CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014

SỐ PHỨC

BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HÀ N
ỘI, 8/2013
’ ’ ( , , ', ' )
'


=


+ = + ⇔ ∈


=



a a
a bi a b i a b a b R
b b

2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b
)∈ R
được biểu diễn bởi điểm M(a; 2) hay bởi
( ; )=

u a b
trong mp(Oxy)
(mp phứ3)

3. Cộng và trừ số phức:
•
( ) ( ) ( ) ( )


•
( ) ( )+ = + ∈k a bi ka kbi k R

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
= −z a bi

•
1 1
2 2
; ' ' ; . ' . ';
 




= ± = ± = =






 
z z
z z z z z z z z z z
z z
;
2 2
. = +z z a b

z z
z
z
•
' ' '
− ≤ ± ≤ +
z z z z z z

7. Chia hai số phức:
•
1
2
1
−
=
z z
z
(z
≠
0) •
1
2
' '. '.
'
.
−
= = =
z z z z z
z z
z z z


=



x y a
xy b

• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
• w
0
≠
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
• Hai căn bậc hai của a > 0 là
±
a

• Hai căn bậc hai của a < 0 là
.
± −
a i

9. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A
0
≠
).

2

•
(cos sin )
ϕ ϕ
= +
z r i
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z
≠
0)

2 2
cos
sin
ϕ
ϕ



= +





⇔ =







ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = +
z r i z r i
:
•
. ' '. cos( ') sin( ')
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
= + + +
 
z z rr i
•
cos( ') sin( ')
' '
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
= − + −
 
z r
i
z r

12. Công thức Moa–vrơ:
•
(cos sin ) (cos sin )
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
+ = +
 
n

π π
 



+




 
 
     
  
  
 
  
− + = + + +
  
  
  
  
 
     
 
r i
vaø r i r i

•
••

(4 – ) (2 3 ) – (5 )
+ + +
i i i
2)
1
2 2
3
 



− + −





 
i i
3)
( )
2 5
2 3
3 4
 



− − −


+ − − +
 
 
 
 
 
   
i i
6)
(2 3 )(3 )
− +
i i

7)
3 2
1
− −
−
+
i i
i i
8)
3
1 2
+
i
9)
1
1
+

i a
16)
2 3
4 5
−
+
i
i

HT 2: Thực hiện các phép toán sau:
1)
2 2
(1 ) (1 – )
+ −
i i
2)
3 3
(2 ) (3 )
+ − −
i i
3)
2
(3 4 )
+
i

4)
3
1
3

( 1 ) (2 )
− + −
i i
8)
100
(1 )
−
i
9)
5
(3 3 )
+
i GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
HT 3: Cho số phức
= +
z x yi
. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
1)
2
2 4
− +
z z i
2)
1
+
−

+
a
6)
3
27
−
a
7)
3
8
+
a
8)
4 2
1
+ +
a a

HT 5: Tìm căn bậc hai của số phức:
1)
1 4 3
− +
i
2)
4 6 5
+
i
3)
1 2 6
− −

5 12
− +
i
11)
8 6
+
i
12)
33 56
−
iVẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức

HT 6: Giải các phương trình sau (ẩn z):
1)
2
0
+ =
z z
2)
2
2
0
+ =
z z

3)
2 2 4


−
 
z i
z i
8)
2 1 3
1 2
+ − +
=
− +
i i
z
i i

9)
2 3 1 12
− = −
z z i
10)
2
(3 2 ) ( ) 3
− + =
i z i i

11)
1
(2 ) 3 0
2
 

13)
3 5
2 4
+
= −
i
i
z
14)
2
( 3 )( 2 5) 0
+ − + =
z i z z

15)
2 2
( 9)( 1) 0
+ − + =
z z z
16)
3 2
2 3 5 3 3 0
− + + − =
z z z i

HT 7: Giải các phương trình sau (ẩn x):
1)
2
3. 1 0
− + =

3
3 24 0
− =
x
8)
4
2 16 0
+ =
x
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5
VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm

HT 8: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
1)
3 4
+ + =
z z
2)
1 2
− + − =
z z i
3)
2 2
− + = −
z z i z i


10)
2
+ = −
z i z
11)
1 1
+ <
z
12)
1 2
< − <
z i

HT 9: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
1)
2
+
z i
là số thực 2)
2
− +
z i
là số thuần ảo 3)
. 9
=
z zVẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức


(
)

3 cos 20 sin20 cos25 sin 25
+ +
o o o o
i i
2)
5 cos .sin .3 cos .sin
6 6 4 4
π π π π
   
 
 
 
+ +
 
 
 
 
   
i i

3)
(
)
(
)
3 cos120 sin120 cos 45 sin 45
+ +

+
+
 
 
i
i

7)
0 0
0 0
2(cos 45 .sin 45 )
3(cos15 .sin15 )
+
+
i
i
8)
2(cos 45 sin 45 )
3(cos15 sin 15 )
+
+
 
 
i
i

9)
2 2
2(cos .sin )
3 3

+




 
i
i

HT 12: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
1)
1 3
−
i
2)
1
+
i
3)
(1 3)(1 )
− +
i i
4)
2. .( 3 )
−
i i

5)
1 3
1

i
12)
5
tan
8
π
+
i GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6
HT 13: Viết dưới dạng đại số các số phức sau:
1)
cos 45 sin 45
+
o o
i
2)
2 cos sin
6 6
π π
 



+




+
+
i
i
8)
(
)
60
1 3
− +
i
9)
40
7
1 3
(2 2 ) .
1
 

+



−




 
−

 
 
+
 
 
 
 
   
−
i
i
i
12)
(
)
17
1
3
−
i

HT 14: Tính:
1)
(
)

5
cos12 sin12
+
o o

o o
i
6)
2008 2008
(1 ) (1 )
+ + −i i

7)
21
5 3 3
1 2 3
 

+










−
 
i
i
8)
12

 
i
i
BÀI 2: ÔN TẬP
HT 15: Thực hiện các phép tính sau:
1)
(2 )( 3 2 )(5 4 )
− − + −
i i i
2)
6 6
1 3 1 7
2 2
   
 
− + −
 
 
 
+
 
 
 
 
   
i i


5)
(2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 )
− + + + − −
i i i i
6)
2 3 2009
1
+ + + + +
i i i i

7)
2000 1999 201 82 47
+ + + +
i i i i i
8)
2
1 , ( 1)
+ + + + ≥
n
i i i n

9)
2 3 2000
. .
i i i i
10)
5 7 13 100 94
( ) ( ) ( )
− − −
− + − + + −

z z z
6)
2 2
1 2
2 2
2 3
+
+
z z
z z

HT 17: Rút gọn các biểu thức sau:
1)
4 3 2
(1 2 ) 3 1 3 , 2 3
= + − + + + + = +
A z iz i z z i vôùi z i GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7
2)
(
)
2 3 2
1
( 2 )(2 ), 3
2
= − + − + = −
B z z z z z vôùi z i

3
(3 2 )
(1 2 ) 11 4
2 3
−
+ − = +
+
x i
y i i
i

6)
3
(3 2 ) (1 2 ) 9 14
+ + − = +
x i y i i

HT 19: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
1)
8 6
+
i
2)
3 4
+
i
3)
1
+
i











−
 
i
i
7)
1 2
2 2
−
i
8) i, –i
9)
3
1 3
−
+
i
i
10)
1 1
2 2

z i

4)
3
27 0
− =
z i
5)
7 4 3
2 2 0
− − − =
z iz iz
6)
6 3
1 0
+ + − =
z iz i

HT 21: Gọi
1 2
;
u u
là hai căn bậc hai của
1
3 4
= +
z i
và
1 2
;

4 10 0
+ + =
z z

4)

2
5 9 0
− + =
z z
5)

2
2 3 1 0
− + − =
z z
6)

2
3 2 3 0
− + =
z z

7)
( )( ) 0
+ − =
z z z z
8)
2
2 0

4 8 8
+ =
z z
14)
2
(1 2 ) 1 0
+ + + =
iz i z
15)
2
(1 ) 2 11 0
+ + + =
i z i

HT 23: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1)
2
4 4
5 6 0
 
+ +



− + =






3 2
1 3 3 0
− + + + − =
z i z i z i GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8
5)
(
)
(
)

2
2 2 0
+ − + =
z i z z
6)
2
2 2 1 0
− + − =
z iz i

7)
2
(5 14 ) 2(12 5 ) 0
− − − + =
z i z i
8)

3 2 0
+ + =
x x

4)
2
1 0
+ + =
x x
5)
3
1 0
− =
x

HT 25: Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
1)
3 2
2 2 0
− − − =
z iz iz
2)
3 2
( 3) (4 4 ) 4 4 0
+ − + − − + =
z i z i z i

HT 26: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện:
1)
( 2)( )

=
+
z i
z

5)
2
2
2 . 8
+ + =
z z z z
và
2
+ =
z z

6)
1 5
− =
z
và
17( ) 5 . 0
+ − =
z z z z

7)
1
=
z
và

z
và
2
z
là số thuần ảo
2)
2 2
= − −
z z i
và
2
2
−
−
z i
z
là số thuần ảo
3)
1 2 3 4
+ − = + +
z i z i
và
2
−
+
z i
z i
là số ảo.
4)
5

3
=
−
z
z i
2)
2 2
1
+ =
z z
3)
(
)
( 2)
− +
z z i
là số thực
4)
3 4
= − +
z z i
5)
+
+
z i
z i
là số thực
HT 30: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau:

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

thoả mãn hệ thức sau:
1)
' (1 3) 2
= + +
z i z
biết
z
thỏa mãn:
1 2
− =
z

2)
' (1 3) 2
= + +
z i z
biết rằng
z
thỏa mãn:
1 3
+ ≤
z

3)
' (1 2 ) 3
= + +z i z
biết rằng
z
thỏa mãn:
2

.
HT 33: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
1)
4 3 2
1
+ + + +
i i i i
2)
(1 )(2 )
− +
i i
3)
2
1
+
−
i
i

4)
1 sin cos , 0
2
π
α α α
− + < <
i
5)
3 cos sin
6 6
π π

)
8
6
6 8
(1 )
2 3 2
(1 )
2 3 2
+
+
+
−
−
i
i
i
i
2)
(
)
(
)
4
10 4
( 1 )
1
3 2 3 2
− +
+
− +

π
α α α
− + < <
i
8)
1 cos sin
, 0
1 cos sin 2
α α π
α
α α
+ +
< <
+ −
i
i
9)
4 3
−
i

HT 35: Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
1)
( )
(
)
8
6
6 8
(1 )

(
)
1 3 1 3
+ + −
n n
i i

HT 36: Chứng minh các biểu thức sau có giá trị thực:
1)
(
)
(
)
7 7
2 5 2 5
+ + −
i i
2)
19 7 20 5
9 7 6
   
+ +
 
 
 
+
 
 



   
 
− + − −
 
 
 
+
 
 
 
 
   
i i

5)
6 6
3 3
2 2
   
 
+ −
 
 
 
+
 
 
 
 
   

2
− + =
z i

2)
2 2 2 2
− + =z i
3)
(1 )
2 1
1
+
+ =
−
i z
i

4)
1 2 1
+ − =
z i
5)
2 4 5
− − =z i

HT 39: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau: 4 2 6
; (1 )(1 2 );

, Đ/s:
3 4 ; 9
= ± =
z i z

HT 41: Chứng minh rằng: nếu
1
≤
z
thì
2
1
2
−
≤
+
z i
iz
.

BÀI 3: TUYỂN TẬP SỐ PHỨC THI ĐẠI HỌC
HT 42: (ĐH Khối A – 2009) Gọi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
2 10 0

(3 4 ) 2
− − =
z i
. Đs: Đường tròn tâm I (3;-4), bán kính R = 2
HT 45: (CĐ khối A, B, D – 2009) Cho số phức
z
thỏa mãn:
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )
+ − = + + +
i i z i i z
. Xác định phần thực và
phần ảo của z. Đ/s: Phần thực: 2; Phần ảo: -3
HT 46: (CĐ khối A, B, D – 2009) Giải phương trình:
4 3 7
2
− −
= −
−
z i
z i
z i
trên tập số phức. Đ/s:
1 2
3 2 ; 2
= + = +
z i z i

HT 47: (ĐH khối A – 2010) Tìm phần thực và phần ảo của số phức
z

thỏa mãn điều kiện
(1 )
− = +
z i i z
. Đ/s: đường tròn tâm I (0;-1) bán kính
2
=
R

HT 50: (ĐH khối D – 2010) Tìm số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2
=z
và
2
z
là số thuần ảo.
1 2 3 4
1 ; 1 ; 1 ; 1
= + = − = − − = − +
z i z i z i z i

HT 51: (CĐ khối A, B, D – 2010) Cho số phức
z
thỏa mãn:
2
(2 3 ) (4 ) (1 3 )
− + + = − +
i z i z i

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11
HT 54: (ĐH khối B – 2011) Tìm số phức
z
biết:
5 3
1 0
+
− − =
i
z
z
Đ/s:
1 3
= − −
z i
hoặc
2 3
= −
z i

HT 55: (ĐH khối B – 2011)Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
1 3
1
 

+




2 .
1
+
= −
+
z i
i
z
Tính mô-đun của số phức
2
1
= + +
w z z
Đ/s:
13
=w

HT 58: (ĐH khối B – 2012) Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm phức của phương trình:
2
2 3 4 0.
− − =
z iz
Viết dạng lượng giác
của
1
z

+
i
i z i
i
Tìm mô-đun của số phức
1
= + +
w z i
Đ/s:
5
=
w

HT 60: (ĐH khối D – 2012) Giải phương trình:
2
3(1 ) 5 0
+ + + =
z i z i
trên tập số phức
Đ/s:
1 2 ; 2
= − − = − −
z i z i

HT 61: (ĐH khối A-A1– 2013) Cho số phức
1 3 .
z i
= +
Viết dưới dạng lượng giác của
z

HT 62: (ĐH khối D – 2013) Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
(1 )( ) 2 2 .
i z i z i
+ − + =
Tính mô-đun của số phức
2
2 1
z z
w
z
− +
=

Đ/s:
10
w =