Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
1 PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG
LỰC HỌC NHIỀU CHIỀU
——————————————————
Chủ biên Godunov Sergey Konstantinovich
Dịch bởi nhóm VnCFD Research Group
NHÀ XUẤT BẢN “KHOA HỌC”
MATXCƠVA 1976
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
2 Lời giới thiệu
thời gian đầu chúng tôi chưa thể dịch toàn vẹn cuốn sách. Những vấn đề được xem
là quan trọng cũng như cơ bản nhất được ưu tiên trình bày trước.
Bạn đọc quan tâm có thể đề nghị chúng tôi dịch các bài, các chương còn lại.
Mọi ý kiến đóng góp để hoàn thiện hơn về mặt nội dung từ phía bạn đọc được
chúng tôi đón nhận và biết ơn.
VnCFD Research Group
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
4
Phụ lục
Lời tác giả
Phần I. Cơ sơ lý thuyết
Chương I. Xây dựng sơ đồ sai phân cho các hệ phương trình hyperbol tuyến tính
Bài 1. Âm học một chiều
Bài 2. Sơ đồ sai phân
Bài 3. Xấp xỉ và tính ổn định của sơ đồ
Bài 4. Các ví dụ minh họa lời giải bằng phương pháp số
Bài 5. Sơ đồ cho bài toán hỗn hợp
Bài 6. Nghiên cứu độ chính xác của sơ đồ trên biên
Bài 7. Âm học hai chiều
Bài 8. Tính ổn định của sơ đồ hai chiều cho âm học
Bài 9. Sơ đồ tường minh một chiều cho hệ hyperbol bất kì
Bài 10. Sơ đồ tường minh hai chiều cho hệ hyperbol bất kì
Bài 11. Các sơ đồ sai phân không tường minh
Chương II. Các hệ hyperbol tựa tuyến tính hai biến
Bài 12. Động lực học khí một chiều không ổn định
Bài 13. Phân rã gián đoạn
Bài 14. Sơ đồ sai phân cho các bài toán động lực học khí một chiều
Bài 34. Hệ phương trình sai phân cho các bài toán động lực học khí không
ổn định trong hệ tọa độ cong tuyến tính cục bộ
Bài 35. Tính toán các đại lượng thủy động trên lớp trung gian
Bài 36. Một số điểm lưu ý về nguyên tắc tái xây dựng phương pháp
Phần II. Minh họa các tính năng của phương pháp tính
Chương V. Các bài toán động lực học khí không ổn định
Bài 37. Nhiễu xạ sóng xung kích trên vật thể hai chiều
Bài 38. Tương tác sóng xung kích hình cầu với mặt phẳng
Bài 39. Nổ vật thể không đối xứng cầu
Bài 40. Một số bài toán động lực học khí không ổn định trong kênh dẫn
Bài 41. Truyền sóng xung kích trong một trường khí dẫn trong ống tròn khi
có từ trường
Bài 42. Tính toán va đập của các bản kim loại
Chương VI. Tính toán các dòng chảy hỗn hợp bằng phương pháp thiết lập
Bài 43. Bài toán thuận về lý thuyết ống phun Laval hai chiều
Bài 44. Các dòng chảy hỗn hợp trong lưới phẳng
Bài 45. Giãn nở quá tới hạn của luồng khí vào không gian rộng
Bài 46. Va chạm “chuẩn” của luồng siêu âm với tường
Bài 47. Chảy bao các vật thể phẳng và đối xứng trục
Bài 48. Chảy bao vật thể không gian với vận tốc gần âm
Bài 49. Bài toán thuận về lý thuyết ống phun Laval không gian
Chương VII. Các dòng siêu âm ổn định
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
7
Bài 50. Chảy phẳng và chảy đối xứng trục của khí lý tưởng
Bài 51. Dòng chảy trong phần không gian giãn của các ống phun không gian
Bài 52. Giãn nở khuyết của các luồng khí thoát ra từ ống phun với mặt cắt
x
u
c
t
p
x
p
t
u
(1.1)
Trong đó
u
— vận tốc môi trường truyền sóng,
p
— áp suất trong môi
trường đó (hay chính xác hơn, là các dao động nhỏ của vận tốc và áp suất so với
giá trị của chúng trong môi trường ổn định, những dao động này được gây ra bởi
sự truyền sóng âm trong môi trường đó). Các hằng số
00
,c
pdtudx
(1.2) 1
Để tìm hiểu thêm về phương trình âm học, có thể tìm hiểu thêm ở quyển [88], bài 63 hoặc hai chương đầu
của quyển [76].
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
9
Tích phân đầu tiên tương ứng với định luật bảo toàn động lượng, tích phân
thứ hai — định luật bảo toàn khối lượng. Ngoài ra chúng ta có thể nhận được đinh
luật bảo toàn năng lượng bằng cách sau. Trong hệ (1.1), nhân phương trình đầu với
u
0
, phương trình sau với
2
00
cp
, sau đó lấy tổng theo hai vế ta có được:
.0
22
2
22
2
00
22
0
pudtdx
c
pu
(1.4)
Quay trở lại hệ (1.1), qua một vài biến đổi không mấy phức tạp thì chúng ta
có thể đưa hệ về dạng đơn giản hơn, về sau này ta sẽ gọi nó là dạng chính tắc. Có
thể thu được dạng chính tắc bằng cách sau, nhân phương trình thứ hai với
00
1 c
c
(1.6)
thì hệ (1.5) sẽ chuyển về dạng đơn giản sau 2
Về định luật bảo toàn năng lượng trong âm học, có thể xem bài 64 trong [88] hoặc chương 4 của [76].
Vấn đề này cũng được thảo luận trong [114] tr 249-256.
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
10 ,0,0
00
x
Z
c
00
00
tcxgtcxf
c
p
tcxgtcxfu
(1.8)
Các đại lượng
ZY,
trong (1.6) được gọi là các bất biến Riemann. Công thức
tcxf
c
p
u
0
00
chỉ ra rằng, đại lượng
00
c
p
uY
không đổi dọc theo
00
c
dt
dx
consttcx
trên mặt phẳng
tx,
được gọi là các đường đặc trưng
của hệ (1.1).
Công thức cho
pu,
trong (1.8) chỉ là lời giải tổng quát cho hệ (1.1), để thu
được nghiệm duy nhất, ta cần đưa thêm vào (1.1) điều kiện đầu và điều kiện biên.
Ví dụ, nếu như ta có điều kiện đầu như sau
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
11
)()0,(),()0,(
00
xpxpxuxu
(1.9)
Trên đoạn
III
xxx
, cần chọn hàm
f
0
)(
)()(,
)(
)()(
c
xp
xuxg
c
xp
xuxf
Nghiệm của hệ (1.1) với điều kiện đầu (1.9) sẽ có dạng sau
.
2
)()(
2
)()(
),(
,
2
)()(
2
)()(
),(
0000
00
0000
AM
tương ứng với họ
những đường đặc trưng
consttcx
0
xuất phát từ điểm biên bên trái
I
xx
;
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
12
đoạn
BM
tương ứng với họ những đường đặc trưng
consttcx
0
xuất phát từ
điểm biên bên phải
II
xx
.
Ở trên chúng ta đã chỉ ra rằng các hàm
f
và
g
phải khả vi để
pu,
trong
u
,
II
p
— là các hằng số bất kỳ, chúng thỏa mãn ít nhất
một trong các bất đẳng thức
III
uu
hoặc
III
pp
, hoặc đồng thời cả hai.
Đưa hệ (1.1) về dạng chính tắc (1.5) và sử dụng tính không đổi của bất biến
Riemann
00
c
p
uY
dọc theo đường đặc trưng
consttcx
0
và bất biến
00
c
p
uZ
,,
00000000
c
p
u
c
p
u
c
p
u
c
p
u
ta thu được
ppuu ,
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
13
Có thể hiểu rằng, vùng I và II là nơi không xảy ra tương tác giữa hai sóng
đến nên các giá trị
,
0
*
tcxx
ppuu ,
nếu
,
0
*
tcxx
,
22
00
c
ppuu
u
22
00
điểm này, ta có thể gọi bài toán một cách quy ước là bài toán về phân rã gián
đoạn. Nếu hiểu theo nghĩa thông thường, các hàm
),(),,( txptxu
không thể được
coi là nghiệm của hệ (1.1) vì chúng thậm chí không liên tục. Vì vậy mà ta gọi
chúng là nghiệm mở rộng cho bài toán về phân rã gián đoạn. Một bằng chứng
thuyết phục cho thấy ích lợi của việc sử dụng khái niệm này được đưa ra bởi lập
luận dưới đây. Ta làm “trơn ” điều kiện đầu (1.11) như sau. Thay đổi chúng trong
một khoảng nhỏ
,
**
xxx
sao cho điều kiện đầu
)(|),(|
00
xppxuu
tt
khả vi và sai khác một lượng nhỏ so với điều kiện
(1.11), tức là
.|)()(|,|)()(|
00
dxxpxpdxxuxu
1
với mọi chỉ số nguyên
j
. Đối với bài toán chúng ta đang xét, tại thời điểm ban đầu
0t
, vận tốc
u
và áp suất
p
ở các điểm nằm trong ô lưới giới hạn bởi các nút lưới
1j
x
,
j
x
là hằng số với giá trị tương ứng là
2/12/1
,
jj
pu
. Trên giao diện (mặt tiếp
xúc) giữa hai ô lưới liên tiếp bất kì sẽ xuất hiện hiện tượng phân rã gián đoạn mà ta
đã xét trong bài 1. Kết quả là tại mỗi nút lưới sẽ xuất hiện các sóng âm lan truyền
về bên trái và bên phải với vận tốc
0
c
(Hình 2.1).
Hình 2.1 — Cấu trúc nghiệm của bài toán phân rã gián đoạn
22
22
2/1
2
1
00
2/12/1
00
2/12/12/12/1
lần lượt là
2/1j
u
và
2/1j
p
, chú ý
chỉ số
2/1j
được đưa lên trên nhằm phân biệt với giá trị của hàm tại thời điểm
trước
0t
. Để tính các giá trị trung bình
2/12/1
,
jj
pu
, chúng ta tiến hành các
bước sau. Đầu tiên, ta tìm các hàm
,*,,* xpxu
là các hàm hằng trên từng
đoạn. Tại thời điểm đang xét, các điểm gián đoạn của
,*,,* xpxu
sẽ là
những nơi mà sóng âm sinh ra từ phân rã gián đoạn ở thời điểm ban đầu truyền tới.
x
x
jj
j
dxxp
xx
p
dxxu
xx
u
1
1
.,*
1
,,*
1
1
2/1
1
2/1
Nghiệm gần đúng thu được theo công thức
2/12/1
,,,
jj
,
1
1
2
00
2
1
2/1
1
0
2
1
2/1
jj
j
j
jj
j
j
UUc
h
pp
jjjj
j
jjjj
j
uu
c
pp
P
c
ppuu
U
(2.3)
tương tự cho các giá trị
11
;
jj
PU
tại điểm
1
j
xx
. Thật vậy, áp dụng công thức
thứ nhất của các định luật bảo toàn (1.2)
17
,ta được:
0
1
0
,,
1
0,,
1 1
dttxptxpdxxudxxu
jj
x
x
x
x
j
j
j
jjj
x
x
PPhudxxu
j
j
. (2.5)
Giả sử giá trị trung bình của
),(
xu
trong khoảng
jj
xxx
1
bằng
2/1j
u
,
thay nó vào công thức (2.5) và lấy tích phân, ta sẽ thu đuợc công thức thứ nhất của
(2.2).
Tương tự, để chứng minh công thức thứ hai của (2.2) chúng ta sử dụng tích
phân
, va chạm vớinhau và hình thành sóng mới, sau đó một
khoảng thời gian
0
2c
h
t
chúng sẽ quay lại
j
x
và
1j
x
, có nghĩa rằng trong khoảng
thời gian
000
22 c
h
c
h
c
h
thì
jj
PU ,
sẽ không đổi. Từ đó áp dụng công thức (2.2)
chúng ta sẽ tính được các giá trị
2/12/1
,
jj
nhiều lý do, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm sau. Các giá trị ứng với thời điểm
1
n
tt
sẽ
được gọi là các giá trị của “lớp dưới” và được kí hiệu bằng các chỉ số dưới, còn các
giá trị ứng với thời điểm
1nn
tt
— các giá trị của “lớp trên” và được kí hiệu
bởi các chỉ số trên.
Ngoài ra chúng ta cũng có thể xây dựng sơ đồ sai phân cho bài toán ban đầu
bằng cách áp dụng các bất biến Riemann trong công thức (1.6):
0000
,
c
p
uZ
c
p
uY
.
Hình 2.3 — Bất biến Riemann theo các đường đặc trưng
Sử dụng tính chất hằng của các bất biến này dọc theo các đường đặc trưng để lấy
j
j
j
jj
j
Z
h
cZ
h
cZ
Y
h
cY
h
cY
(2.6)
Biểu diễn các giá trị
ZY ,
thông qua các hàm
pu,
theo công thức (1.6),
đồng thời thay các chỉ số tương ứng sẽ được:
00
2/1
2/10
00
2/1
2/10
00
c
c
p
u
h
c
c
p
u
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
00
2/32/12/12/1
00
2/12/12/12/1
2
002/1
2/1
2/32/1
00
2/32/1
2/12/1
00
2/12/1
0
2/1
2/1
22
22
22
22
1
c
ppuu
c
ppuu
c
h
pp
uu
20
Kiểm tra tính xấp xỉ của sơ đồ sai phân khi không có điều kiện biên. Nghiên
cứu tính ổn định của sơ đồ sử dụng phương pháp Fourier. Bất đẳng thức ‘năng
lượng’. Kết luận về điều kiện ổn định cho trường hợp miền tính toán vô hạn.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng sơ đồ Godunov xấp xỉ phương trình âm học (1.1). Để
thuận tiện ta các phương trình (2.7) và viết lại chúng như sau:
.0
2
2
2
,0
2
2
2
1
2/32/12/1
0
2/32/1
2
00
2/1
2/1
2/32/12/1
0
2/32/1
0
2/1
2/1
j
(3.1)
Giả sử rằng
),(),,( txptxu
khả vi đến bậc hai, áp dụng khai triển Taylor cho các
hạng tử trong các công thức (3.1) tại lân cận điểm
01
),(
2
1
ttxxx
jj
, ta có:
).(
22
2
),(
2
),(
2
2
2
2/32/12/1
2/3
Như vậy phương trình thứ nhất trong (3.1) có thể viết dưới dạng:
),(
22
1
2
2
0
tương tự đối với phương trình thứ hai ta có
).(
22
2
2
0
2
2
2
00
ho
x
p
c
h
1. Sơ đồ sai phân mà ta xét ở trên (được gọi là sơ đồ Godunov) xấp xỉ hệ
phương trình âm học (1.1).
2. Bậc xấp xỉ của sơ đồ sai phân Godunov là bậc một.
Từ các phương trình (1.1) ta có thể loại bỏ đạo hàm bậc hai theo thời gian ở
vế phải của (3.2), (3.3):
.
,
11
2
2
2
0
2
00
2
00
2
2
2
2
2
0
00
2
2
x
p
c
t
1
2
2
00
2
00
2
2
00
0
x
p
h
cc
h
x
u
c
t
p
x
u
h
cc
h
x
p
t
u
(3.4)
Hệ (3.4) được gọi là xấp xỉ vi phân bậc nhất. Ở đây giá trị
0
*
/ch
đóng vai trò
đặc biệt quan trọng. Mặc dù sơ đồ sai phân chúng ta đang xét xấp xỉ với phương
trình âm học, tuy nhiên không thể tính toán với
0
/ch
vì khi đó sơ đồ không ổn
định.
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
22
Khái niệm “tính ổn định” có thể được hiểu đơn giản là lời giải sai phân thu
được dựa trên điều kiện ban đầu giới hạn sẽ bị giới hạn trong suốt thời gian tính
toán mà không phụ thuộc vào bước
(lớn hay nhỏ). Có thể chỉ ra rằng, đối với sơ
đồ ổn định thì sai số của lời giải cuối cùng do làm tròn trong suốt quá trình có bậc
xấp xỉ với sai số ở mỗi bước tính toán.
Đặc biệt quan trọng, có thể chỉ ra rằng nếu như sơ đồ sai phân xấp xỉ phương
trình vi phân và ổn định thì khi giảm các bước
h
và
Ở đây
,,,
**
pu
— các đại lượng không đổi,
i
— đơn vị ảo. Chúng ta thu được
hệ phương trình tuyến tính cho
**
, pu
:
.0
2
2
1
2
,0
2
1
2
2
1
*
0
*2
00
h
u
ee
c
h
p
ee
h
u
ee
c
h
iiii
iiii
Hệ có nghiệm khi định thức của hệ bằng không, tức là
,0
)cos1(1sin
sin
1
)cos1(1
00
.
2
sin)1(41sin)cos1(1
222
2
2,1
CuCuCuCu
Khi
10 Cu
ta có
,1
2
sin)1(410,1)1(40
2
CuCuCuCu
do
đó
1
2,1
với mọi
.
— sơ đồ không ổn
định.
Cu
là một đại lượng không thứ nguyên, gọi là số Courant.
Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát tính ổn định của sơ đồ bằng cách đánh giá
nghiệm sai phân trong chuẩn năng lượng.
Giá trị của
2/12/1
,
jj
pu
trên một lớp thời gian
constt
tạo thành hàm-
vector trên lưới. Trong không gian hàm-vector trên lưới này, chúng ta đưa ra chuẩn
Y
và
Z
— các bất biến Riemann:
.,
0000
c
p
uZ
c
p
uY
Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group
24
Để khảo sát tính ổn định trong chuẩn năng lượng, cần chứng minh rằng khi
1/
0
hcCu
ta có bất đẳng thức:
2/12/1
2/12/1
,,
pu
xc
pu
t
Bây giờ ta cần chứng minh rằng khi
1/
0
hc
thì bất đẳng thức sau đúng:
11
2
00
2
2/1
2
2/1
0
2
00
2
2/1
2
2/1
0
p
uZ
c
p
uY
j
jj
j
jj
,
phương trình (2.3) đối với các đại lượng “lớn” có thể viết lại thành
).(
222
),(
2
1
22
2/12/1
00
2/12/1
00
2/12/1
2/12/1
00
U
(3.8)
Khi đó, bất đẳng thức (3.7) có thể viết lại như sau:
2
2/1
2
2/3
2
2/1
2
2/100
2
2/1
2
2/10
2
2/1
2
2/1
0
jj
j
jj
j
Zc
h
Zc
h
Z
Yc
jj
j
jj
j
Zc
h
Zc
h
Z
Yc
h
Yc
h
Y
Để chứng minh (3.10) cần chứng minh khi
10 Cu
từ đẳng thức
"
1'
11
"
1'
2
00
2
2/1
2
2/1
0
"
1'
2
00
22/122/1
0
)(
''""
"
1'
2
00
2
2/1
2
2/1
0
"
1'
2
00
22/122/1
0 JJJJ
J
Jj
jj
J
Jj
jj
UPUP
c
pu
h
c
pu
h
Copyright: Tài liệu đại học ©