CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. Vector trong không gian
1. Định nghĩa và phép toán
Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vector trong không gian được xây dựng hoàn toàn
tương tự như trong mặt phẳng.
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có
AB AD AA' AC'+ + =
uuur uuur uuur uuuur
+ Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Cho M là trung điểm của đoạn AB, C là điểm tùy ý.
Ta có:
IA IB 0+ =
uur uur r
và
CA CB 2CM+ =
uuur uuur uuuur
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, D là điểm tùy ý.
Ta có:
GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur r
và
DA DB DC 3DG+ + =
uuur uuur uuur uuur
+ Hệ thức trọng tâm của tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, E là điểm tùy ý.
Ta có:

2. Sự đồng phẳng của ba vector
Ba vector trong đó không có hai vector nào cùng phương được gọi là đồng phẳng nếu các giá
của chúng có thể cùng song song với một mặt phẳng. Điều kiện đồng phẳng của ba vector
a,b,c
r
r r
trong đó không có hai vector nào cùng phương là
!m,n R : c ma nb∃ ∈ = +
r
r r
.
Nếu ba vector
a,b,c
r
r r
không đồng phẳng, một vector
d
r
tùy ý có thể biểu diễn được qua ba
vector đó. Khi đó:
!m,n,p R : d ma nb pc∃ ∈ = + +
r r
r r
. Đây là cơ sở thiết lập hệ tọa độ vector trong không
gian ba chiều.
3. Tích vô hướng của hai vector
Góc giữa hai vector trong không gian: Cho hai vector
u,v
r r
tùy ý khác không; lấy điểm A, B, C sao

r r
Nếu hai vector vuông góc thì tích vô hướng bằng không.
u v u.v 0
⊥ ⇔ =
r r r r
II. Hệ tọa độ trong không gian
1. Hệ tọa độ vuông góc Oxyz – tọa độ vector
Nếu ta chọn
i, j,k
r r r
là ba vector đơn vị đôi một vuông góc, có chung một điểm đặt O, sao cho
từ điểm ngọn của vector
k
r
thì chiều quay từ
i
r
sang
j
r
là ngược chiều kim đồng hồ, thì bộ ba số duy
nhất (x, y, z) thỏa mãn vector
a
r
bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng
a xi yj zk= + +
r r r
r
là tọa độ của
vector

; b
3
)
(i).
1 1 2 2 3 3
a b (a b ;a b ;a b )+ = + + +
r
r
;
1 1 2 2 3 3
a b (a b ;a b ;a b )− = − − −
r
r
(ii).
1 2 3
ka (ka ;ka ;ka )=
r
(iii).
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =




r
r
Nếu b
1
, b
2
, b
3
khác không thì điều kiện trên trở thành
3
1 2
1 2 3
a
a a
b b b
= =
(vi).
1 1 2 2 3 3
a.b a b a b a b= + +
r
r
và
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b 0⊥ ⇔ + + =
r
r
(vii).
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3

A
), B(x
B
, y
B
, z
B
)
(i).
B A B A B A
AB (x x , y y ,z z )= − − −
uuur
và
2 2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )= − + − + −
(ii). Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1:
A B A B A B
x kx y ky z kz
MA kMB M( ; ; )
1 k 1 k 1 k
− − −
= ⇔
− − −
uuuur uuur
(iii). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
A B A B A B
x x y y z z
M( ; ; )
2 2 2

Kí hiệu:
c [a,b] a b= = ∧
r r
r r r
Cho
a
r
= (a
1
; a
2
; a
3
) và
b
r
= (b
1
; b
2
; b
3
)
Khi đó:
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a
a a a a
[a,b] ( ; ; )

[a,b] [b,a]≠
r r
r r
Tính chất và ứng dụng:
(i).
[i, j] k; [ j,k] i; [k, i] j= = =
r r r r r r r r r
(ii).
[a,b] 0=
r
r
r
khi
a,b
r
r
cùng phương.
(iii). Điều kiện đồng phẳng của ba vector
a,b,c
r
r r
:
[a,b].c 0=
r
r r
.
(iv). Diện tích hình bình hành ABCD:
ABCD
S [AB,AD]=
uuur uuur

b 5i 4k= −
r r r
c 3i 4 j k= − +
r r r
r
Bài 2. Cho
a
r
= (2; –3; 3),
b
r
= (0; 2; –1),
c
r
= (1; 3; 2). Tìm tọa độ vector
u
r
với
a.
u 2a 3b 4c
= + −
r
r r
r
b.
u a 2b c
= − +
r
r r
r

b
r
= (2; 0; 1)
a. Tìm y, z sao cho
c
r
= (2; y; z) cùng phương với
a
r
b. Tìm x, y sao cho
u
r
= (x; y; 3) cùng phương với
b
r
c. Tìm vector
c
r
vuông góc với
a
r
và
b
r
, đồng thời có độ lớn bằng 3
5
d. Tính cosin góc giữa hai vector
a
r
và

r
= (2; 1; 2) và
b
r
= (–1; 2; 0) b.
a
r
= (1;
3
; 2
3
) và
b
r
= (0; 4; 3)
c.
a
r
= (–2; –1; 2) và
b
r
= (0; 1; –1)
Bài 7. Cho
a
r
= (3; 3; 2),
b
r
= (4; 3; –5),
c

+
r
r
cùng phương.
Bài 9. Cho
a
r
= (2; 3; 1),
b
r
= (5; 6; 4),
c
r
= (m; n; 1). Tìm m, n sao cho
c [a,b]
=
r
r r
Bài 10. Cho
a
r
= (1; –3; 2),
b
r
= (m + 1, m – 2, 1 – m),
c
r
= (0; m – 2; 2). Tìm m sao cho ba vector
đó đồng phẳng.
Bài 11. Cho

r
,
c
r
.
Bài 12. Cho M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx.
Bài 13. Cho M(3; –1; 2). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng Oyz và qua trục Oy.
Bài 14. Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).
a. Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của ΔABC.
c. Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
d. Tìm tọa độ trực tâm ΔABC.
e. Tính số chu vi và diện tích ΔABC.
f. Tính chiều dài đường cao hạ từ đỉnh A của ΔABC.
Bài 15. Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm:
a. A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0), C(3; 1; –1) b. A(1; 0; 2), B(–2; 1; 1), C(1; –3; –2)
Vấn đề 2: Ứng dụng tọa độ vector và điểm vào hình học
Bài 16. Cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1).
a. Chứng minh A, B, C, D lập thành tứ diện.
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện.
c. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
d. Tính diện tích ΔBCD và suy ra đường cao của tứ diện ABCD hạ từ A.
Bài 17. Cho 4 điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0).
a. Chứng minh SA vuông góc với (SBC), SB vuông góc với SC.
b. Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều.
c. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC). Từ đó tính chiều cao SH.
Bài 18. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4).
a. Chứng minh SA, SB, SC đôi một vuông góc nhau.
b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều.
c. Vẽ SH vuông góc với (ABC) tại H. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh H’ABC là

c. Đường kính AB với A(3; –2; 1) và B(1; 2; –3).
Bài 24. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nếu
a. A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1) b. A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)
Bài 25. Viết phương trình mặt cầu có
a. Tâm thuộc mặt phẳng Oxz và đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3), C(2; 0; –1).
b. Có tâm I(–5; 1; 1) và tiếp xúc với mặt cầu (T): x² + y² + z² – 2x + 4y – 6z + 5 = 0.
Bài 26. Xét vị trí tương đối hai mặt cầu sau
a. (S
1
): x² + y² + z² – 8x + 4y – 2z – 4 = 0 và (S
2
): x² + y² + z² + 4x – 2y – 4z + 5 = 0
b. (S
1
): x² + y² + z² – 2x + 4y – 10z + 5 = 0 và (S
2
): x² + y² + z² – 4x – 6y + 2z – 2 = 0
c. (S
1
): x² + y² + z² + 4x – 2y + 2z – 3 = 0 và (S
2
): x² + y² + z² – 6x + 4y – 2z – 2 = 0
Bài 27. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt cầu:
a. (S
1
): x² + y² + z² – 4x – 2y + 6z – 50 = 0 và (S
2
): x² + y² + z² – 8x + 4y – 6z – m² – 4m + 25 = 0
b. (S
1

thì một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)
là
n [a,b]=
r
r r
2. Phương trình của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 với A² + B² + C² > 0.
Khi đó:
n
r
= (A, B, C) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x
o
; y
o
; z
o
) và nhận
n
r
= (A, B, C) làm vectơ pháp tuyến có
phương trình là (P): A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0.
Nếu mặt phẳng (α) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
sao cho abc ≠ 0 thì phương trình mặt phẳng là

[n , n ] 0=
r
r r
và
1 2 2 1
D n D n≠
r r
(α), (β) trùng nhau khi và chỉ khi
1 2
[n , n ] 0=
r
r r
và
1 2 2 1
D n D n=
r r
4. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M(x
o
; y
o
; z
o
) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là
o o o
2 2 2
Ax By Cz D
d(M,α)
A B C
+ + +

+ +
= =
+ + + +
r r
r r
6. Vị trí tương đối giữa điểm và mặt phẳng
Một điểm nằm trong mặt phẳng sẽ có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng.
Hai điểm A(x
1
; y
1
; z
1
) và B(x
2
; y
2
; z
2
) nằm về hai phía của mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D
= 0 nếu (Ax
1
+ By
1
+ Cz
1
+ D)(Ax
2
+ By
2

(α): (x
o
– a)(x – x
o
) + (y
o
– b)(y – y
o
) + (z
o
– c)(z – z
o
) = R²
hay (α): (x
o
– a)(x – a) + (y
o
– b)(y – b) + (z
o
– c)(z – c) = 0.
Bài 30. Viết phương trình mặt phẳng (P) nếu
a. (P) đi qua điểm M(3; 1; 1) và có một vectơ pháp tuyến là
n
r
= (1; –1; 2)
b. (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(2; 1; 1) và B(2; –1; 3)
c. (P) đi qua điểm M(1; 2; –3) và có cặp vectơ chỉ phương
a
r
= (2; 1; 2),

Bài 38. Cho hai mặt phẳng (P): 3x + 6y – 3z + 7 = 0 và (Q): x + 2y – z + 1 = 0.
a. Chứng minh (P)//(Q)
b. Tìm tập hợp các điểm cách đều (P) và (Q).
c. Tìm tập hợp các điểm M sao cho d[M, (P)] = 2d[M, (Q)]
Bài 39. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 5 = 0 và cách điểm A(2; –
1; 4) một đoạn bằng 4.
Bài 40. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 1 = 0 và (Q): y – z = 0.
Bài 41. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) biết
a. I(1; 5; 2) và (P): 2x + y + 3z + 1 = 0
b. I(1; 1; 2) và (P): x + 2y + 2z + 5 = 0
Bài 42. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm M biết
a. (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 và M(4; –3; 1).
b. (S): x² + y² + z² – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và M(1; 2; –4).
Bài 43. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) biết
a. (S): x² + y² + z² – 6x + 4y + 2z – 11 = 0 và (Q): 4x + 3z – 17 = 0
b. (S): x² + y² + z² – 2x – 4y + 4z = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 5 = 0
Bài 44. Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)
a. Viết phương trình các mặt của tứ diện ABCD.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD.
c. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD).
d. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của cạnh AB.
e. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
f. Tính bán đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 45. Cho 4 điểm A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3).
a. Chứng minh ABCD là tứ diện đều.
b. Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
c. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD).
IV. Phương trình đường thẳng
1. Phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng:
Phương trình tham số đường thẳng đi qua M(x

= =
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng (d
1
), (d
2
) có phương trình lần lượt là
d
1
:
1 1
1 1
1 1
x x a t
y y b t (t R)
z z c t
= +


= + ∈


= +

d
2
:
2 2
2 2
2 2

2
) lần lượt là vectơ chỉ phương của (d
1
), (d
2
). Trên (d
1
) lấy điểm
M
1
(x
1
; y
1
; z
1
), trên (d
2
) lấy điểm M
2
(x
2
; y
2
; z
2
).
d
1
// d

uuuuuur
r r
d
1
trùng d
2
khi và chỉ khi
1 2
1 2 1
[u ,u ] 0
[M M ,u ] 0

=


=


r
r r
uuuuuur
r
r

d
1
và d
2
chéo nhau khi và chỉ khi
1 2 1 2

+ at) + B(y
o
+ bt) + C(z
o
+ ct) + D = 0 (theo ẩn t) (*)
(d) // (α) khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm
(d) cắt (α) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất.
(d) thuộc (α) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm với mọi t.
4. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Xét đường thẳng (Δ) và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.
(Δ) và (S) không có điểm chung khi và chỉ khi d(I, Δ) > R.
(Δ) và (S) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi d(I, Δ) = R.
(Δ) và (S) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi d(I, Δ) < R.
Để tìm giao điểm (Δ) và (S) có thể lập phương trình tham số của Δ sau đó thay (x; y; z) theo t
vào phương trình mặt cầu và giải được giá trị của t. Sau đó suy ra tọa độ giao điểm.
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng (Δ) đi qua M
o
và có vectơ chỉ phương
a
r
và điểm M ngoài đường thẳng Δ.
d(M, Δ) =
o
[MM ,a]
a
uuuuuur
r
r
6. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

[a ,a ]
uuuuuur
r r
r r
7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) // d bằng khoảng cách từ một điểm trên d
đến mặt phẳng (α).
8. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
có các vectơ chỉ phương lần lượt là
1 2
a ,a .
r r
Góc giữa d
1
, d
2
là góc nhọn bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương.
1 2
1 2
1 2
a .a
cos(a ,a )
a a
=
r r
r r

e. (d) đi qua điểm A(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – 5y + 4 = 0.
f. (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0 và (Q): x + y + z – 1 = 0.
g. (d) đi qua điểm A(1; 0; 5) và vuông góc với đường thẳng (d
1
):
x 1 y 3 z 1
2 2 1
− − −
= =
−
và đường thẳng
(d
2
):
x 1 y 2 z 3
1 1 3
− − −
= =
− −
.
h. (d) đi qua điểm A(1; 2; –2), vuông góc và cắt đường thẳng Δ:
x y 1 z
1 1 2
−
= =
i. (d) đi qua điểm A(2; 1; –1) và cắt các đường thẳng Δ
1
:
x 1 y 2 z 3
3 4 5

=

b. (d) song song với Δ:
x y 1 z 1
2 1 2
− −
= =
−
, cắt đường thẳng d
1
:
x 1 y z 1
1 2 1
+ −
= =
−
và cắt đường thẳng d
2
:
x 2 y 1 z 1
3 2 1
− + −
= =
−
c. (d) là đường thẳng vuông góc chung của d
1
:
x 2 y 1 z 3
2 1 1
− − −



=


= +

Bài 48. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1).
a. Viết phương trình đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABD).
b. Viết phương trình đường thẳng qua A và qua trọng tâm tam giác BCD.
Bài 49. Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2; 5); phương trình của hai đường trung tuyến lần lượt là
d
1
:
x 3 y 6 z 3
2 2 1
− − −
= =
−
và d
2
:
x 4 y 2 z 2
.
1 4 1
− − −
= =
−
a. Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC.
b. Viết phương trình đường phân giác trong của góc BAC.

− + −
= =
và điểm I(4; 2; –1). Viết phương trình mặt cầu (S)
tâm I và tiếp xúc với (d).
Bài 56. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (S)
biết (d) đi qua A(0; 0; 5) thuộc (S) và (d) song song với mặt phẳng (α): 3x – 2y + 2z + 3 = 0.
Bài 57. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0). Viết phương trình mặt
cầu (S) tiếp xúc với các cạnh của tứ diện ABCD.
Vấn đề 3: Khoảng cách và góc
Bài 58. Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d):
x 2 y 1 z
1 2 1
− −
= =
. Tính khoảng cách từ A đến (d).
Bài 59. Cho hai đường thẳng d
1
:
x 2 y 1 z
3 2 2
− +
= =
−
và d
2
:
x y 1 z 1
1 2 4
− +
= =

= =
−
và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 10 = 0. Tính góc tạo
bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
Bài 63. Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1).
a. Tính góc giữa AD và mặt phẳng (ABC).
b. Tính góc giữa AB và trung tuyến AM của tam giác ACD.
c. Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Bài 64. Cho tứ diện SABC có đỉnh S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5).
a. Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC).
b. Tính góc tạo bởi SC và AB.
c. Tính khoảng cách từ C đến (SAB).
d. Tính khoảng cách từ C đến cạnh AB và khoảng cách giữa SA, BC.
Vấn đề 4: Quan hệ nhiều yếu tố, hình chiếu và đối xứng.
Bài 65. Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A(1; 4; –3) và đường thẳng d:
x 2 y 1 z 1
1 2 3
− + −
= =
− −
.
Bài 66. Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng song song d
1
:
x 1 y 3 z 2
2 3 4
− + −
= =
và
d

−
và d
2
:
x y 1 z 1
1 2 4
− +
= =
. Viết phương trình mặt
phẳng chứa d
1
và song song với d
2
.
Bài 69. Cho điểm M(2; 3; 1) và đường thẳng d:
x 1 y 2 z 1
2 1 2
− − +
= =
−
.
a. Tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của M lên (d).
b. Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua (d).
Bài 70. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P) và điểm M’ đối xứng với M
qua mặt phẳng (P) biết
a. (P): 2x – y + 2z – 6 = 0, M(2; –3; 5).
b. (P): x – y + z – 4 = 0, M(2; 1; –1).
Bài 71. Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d:
x 1 y 2 z 2
3 2 2