Vừ Hu H GV THPT Cm Xuyờn, H Tnh5
Tron
g cỏc thi tuyn sinh vo i hc, Cao
ng v thi hc sinh gii cỏc cp thng gp
bi toỏn chng minh bt ng thc nhiu
bin. Bi toỏn ny thng gõy khú khn cho
a s hc sinh. Trong phm vi bi vit chỳng
tụi gii thiu phng phỏp kho sỏt hm s
chng minh bt ng thc dng ny.

Vừ
Hu H

(GV THPT
Cm Xuyờn, H Tnh)
1.
nội dung phơng pháp
Ni dung phng phỏp th hin k nng xỏc
nh hm s cn kho sỏt gii bi toỏn

D


. Ch
ng minh rng






1 2
(
).
n
f a
f a f a nf


gii bi toỏn ny ta cn biu din


i
f a

qu
a







' 0
h


hay

'(
)
'( )
f
m
g



.
L
u ý. Trong bi toỏn trờn ta phi cú s m v
ng thc xy ra khi v ch khi
1 2

.
n
a a

n
g a
g a g a n g




v
i s thc
D


. Ch
ng minh rng






1 2

. ( ),
n
f a
f a f a nf


1


x y
z
. Ch
ng minh rng
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82

x y z
x y z
.
P
hõn tớch. õy
( )
;
g t
t


2
2
1
( ) ;
f t t
t


g






L
i gii. Vỡ x, y, z l cỏc s dng v
1
x y
z


, n
ờn


, ,
0;1
x y
z
. X
ột hm s

2
2

3
t
t 0
1
3

1
'(
)
h t
0 + ( )
h t27 82
41www.VNMATH.com
Võ
Hữu Hà – GV THPT Cẩm Xuyên, Hà Tĩnh6

 
  x y z
x y
z

 
40
82 81 82
82
.
41 41

   x y z

Nh
ận xét. Có thể khảo sát hàm số
2
2
1 40.
82 1
( ) . , (0;1)
9.
41
h t t t
t t
    
, su
y ra
2 2 2
2 2 2

i cách giải này có thể thay đổi bài toán thành:
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn
9
xy y
z zx xyz
 

. Chứn
g minh rằng
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82
x y z
x y z
     
.

Bài toán 2. Cho a, b, c là ba số dương
thoả mãn
2 2 2
1
  
a b c
. Chứn
g minh rằng
1 1 1 3 3 9
1 1
1 2




1
;
3



'(
) 9 6 3
'(
) 4
f
m
g



 
.
Lời giải. Vì a, b, c dương và
2 2
2
1,
a b
c
 


suy ra

t
t

   


 
 
2
1 9
6 3
' 0
2
1
h t t
t

 



3 2
3 3
6 3 3 3 4 2 3 0
 
   
t t
t

1

0
1
t2
t

1
'(
)
h t

+ 0  0 + ( )
h t

1

3
4Từ bảng biến thiên, suy ra
2
1 9 6 3 3
, (0;1)
1 4

   
  
. 
Nhận xét. Với bài toán 2, cả phương pháp
hàm lồi và phương pháp tiếp tuyến đều không
giải được, đây là điểm mạnh của phương
pháp này.

Bài
toán 3. Cho a,b,c là các số dương thỏa
mãn abc = 1. Chứng minh rằng
3 2
2
1 1
1
  
  
a b c
a b c
.
Lời giải. Đặt
ln
, ln , ln .
 

x a
y b z c
Khi đó
, ,
x y


Xét
hàm số
 
e 3
2
,
8
1 e
t
t
h t t
 

với
t



thì
 


2
3
e 2e
3 2
' 0
0
8

,
2
 


h t
t

e 3
2 2
,
8 2
1
t
t
t t
e
 
  


.
Tha
y t bởi x, y, z rồi cộng các bất đẳng thức
cùng chiều, ta có

e e
e
1 1 1
x y z

 


2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
8
2 2 2

    
  
 
   
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b

Lời
giải
Đặt
3 3
3
; ;
a b
c
x y
z
a b
c a b c a b c
 

 
   

Xét hàm số
 
2
2
6 9
11
,
3 6 9
t t
h t t
t t
 
 
 
với
(0;
3).
t


Khi đó
 


2
2
2


( )
h t25
3


Từ bảng biến thiên suy ra
2
2
6 9
25
11
.
3 6
9 3
t t
t
t
t
 
 
 

Thay t l

1 1
x y
A
x y
 
 
.
2. C
ho a, b, c là các số dương thoả mãn
2 2 2
3
a b c
  
. Chứng minh rằng
1 1 1
3.
2 2 2a b c
  
  

3. Cho a, b, c là các số dương có tổng bằng 3. Chứng
minh rằng
2 2 2
2 2 2
1 1 1
.
a b c
a b c
    


a b c
  
  
.
6. C
ho a, b, c là các số dương có tích bằng 1.
Chứng minh rằng
2 2 2
1 1 1
1
1 1 1a a b b c c
  
     
.
www.VNMATH.com