CHUN ĐỀ MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU
BÀI 1 MẶT NÓN TRÒN XOAY

1/ Định nghĩa: Cho đường thẳng
∆
. Một đường thẳng l cắt
∆
tại O và tạo với
∆

một góc
α
khơng đổi
( )
0 0
0 90
α
< <
. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi
quay quanh
∆
gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón).
∆
: trục của mặt nón.
l : đường sinh của mặt nón.
O : đỉnh của mặt nón.
2
α
: góc ở đỉnh.
2/ Hình nón và khối nón:
a/ Hình nón: Cho mặt nón N với trục

Cho hình nón N có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy R.
* Diện tích xung quanh của hình nón
1
2
xq
S = chu vi đáy . đường sinh
hay
xq
S Rl
π
=
* Thể tích khối nón
1
3
V = diện tích đáy . chiều cao
hay
2
1
3
V R h
π
=
- 1 -
BÀI TẬP
Baìi 1: Cho hai điểm
,A B
cố định. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A
và cách B một đoạn không đổi
2
AB

tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và
·
·
0 0
30 , 60SAO SAB= =
.
Tính độ dài đường sinh của hình nón theo a.
Baìi 5: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cạnh a. Tính diện tích xung
quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn
nội tiếp hình vuông
' ' ' 'A B C D
Baìi 6: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có
cạnh góc vuông bằng a.
a. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b. Tính thể tích của khối nón tương ứng.
c. Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết
diện này.
Baìi 7: Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và có góc
giữa các mặt bên và mặt đáy là
α
. Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội
tiếp tam giác đều ABC. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a
và
α
.
- 2 -

2
tp
a
S

= +
; b.
3
2
12
a
V

=
; c.
2
2
3
a
S =

; 7/
( )
2
2
cos tan 4
xq
a
S



ta c thit
din l hai ng trũn (C ) v (C

).
Khi ú phn ca mt tr gii hn bi hai mt phng
( )
P
v
( )
'P
cựng vi hai
ng trũn (C ) v (C

) c gi l hỡnh tr.
b/ Khi tr: L phn khụng gian gii hn bi hỡnh tr, k c hỡnh tr ú.
3/ Din tớch hỡnh tr v th tớch khi tr:
Cho hỡnh tr cú chiu cao h, ng sinh l v bỏn kớnh ỏy R.
* Din tớch xung quanh ca hỡnh tr
- 3 -
xq
S = chu vi ủaựy . ủửụứng sinh
hay
2
xq
S Rl

=
* Th tớch khi tr
V = dieọn tớch ủaựy . chieu cao

( )
P
sao cho ta luôn có
·
·
ABM BMH=
. Chứng minh rằng điểm
M luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là AB.
Baìi 3: Cho khối trụ có bán kính
5R cm=
, khoảng cách hai đáy bằng
7cm
. Cắt
khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục
3cm
. Tính diện tích
của thiết diện.
Baìi 4: Cho khối trụ có chiều cao bằng
20cm
và có bán kính đáy bằng
10cm
.
Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lược trên hai đáy sao cho chúng hợp
với nhau một góc
0
30
. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và
song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.
Baìi 5: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình
vuông.

;
2
6
tp
S R
π
=
;
b.
3
2V R
π
=
; c.
3
4V R=
; 6/ a.
2
2 3
xq
S R
π
=
;
( )
2
2 3 1
tp
S R
π

P

d OH⇒ =
là khoảng cách từ O đến mặt phẳng
( )
P
. Khi đó:
+ Nếu
d R>
: mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.
+ Nếu
d R=
: mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
Lúc đó:
( )
P
tiếp diện của mặt cầu
H : tiếp điểm.
+ Nếu
d R<
: mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm
H và bán kính
2 2
r R OH= −
3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:
Cho mặt cầu
( )
;S O R
và đường thẳng
∆

3
4
3
V R
π
=
- 6 -
BÀI TẬP
Baìi 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
( )
SA ABC⊥
.
a. Chứng minh hình chóp S.ABC nội tiếp trong một mặt cầu.
b. Cho
SA BC a= =
và
2AB a=
. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Baìi 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
( )
SA ABCD⊥
và
3SA a=
. Gọi O là tâm hình vuông ABCD và k là hình chiếu
của B trên SC.
a. Chứng minh hình chóp SOAKB nội tiếp trong một mặt cầu.
b. Xác đinh tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Baìi 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng
a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 5 điểm S,A,B,C,D.
Baìi 4: Chứng minh 8 đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt

2OA a=
, qua A kẻ một tiếp
tuyến tiếp xúc với
( )
S
tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt
( )
S
tại C và D,
biết
3CD a=
.
a. Tính AB.
b. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Baìi 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp
với mặt đáy một góc
ϕ
. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp.
- 7 -
Baìi 10: Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau đôi một và có
độ dài lần lược là a, b, c. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện.
Baìi 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên
bằng b. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Baìi 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp
bởi mặt bên và đáy bằng 30
0
. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác
SAO dựng đường trung trực của cạnh SA cắt SO tại k.

b. Tính diện tích mặt cầu.
c. Tính thể tích khối cầu tương ứng.
- 8 -
ĐÁP SỐ
1/ b.
R a=
; 2/ b.
R a=
; 3/
2
2
a
R =
; 4/
2 2 2
2
a b c
R
+ +
=
; 6/ Đường tròn tâm H, bán kính
3
2
R
r =
; 7/
3d =
; 8/ a.
3AB a=
; b.

−
=
−
12/ a.
7
;
2
12
a a
SO SA= =
; b.
7
12
a
KS =
; d.
7
12
a
R KS= =
; 13/
2
2
a
R =
;
14/
5 3
12
a

=
17/ a.
6
3
a
R =
; b.
2
8
3
a
S
π
=
; c.
3
8 6
27
a
V
π
=
————————≈≈≈—————————
- 9 -