Dạng 6
Ứng dụng hàm số đồng biến,
nghịch biến để chứng minh bất
đẳng thức
Chuyên đề: Hàm số
Nội dung

Dạng 6. Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh
bất đẳng thức:

Dạng 6A: Bất đẳng thức về hàm số mũ, log

Dạng 6B: Bất đẳng thức về hàm số lượng giác

Dạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao
Dạng 6A
Bất đẳng thức về hàm số
mũ, logarit
Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm
số mũ, log

Bài tập mẫu
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì e
x
> 1 + x.
Giải
Xét hàm số f(x) = e
x
– (1 + x).
Ta có f ’(x) = e
x

Xét hàm số
Ta có ,suy ra hàm số f(x)
nghịch biến khi x > 0 (thực chất hàm số nghịch biến trên R).
Do đó nếu
(đpcm).
Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm
số mũ, log
 
+ + <
 ÷
 
2
x
ln 1 x x.
2
 
= + + −
 ÷
 
2
x
f(x) ln 1 x x
2
+
= − = − < ∀ >
 
+ +
+ +
 ÷
 

2 n
x x
e 1 x x 0,n N*
2 n!
x x
ln 1 x x x 0,n N*
2 n!
Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm
số mũ, log
Dạng 6B
Bất đẳng thức về hàm số
lượng giác

Bài tập mẫu
Chứng minh rằng nếu thì sinx < x < tanx
Giải

Xét hàm số ,
suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R.
Do đó nếu thì f(x) = x – sinx > f(0) = 0 =>sinx < x

Xét hàm số
suy ra hàm số f(x) đồng biến trong .
Do đó nếu thì g(x) = tanx – x > g(0) = 0 =>
tanx > x
Vậy nếu thì sinx < x < tanx
Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm
số lượng giác
π
< <0 x

Chứng minh rằng nếu thì sinx + tanx > 2x.
Giải
Xét hàm số
Nếu thì
Suy ra hàm số f(x) đồng biến trong .
Do đó nếu thì f(x) = sinx + tanx – 2x > f(0) = 0
=> sinx + tanx > 2x (đpcm).
Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm
số lượng giác
π
< <0 x
2
= + − ⇒ = + −
2
1
f(x) sinx tanx 2x f '(x) cos x 2
cos x
π
< <0 x
2
< < ⇒ >
 
⇒ = + − > + − = − >
 ÷
 
2
2
2
2 2
0 cosx 1 cosx cos x

x
1 cos x
2
π
< <0 x
2
Dạng 6C
Sử dụng đạo hàm bậc cao

Bài tập mẫu
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì
Giải
Xét hàm số
suy ra hàm số f ’’(x) đồng biến trên R.
Do đó nếu x > 0 thì f ’’(x) > f ’’(0) = 0, suy ra hàm số f ’(x)
đồng biến khi x > 0 .
Do đó nếu x > 0 thì f ’(x)> f’(0) = 0, suy ra hàm số f(x) đồng
biến khi x > 0 .
Do đó nếu x > 0 thì
(đpcm)
Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc
cao
> −
3
x
sinx x .
6
= − + ⇒ = − +
⇒ = − + ⇒ = − + = ≥ ∀
3 2

x
e cos x 2 x .
2
 
= + − + −
 ÷
 
2
x
x
f(x) e cosx 2 x
2
= − − +
= − + = + > ∀
x
x x 2
f '(x) e sin x 1 x
x
f ''(x) e cos x 1 e 2sin 0 x
2
 
= + − + − > =
 ÷
 
2
x
x
f(x) e cosx 2 x f(0) 0
2
