Sở GD&ĐT Hà Nam
Trung Tâm GDTX Duy Tiên
Chuyên đề
Chuyên đề hàm số
BÙI QUỸ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
1.1 Tóm tắt lí thuyết
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Ta nói:
- Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈ (a; b) mà x
1
< x
2
thì
f(x
1
) < f (x
2
).
- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈ (a; b) mà x
1
< x

y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó.
Chú ý 1 Trong các hàm số sơ cấp được học (ngoại trừ hàm hằng), ta có kết quả sau:
- y = f (x) là hàm số đồng b i ến trên (a; b) ⇐⇒ f

(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b)
- y = f (x) là hàm số nghịch biến trê n (a; b) ⇐⇒ f

(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b)
* Các bước xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm các điểm tới hạn
- Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
- Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra chiều biế n thiên của hàm số.
3. Nhắc lại định lí dấu tam thức bậc hai
1
1.2 Ví dụ và bài tập
 1.1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
1
Phải nhắc lạ i định lí thuận và định lí đảo
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 2
a) y = 4x
3
− 3x + 1
b) y =
3
4
x
4
+ x
3
− 3x

+ (m + 3)x − 4. Tìm m để hàm số tăng trên (0; 3)
 1.3 Cho hàm số y = 2x
2
+ 2mx + m − 1. Tìm m để hàm số tăng trên (−1; +∞)
 1.4 Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 3(2m − 1)x + 1. Tìm m để hàm số tăng trên tập xác định
 1.5 Cho hàm số y =
mx
2
+ 6x − 2
x + 2
. Tìm m để hàm số giảm trên ( 1; +∞)
 1.6 Cho hàm số y =
1
3
mx
3
−(m −1)x
2
+ 3(m −2 )x +
1
3
. Tìm m để hàm số tăng trên (2; +∞)
 1.7 Cho hàm số y =
2x
2
+ (1 − m)x + 1 + m

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý 2.2 (Dấu hiệu I) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ điể m x
0
).
i) Nếu f

(x) > 0 trên khoảng (x
0
− δ; x
0
); f

(x) < 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ δ) thì x
0
là một điể m
cực đại của hàm số y = f(x).
ii) Nếu f

(x) < 0 trên khoảng (x
0
− δ; x
0
); f


(x
0
) =
0, f

(x
0
) = 0 thì x
0
là một điểm cực trị hàm số, hơn nữa:
- Nếu f

(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu.
- Nếu f

(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại.
Quy tắc II
- Tìm f

(x). Giải phương trình f

(x) = 0. Gọi x

b) y =
x
2
− x + 1
x
2
+ x + 1
c) y = x +
√
3x
2
+ 6
d) y =
x
ln x
e) y = e
x
sin x f) y =
5
√
x
4
 2.2 Xác định m để hàm số y =
x
2
+ mx + 1
x + m
đạt cực đại tại x = 2.
 2.3 Chứng minh rằng hàm số y =
x

−1). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.
 2.6 Cho hàm số y = a sin x +
1
3
sin 3x. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x =
π
3
.
 2.7 Tìm m để hàm số dưới đây đạt cực đại và cực tiểu
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 4
a) y =
1
3
x
3
+ mx
2
+ (m + 6)x − 1
b) y =
x
2
− 2x + m
4 − x
 2.8 Cho hàm số y =
x
2
+ mx + 1
x + m
. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
 2.9 Cho hàm số y = x

 2.12 Cho hàm số y =
mx + 1
1 − x
2
. Tìm m để hàm số có hai cực trị. Trong trường hợp đó chứng
minh rằng các điểm cực trị của đồ thị ở cùng một phía đối với trục hoành.
 2.13 Cho hàm số y =
mx
2
− 2x + m
x
2
− x
. Tìm m để hàm số:
a) Tăng trên từng khoảng xác định.
b) Chỉ có một cực trị.
c) Đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương.
 2.14 Tìm m để hàm số
y = −x
3
+ 3(m + 1)x
2
− (3m
2
+ 7m − 1)x + m
2
− 1
đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
 2.15 Tìm m để hàm số sau có ba cực trị
y = x

Khi X = [a; b], ta có thể làm như sau:
- Giải HPT

y

= 0 hoặc y

không xác định
x ∈ (a; b)
, giả sử các nghiệm là x
1
, x
2
, , x
n
- Tính f(x
1
), f (x
2
), , f (x
n
) và f(a), f (b).
- Số lớn nhất trong các số trên là giá trị lớn nhất.
- Số nhỏ nhất trong các số trên là giá trị nhỏ nhất.
Chú ý 3 Trong trường hợp hàm số có chu kì chúng ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn
có độ dài bằng chu kì.
3. Phương pháp sự biến thiên để giải và biện luận phương trình có tham số
Phương pháp chung để giải và biện luận phương trình có tham số bằng PP sự biến thiên là:
Bước 1
: Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u (x), đặt điều kiện chặt cho t.

) = m.
Ta có:
min
x∈D
f(x) ≤ f (x
0
) ≤ max
x∈D
f(x).
hay:
min
x∈D
f(x) ≤ m ≤ max
x∈D
f(x).
⇐= Giả sử min
x∈D
f(x) ≤ m ≤ max
x∈D
f(x).
Do f (x) liên tục nên nó nhận mọi giá trị từ min
x∈D
f(x) tới max
x∈D
f(x) do đó nó nhận giá trị m, tức là
∃x
0
∈ D sao cho f(x
0
) = m. Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = m, x ∈ D có nghiệm.

x∈D
f(x) ≤ m.
Định lý 3.5 Cho phương trình f (x) = g(x) với x ∈ D.
Giả sử trên miền D hàm f(x) luôn đồng biến, còn hàm g(x) luôn nghịch biến. Khi đó nếu phương
trình trên có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Định lý 3.6 Xét bất phương trình f(x) ≤ g(x) trên miền D. Nếu max
x∈D
f(x) ≤ min
x∈D
g( x) thì bất
phương trình trên thoả mãn ∀x ∈ D.
Chú ý: max
x∈D
f(x) ≤ min
x∈D
g( x) chỉ là điều kiện đủ để f(x) ≤ g(x), x ∈ D chứ không phải là điều
kiện cần và đủ.
Giả sử
D = [a; b], α, β ∈ R, α < β.
max
x∈[a;b]
f(x) = β > α = min
x∈[a;b]
g( x)
Nhưng f(x) < g(x), ∀x ∈ D.
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 7
3.2 Ví dụ và bài tập
 3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = f(x) =
x

x +
1
lg
2
x + 2
 3.3 Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện x + y =
5
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức S =
4
x
+
1
4y
 3.4 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn
1
x
+
1
y
+
1
z
= 4
Tìm GTLN của
1
2x + y + z
+
1

, x ∈ [1; e
3
].
 3.7 Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m(
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
+ 2) = 2
√
1 − x
4
+
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
 3.8 Cho phương trình:
log
2
3
x +


 3.11 Cho phương trình 9
x
− m3
x
+ 2m = 0
a) Giải phương trình với m = −1
b) Tìm m để phương trình trên có nghiệm.
 3.12 Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y =
√
1 + sin x +
√
1 + cos x
 3.13 Cho phương trình
cos
6
x + sin
6
x
cos
2
x − sin
2
x
= m tan 2x
a) Giải phương trình khi m =
13
8
b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
 3.14 Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1)

)(b +
1
b
)(c +
1
c
)
 3.18 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
4
x
− m.2
x
− m + 3 ≤ 0
 3.19 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
3
sin
2
x
+ 3 tan
2
x + m(cot x + tan x) − 1 = 0
b) 5x
2
− (x + 1)
2
=
m + 2
2x
2

+ (6 − m)x
4
+ (7 − 2m)x
3
+ (6 − m)x
2
+ 3x + 1 = 0
f)
√
x
2
+ x + 1 −
√
x
2
− x + 1 = m
g)

2x
2
− 2(m + 4)x + 5m + 10 + 3 − x = 0
h)
√
3 + x +
√
6 − x −

(3 + x)(6 − x) = m
i)
√

= m
0 ≤ x ≤ 3
 3.23 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

√
x + 1 +
√
y + 2 = m
x + y = 3m
 3.24 Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a)







(4 − 6m). sin
3
x + 3(2m − 1) sin x
+2(m − 2) sin
2
x cos x − (4m −3) cos x = 0
0 ≤ x ≤
π
4
b)



x −5 cos 3x −36 sin
2
x −15 cos x +
36 + 24m − 12m
2
≥ 0
 3.28 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi |x| ≥ 2:
x
4
− 5x
2
+ x + 4 − m ≥ 0
 3.29 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm trên [1; 2]:
4
2x−x
2
+ 2
2x−x
2
+1
+ 2m − 3 ≥ 0
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 10
4 Tính lồi lõm và điểm uốn c ủa đồ thị
4.1 Tóm tắt lí thuyết
Định lý 4.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a; b).
i) Nếu f

(x) < 0; ∀x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số trên là lồi trên khoảng đó.
ii) Nếu f


b) y =
1
2
x
4
− 3x
2
+
5
2
c) y =
x
2
− x + 4
x
d) y = ln x
 4.2 Tìm a để đồ thị hàm số y = x
4
− ax
2
+ 3
a) Có hai điểm uốn.
b) Không có điểm uốn.
 4.3 Chứng minh rằng đường cong y =
x + 1
x
2
+ 1
có ba điểm uốn cùng nằm trên một đường thẳng.
 4.4 Tìm m để y = −

2
− 1 có hai điểm uốn có hoành độ
thoả mãn bất phương trình
x
2
− 2x
√
5 − 4x − x
2
< 0.
 4.9 Chứng minh rằng y =
2x + 1
x
2
+ x + 1
có ba điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường
thẳng đi qua ba điểm uốn đó.
 4.10 Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ (m + 2)x + 2m
a) Tìm m để đồ thị của hàm số có điểm uốn nằm trên Parabol y = x
2
.
b) Chứng minh rằng tại điểm uốn thì tiếp tuyến với đồ thị có hệ số góc là nhỏ nhất.
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 11
5 Tiệm cận
5.1 Tóm tắt lí thuyết
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).

x−→+∞
f(x) = y
0
( lim
x−→−∞
f(x) = y
0
) thì đường thẳng d : y = y
0
là một tiệm cận
ngang bên phải (bên trái) của đồ thị (C).
3. Tiệm cận xiên
Định lý 5.3 Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d : y = ax + b là một tiệm cận xiên của (C) là
lim
x−→+∞
[f(x) − (ax + b)] = 0 (1)
hoặc lim
x−→−∞
[f(x) − (ax + b)] = 0 (2 )
hoặc lim
x−→∞
[f(x) − (ax + b)] = 0 (3)
Nếu (1) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiên bên phải của (C). Nếu (2) xảy ra thì d được gọi là
tiệm cận xiên bên trái của (C). Nếu (3) xảy ra thì d đượ c gọi là tiệm cận xiên hai bên của (C).
Cách xác định tiệm cận xiên d : y = ax + b
a = lim
x−→∞
f(x)
x
; b = lim

có tiệm cận.
 5.3 Tìm m để hàm số y =
mx
2
+ 6x − 2
x + 2
không có tiệm cận đứng.
 5.4 Tìm a để y =
−x
2
+ x + a
x + a
có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0).
6 Đồ thị của hàm số mang dấu giá trị tu yệt đối
6.1 Tóm tắt lí thuyết
+ Hai điểm M
0
(x
0
; y
0
) và M
1
(−x
0
; −y
0
) đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
+ Hai điểm M
0

0
)
Từ đó hãy vẽ các đồ thị các hàm số sau:
y = −
(x − 1)(x + 2 )
x + 1
(C
1
)
y =


(x − 1)(x + 2)
x + 1


(C
2
)
y =
(|x| − 1)(|x| + 2)
|x| + 1
(C
3
)
y =
|(x − 1)|(x + 2)
x + 1
(C
4

) chuyển sang (C
3
) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung, lấy đối xứng
phần bên phải trục tung của (C
0
) qua trục tung.
Từ (C
0
) chuyển sang (C
4
) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = 1, lấy đối
xứng phần bên trái đường thẳng x = 1 của (C
0
) qua trục hoành.
Từ (C
0
) chuyển sang (C
5
) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = −2, lấy
đối xứng phần bên trái đường thẳng x = −2 của (C
0
) qua trục hoành.
Từ (C
0
) chuyển sang (C
6
) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = −1, lấy đối
xứng phần bên trái đường thẳng x = −1 của (C
0
) qua trục hoành.

3
O
y
x
O
y
x
C
0
C
4
Chú ý 8 Với hàm số y = u(x).v(x) (C) hoặc y =
u(x)
v(x)
muốn vẽ đồ thị các hàm số y =
|u(x)|v(x) (C
1
) hoặc y =
u(x)
|v(x)|
. Ta giữ nguyên đồ thị (C) trong miền làm cho u(x) > 0 hoặc
v(x) > 0, (tương ứng). Lấy đố xứng phần còn lại qua trục hoành .
7 Một số bài toán liê n quan đến khảo sát hàm số
7.1 Tóm tắt lí thuyết
Bài toán 1. Tìm giao điểm hai đường
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C
1
). Hãy tìm các
giao điểm của (C) và (C
1

y
x
C
0
C
5
O
y
x
O
y
x
C
0
C
6
Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x) .
a) Gọi (C) là đồ thị của nó, hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm
M
0
(x
0
; f (x
0
)).
b) Hãy viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm M
1
(x
1

. Để
đường thẳng d tiếp xúc với (C), hệ phương trình sau phải có nghiệm:

f(x) = k(x − x
1
) + y
1
f

(x) = k
Hệ phương trình này cho phép ta xác định hoành độ x
0
của tiếp điểm, và hệ số góc k = f

(x
0
) của
tiếp tuyến.
Chú ý 9 - Số nghiệm c ủa hệ trên không phải lúc nào cũng là số tiếp tuyến.
- Có thể mở rộng vấ n đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung. Cho hai hàm số y = f (x)
và y = g(x), gọi (C) và (C

) theo thứ tự là đồ thị của chúng. Hai đồ thị được gọ i là tiếp xúc với
nhau tại một điểm chung, nếu tại điểm đó chúng có cùng m ột tiếp tuyến. Khi đó điểm chung được
gọi là tiếp điểm. Như vậy, hai đ ồ thị (C) và ( C

) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu hệ phương trình
sau đây có nghiệm:

f(x) = g(x)

0
, x
0
, y
0
= const thì ∆ là đường thẳng luôn quay quanh điểm
A(x
0
; y
0
) cố định. Tìm các tiếp tuyến đi qua điểm A(x
0
; y
0
). Để giải và biện luận loại hệ này ta
cần so sánh h(m) với các hệ số góc của các tiếp tuyến.
7.2 Ví dụ và bài tập
 7.1 Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số
y =
x
2
− 6x + 3
x + 2
và y = x − m
 7.2 Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình
x
3
+ 3x
2
− 2 = m

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 16
 7.8 Tìm m để đường thẳng d : y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số
y =
x
2
− 3x + 3
1 − x
 7.9 Cho hàm số y = x
3
− 3x có đồ thị (C) và đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2) và có hệ số
góc k. Biện luận theo k vị trí tương đối giữa (C) và d.
 7.10 Xác định định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = x
3
−3ax
2
+ 4a
3
tại ba biểm
phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.
 7.11 Xác định m để hàm số y = x
3
−3x
2
−9x + m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có các
hoành độ lập thành cấp số cộng.
 7.12 Cho hàm số y =
(3m + 1)x − m
2
+ m
x + m

 7.17 Cho hàm số y =
mx
2
+ (2 − m
2
)x − 2m − 1
x − m
. Tìm m để hàm số có cực trị. Chứng minh
rằng với m tìm đượ c, trên đồ thị hàm số luôn tìm được hai điểm mà t iếp tuyến tại hai điểm đó
vuông góc nhau.
 7.18 Cho hàm số y =
x
2
+ 3x + m
x + 1
. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số trên có tiếp
tuyến vuông g óc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi hai trục t o ạ độ. Chứng minh rằng
khi đó đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu
 7.19 Cho hàm số y =
2x
2
− x + 1
x − 1
. Chứng minh rằng trên đường thẳng y = 7 có bốn điểm sao
cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến này hợp với
nhau một góc 45
0
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 17
 7.20 Cho hàm số y =
−x + 3

a) Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ bằng không vuông góc với
tiệm cận xiên của đồ thị.
b) Xác định các giá trị của a để phương trình sau có nghiệm
sin
6
x + cos
6
x = a|sin 2x|
 7.24 Cho hàm số y =
2x
2
− 3x + m
x − 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình
2x
2
− 3x + 2
x − 1
+ log
1
2
a = 0
8 Khoảng cách
 8.1 Cho hàm số y =
x
2
− x + 1
x − 1
. Xác định hai điểm A, B trên hai nhánh phân biệt của đồ thị

x
2
+ 5x + 15
x + 3
a) Tìm M ∈ (C) để toạ độ của M là các ssó nguyên.
b) Tìm M ∈ (C) để để khoảng cách từ M đến Ox gấp hai lần khoảng cách từ M đến Oy.
 8.7 Tìm M ∈ (C) : y =
x
2
+ 3x + 3
x + 2
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
 8.8 Cho (C) : y =
x
2
+ 2x − 2
x − 1
. Tìm điểm M ∈ (C) để khoảng cách từ M đến giao điểm hai
tiệm cận là nhỏ nhất.
9 Họ đường cong
Định lý 9.1 Cho đa thức
P
n
(x) = a
n
x
n
+ + a
1
x + a

2
− 4x + 2m − 1 có ba điểm cố định
thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định đó.
 9.3 Cho đường cong (C
m
) : y =
−x
2
+ mx − m
2
x − m
. Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có
đúng hai đường cong của họ (C
m
) đi qua.
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 19
 9.4 Cho họ đường cong
(C
m
) : y =
mx
2
− (m
2
+ m − 1)x + (m
2
− m + 2)
x − m
Chứng minh rằng mỗi điểm ở bên phải đường thẳng x = 1 luôn có đúng hai đường cong (C
m

0
+ X
y = y
0
+ Y
Định nghĩa 10.1 Hàm số y = f(x) có tập xác định là D được gọi là hàm số chẵn trên D nếu
∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (x) = f(−x). Hàm số y = f(x) có tập xác định là D được gọi là hàm số
lẻ trên D nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (x) = −f(−x).
Định lý 10.1 Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc
toạ độ làm tâm đối xứng.
Chú ý 10 - Muốn chứng minh đồ thị một hàm số có tâm đối xứng hay có trục đối xứng ta cần
dùng phép đổi hệ trục toạ độ và chứng minh hàm s ố là hàm số lẻ hay chẵn.
- Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Đồ thị các hàm số phân thức (bậc hai/bậc
nhất hay bậc nhất/bậc nhất) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số trùng
phương nhậ n trục tung làm trục đối xứng.
10.2 Ví dụ và bài tập
 10.1 Chứng minh rằng đường thẳng ∆ : x = 1 là trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số
y = x
4
− 4x
3
+ 7x
2
− 6x + 4
 10.2 Cho đồ thị (C) : y =
2x + 3
x − 1
.Chứng minh rằng (C) nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng.
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 20
11 Phần các đề luyện tập

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M t huộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C)
tại M vuông góc với đường thẳng IM.
 11.5 Cho hàm số y =
x
2
+ 5x + m
2
+ 6
x + 3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
 11.6 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2 x
3
− 3x
2
− 1
b) Gọi d
k
là đường thẳng đi qua điểm M(0; −1) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng d
k
cắt
(C) tại ba điểm phân biệt.
 11.7 Cho hàm số y = x
4
− mx
2
+ m − 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 8
b) Xác định m sao đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

1
2
. Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d : y = 4x + 2
b) Tìm m ∈

0;
5
6

sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và các đường thẳng
x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4.
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 21
 11.10 Cho hàm số y = (x −m)
3
− 3x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
c) Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm:



|x − 1|
3
− 3x − k < 0
1
2
log
2
x

x − 1
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Dựa vào đồ thị hàm số (1), hãy vẽ đồ thị hàm số sau y =
x
2
− |x| + 1
|x| − 1
 11.14 Cho hàm số y =
x + 3
x + 2
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Chứng minh rằng đường thẳng y =
1
3
x − m luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt
A, B. Xác định m sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.
 11.15 Cho hàm số y = −x
3
+ 3x − 2 ( 1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (1), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−2; 0)
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x
3
− 3x + 2 + log
2
m = m
với m là tham số dương.

y = x
3
− (m + 1)x
2
+ (m − 1)x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Chứng minh rằng khi m = 0, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
 11.20 Cho hàm số y =
x
2
− x + m
1 − x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía
của trục tung.
 11.21 Cho hàm số y =
x
2
+ (m + 2)x + 2(m + 1)
x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0
b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạ o với hai trục toạ độ một tam giác có diện t ích
bằng 8
 11.22 Cho hàm số y =
2
3
x
3
− mx
2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1
b) Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu
c) Tìm m để đường thẳng y = −x − 4 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm đối xứng nhau qua đường
thẳng y = x
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 23
 11.26 Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
− x − m
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập
thành cấp số cộng.
c) Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
 11.27 Cho hàm số y =
x
2
+ 2x + 1
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Tìm m để phương trình |x + 2| +
1
x
= log
2
m có đúng ba nghiệm phân biệt.
 11.28 Cho hàm số y =
x
2
− 2x + 2

√
2
 11.32 Cho hàm số
y = −x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 − m
2
)x + m
3
− m
2
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Tìm k để phương trình
−x
3
+ 3x
2
+ k
3
− 3k
2
= 0
có ba nghiệm phân biệt
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1)
 11.33 Cho hàm số y =
mx
2

 11.37 Cho hàm số y =
1
3
x
3
− 2x
2
+ 3x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm uốn. Chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc
nhỏ nhất.
 11.38 Cho hàm số y =
x
2
+ (m + 1)x + m + 1
x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Chứng minh rằng với m bất kì, đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời
khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
√
20
 11.39 Cho hàm số y =
(2m − 1)x − m
2
x − 1
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1, gọi (C) là đồ t hị của hàm số
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục toạ độ.
c) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x
 11.40 Cho hàm số y =

b) Chứng minh rằng từ điểm A(
7
2
; 0) có thể vẽ được hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho và
hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
c) Gọi d là đường thẳng đi qua B(1; −1) và có hệ số góc k. Biện luận theo k vị trí tương đối của
d và (C).