Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Chương II. . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1. GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0
O
ĐẾN 180
O
1. Đònh nghóa
Với mỗi góc
α
(0
o
≤
α
≤
180
o
), ta xác đònh điểm M(x, y) trên đường tròn đơn vò sao cho
·
MOx = αcos x sin y
y x
tan cot
x y
• α = • α =
• α = • α = Nhận xét : tan
α

) = – tan
α
(
α ≠
90
o
) cot(180
o
–
α
) = – cot
α
(0
o
<
α
< 180
o
)
sin
α
> 0 với 0
o
<
α
< 180
o
Nếu góc
α
nhọn thì cos

α α
• + α = • + α =
α α
2. Giá trò lượng giác của một số góc đặc biệt
Góc 0
o
30
o
45
o
60
o
90
o
Sin 0
1
2
2
2
3
2
1
Cos 1
3
2
2
2
1
2
0

2 2
0 0
2
2 0 0 0
a sin90 bcos 45
F
2a cos60 2abcos180 b 2 cos 45
−
=
+ +

G = (2cos
2
30
o
+ sin135
o
– 3tan120
o
)(cos180
o
–cot45
o
)
H = 3sin
2
45
o
–2cos
2

1
3
với 0
0
<
α
< 90
0
cos
α
=
8
17
cot
α
= 2 2 sin 15
0
=
6 2
4
−
cos
α
=
1
3
tan
α
= –
1

cot ta n
α − α
α + α
, biết sin
α
=
2
3
. D= sin
4
α
+ cos
4
α
,biết cot
α
= m,
E = sin
α
.cos
α α
F = sin
4
α
+ cos
4
α
, biết sin
α
+ cos

5sin 4cos
α − α
α + α
, biết
tan α
= 3
Bài 4 Rút gọn biểu thức.
A = cosx + sinx.tanx. B =
1 cos x. 1 cos x.+ −
C = sina.
2
1 tan a+
D = cos
2
a + cos
2
a.tan
2
a K =
( ) ( )
2 2
sin a 1 cot a cos a 1 tan a+ + +
E =
2
2cos a 1
sin a cosa
−
+
G =
( )

2 2
1 cos x
1
tan x.cot x
1 si n x cos x
−
+ −
−
Bài 6 Chứng minh các đẳng thức sau :
1)
( )
2
sin x cos x 1 2sin x.cos x+ = +
2)
( )
2
sin x cosx 1 2sin x.cos x− = −
3) sin
4
α
– cos
4
α
= 2sin
2
α
– 1 4) sin
4
α
+ cos

2
2
2
1 sin
1 2 tan
1 sin
+ α
= + α
− α
8)
2 2
6
2 2
tan sin
tan
cot cos
α − α
= α
α − α
9)
3
sin cos
cos
α + α
α
= 1 + tan
α
+ tan
2
α

2
Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
I. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ
a
r
và
b
r
. Từ một điểm O nào đó, vẽ
OA a , OB b= =
uuur r uuur r
. Khi đó : Số đo của góc
·
AOB

gọi là số đo của góc giữa hai vectơ
a
r
và
b
r
, hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ
a
r
và
b
r
. Ký hiệu :
(

r r
ngược hướng B
 Nếu một trong hai vectơ là vectơ
0
r
thì ta xem góc giữa hai vectơ đó là tùy ý từ 0
o
đến 180
o
.
 Nếu (
a
r
,
b
r
) = 90
o
, ta nói hai vectơ vuông góc. Ký hiệu : (
a
r
⊥
b
r
)

II.Tích vô hướng của hai vectơ
1. Đònh nghóa
Tích vô hướng của hai vectơ
a

0. .0 0a a= =
r r r r
với mọi vectơ
a
r
.
2. Kết quả

( )
, 0 ,a b a b= ⇔
r r r r
cùng hướng và
. . .a b a b=
r r r r

( )
0
, 180 ,a b a b= ⇔
r r r r
ngược hướng và
. . .a b a b= −
r r r r

( )
0
, 90 . 0a b a b< ⇔ >
r r r r
và
( )
0


2 2
2
2 2
2 2
(a ± b) = a ± 2a.b + b
a - b = (a + b).(a - b) = a - b
r r r r r r
r r r r r r r r
4. Ứng dụng của tích vô hướng
a) Công thức chiếu
Cho hai vectơ
OA
uuur
,
OB
uuur
. Gọi B
/
là hình chiếu của B lên đường thẳng OA . Ta có :
3
a
r
b
r
b
r
a
r
O

Vậy: P
M/(O)
=
MA.MB
uuuur uuur
= MO
2
– R
2
= MT
2
6. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho hai véc tơ
a
r
= (x, y) và
b
r
= (x
/
, y
/
). Ta có :

' '
1) 2) x.x y.y 3)
4) , 5)
) )
⊥ ⇔ + =
/ / 2 2

Bài 2 a) Cho các véc tơ đơn vò
r r
a ; b
với
− =
r r
2a b 3
. Tính
r r
a.b
ĐS : ½
b) Cho
= = − = +
r r r r r r
a 2 ; b 3 ; a b 1 . Tính a b
ĐS :5
c) Cho
⊥ = =
r r r r
a b ; a 1 ; b 2
CMR :
− ⊥ +
r r r r
(2a b) (a b)
Bài 3. Cho các véc tơ
r r
a ; b
a)
= = = − +
r r r r r r r r

; – a
2
; b) a
2
; c) 2a
2

Bài 5. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và AB = 2 ; BC = 4 ; CA = 3. Tính :
a)
uuur uuur
AB.AC . Suy ra giá trò của cosA
b)
uuur uuur
AG.BC và + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
GA.GB GB.GC GC.GA
c) Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A.Tính
uuur uuur uuur
AD theo AB và AC
.Tính độ dài đoạn
AD. ĐS : a) – 9/2 ; – ¼ ; b) 5/3 ; – 29/6 ; c)
= + =
uuur uuur uuur
3 2 3 6
AD AB AC ; AD
5 5 5
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 2 ; AC = 3 ; A = 120
o

a) Tính độ dài đoạn BC và trung tuyến AM.

dài các đoạn AB và AC. ĐS :
a 2 ; a
CHỨNG MINH HAI VÉC TƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC - CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC .
Bài 8. Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K là trực tâm các tam giác ABO,
CDO. I và J là trung điểm AD, BC. CMR : HK
⊥
IJ.
Bài 9. Cho tam giác ABC. CMR : Điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc với
nhau là AC
2
+ AB
2
= 5BC
2
.
Bài 10. Cho tứ giác ABCD
a) CMR : AB
2
– BC
2
+ CD
2
– DA
2
=
uuur uuur
2AC.DB
b) Suy ra : Điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc
với nhau là : AB
2

ur uuuur uuur uuuur
V 2MA MB 3MC không phụ thuộc vào vò trí của điểm M.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR : 2MA
2
+ MB
2
– 3MC
2
=
uuuur ur
2MO.V
c) Tìm tập hợp những điểm M thỏa : 2MA
2
+ MB
2
= 3MC
2
Bài 14. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong các trường hợp sau :
a) =
uuuur uuur uuuur uuuur
MA.MB MA.MC b) MA
2

+ + =
uuuur uuur uuuur uuuur
MA.MB MA.MC 0 c) MA
2
=
uuur uuuur
MB.MC

2
= 3MD
2

d)
+ + − =
uuuur uuur uuuur uuuur uuur
2
(MA MB MC)(MC MB) 3a
e) 2MA
2
+ MB
2
= MC
2
+ MD
2

CÁC BÀI TOÁN CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG LIÊN QUAN ĐẾN TOẠ ĐỘ
Bài 17. Cho
r
a
= (5,3) ;
r
b
= (2,0) ;
r
c
= (4,2)
a) Tìm véc tơ

ĐS : a)
r
x
= (2 ,– 4) hay
r
x
= (–2,4); b) m = 2 ; n = –3 ; c)
r
a
= –
1
2
r
b
+
3
2
r
c
.
Bài 18. Cho
r
a
= (3,2) ;
r
b
= (–1,5) ;
r
c
= (–2, –5)

r
b
;
r
b
.
r
c ;
r
a (
r
b
+
r
c ) ;
r
b
(
r
a –
r
c )
ĐS : a)
r
u
= (13,29);
r
v = (–15,– 17); b)
= − = −
15 11

r
b
b) Tìm điều kiện của m, n sao cho m
r
a + n
r
b
vuông góc với
r
a .
c) Tìm véc tơ biết
r
a
.
r
c
= 17 và
r
b
.
r
c
= – 5. ĐS : b) 29m – 8n = 0 ; c)
r
c
= (1,2)
5