Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa
1KHAI THÁC KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ HÀM SỐ LỒI, LÕM
ĐỂ ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC

1. Cơ sở lí thuyết.

a. Định nghĩa: Cho hàm số
( )
y f x
=
liên tục
[ ; ]
a b
và có đồ thị là (C). Khi đó ta có hai
điểm
( ; ( )), ( ; ( ))
A a f a B b f b
nằm trên đồ thị (C).
i) Đồ thị (C) gọi là lồi trên
( ; )
a b
nếu tiếp tuyến tại mọi điểm nằm trên cung
AB

luôn nằm phía trên đồ thị (C).
ii) Đồ thị (C) gọi là lõm trên
( ; )

''( ) 0 ;
f x x a b
< " Î thì đồ thị hàm số lồi trên
(
)
;
a b

c. Ứng dụng
Từ hình ảnh trực quan của định nghĩa cho ta một phương pháp giải các bài toán BĐT
và cực trị sau :

Đồ thị hàm lõ
m
_

x

_

y

a
_
b
_
1
Đồ thị hàm số lồi
_


thì
0 0 0 0
( ) '( )( ) ( ) [ ; ]
f x f x x x f x x a b
³ - + " Î
ii) Nếu
''( ) 0 [ ; ]
f x x a b
£ " Î
thì
0 0 0 0
( ) '( )( ) ( ) [ ; ]
f x f x x x f x x a b
£ - + " Î
Đẳng thức trong hai Bất đẳng thức trên xảy ra
0
x x
Û =
.
Ta có thể chứng minh định lí trên như sau
i) Xét hàm số
0 0 0
( ) ( ) '( )( ) ( )
g x f x f x x x f x
= - - - ,
[ ; ]
x a b
Î

Ta có :

liên tục và có đạo hàm đến cấp hai trên
[a;b]
.
i) Nếu
''( ) 0 [ ; ]
f x x a b
³ " Î
thì
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ; ]
f a f b
f x x a f a x a b
a b
-
³ - + " Î
-

ii) Nếu
''( ) 0 [ ; ]
f x x a b
£ " Î
thì
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ; ]
f a f b
f x x a f a x a b
a b
-

Giải: Xét hàm số
2
( )
1
x
f x
x
=
+
với
(0;1)
x
Î
.
Ta có:
2 3 2 5
1 3
'( ) ''( ) 0 (0;1)
( 1) ( 1)
x
f x f x x
x x
= Þ = - < " Î
+ +Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa
3

Nên ta có:

1
3
a b c
Û = = =
.
Ví dụ 2 : Cho các số thực dương
, ,
a b c
thỏa :
2 2 2
3
a b c
+ + =
. Chứng minh
1 1 1
1
1 8 1 8 1 8
a b b
+ + ³
+ + +
.
Giải :
Xét hàm số :
1
( )
1 8
f x
a
=
+

f a f b f c f a b c f
Þ + + ³ + + - +
(*)
Mặt khác :
2 2 2 2
( ) 3( ) 9
a b c a b c
+ + £ + + =

3 3 3 0
a b c a b c
Þ - £ + + £ Þ + + - £
và
4
'(1) 0
27
f
= - <
nên từ (*)
Ta suy ra :
( ) ( ) ( ) 3 (1) 1
f a f b f c f
+ + ³ =
.
Nhận xét : Dấu hiệu giúp chúng ta nhận ra phương pháp trên là BĐT cần chứng
minh có dạng
1 2
( ) ( ) ( )
n
f a f a f a k


ã
Nu BT cn chng minh ng bc thỡ ta cú th chun húa. Tựy thuc vo tng
bi toỏn m ta la chn cỏch chun húa phự hp.

Vớ d 3 : Cho cỏc s thc dng
, ,
a b c
tha :
3
a b c
+ + =
. Tỡm GTLN ca biu
thc :
2 2 2
1 1 1
b c a
P a a b b c c
ổ ử ổ ử ổ ử
= + + + + + +
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
.
Gii :
Ta cú :
2 2 2
ln ln( 1 ) ln 1 ln 1
P b a a c b b a c c
ổ ử ổ ử
= + + + + + + + +

( ) '(1) 1 (1) '(1) (1) '(1)
f a f a f f a f fÊ - + = + -
( ) '(1) (1) '(1)
bf a f ab f f b
ộ ự
ị Ê + -
ở ỷ( ) '(1) (1) '(1)
cf b f cb f f c
ộ ự
Ê + -
ở ỷ( ) '(1) (1) '(1)
af c f ac f f a
ộ ự
Ê + -
ở ỷ
.
(
)
ln '(1) ( ) (1)( ) 3 ln(1 2)
P f ab bc ca a b c f a b cị Ê + + - + + + + + Ê +
(Do
3
ab bc ca a b c
+ + Ê = + +

P x y z
- - -
= + + .
Gii : p dng BT Cụ si, ta cú :
3
3
. .
y z x
P
x y z

t
. . ln ln ln ln
y z x
A x y z A y x z y x z
= ị = + + . Vỡ hm s
( ) ln
f t t
=
cú
2
1
''( ) 0
f t
t
= - <

1 1 1
ln ' ( ) 3 1 ln 3
3 3 3

Vớ d 5 : Cho
1
, ,
2
a b c

tha
2
a b c
+ + =
. Tỡm GTNN ca biu thc
a b c
P a b c
= + +
.
Gii :
Xột hm s
1
( ) , 1
2
t
f t t t
= Ê Ê
. Ta cú :
ln ( ) ln
f t t t
=
ly o hm hai v ta c
(
)

ộ ự
ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
nờn ỏp dng BT tip tuyn, ta cú :
2 2 2
( ) '( )( ) ( )
3 3 3
f a f a f
- +
2 2 2
( ) '( )( ) ( )
3 3 3
f b f b f
- +

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa
6

2 2 2
( ) '( )( ) ( )
3 3 3
f c f c f
³ - +
Cộng ba BĐT trên ta có :
( )
3
2 2 4
( ) ( ) ( ) '( ) 2 3 ( ) 3
3 3 9

1
a b c
+ + =
, khi đó bđt cần chứng minh trở thành:
( ) ( ) ( ) 1
f a f b f c
+ + ³
trong đó:
1 3 1
( ) .
3 3
f x x
x
+
= -
với
0 1
x
< <
. Dễ thấy hàm số
f
có
''( ) 0 (0;1)
f x x
> " Î

Nên theo BĐT tiếp tuyến ta có :
1 1
( ) ( ) ( ) ' ( 3) 3
3 3

í
ç ÷
è ø
ï
+ + £ + + =
ï
î
.
Ví dụ 7: Cho
n
số thực
1 2
, , ,
n
x x x
thuộc khoảng
(0; )
2
p
thỏa :
1 2
tan tan tan
n
x x x n
+ + + £
.Chứng minh :
1 2
1
sin . sin sin
2

1 2
n
i
n
i
i
a
a
=
Ê
+
ế
(1).
Xột hm s
2
( ) , 0
1
x
f x x
x
= >
+
cú
2 3
1
'( )
(1 )
f x
x
=

a
a
f a a
n
a
=
= = =
ổ ử
ỗ ữ
+
ỗ ữ
ị = Ê + Ê Ê =
ỗ ữ
ỗ ữ
+
ỗ ữ
ố ứ
ồ
ế ế ế

ng thc xy ra
1 2 1 2
1 tan tan tan 1
n n
a a a x x x
= = = = = = = =

1 2

4

,
n
i
i
a k na k nb
=
= Ê Ê
ồ
. ã
Nu
''( ) 0 ;
f x x a b
ộ ự
> " ẻ
ở ỷ
thỡ ta cú :
1
( ) ( )
n
i
i
k
f a nf
n
=

ồ

8

Vớ d 8. Cho tam giỏc
ABC
cú mt gúc khụng nh hn
2
3
p
. Chng minh rng :
tan tan tan 4 3
2 2 2
A B C
+ + - .
Li gii.
Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s
2
3 6
A B C C
p p
> ị Ê
.
Hm s
( ) tan
f x x
=
,
0;
3
x
p

f f f
p p p
- + .
2
'( ) '( ) '( )
2 2 2 3 12 2 3 12 2 2
A B C A A B C
f f f f f f
p p p p p
ổ ử ổ ử ổ ử ộ ự ổ ử ổ ử
+ +
ị + + - - + -
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ ố ứ ở ỷ ố ứ ố ứ

2
3 12
f f
p p
ổ ử ổ ử
+ +
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ

Do
' ' 0; 0
3 12 2 3
A
f f

Vớ d 9. Cho cỏc s thc khụng õm
, ,
a b c
tha
3
max{ , , }
4
a b c

v
1
a b c
+ + =
. Tỡm
GTNN ca biu thc :
3 3 3
2 2 2
1 3 1 3 1 3
P a b c
= + + + + + .
Li gii.
Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s
3 1
max { , , } ,
4 8
a a b c a c
= ị Ê
.

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa

+
. Áp dụng BĐT tiếp tuyến, ta có :
3 3 3
( ) '( )( ) ( )
4 4 4
f a f a f
³ - + ;
1 1 1
( ) '( )( ) ( )
8 8 8
f b f b f
³ - + ;
1 1 1
( ) '( )( ) ( )
8 8 8
f c f c f
³ - +
3 3
3 1 3 3 1 3 1 172 2 67
( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )
4 8 4 4 8 4 8 4
f a f b f c f f x f f f f
é ù
+
Þ + + ³ - - + + ³ + =
ê ú
ë û
.
Đẳng thức xảy ra
3 1

Ví dụ 10: Cho
, ,
a b c
Î
¡
và
6
a b c
+ + =
. Chứng minh rằng :
4 4 4 3 3 3
2( )
a b c a b c
+ + ³ + + .

Lời giải:
_
x
_
y
x
0

a
_
O

b

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa

a b c
= = =
)
Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
( )
y f x
=
điểm có hoành độ
2
x
=
là:
8 16
y x
= -
.
4 3 2 2
( ) (8 16) 2 8 16 ( 2) ( 2 4) 0
f x x x x x x x x x
- - = - - + = - - + ³ " Î
¡
.
( ) ( ) ( ) 8( ) 48 0
f a f b f c a b c
Þ + + ³ + + - =
(đpcm).
Chú ý. Vì
8 16
y x
= -

1
a b c
+ + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2
9
10
1 1 1
a b c
a b c
+ + £
+ + +
. ( Vô địch Toán Ba Lan 1996)
Lời giải.
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi
1
3
a b c
= = =
và Bđt đã cho có dạng:
9
( ) ( ) ( )
10
f a f b f c+ + £ trong đó
2
( )
1
x
f x
x

1 50( 1)
x x
x x x
f x x
x x
- +
+ +
- = - = ³ " Î -
+ +

Vậy :
2 2 2
36( ) 9
9
50 10
1 1 1
a b c
a b c
a b c
+ + +
+ + £ =
+ + +
đpcm.

Ví dụ 12 : Cho các số thực
, , 0
a b c
>
thoả mãn
1

a b c a b c
f a f b f c
bc ac ab
a a b b c c
+ + ³ + + = + +
+ + +
- + - + - +
.
(Nhận xét : Đẳng thức xảy ra khi
1
3
a b c
= = =
và tiếp tuyến của đồ thị hàm
số
2
4
( )
2 5
x
f x
x x
=
- +
tại điểm có hoành độ
1
3
x
=
là :

a a b b c c
+ + -
Þ + + ³ =
- + - + - +
đpcm.

Ví dụ 13. Cho
, ,
a b c
là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng :
1 1 1 9 1 1 1
4
a b c a b c a b b c c a
æ ö
+ + + ³ + +
ç ÷
+ + + + +
è ø
.

Lời giải. Không làm mất tính tổng quát ta giả sử
1
a b c
+ + =
, khi đó Bđt đã cho trở
thành
2 2 2
5 1 5 1 5 1
9
a a c

2
5 1 1
18 3 (0; )
2
a
a a
a a
-
Þ £ - " Î
-
.
Ta cũng có hai Bđt tương tự. Cộng các Bđt này lại với nhau ta có:

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa
12

2 2 2
5 1 5 1 5 1
18( ) 9 9
a a c
a b c
a a b b c c
- - -
+ + £ + + - =
- - -
(đpcm).
Đẳng thức xảy ra khi
1
3
a b c

2 2 2
2 2 2 2 2 2
(1 2 ) (1 2 ) (1 2 )
3
5
(1 ) (1 ) (1 )
a b c
a a b b c c
- - -
+ + ³
- + - + - +

2 2 2
2 2 2
4 4 1 4 4 1 4 4 1 3
5
2 2 1 2 2 1 2 2 1
a a b b c c
a a b b c c
- + - + - +
Û + + ³
- + - + - +

2 2 2
1 1 1 27
5
2 2 1 2 2 1 2 2 1
a a b b c c
Û + + £
- + - + - +

25
x
y
+
=
Ta có:
3 2 2
2 2
2(54 27 1) 2(3 1) (6 1)
54 27
( ) 0 (0;1)
25
25(2 2 1) 25(2 2 1)
x x x x
x
f x x
x x x x
- + - +
+
- = = ³ " Î
- + - +

54( ) 81
27
( ) ( ) ( )
25 5
a b c
f a f b f c
+ + +
Þ + + £ = đpcm.

= - Î có
2 4 3
'( ) 30 45 ''( ) 60 180
f x x x f x x x
= - Þ = -
0
1
''( ) 0
3
f x x xÞ = Û = = đồng thời
0
''( ) 0 (0; )
f x x x
> " Î và
0
''( ) 0 ( ;1)
f x x x
< " Î .

·
Nếu
0
a x
<
. Áp dụng BĐT tiếp tuyến ,ta có:
1 1 1
( ) '
3 3 3
f a f a f
æ ö æ ö æ ö

è ø è ø
.

·
Nếu
0
a x
>
. Áp dụng BĐT tiếp tuyến và cát tuyến ta có:
( ) ( )
0
0
(1) ( )
( ) 1 1 (1) 1
1
f f x
f a a f f
x
-
³ - + > =
-
.
(
)
(
)
(
)
( ) ' 0 0 0 0
f b f b f


Xét hàm số
2
1
( ) ln sin , (0; ) '( ) cot ''( ) 0;
2 2
sin
f x x x f x x f x x
x
p p
æ ö
= Î Þ = Þ = - " Î
ç ÷
è ø

Áp dụng BĐT tiếp tuyến với
MNP
D
nhọn, ta có :

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa
14

(
)
(
)
( ) '( ) ( ) cot ln sin
f A f M A M f M A M M M
£ - + = - +

tan tan tan tan . tan . tan
M N P M N P
+ + =

3
2
tan 1 2 3
6 6 1 sin ; sin ; sin
2 5 10
1 tan
M
k k k M N P
M
Þ = Þ = Þ = = = =
+

1 2 3 27
( ) ( ) ( ) ln 2 ln 3 ln ln
2 5 10 25 5
f A f B f CÞ + + £ + + =
27
25 5
FÞ £ . Đẳng thức xảy ra
; ;
A M B N C P
Û = = =
.
Vậy GTLN của
27
25 5

= Î
ç ÷
è ø
, có
2
'( ) 1 tan
f x x
= +
2
''( ) 2 tan (1 tan ) 0, 0;
2
f x x x x
p
æ ö
Þ = + > " Î
ç ÷
è ø
.

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa
15

Áp dụng BĐT tiếp tuyến với
MNP
D
nhọn, ta có :
2
1
( ) '( )( ) ( ) ( ) tan
cos

cos 0; cos 2 ; cos 3
M k N k P k
= > = =
Vì
, ,
M N P
là ba góc của tam giác nên ta có đẳng thức :
2 2 2
cos cos cos 2 cos . cos .cos 1
M N P M N P
+ + + =

3
(1 2 3) 2 6 1
k k k
Þ + + + = Þ là nghiệm dương của phương trình :
3
2 6 (1 2 3) 1 0
x x
+ + + - =
(1).
2 2
sin 2 2 1 cos .cos 2 1
M M M k k
Þ = - = - ;
2 2
sin 2 2 2(1 2 ); sin 2 2 3(1 3 )
N k k P k k
= - = -
2 2 2

= > = = , trong đó
k
là nghiệm dương duy nhất của
PT (1).
Nhận xét : Tương tự cách làm trên, ta cũng tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức
. tan .tan . tan
F m A n B p C
= + +
, trong đó
, ,
m n p
là các số thực dương và
, ,
A B C
là ba
góc của tam giác nhọn (Xem ở phần bài tập). Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa
16Ví dụ 18: Cho
, , 0
x y z
>
thỏa
1
x y z
+ + =

( ) '( )( ) ( )
f x f a x a f a
³ - +
;
( ) '( )( ) ( )
h y h b y b h b
³ - +
;
( ) '( )( ) ( )
g z g c z c g c
³ - +

Ta chọn
, ,
a b c
sao cho
'( ) '( ) '( )
f a g b h c k
= = =
2
2 2
3 3
4
4 3
3
4
3
3
1 1
(1 )

ï ï
ï ï
=
=
ï ï
+
-
ï
î
î
(1)
Do
3
4
2 3
1 1
3
1
1
k k k
a b c
k
k k
+ + = Û + + =
-
-
(2).
Dễ thấy phương trình (2) luôn có nghiệm trong khoảng
(0;1)
.

k
k k
= + +
-
-
với
k
là nghiệm nằm trong
(0;1)
của (2).
Ví dụ 19. (BĐT Jensen). Cho hàm số
( )
y f x
=
liên tục và có đạo hàm cấp hai trên
(
)
;
a b
và
n
số thực dương
1 2
, , ,
n
a a a
có tổng bằng 1.
a) Nếu
''( ) 0 ( ; )
f x x a b

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa
17

b) Nếu
''( ) 0 ( ; )
f x x a b
< " Î
thì ta có:
1 1
( )
n n
i i i i
i i
f x f x
a a
= =
æ ö
ç ÷
£
ç ÷
è ø
å å

với
(
)
; 1,
i
x a b i n
" Î = . Đẳng thức có khi

Þ ³ - + " =
1 1 1 1
( ) '( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
i i i i i i i i
i i i i
f a f y a y f y f y f a
a a a a a
= = = =
æ ö
ç ÷
Þ ³ - + = =
ç ÷
è ø
å å å å
.
b) Chứng minh tương tự.
Ví dụ 20. (2M) Cho hai bộ số thực dương
1 2
, , ,
n
x x x
và
1 2
, , ,
n
a a a
thỏa mãn:
1 1
n n

.
Hàm số
( ) ln
f x x
=
là hàm lồi, nên áp dụng BĐT tiếp tuyến ta có:
1
( ) '( )( ) ( ) ( ) ( )
i i i i i i i i
i
f x f a x a f a x a f a
a
£ - + = - +
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
i i i i i i i i i i i i i i
i i i i
a f x x a a f a a f x x a a f a a f a
= = = =
Þ £ - + Þ £ - + =
å å å å

1 1
ln ln
n n
i i i i
i i
a x a a
= =

i i
i i
x
x a
n
=
= =
æ ö
ç ÷
ç ÷
£ =
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
å
Õ Õ
( do
1 2

n
a a a
= = =
)
1
1
n
i
n
i

+ + ³ + +

2. Cho
, , 0
a b c
>
thỏa
3
a b c
+ + ³
. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
1
a b c b c a c a b
+ + £
+ + + + + +

3. Cho
, , 1
x y z
£
thỏa
1
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 27
10

a a a
æ ö æ ö æ ö
- - - ³ -
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
.
5. Cho
, , , (0; )
2
a b c d
p
Î và
a b c d
p
+ + + =
. Chứng minh
2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1
0
cos cos cos cos
a b c d
a b c d
- - - -
+ + + ³
.

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa
19

6. Cho n số thực dương thoả mãn:

2 2 2
tan ( )cot tan ( )cot tan ( )cot
4 4 4 4 4 4 4 4 4
A A B B C C
P
p p p
= - + - + - .
8. Cho tam giác
ABC
. Chứng minh rằng
cos cos cos
2 2 2
3 2
1 sin 1 sin 1 sin
2 2 2
A B C
A B C
£ + + <
+ + +
.
9. Cho tam giác
ABC
nhọn và
, , 0
m n k
>
. Tìm:
1) Giá trị lớn nhất của
sin . sin sin
m n k

. Chứng minh:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
(2 ) (2 ) (2 )
8
2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
+ + + + + +
+ + £
+ + + + + +
(Mỹ - 2003 ).
12. Cho
, , 0
a b c
>
. Chứng minh:
4( )
b c c a a b a b c
a b c b c c a a b
+ + +
+ + ³ + +
+ + +
.
13. Cho
, , 0
a b c
>
. Chứng minh:
2 2 2

2 2 2
2 2 2
( )
3 3
9
( )( )
xyz x y z x y z
x y z xy yz zx
+ + + + +
+
£
+ + + +
.( Hồng Kông
1997)