbaba

 Do đó
 
bccbcbcbcbcbP 3)()(
2222222


 Từ





30
3
cba
cba
ta có
323  cbbccbcbacb

 Suy ra
4
9
0  bc

 Từ đó ta có
)39(
22
bccbP 

và các hoán vị. 
Thí dụ 7. Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thuộc
 
0; 2
.
Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
P
a b b c c a
  
  
.
Lời giải.
 Giả sử
20  cba

 Từ





bbc
ac
20
20






bb
P0
9
4
12
0
2
_
f(x)
f
/
(x)
t
+
0

Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

18
 Xét hàm số
4
1
)2(
11

4
9
)1(  fP

 Vậy GTNN
4
9
P
khi
2;1;0  cba
và các hoán vị. 
Thí dụ 8. Cho các số đương
,xy
thỏa
1xy
.
Tìm GTNN của biểu thức
11
xy
P
xy


.
Lời giải.
 Áp dụng BĐT
ba
a
b
b

1
)(
/
.
 
/
1
0
2
f x x  

 Suy ra
2)
2
1
(  fP

 Vậy GTNN
2P
khi
2

9
4
2
00
1
2
0
1
2
_
f(x)
f
/
(x)
x
+
0

Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

19
 Xét hàm số
212)(
2
 yyyf

 Trường hợp

3
1
)( 








 fyf

 Trường hợp
202  yy 3221212)(
22
 yyf


1
)1(
2
1
)(
2
1
1  zyxzyxzyx3
3
3
)1)(1)(1(








zyx
zyx

 Suy ra
3
)3(
54
1

t
tf
với
t142
/
)2(
1622
)(


tt
tf
4;10)(
/
 tttf +
∞
2+
3
2
-
∞

 Vậy GTLN
4
1
P
khi
1 zyx
.
Thí dụ 11. Cho các số dương
,,x y z
. Tìm GTLN của biểu thức
2 2 2 2 2 2
x y z
P
x y y z z x
  
  

Lời giải.
 Đặt
z
x
c
y
z
b
x
y
a  ,,
1 abc


1
1
1
1
cb
acba
Pxx
bc
a








1
1
12
1
2
1
2
1
1
2

 Suy ra
2
3
)
2
1
(  fP

 Vậy GTLN
4
1
P
khi
1 zyx
.
Thí dụ 12. Cho các số dương
,,x y z
thỏa
3x y z  
.
Tìm GTNN của biểu thức



accbbacba
accac
cbbcb
baaba

 Đặt
222
zyxt 


t
t
t
zyx
zyx
zyxP
2
9
)(2
)(9
222
222
222







2
/
2
9
1)(
t
tf   Suy ra
4
1
)4(  fP

 Vậy GTLN
4
1
P
khi
1 zyx
.
Thí dụ 13. Cho các số không âm
,,x y z

3
33
3
33
3
333
64)(64)(
)(
16
4
a
zza
a
zyx
zyx
zyx
P








 Đặt
a
z
t 


,
4 9 81
Pf





 Vậy GTNN
81
16
P
khi
zyx 4
.
Thí dụ 14. (Khối B 2007) Cho các số thực dương x, y, z .
Tìm GTNN của biểu thức
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   

     
   


   
.

Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

22
 Ta có
xyz
zyxzyx
P
222222
2





 Do
zxyzxyzyx 
222












 Xét hàm số
t
t
tf
1
2
)(
2

với
2
1
t2
/
1
)(
t
ttf 
2
1
1
1
1
với
0,0  ba
và
1ab
(chứng minh tương đương)
 Khi đó
1 1 1 2
3
23
1 1 2
1
x
P
z x y
xy
x
y z x
y
    

  


 Đặt
y

2
32
)(
2
2
với
21  t 
0
)1()32(
9)12(3)34(2
)(
222
3
/




tt
tttt
tf

P
khi
2;1;4  zyx
.
Thí dụ 16. Cho các số thực dương a, b, c.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
12
( 1)( 1)( 1)
1
P
abc
abc

  
  
.
Lời giải.
 Áp dụng BĐT Côsi ta có

222222
)1(
4
1
)1(
2
1
)(
2
1

.
 Đặt
1,1  tcbat
. Khi đó ta có
3
)2(
542


t
t
P
.
 Xét hàm
3
)2(
542
)(


t
t
tf
trên
);1( 
. Ta có

410)(';
4
1


)(tf4
1

 Dựa vào BBT suy ra
4
1
P
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
14  cbat
.
 Vậy giá trị lớn nhất của P là
4
1
, đạt được khi
1 cba
.
Thí dụ 17. (khối D-2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn
   
22
4 4 2 32x y xy    

( ) 6 3( ) 6x y xy x y    

 A
32
3
( ) ( ) 3( ) 6
2
x y x y x y      

Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

24

Đặt t = x + y (
08t
), xét f(t) =
32
3
36
2
t t t  


f’(t) =
2
3 3 3tt

f’(t) = 0 khi t =
15
2


hay x = y =
15
4



BÀI TẬP

Bài 1: Cho x, y, z là ba số thực thỏa
2
222
 zyx
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xyzzyxP 3
333


Hướng dẫn : đặt
zyxt 

Bài 2: Cho các số dương
zyx ,,
thỏa
3 zyx
. Tìm GTNN của biểu thức

yzxzxyP 22109 

Hướng dẫn :

2
22
22
xx
xx
zy
xxzyP





Bài 4: Cho các số dương
zyx ,,
thỏa
128221  zxyzxy
. Tìm GTNN của biểu thức

zyx
P
321


Hướng dẫn :
Đặt
z
c
y
b
x

7
2
1414
42

















ab
a
a
a
ab
a
a
ab
a

222
333
zyxzyx
zyx
P




Hướng dẫn :
Đặt
zyx
x
a


4
,
zyx
y
b


4
,
zyx
z
c



32
1
)(
23
 ttttf

Bài 6: Cho các số dương
zyx ,,
thỏa
xyzzyx 32)(
3

. Tìm GTLN của biểu thức

4
444
)( zyx
zyx
P




Hướng dẫn :
Do tử và mẫu cùng bậc nên giả sử
4 zyx

Ta có
)(2)(
2222222222444


4
444
)( zyx
zyx
P




Hướng dẫn :
Do tử và mẫu cùng bậc nên giả sử
1 zyx

Từ giả thiết
7
1
222



zyx
zxyzxy
9
1
7
1
)(21



Bài 8: Cho các số dương
zyx ,,
. Tìm GTNN của biểu thức

))((
9)(2
3
zxyzxyzyx
xyzzyx
P




Hướng dẫn :
Do tử và mẫu cùng bậc nên giả sử
1 zyx
và
 
3
1
0,,min  zzyxz