GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU
Hiện nay, bên cạnh phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Wavelet đang
được ứng dụng rất phổ biến trong phân tích tín hiệu nhờ những ưu điểm của phép
phân tích này so với phép biến đổi Fourier.
Phép biến đổi Wavelet có thể phân tích các loại tín hiệu phức tạp và có sự
biến thiên nhanh, đột ngột mà phép biến đổi Fourier phân tích không chính xác, đó
là nhờ sử dụng các bộ hàm Wavelet chứ không phải các hàm sin hay cos điều hòa
như Fourier.
Ngoài ra phép biến đổi Wavelet không chỉ phân tích về bản chất tần số của
tín hiệu, mà còn có khả năng giữ lại thông tin về mặt thời gian của tín hiệu.
Với nhiều ưu điểm như vậy, phép biến đổi Wavelet được ứng dụng rộng rãi
trong cuộc sống. Trong đó, phân tích các tín hiệu phức tạp như âm thanh, hình
ảnh, video, ứng dụng trong chống nhiễu tín hiệu, nén các loại tín hiệu là những
ứng dụng quan trọng nhất.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 1
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Với mục đích tìm hiểu về phép phân tích Wavelet và ứng dụng trong thực
tế, nhóm em thực hiện tiểu luận này bao gồm phần lý thuyết về Wavelet và phần
mô phỏng ứng dụng Wavelet dùng phần mềm Matlab.
Tiểu luận gồm 4 chương:
Chương 1: Tổng quan về Wavelet
Chương 2: Cơ sở lý thuyết về biến đổi Wavelet
Chương 3: Tổ chức chương trình thiết kế ứng dụng Wavelet 1-D
Chương 4: Thực hiện và đánh giá kết quả
Nhóm em xin chân thành cảm ơn Thầy Ngô Văn Sỹ đã giúp nhóm em hoàn
thành tiểu luận này.
Do những hạn chế về kiến thức và thời gian thực hiện tiểu luận, không thể
tránh khỏi sai sót, nhóm em rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của Thầy và
các bạn.

Lý thuyết wavelet có thể được dùng trong nhiều lĩnh vực và nhiều ứng dụng
như: giải tích ảnh (image analysis), hệ thống thông tin, hệ thống rada, âm học khí
(air-acoustics), cơ sở lý thuyết toán học, hệ thống điều khiển, xử lý tín hiệu
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 3
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
1.2. Hoàn cảnh lịch sử
1.2.1. Trước 1930
Trước năm 1930, Joseph Fourier cùng với thuyết của ông về phân tích trong
miền tần số dựa trên cơ sở toán học đã dẫn dắt đến sự ra đời và phát triển Wavelet
như là sự kế thừa và phát triển phép biến đổi Fourier. Ông khẳng định rằng bất kỳ
hàm số có chu kỳ tuần hoàn
π
2
đều được biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi các
số hạng Fourier
∑
∞
=
++
1
0
sincos
k
kk
kxbkxaa
(1.1)
Các hệ số a
0
, a
k

2
0
)sin()(
1
dxkxxfb
k
(1.2)
Lý thuyết Fourier đóng vai trò rất quan trọng và cần thiết trong vấn đề đánh
giá phân tích các hàm toán học.
1.2.2. Vào thập niên 30
Vào những năm 30, một vài nhóm làm việc độc lập nhau, nghiên cứu sự biểu
diễn của hàm số dùng các hàm cơ sở thay đổi tỷ lệ được. Hàm đó được gọi là hàm
cơ sở Haar. Nhà vật lý Paul Levy đã khám phá ra sự chuyển động Brownian, một
loại tín hiệu ngẫu nhiên. Ông đã tìm thấy sự phát triển cao hơn của hàm Haar so
với hàm cơ sở Fourier trong việc nghiên cứu những chi tiết phức tạp nhỏ trong
chuyển động Brownian.
Một nghiên cứu khác trong những năm 30 đó là nỗ lực nghiên cứu của
Littlewood. Paley và Stain về việc tính toán năng lượng của hàm số f(x):
( )
∫
=
π
π
2
0
2
2
1
dxxfenergy
(1.3)

miền thời gian có thể được hiển thị rõ ràng trong miền tần số. Tuy nhiên khi
chuyển tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số thì các thông tin về miền thời
gian lại hoàn toàn bị mất. Do đó biến đổi Fourier truyền thống không thích hợp để
phân tích các tín hiệu không dừng (nonstationary).
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 5
GVHD: T.S NGƠ VĂN SỸ
Hình 1.1 : Phép biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier (FT) của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là:
∫
+∞
∞−
−−
>=<=
)(,)()( txedtetxX
tjtj
ωω
ω
(1.1)
Với ω = 2πf là tần số của tín hiệu.
Tích phân này lấy trong tồn miền thời gian của tín hiệu f(t) với hàm mũ cơ
số e. Những kết quả của biến đổi là những hệ số Fourier F(ω) (được gọi là phổ
tần số của f(t)) mà khi nhân với 1 sóng hình sin với tần số tương ứng, sẽ cho ra
các thành phần hình sin của tín hiệu ngun mẫu.

∫
∞
∞−
−
=
ωω

Nếu một tín hiệu không thay đổi nhiều trên toàn miền thời gian thì có thể sử
dụng được phép biến đổi Fourier này, nhưng đa số những tín hiệu trong thực tế
đều chứa đựng nhiều đặc tính động như ở trạng thái quá độ, các thay đổi đột ngột,
sự trôi (drift)… Những đặc tính này thường là phần quan trọng nhất của tín hiệu,
nhưng biến đổi Fourier thì chưa mô tả đầy đủ đặc tính này.
1.3.2. Biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transforms -
STFT)
Để khắc phục nhược điểm này, Dennis Gabor (1946) đã sử dụng một cách
linh hoạt biến đổi Fourier để phân chia tín hiệu ra thành từng đoạn đủ nhỏ theo
thời gian, thì tín hiệu trong mỗi đoạn có thể xem là tín hiệu dừng; và do đó có thể
lấy biến đổi Fourier trên từng đoạn tín hiệu này. Như vậy, phép biến đổi vừa có
tính định vị theo tần số do tính chất của biến đổi Fourier, vừa có tính định vị theo
thời gian do được tính trong từng khoảng thời gian ngắn. Đây là nguyên lý của
biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT), hay còn gọi là biến đổi Fourier cửa sổ hóa
(Windowed Fourier Transform).
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 7
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Trong STFT, tín hiệu f(t) đầu tiên được nhân với một hàm cửa sổ w(t - τ) để
lấy được tín hiệu trong một khoảng thời gian ngắn xung quanh thời điểm τ. Sau
đó, phép biến đổi Fourier bình thường được tính trên đoạn tín hiệu này. Kết quả, ta
được một hàm hai biến STFTf(ω,τ) xác định bởi:
∫
+∞
∞−
−
−=
dtetftwSTFT
tj
f
ω

Biến đổi Fourier nhanh thực chất là biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier
Transform - DFT), chính là xấp xỉ một hàm số bằng cách lấy mẫu tại một số giá trị
tần số nhất định.
Giả sử tín hiệu được lấy mẫu tại N điểm với chu kỳ lấy mẫu là T, khi biến đổi
sang miền tần số bằng FFT N điểm, các tần số được lấy mẫu là:
N
k
k
π
ω
2
=
, với k = 0, 1, …, N-1. (1.3)
Các thành phần tần số thực tương ứng sẽ là:
(1.4)
Theo trên ta thấy, nếu tín hiệu chỉ có một thành phần tần số là
T
π
, như vậy
trong kết quả của FFT – N điểm trên ta chỉ có được một vị trí mang thông tin về
tần số này (nếu N chẵn), các vị trí khác mang thông tin về các tần số từ zero đến
cận tần số lấy mẫu, và do đó hình ảnh về phổ tín hiệu không được rõ lắm. Phương
pháp này không cải thiện độ phân giải của phổ tần số mà chỉ cho chúng ta hình ảnh
rõ ràng hơn về phổ tần số đã phân tích.
1.4. Giới thiệu về phép biến đổi Wavelet:
Lý thuyết về phép biến đổi Fourier là một trong những kết quả tốt nhất của
phép phân tích hiện đại và đóng vai trò quan trọng về mặt lý thuyết của nhiều
ngành khoa học. Nó thường được sử dụng trong phân tích tín hiệu. Tuy nhiên,
phân tích Fourier không giải bài toán với thời gian thay đổi hoặc tín hiệu không ổn
định. Do đó cần có một phương pháp phân tích có thể đáp ứng cả trong miền thời

các vị trí trong mặt phẳng thời gian – tần số.
Hình 1.6: Biểu diễn các hàm cơ sở Fourier, viên ngói (ô) thời gian – tần số và mặt độ bao phủ
trong mặt phẳng thời gian – tần số.
Đối với Wavelet thì thuận lợi hơn, đó là cửa sổ thay đổi được. Để tách biệt
các tín hiệu không liên tục, sẽ có một số hàm cơ sở ngắn, tại cùng thời điểm, để có
được phân tích tần số chi tiết, sẽ có một số hàm cơ sở dài. Để đạt được điều này,
có những hàm cơ sở chứa thành phần tần số cao và thành phần tần số thấp. Khác
với biến đổi Fourier chỉ có một tập hàm cơ sở như hàm sin, cosin, biến đổi
Wavelet có tập vô hạn các hàm cơ sở.
Phân tích Wavelet có thể đáp ứng trong miền thời gian lẫn tần số, vì vậy thích
hợp để phân tích tín hiệu không ổn định. Biến đổi wavelet trực chuẩn có thể được
xem như một phép phân tích đa phân giải của tín hiệu, các đặc tính tốt của tính
hiệu được phân tích với độ phân giải tốt, các tín hiệu kém được phân tích với độ
phân giải kém. Biến đổi wavelet trực chuẩn thích hợp để phân tích tín hiệu ứng
dụng trong phân tích mẫu và trong bài toán nhận dạng.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 10
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Hình 1.7: Biểu diễn mức độ bao phủ trong mặt phẳng thời gian – tần số với Wavelet mẫu là
Daubechies
Hình 1.8: Rời rạc hóa mặt phẳng thời gian tần số bằng các viên ngói định vị trong CWT và
các hàm wavelet tương ứng (với trường hợp hàm Morlet wavelet)
Hình 1.9: So sánh các phép biến đổi tín hiệu
Một wavelet là một sóng tồn tại trong khoảng thời gian có h và có giá trị
trung bình bằng không. So sánh Wavelets với những sóng hình sin, là cơ sở của
Biến đổi Fourier. Những hình sin không có giới hạn về thời gian - chúng mở rộng
từ trừ đến cộng vô hạn. Và trong khi những hình sin là mịn và có thể đoán trước,
các Wavelets có khuynh hướng bất thường và không cân đối.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 11
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Hình 1.10: So sánh sóng sin và một wavelet

đổi Haar. Dạng của
)(t
ψ
với biến đổi Meyer cho ở hình vẽ:
Hình 1.12: Hàm
)(t
ψ
của biến đổi Meyer
1.5.3. Biến đổi Wavelet Daubechies
Giống như Meyer, Daubechies cũng là một nhà khoa học có công lao to lớn
trong việc nghiên cứu phát triển phép biến đổi Wavelet. Biến đổi Daubechies là
một trong những phép biến đổi phức tạp nhất trong biến đổi Wavelet. Họ biến đổi
này được ứng dụng hết sức rộng rãi, biến đổi này được ứng dụng trong JPEG2000
là một biến đổi trong họ biến đổi Wavelet Daubechies. Dưới đây là hàm
)(t
ψ

trong họ biến đổi Wavelet Daubechies.
Hình 1.13: Hàm
)(t
ψ
của họ biến đổi Daubechies n với n=2, 3, 7, 8
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 13
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
CHƯƠNG 2: CỞ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BIỂN ĐỔI WAVELET
2.1 Cơ bản về phép biến đổi Wavelet:
Trong thực tế thì ta thường hay gặp các tín hiệu không tĩnh (nonstationary).
Đối với những tín hiệu này thì người ta thường dùng phép biến đổi Wavelet. Biến
đổi wavelet có thể đáp ứng trong cả miền thời gian và miền tần số nên rất thích
hợp với các tín hiệu không ổn định.

chúng lên viên ngói định vị.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 14
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
• Dịch hàm một khoảng τ theo thời gian làm viên ngói cũng bị dịch đi một
khoảng τ theo trục thời gian.
• Biến điệu (nhân) hàm bởi
tj
o
e
ω
làm viên ngói dịch chuyển một knoảng ωo
theo trục tần số (hình 2.2a).
• Nhân tỉ lệ (scaling) hàm bởi một hệ số a, tức f’(t) = f(at) , ta được một vỉên
ngói mới xác định bởi I’t = (l/a)It và I’ω = aIω (theo tính chất củ a biến đổi
Fourier). Như vậy cả hình dạng và vị trí của viên ngói đều bị ảnh hưởng (hình
2.2b).
Hình 2.2: Các phép toán cơ bản trên hàm1 cơ sở làm ảnh hưởng lên viên ngói thời gian - tần
số
(a) Dịch thời gian một khoảng
τ
của f ta được f’ và biến điệu f bằng
tj
o
e
ω
cho ra f’
(b) Nhân tỉ lệ f bởi a = 1/3, f’(t) = f(at)
Như vậy thao tác dịch và biến điệu hàm cơ sở không làm thay đổi kích thước
của viên ngói, chỉ làm viên ngói tịnh tiến theo theo trục thời gian và tần số. Nếu ta
chọn các giá trị τ và ω thích hợp thì toàn bộ mặt phẳng thời gian - tần số có thể

khoảng tần số nào xảy ra ở một khoảng thời gian nào mà thôi, tức không thể xác
định một điểm mà chỉ có thể xác định được một viên ngói trong mặt phẳng thời
gian - tần số.
Nguyên lý đặt ra một điểm chặn trên cho độ phân giải tối đa theo thời gian và
tần số của bất kỳ một phép biến đổi tuyến tính nào. Không thể đạt được độ phân
giải tốt trên cả hai miền thời gian và tần số. Nếu tăng độ phân giải tần số tốt thì độ
phân giải thời gian sẽ giảm, và ngược lại. Chỉ có thể đạt được độ phân giải tối ưu
nếu sử dụng các hàm Gauss làm các hàm cơ sở của phép biến đổi.
Phép co giãn và dịch chuyển
Cho f(x) là hàm giá trị thực bất kỳ xác định trên R. Một hàm f
ab
(x) được định
nghĩa như sau:






−
=
a
bx
fxf
ab
)(
, a
≠
0
Trong đó : a : là hệ số co giãn; b: hệ số dịch chuyển.

có chu kỳ là aT, chu kỳ không thay đổi
trong phép dịch chuyển,
a
bt
tf
ab
−
=
sin)(
có chu kỳ
π
2
a
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 16
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
2.2. Biến đổi wavelet liên tục (CWT)
2.2.1. Giới thiệu
Biến đổi wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa là tổng trong miền thời
gian của tín hiệu được nhân bởi các phiên bản dịch chuyển (position) và co giãn
của hàm Wavelet:
( ) ( ) ( )
∫
+∞
∞−
=
dttpositionscaletfpositionscaleC ,,,
ψ
(2.1)
Kết quả của CWT là nhiều hệ số Wavelet C, các hệ số này là một hàm theo
tỉ lệ và vị trí. Việc nhân mỗi hệ số bởi những Wavelet được co giãn và dịch

π/2 π 3π/2 2π
1
0
1
π/2 π 3π/2 2π
f(x) = sin(x) a=1
f(x) = sin(2x) a=1/2
f(x)=sin(4x) a=1/4
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
2.2.2. Các bước thực hiện biến đổi Wavelet liên tục
Biến đổi Wavelet liên tục là tổng cả miền thời gian cuả tín hiệu nhân với
những phiên bản được dịch và co giãn của Wavelet. Quá trình này tạo ra những
hệ số Wavelet là một hàm của co giãn và vị trí.
Có năm bước dễ dàng tạo ra một CWT:
- Lấy một Wavelet và so sánh nó với một đoạn ở vị trí bắt đầu của tín hiệu
nguyên bản.
- Tính toán hệ số C, đặc trưng cho sự tương quan giữa Wavelet với đoạn này
của tín hiệu. Hệ số C càng cao, hai tín hiệu càng giống nhau càng nhiều hơn. Chú
ý rằng những kết quả sẽ phụ thuộc vào Wavelet mà bạn đã chọn.
- Chuyển Wavelet sang bên phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao trùm
toàn bộ tín hiệu.
- Co giãn Wavelet và lặp lại từng bước từ 1 đến 3
- Lặp lại từ bước 1 đến bước 4 cho tất cả các co giãn của Wavelet
Khi thực hiện xong, ta sẽ có những hệ số được tạo ra bởi những co giãn khác
nhau với những đoạn khác nhau của tín hiệu. Những hệ số cấu thành những kết
quả của hồi quy của tín hiệu nguyên bản thực hiện trên Wavelet.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 19
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Ta có thể một vẽ mà trục hoành là vị trí của tín hiệu (thời gian), trục tung là
co giãn, và màu ở mỗi điểm x-y biễu diễn sự độ lớn của hệ số Wavelet C. Sau đây

ψ
có thể là bất kỳ một hàm số thực hoặc phức liên
tục nào thỏa mãn các tính chất sau đây:
Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục t của hàm
)(t
ψ
là bằng 0. Tức là:
( )
∫
∞
∞−
=
0t
ψ
(2.2)
Tích phân năng lượng của hàm trên toàn bộ trục t là một số hữu hạn, tức là:
( )
∫
∞
∞−
∞<
2
t
ψ
(2.3)
Điều kiện (2.3) có nghĩa là hàm
)(t
ψ
phải là một hàm bình phương khả tích
nghĩa là hàm

)(b)W(a,
ψ
(2.4)
Biến đổi này là một hàm của hai tham số thực a và b. Dấu * ký hiệu là liên
hiệp phức của
)(t
ψ
. Nếu chúng ta định nghĩa một hàm
)(
,
t
ba
ψ
theo biểu thức:






−
=
a
bt
t
ba
ψψ
a
1
)(

ψ
sẽ
độc lập với a và b:
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
= dttdtt
ba
2
2
,
)()(
ψψ
(2.7)
Với mỗi giá trị của a thì
)(
,
t
ba
ψ
là một bản sao của
)(
0,
t
a
ψ
được dịch đi b đơn
vị trên trục thời gian. Do đó b được gọi là tham số dịch. Đặt tham số dịch b = 0 ta

∞
∞−
−
=Ψ
dtet
tj
ω
ψω
)()(
(2.9)
với giá trị C được định nghĩa là:
∫
∞
∞−
Ψ
=
ω
ω
ω
dC
2
)(
(2.10)
Biến đổi CWT chỉ tồn tại nếu C dương và hữu hạn. Do đó C được gọi là điều
kiện tồn tại của biến đổi Wavelet. Cùng với hai điều kiện đã nêu ở trên, đây là điều
kiện thứ 3 mà một hàm cần phải thỏa mãn để có thể được lựa chọn hàm Wavelet.
2.2.4. Các tính chất của CWT
Tính tuyến tính
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 22
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ

s
b
s
a
CWTbaCWT
fg
=
(2.14)
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 23
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Hình 2.9: Tính thay đổi thang độ.
a. Thay đổi thang độ với hệ số 2
b. Hai khối vuông có cùng năng lượng trước và sau khi thay đổi thang độ
Tính bảo toàn năng lượng
CWT có tính bảo toàn năng lượng giống như đẳng thức Parserval của biến
đổi Fourier.
∫ ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=
2
2
2
),(
1
)(

(2.16)
Tính định vị thời gian
Xét một xung Dirac ở thời điểm to, δ(t-to), và một hàm wavelet ψ(t). Biến
đổi wavelet liên tục của xung Dirac là:
)(
1
)()(
1
),(
0
0
a
bt
a
dt
a
bt
tt
a
baCWT
f
−
=
−
−∂=
∫
∞
∞−
ψψ
(2.17)

−
=
−
a
bt
at
ba
ψψ
2/1
,
)(
là
[ω
min
/a, ω
max
/a].
Ta thấy rằng nếu tín hiệu f(t) có tần số ω
i
nằm trong khoảng [ω
min
/a, ω
max
/a]
thì sẽ có ảnh hưởng lên phép biến đổi wavelets. Hay nói cách khác, với mỗi giá trị
của scale a, phép biến đổi wavelet sẽ “cho qua” các thành phần tần số nằm trong
khoảng [ω
min
/a, ω
max