BỘ Y TẾ TOÁN CAO CẤP (DÙNG CHO ðÀO TẠO BÁC SĨ ðA KHOA)

MÃ SỐ: ð.01.X.01


Lời giới thiệu Thực hiện một số ñiều của Luật Giáo dục, Bộ Giáo dục & ðào tạo và Bộ Y tế ñã ban hành chươ
ng trình
khung ñào tạo Bác sĩ ña khoa. Bộ Y tế tổ chức biên soạn tài liệu dạy - học các môn cơ sở

ñược chỉnh lý, bổ sung và cập nhật.
B
ộ Y tế xin chân thành cảm ơn các tác giả và Hội ñồng chuyên môn thẩm ñịnh ñã giúp hoàn thành cuố
n
sách; Cảm ơn ThS. Nguyễn Phan Dũng, TS. Chu Văn Thọ ñã ñọc và phản biện ñể cuốn sách sớ
m hoàn
thành kịp thời phục vụ cho công tác ñào tạo nhân lực y tế.
L
ần ñầu xuất bản sách khó tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của ñồ
ng
nghiệp, các bạn sinh viên và các ñộc giả ñể lần xuất bản sau sách ñược hoàn thiện hơn.
VỤ KHOA HỌC VÀ ðÀO TẠO - BỘ Y TẾ



Page
3
of
4
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Introduction.htm
Lời nói ñầu Toán học là môn khoa học tự nhiên có mặt trong rất nhiều lĩnh vực khoa học, bao gồm cả
trong lĩnh vực nghiên cứu sinh, y học.
Trong khuôn khổ chuyên ngành y, bộ môn Toán


1. KHÁI NIỆM MA TRẬN
Khi có m × n số ta có thể xếp thành một bảng chữ nhật gồm m hàng và n cột.
1.1.

ðịnh nghĩa
Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột biểu diễn dưới dạng
ñược gọi là ma trận cỡ m × n, trong ñó là phần tử nằm ở hàng i, cột j.
Ký hiệu là .
Ví dụ:
MỤC TIÊU

Học xong bài này sinh viên có khả năng:

1. Trình bày ñược ñịnh nghĩa ma trận và khái niệm các dạng ma trận.

2. Th
ự
c hi
ệ
n
ñượ
c các phép toán trên ma tr
ậ
n.
1)


[
]
C 4 6 7
=
1
B 2
5
 
 
=
 
 
 
Page
1
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Khi m = n thì A ñược gọi là ma trận vuông cấp n.
1.2. Ma trận không
Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử ñều bằng không.
Ký hiệu là O = [0]
m×n
.

Các ma trận không chỉ khác nhau về kích thước.
1.3. Ma trận bằng nhau
Ma trận A và B ñược gọi là hai ma trận bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và có các phần tử ở cùng v
ị

m × n
;

2) a
ij
= -b
ij
với ∀i, j

Ví dụ: Cho và . B = -A khi và chỉ khi a = -1; b = -3; c = 2; d = 4.

1.5. Ma trận tam giác
Cho ma trận vuông cấp n có dạng:
ðường thẳng ñi qua các phần tử gọi là ñường chéo chính của ma trận A.
Các phần tử a
ij
với i = j gọi là phần tử chéo.

Ma trận tam giác là ma trận mà tất cả các phần tử ở phía trên hoặc phía dưới của ñường chéo chính
ñều bằng không. Có hai loại ma trận tam giác là ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới.
Ví dụ:là ma trận không cỡ 2 × 40 0 0 0
A
0 0 0 0
 

a b
B
c d
 
=
 
 
Page
2
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
1.6. Ma trận ñường chéo
Cho ma trận vuông cấp n có dạng:
Vậy A có dạng:1.7. Ma trận ñơn vị
Ma trận ñơn vị là ma trận ñường chéo có các phần tử chéo ñều bằng 1.
2. PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
2.1. Phép cộng ma trận là ma trận tam giác trên.là ma trận tam giác dưới.
 
 
M M M M M
i

0,
λ



Page
3
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
2.1.1. ðịnh nghĩa
Cho hai ma trận A và B cùng cỡ m × n:
A = [a
ij
]
m × n
và B = [b
ij
]
m × n
.

Tổng của hai ma trận A và B là ma trận cỡ m × n ñược xác ñịnh bởi:
A + B = [a

.
Ví dụ 1: 2 3 1 5 7 2
A ; B
1 4 5 2 3 1
   
= =
   
− −
   
Cho
1 3 5 7 1 1 2 4 1 0 1 1
A ; B ; C
2 4 4 2 2 1 0 0 0 2 4 4
     
= = =
     
     
2 5 3 7 1 2 7 10 3
A B
1 2 4 3 5 1 1 1 6
+ + +
   
+ = =
   
− + − +
   
2 4 7 11 1 0 1 1 3 4 8 12

Ví dụ: Cho
2 3 1
Cho A
1 4 5
 
=
 
−
 
và k = 2
2 2 2 3 2 1 4 6 2
kA
2 ( 1) 2 4 2 5 2 8 10
× × ×
   
⇒ = =
   
× − × × −
   
3 3 2 1 1 1
A 1 1 0 ; B 3 1 2
4 2 1 1 2 1
   
   

Cho ma trận A = [a
ik
]
m × p
và ma trận B = [b
kj
]
p × n
(số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trậ
n
B).
Tích của ma trận A và B là ma trận C, ký hiệu C = A.B (hay AB); C = [c
ij
]
m×n
,
trong ñó:

Chú ý:
− Ta có tích A.B nhưng chưa chắc có tích B.A. Tức là muốn nhân A với B
(A bên trái, B bên phải) thì số cột của A bằng số hàng của B, còn muốn nhân B
với A (B bên trái, A bên phải) thì số cột của B bằng số hàng của A.
− Nếu A, B ñều là ma trận vuông cùng cấp thì bao giờ cũng có tích A.B hoặc B.A nhưng chưa chắc
A.B bằng B.A.
Ví dụ 1: Cho
Khi ñó:

6 6 4 2 2 2
kA 2 2 0 ; kB 6 2 4
8 4 2 2 4 2

a b ,
=
=
∑
i 1,m;
=
j 1,n
=
1j
2j
i1 i2 ip ij
m n
m p
pj
p n
b

b
a a a c b
×
×
×
 
 
 
 
 
Ví dụ 2: Cho
Ví dụ 3: Cho
Nhận thấy A.B ≠ B.A.
Ví dụ 4: Cho
Nhận thấy A ≠ O và B ≠ O nhưng A.B = O.
2.3.2. Tính chất
1) A(B + C) = A.B + A.C;
2) (B + C)A = B.A + C.A;
3) k(B.C) = (kB)C;
4) (A.B)C = A(B.C);
5) A.I = I.A = A;
6) A.O = O.A = O.
Ví dụ 1: Cho

1 1 2 3 3 1 1 2 2 2 3 4 10 18
C A.B
4 1 1 3 2 1 4 2 1 2 2 4 9 18
1 1 2 4 1 2 2 1 1 3 2 2 9 4 7
D B.A 3 1 2 4 3 2 2 1 3 3 2 2 11 8 13
1 1 4 4 1 2 4 1 1 3 4 2 17 6 11
× + × + × × + × + ×
   
= = =
   
× + × + × × + × + ×


10 9 8
A.B ,
9 9 8
 
=
 
 
và
1 0
A
2 3
−
 
=
 
 
1 2 1 2 3 6
B A.B ;B.A
3 0 11 4 3 0
− −
     
= ⇒ = =
     
−
     
1 2
A
2 4
 

t
có cỡ n×m.

Ví dụ:
2.4.2. Tính chất
1) (A + B)
t
= A
t
+ B
t
;

2) I
t
= I;

3) (A.B)
t
= B
t
.A
t
.

Ví dụ 1: Cho


 
1 0 0
C 0 1 0 ;
0 0 1
 
 
=
 
 
 
2 1 1
4 1 3 14 12 12
A(B C) 3 2 2
4 1 2 13 10 10
1 2 2
 
   
 
+ = × =
   
 
   
 
 
10 11 9 4 1 3 14 12 12
A.B A.C
9 9 8 4 1 2 13 10 10
     
+ = + =
     

     
= = ⇒ + = ⇒ + =
 
     
 
     
     
t t t t
2 1 1 2 2 0 4 3 1
A , B A B
3 2 1 0 2 1 3 4 2
     
= = ⇒ + =
     
     
Page
8
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Ví dụ 2: Cho

BÀI TẬP LƯỢNG GIÁ
1. Cho ; . Tính A.B.
A. B.
C. D. Kết quả khác.
2. Cho . Tính C = A.B
t
.

1 2
1 2 3 10 18 10 9
A ; B 3 2 A.B (A.B)
4 1 2 9 18 18 18
1 4
1 4
1 3 1 10 9
B ; A 2 1 B .A
2 2 4 18 18
3 2
 
     
 
= = ⇒ = ⇒ =
     
 
     
 
 
 
   
 
= = ⇒ =
   
 
   
 
 
1 2 0
A 3 2 1

A.B 2 4 5
= −
2
A.B 4
5
 
 
= −
 
 
−
 
1 2 0
2 1 0
A 3 2 1 ;B
1 2 3
0 1 2
−
 
−
 
 
= =
 
 
 
 
 
1 6 1
C

 
−
 
1 0
0 1
 
 
 
2 1
3 2
−
 
 
−
 
∈
K
ế
t qu
ả
:
K
ế
t qu
ả
:
K
ế
t qu
ả

khác.
4.
Tìm ma tr
ậ
n X tho
ả
mãn: AX = B, v
ớ
i A = ; B = .
A. X = B. X =
C. X = D. K
ế
t qu
ả
khác.
5.
Tìm ma tr
ậ
n X tho
ả
mãn: X.A = B, v
ớ
i A = ; B = .
A. X = B. X =
C. X = D. K
ế
t qu
ả
khác.


0 8
−
 
 
 

0 8
2 23
 
 
−
 
2 23
0 8
 
 
 
2 1 1
3 0 1
 
 
 
3 0 1
12 3 5
− −
 
 
 
0 1
3 2

30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Bài 2
ðỊNH THỨC
1. ðỊNH THỨC

1.1. Ma trận con

Cho ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n:
Ta chú ý
ñế
n ph
ầ
n t
ử
, n
ế
u b
ỏ
hàng i, c
ộ
t j ta thu
ñượ

u là .
1.2. ðịnh thức của ma trận vuông cấp n

1.2.1. ðịnh nghĩa

ðịnh thức
c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông A c
ấ
p n, ký hi
ệ
u là det(A)
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a
d
ầ
n d
ầ
n nh
ư
sau:
1)


ệ
gi
ữ
a
ñị
nh th
ứ
c và ma tr
ậ
n.

ij
a
ij
a
ij
M
Ví d
ụ
:
Cho ta có

   
 
= = =
   
 
 
   
12 13 11 13
11 12
21 22 23
31 32
32 33 31 33
a a a a
a a
M ; M ; M
a a
a a a a
   
 
= = =
   
 
 
   
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a

file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
3) A là ma tr
ậ
n c
ấ
p n: thì
(1.2.1)
Chú ý:
là các ph
ầ
n t
ử
n
ằ
m
ở
hàng 1 c
ủ
a ma tr
ậ
n A.
Ta còn dùng   (hai g
ạ
ch
ñứ
ng
ñặ
t
ở
hai bên)

quy
ướ
c thay vì dùng det(A) ta dùng ký hi
ệ
u D
n
cho
ñị
nh th
ứ
c c
ấ
p n.

1.2.2. Một số ví dụ

Áp d
ụ
ng
ñị
nh ngh
ĩ
a tính:
1.3. ðịnh thức của tích hai ma trận

ðịnh lý: Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì:

det(A.B) = det(A).det(B).

Nh

=
 
 

thì
2) A là ma tr
ậ
n c
ấ
p 2:

11 11 12 12 11 22 12 21
det(A) a det(M ) a det(M ) a a a a ;
= − = −
ij
(n)
A a
 
=
 
n 1
11 11 12 12 13 13 1n 1n
det(A) a det(M ) a det(M ) a det(M ) ( 1) a det(M )
+
= − + + + −
11 12 1n
a , a , , a
2
1 2
D 1 4 3 2 2

= = ⇒ =
     
     

Ví
d
ụ
:

Page
12
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Cho A là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n.

2.1. Tính chất 1

det(A
t
) = det(A).

Ta c
ầ
n ch

ñ
úng.
− Gi
ả
s
ử
(1.2.2)
ñ
úng v
ớ
i ma tr
ậ
n c
ấ
p n - 1, ta c
ầ
n ch
ứ
ng minh nó
ñ
úng v
ớ
i ma tr
ậ
n c
ấ
p n.
Th
ậ
t v

a (1.2.1) ta s
ẽ
có công th
ứ
c (1.2.1) trùng v
ớ
i công th
ứ
c (1.2.2), t
ứ
c là ta có
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Hệ quả 2.1.
M
ọ
i tính ch
ấ
t khi phát bi
ể
u v
ề
hàng c
ủ

11 11 21 21 31 31 n1 n1
det(A) a det(M ) a det(M ) a det(M ) ( 1) a det(M )
+
= − + + + −
11 21 31 n1
a , a , a ,. . . , a
Ví d
ụ
:

Tính

D =
1 2 2
2 1 0
4 2 3

Ta có:

1 0 2 0 2 1
D 1 2 2 9
2 3 4 3 4 2
= − + = −
1 0 2 2 2 2
D 1 2 4 9
2 3 2 3 1 0
= − + = −
ho
ặ
c

Cho
ñị
nh th
ứ
c D
n
,
ñị
nh th
ứ
c thay
ñổ
i nh
ư

th
ế

nào n
ế
u ta vi
ế
t các hàng theo th
ứ

t
ự

ng
ượ

n
ñổ
i ch
ỗ
.
Ta th
ự
c hi
ệ
n
ñổ
i ch
ỗ
hàng 1 (t
ứ
c hàng 2 c
ũ
) v
ớ
i hàng 2 (t
ứ
c hàng 3 c
ũ
), v
ớ
i hàng n - 1. Ta có (n -
2) l
ầ
n
ñổ

ỗ
và khi
ñ
ó
ta
ñượ
c
ñị
nh th
ứ
c m
ớ
i
Ta có: D
6
= , trong
ñ
ó

2.3. Tính chất 3

Khi có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì ñịnh thức bằng không.

Th
ậ
t v
ậ
y gi
ả
s

ươ
ng trình n(n 1)
2
−

'
n
D
n(n 1)
'
2
n n
D ( 1) D
−
= − ×
Ví d
ụ
3:

Tính D
6

=

0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0

30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
− N
ế
u x = 0 ta có hàng 1 = hàng 2
⇒

ñị
nh th
ứ
c = 0.
− N
ế
u x = 1 ta có hàng 1 = hàng 3
⇒

ñị
nh th
ứ
c = 0.

− N
ế
u x = n - 2 ta có hàng 1 = hàng n
⇒

ñị
nh th
ứ
c = 0.

1) (1.2.3)
hay:
(công th
ứ
c khai tri
ể
n
ñị
nh th
ứ
c theo hàng th
ứ
i).
2) (1.2.4)
hay: (công th
ứ
c khai tri
ể
n
ñị
nh th
ứ
c theo c
ộ

i 1 i 2 i n
i1 i1 i2 i2 in in
det(A) ( 1) a det(M ) ( 1) a det(M ) ( 1) a det(M )
+ + +
= − + − + + −
n
i j
ij ij
j 1
( 1) a det(M ); i 1, 2, , n
+
=
= − = …
∑
1 j
1j 1j 2j 2j nj nj
det(A) ( 1) a det(M ) a det(M ) a det(M )
+
 
= − − + ±
 
1 j 2 j n j
1j 1j 2j 2j nj nj
det(A) ( 1) a det(M ) ( 1) a det(M ) ( 1) a det(M )
+ + +
= − + − + + −
n
i j
ij ij
i 1

of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Ví dụ 2:
Tính
2.5. Tính chất 5

Khi có một hàng (hay một cột) có tất cả các phần tử bằng không thì ñịnh thức bằng không.

ð
ó là h
ệ
qu
ả
c
ủ
a công th
ứ
c (1.2.3) ho
ặ
c (1.2.4).
2.6. Tính chất 6

Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì ñược ñịnh thức mới bằng
ñịnh thức cũ nhân với k.

ð
ó là h
ệ

a th
ừ
a s
ố

chung
ñ
ó ra ngoài d
ấ
u
ñị
nh th
ứ
c.
Ví dụ 3:
Không khai tri
ể
n
ñị
nh th
ứ
c ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:

= -(-4)42 - 5(-12) + 6(-22)) = 240.
4 2 3 4 2 3
= − = = −
(nhân 3 v
ớ
i hàng
2).

4 8 0 1 2 0 1 2 0
D 2 1 1 4 2 1 1 4.2 2 1 1 8.0 0
4 2 2 4 2 2 2 1 1
= = = = =
3 1
0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
0 1
( 1) a 1 1 1 b 0 1 1 c 0 1 1 d 0 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1
+
 − − − − − − 
 
= − − − − − + − − − −
 
 
− − − − − −
 
3a b 2c d.
= − + +
Page
16
of
46

ộ
t 2 v
ớ
i yz, nhân c
ộ
t 3 v
ớ
i xz, nhân c
ộ
t 4 v
ớ
i xy, ta
ñượ
c:ðư
a th
ừ
a s
ố
chung c
ủ
a hàng 1, hàng 2, hàng 3, hàng 4 ra ngoài d
ấ
u
ñị
nh th
ứ
c, ta

ế
trái ta có:

2 2
2 2
2 2
0 1 1 1
0 x y z
1 0 z y
x 0 z y
y z 0 x
1 z 0 x
z y x 0
1 y x 0
=
2 2
2 2
2 2 2
2 2
0 xyz xyz xyz
x 0 xz xy
1
VT
y yz 0 x y
x y z
z y z x z 0
=
2 2
2 2
2 2 2

b c c a a b a b c
+ + +
+ + + =
+ + +
Page
17
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
2.9. Tính chất 9

Khi ñịnh thức có một hàng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác (hay các cột khác)
thì ñịnh thức bằng không.

ð
ó là h
ệ
qu
ả
c
ủ
a tính ch
ấ
t 7 và tính ch
ấ
t 8.
Ví dụ:
Tính
2.10. Tính chất 10

nh th
ứ
c có d
ạ
ng
ñơ
n gi
ả
n h
ơ
n.

Ví d
ụ
2:

Tính
ñị
nh th
ứ
c sau:

1 2 5 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
D 2 1 4 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 0 2 0 0
4 2 8 4 2 1 4 2 2 4 2 4 4 2 2
× + ×
= = × + × = + = + × =
× + ×
2 1 3 2 1
3 2 1 3

= + + + + + + +
+ + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b c a b a a c a a c a b a b c
b c a b a a c a a c a b 2 a b c VP
b c a b a a c a a c a b a b c
= + + + = =
Page
18
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Giải:
Nhân c
ộ
t 1 v
ớ
i (-1) c
ộ
ng vào c
ộ
t 2; nhân c
ộ
t 1 v
ớ
i (-1) c
ộ
ng vào c

ớ
i c
ộ
t 3) ta có
ñị
nh th
ứ
c có hai c
ộ
t t
ỷ
l
ệ

v
ớ
i nhau nên
ñị
nh th
ứ
c b
ằ
ng 0.
Ti
ế
p t
ụ
c tách m
ỗ
i

i nhau nên
ñị
nh th
ứ
c b
ằ
ng 0.
V
ậ
y D = 0.
Ví dụ 3:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ñị
nh th
ứ
c sau chia h
ế
t cho 17. Giải:
Nh
ậ
n th
ấ
y, các s

t 2 và 3 vào c
ộ
t
ñầ
u, ta
ñượ
c

2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a (a 1) (a 2) (a 3)
b (b 1) (b 2) (b 3)
D
c (c 1) (c 2) (c 3)
d (d 1) (d 2) (d 3)
+ + +
+ + +
=
+ + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
a 2a 1 4a 4 6a 9 a 2a 4a 4 6a 9 a 1 4a 4

=
+ + +
Page
19
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
2.11. Tính chất 11
(V
ề
các
ñị
nh th
ứ
c có d
ạ
ng tam giác)
ðịnh thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo.

Th
ậ
t v
ậ
y, d
ự
a vào khai tri
ể
n hàng 1 (hay c
ộ

n vuông c
ấ
p n. N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i ma tr
ậ
n vuông B c
ấ
p n sao cho AB = BA = I thì ta nói A
khả ñảo
(A có
ma trận nghịch ñảo
) và B g
ọ
i là
ma trận nghịch ñảo
c
ủ
a A.
Ký hi
ệ
u ma tr
ậ
n ngh
ị
ch

+ + + +
+ +
Ví
1 2
A
3 4
 
=
 
 
thì A
-1

=

2 1
3 1
2 2
−
 
 
 
−
 

Vì:

AA
-1
=

 
=
   
 
−
   
 
Page
20
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
T
ừ

ñị
nh ngh
ĩ
a suy ra, n
ế
u A kh
ả

ñả
o thì A
-1
kh
ả


= I
⇒
det(AA
-1
) = 1
⇒
det(A)det(A
-1
) = 1 ⇒
det(A) ≠ 0 và det(A
-1
) ≠ 0.

3.2.2. ðịnh lý 2

Ma trận nghịch ñảo A
-1
của ma trận A nếu có thì chỉ có một mà thôi.

Chứng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s

ñược tính bởi công thức:

trong ñó: C
ij
= (-1)
i+j
det(M
ij
), det(M
ij
) là ñịnh thức con ứng với phần tử a
ij
.

Ta th
ừ
a nh
ậ
n
ñị
nh lý.
Khi det(A) ≠ 0, t
ứ
c là ma tr
ậ
n A có ngh
ị
ch
ñả
o, ta nói A là ma tr

13
= -5

C
21
= -16 C
22
= 5 C
23
= 2

C
31
= -9 C
32
= 3 C
33
= 1
t
11 12 1n
21 22 2n
1 t
n1 n2 nn
C C C
C C C
1 1
A C