Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
I. Hệ đối xứng loại 1:
* Có dạng:



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
với f(x;y) = f(y;x) và g(x;y) = g(y;x)
* Biến đổi hệ theo x+y và x+y
Đặt S = x + y và P = xy
• Biến đổi hệ theo S, P và giải hệ tìm hai ẩn đó
• Với mỗi nghiệm (S;P) ta giải pt X
2
– SX + P = 0 để tìm x, y
• Chú ý: với mỗi bài toán phức tạp ta tìm cách đặt ẩn phụ cho x, y
Ví dụ 1. Giải hệ
a.
2 2
5
6
x xy y
x y xy
+ + =



Giải:
a. Hệ
5
( ) 6
x y xy
xy x y
+ + =

⇔

+ =

Đặt
s x y
P xy
= +


=

Hệ trở thành
2
5
5 5
6 (5 ) 6
5 6 0
P S
S P P S




=
 

⇔ ⇔
=



=




=
 

=



* Với
2
3
S
P
=


xy
+ =


=

suy ra x, y là nghiệm của phương trình
2
1
3 2 0
2
X
X X
X
=

− + = ⇔

=

Do đó,
1
2
x
y
=


=


Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
2
2 2
2 2 2 2
( ) 7
( ) 7 ( ) 9
2 2
49 14 21
x y xy
x y xy x y
xy xy
xy x y x y

+ − =
 
+ − = + =

⇔ ⇔ ⇔
  
= =
− + − =

 

3
3
2
3
3



=



* Với
3
2
x y
xy
+ =


=

ta có x, y là nghiệm của phương trình
2
1
3 2 0
2
X
X X
X
=

− + = ⇔

=


ta có x, y là nghiệm của phương trình
2
1
3 2 0
2
X
X X
X
= −

+ + = ⇔

= −

Do đó,
1
2
x
y
= −


= −

hoặc
2
1
x
y
= −

5 ( ) 2 5
u v u v uv u v
u v u v uv
 
+ = + − + =
 
⇔
 
+ = + − =
 
 
Đặt
0
0
S u v
P uv
= + ≥


= ≥

Hệ trở thành
3 3
3
2 2
2
3 9 15 18 0
3 9
5 5
2 5

2
5
2
S
S
S S
S
P
S l
S
P




=


− +


=

− + =


 
⇔ ⇔

 

u
v
u v
uv
u
v

=



=
+ =



⇔


=
=




=



Suy ra



=
=

 

⇔


=
 

=





=



=




* Với
3 33 11 3 33

2
x x x y y y
x y x y

− − + = + −


+ − + =


Đặt t = -x
Hệ trở thành
3 3 2 2
2 2
3 3 9( ) 22
1
2
t y t y t y
t y t y

+ + + − + =


+ + + =


. Đặt S = y + t; P = y.t
Hệ trở thành
3 2 3 2
2 2

=
 
⇔ ⇔
 
= + −
 
= −


. Vậy nghiệm của hệ là
3 1 1 3
; ; ;
2 2 2 2
−
   
−
 ÷  ÷
   
Cách 2:

3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1 1
( ) ( ) 1
2 2
x x x y y y
x y

− − + = + −

3 45
2 4
t t t− −
có f’(t) =
2
45
3 3
4
t t− −
< 0 với mọi t thỏa t≤ 1
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 3 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
⇒ f(u) = f(v + 1) ⇒ u = v + 1 ⇒ (v + 1)
2
+ v
2
= 1 ⇒ v = 0 hay v = -1 ⇒
0
1
v
u
=


=


hay

xyg
yxf
2. Cách giải
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được pt dạng



=
=
⇔=−
0);(
0));()(
yxg
yx
yxgyx
Ví dụ 1. Giải hệ







=−
=−
y
x
xy
x
y

⇔=++−
4
04
xy
xy
yxyx
* Với y = x thay vào (1) ta được



−=⇒−=
=⇒=
⇔=+
22
)(00
02
2
yx
lyx
xx
* Với y = - x – 4 thay vào (1) ta được
22044
2
−=⇒−=⇔=++ yxxx
Vậy nghiệm của hệ là ( - 2 ; - 2 )
Ví dụ 2.Giải hệ:





≤ ≤
− = −
  
⇔ ⇔ ⇔
  
− = − + − − + + − =
− = −

 

 
− = − + − = − +
 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 4 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
( ) ( )
2
5 (1)
5 (2)
9 0 (3)
3 25 10 (4)
x
y
x y x y
y x x
≤



44
)(77
yx
lyx
* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được






+
=⇒
−
=
+
=
⇔=+−
)(
2
59
2
59
)(
2
59
0199
2
lyx
lx

uy

Hệ trở thành





=+
=+
⇔





=++
=++
)2(2
)1(2
53
53
2
2
2
2
vu
uv
vu
uv

Ta có hệ:



=
=
⇔





=−
=−
4
4
13
13
y
x
y
x
* Với u=1-v thay vào (1) ta được:






−

Xét hệ đẳng cấp bậc hai:





=++
=++
2
2
22
2
2
1
2
11
2
1
dycxybxa
dycxybxa
Cách giải:
+ Thay x = 0 vào hệ để kiểm tra có thỏa hệ phương trình không.
+ Với x
≠
0 đặt y=tx, biến đổi đưa về pt bặc hai theo t. giải t suy ra x, y.
Cách khác:
+Khử các số hạng tự do để đưa phương trình về dạng
0
22
=++ cybxyax

932
22
22
yxyx
yxyx
Giải
Cách 1.
Thay x = 0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ.
Với x
≠
0 đặt y = tx ta được




−=
−=
⇔=
++
++
⇒





=++
=++
3
8

ta có:






=−=
−==
17
8
;
17
3
17
8
;
17
3
yx
yx
Cách 2: Hệ đã cho tương đương với
031416
1891818
18642
22
22
22
=++⇒


Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 6 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Với x=0 hệ trở thành:





=
=
2
3
2
2
u
u
hệ vô nghiệm
Với t=-2 ta có:



−=−=
==
2;1
2;1
yx
yx
Với t=-

=+−
43
4
2
22
xyx
myxyx

Giải:
Ta có x=0 không thỏa hệ
Đặt y=tx ta có:
2 2
2
2
(1 4 )
1 4
1 3 4
(1 3 ) 4
x t t m
t t m
t
x t

− + =
− +

⇒ =

−
− =

Bảng biến thiên
t
∞−

3
1

∞+
f
/
(t) - +
f(t)
∞+

∞+
∞−

∞−

Từ bảng biến thiên, suy ra đường thẳng
4
m
y =
luôn cắt đồ thị hàm số
t
tt
xf

1
31
2
t
t
y
−
±=
Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm.
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 7 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
IV. Phương pháp thế, cộng đại số:
1. Phương pháp thế:
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:



=+−
=++
)2(3
)1(72
22
yxxy
yxx
Giải:
* Khi
1
−=

2
2
2
=






+
+
++
x
x
xx
( )
( )
025721
23
=−++−⇔ xxxx










02572
1
23
yx
yx
yx
yx
xxx
x
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm:

( ) ( )








−
−−−









1
,y
1
); ( x
2
,y
2
) là các nghiệm của hệ đã cho
Chứng minh rằng: (x
2
- x
1
)
2
+ ( y
2
–y
1
)
2

≤
1
Giải:
Từ (2)
⇒
x=a-ay thay vào (1) ta được
0)12()1(
222
=−+−−+ aayaaya

)3(⇔
có 2 nghiệm phân biệt
3
4
0
0
01
2
<<⇔



>∆
≠+
⇔ a
a
c/ Khi
3
4
0 << a
thì hệ có 2 nghiệm (x
1
;y
1
), (x
2
;y
2
)
trong đó y

yy
lại có



−=
−=
22
11
ayax
ayax

Khi đó,
( ) ( )
[ ]
1
1
)12(
1
1
34
4)()1()(
2
2
2
2
21
2
21
22

Giải:
*Khi x=0 hệ trở thành:
0
0
0
2
3
=⇔





=
=
y
y
y

*Khi
0
≠
x
,
Hệ
3 3
3 3
2
( ) 9
( ) 3 ( ) 9 ( ) 21

1
3
2
2
y
x
x
x
x
y

=
+ =


⇔ ⇔
 
=


=

Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0), (1;2), (2;2)
Ví dụ 4. Giải hệ
( )






=
=
⇔=−−⇔
x
x
y
x
xyxx
243
0
0243
2
2
* Với x = 0 vào (3) ta được
02
2
=+y
Vô nghiệm
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 9 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
* Với
x
x
y
243
2
−
=

yx
yx
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm:
( ) ( )








−








−−
13
78
;
13
96
,
13
78

22
222
yxxy
xyxxyyxy
Thay (2) vào (1) ta được:
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 0
( 2 1) 0 ( 2 1) 0
0
( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 1
1
y x x y xy y x xy y xy x xy x y y x
y xy xy x y y
y y x xy x y xy y x x
y
y y x x y x y x x
y x
− − + = − ⇔ − + − + − = −
⇔ − + + − − =
 
⇔ − + + − − = ⇔ − − − + =
 

=

 

2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x

+ + = +


+ = +


( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2008)
Giải:
Hệ đã cho
2 2
2
( ) 2 9 (1)
2 6 6 (2)
x xy x
x xy x

+ = +

⇔

+ = +


Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 10 WWW.ToanCapBa.Net

=


⇔ ⇔


= −
+ + + =


* Với x = 0 thay vào (2) ta được 0 = 6
Suy ra hệ vô nghiệm.
* Với x = - 4
17
4
y⇒ =
Vậy nghiệm của hệ là
17
4;
4
 
−
 ÷
 
.
Ví dụ 7. Giải hệ:
2 2
2
( 1)( 1) 3 4 1 (1)
1 (2)

x x
x x x x
x x
− −
+ = − +
2
( 1)(2 2 4) 0x x x x⇔ − + − =
0 ( )
1 1
5
2
2
x l
x y
x y


=

⇔ = ⇒ = −


= − ⇒ = −


Ví dụ 8. Giải hệ phương trình sau
2
2
1 ( ) 4 (1)
( 1)( 2) (2)


* Với y = 0 thay vào (1) ta thấy hệ vô nghiệm.
* Với
(4 )( 2) 1 0 (4 ( ))( 2) 1 0y x y x x y y x− − + − − = ⇔ − + + − − =
(*)
Đặt t = x + y, (*) trở thành (4 – t)( t – 2) – 1 = 0
3t⇔ =
Suy ra x + y = 3
3y x⇒ = −
thay vào (1) ta được
2
1 (3 )3 4(3 )x x x+ + − = −
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 11 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
2
1 2
2 0
2 5
x y
x x
x y
= ⇒ =

⇔ + − = ⇔

= − ⇒ =

Vậy nghiệm của hệ là

(*) thay vào (2) ta được
3
2 2 3 2
49
8 8 17 24 ( ) 2 51 49
3
x
x xy y y x x x x
x
+
− − = − ⇔ + = + −
2 2
2
24 ( 1) ( 1)(2 49 49) ( 1)(24 2 49 49) 0
1
2 49 49
24
xy x x x x x xy x x
x
x x
y
x
⇔ + = + + − ⇔ + − − + =
= −


⇔
+ −

=

Vậy nghiệm của hệ là
( 1; 4), ( 1;4)− − −
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình
3 2 3
2
5 3 2
2 1
x xy y x y
x xy

+ − = −


+ =


Giải :
Hệ
( )
3 2 3
2
5 3 2 .1 (1)
1 2 (2)
x xy y x y
x xy

+ − = −

⇔


2 7
t
t
t
=


⇔ = − +


= − −

Với t = 1 ta có x = y hệ có nghiệm là (
1 1
;
3 3
), (
1 1
;
3 3
− −
)
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 12 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Với t =
2 7− −
hệ có nghiệm là
2 7 1 2 7 1

x
y
yx
4
3
4
3
Giải:
Điều kiện:
0;0 ≠≠ yx
Hệ





=−
=−
⇔
)2(43
)1(43
2
2
xxyy
yxyx
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được
( )( )







=−+
=−+
53
53
xy
yx
(*)
Giải:
Cách 1: Điều kiện:
3,3 ≥≥ xy







+−=−
+−=−
≤
≤
⇔






⇔







+−=−
=−++−−
≤
≤
⇔
)4(10253
)3(09
)2(5
)1(5
10253
01010
5
5
2
2
22
xxy
yxyx
y
x
yyx
yxyxyx

lyx
* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được






+
=⇒
−
=
+
=
⇔=+−
)(
2
59
2
59
)(
2
59
0199
2
lyx
lx
xx
Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)
Cách 2:






=+
=+
⇔





=++
=++
)2(2
)1(2
53
53
2
2
2
2
vu
uv
vu
uv
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được
( )
0



=
=
⇔





=−
=−
4
4
13
13
y
x
y
x
* Với u=1-v thay vào (1) ta được:






−
=
−

−=+−−
2
1
2334
123
22
2
xxyxyy
xyxyy
Giải:
Hệ đã cho
⇔





=++−−
−=+−−
)2(146682
)1(123
22
2
xxyxyy
xyxyy
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
( )
02213
22
=+++− xxyxy

22
yx
yx
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:








+
+
22;
2
22
và








−
−
22;
2

5 5
2
6 1 4 1
x x y y
x x y y

+ + + + − + + =

⇔

+ =

+ + + + + −

Đặt u=
1 6x x
+ + +
, v =
1 4y y
− + +
.
Ta có hệ
10
5 5
2
u v
u v


+ =


+ =


Giải:
Điều kiện:
0, 0x y≥ ≥
Hệ
2 2
2 2 2 16 (1)
2 16 (2)
x y xy
x y xy

+ + =

⇔

+ + =


Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được
2 2 2 2
2 2 0 2 2x y x y x y x y+ − − = ⇔ + = +
2 2 2 2
2( ) ( ) ( ) 0x y x y x y y x⇔ + = + ⇔ − = ⇔ =
Thay vào phương trình (2) ta được x = 2, suy ta y = 2
Vậy nghiệm của hệ là (2; 2)
Ví dụ 6. Giải hệ sau:
2 2

2 2 2
2
2 2
16 73 100 20 9 9
9
5 9 4 9
4
25( 9) 16 72 81
x x x x
x
x x
x x x
⇒ − + = − + + +

≥ −

⇔ + = + ⇔


+ = + +

2
9
9
4
4
4
4
9 72 144 0
x

8
22
yxxy
yxyx
Giải:
Hệ đã cho



=++
=+++
⇔
12)1()1(
8)1()1(
yyxx
yyxx
Đặt
)1(
)1(
+=
+=
yyv
xxu
Hệ trở thành



=
=
⇔



=−−−
=+−+
38923
143
22
22
yxyx
yxyx
Giải:
Hệ
⇔





=+−−
=+−+
3)4(2)3(3
143
22
22
yyxx
yxyx
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 16 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net




=
=
⇔



=−
=+
4;
2
133
0;
2
133
04
013
0
1
322
1
2
2
yx
yx
yy
xx
v

)(
4
5
2
22224
−=++⇔−=+++ xyyxyxxyyx
Ta tìm cách biến đổi (1) về pt có chứa
yx +
2
và
xy
Ta có (1)
4
5
)1(
22
−=++++⇔ yxxyyx
Đặt
yxu +=
2
và
xyv =
hệ trở thành








4
5
ta có hệ







−=
=
⇔





−=
=+
3
3
2
16
25
4
5
4
5
0






−=
=+−
2
3
1
2
3
032
2
3
0
2
1
2
3
2
y
x
x
y
xx
x
y
x
x

y
(I) thành
= − +
 
= =
 
 + =
⇔ ⇔ ∨
   
= =
+ = − =
 
 
 
2
2
v u 1
u 0 u 1
u v 1
v 1 v 0
u v 1 u u 0
Do đó hệ đã cho tương đương:
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 17 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
2 2
4 2
3 3
y x y 0

=+++
12)1)(1(
8
22
yxxy
yxyx
Giải:
Hệ



=++
=+++
⇔
12)1()1(
8)1()1(
yyxx
yyxx
Đặt
)1(
)1(
+=
+=
yyv
xxu
Hệ trở thành



=





=−+
=−+
53
53
xy
yx
(*)
Giải:
Cách 1: Điều kiện:
3,3 ≥≥ xy
2 2 2
2 2
5 5
5 5
3 5
(*)
3 25 10 10 10 0
3 5
3 25 10 3 25 10
x x
y y
y x
y x x x y x y x y
x y
x y y x y y
≤ ≤


⇔

− + − =


− = − +

Ta có



=−+
=
⇔
09
)3(
yx
yx
*Với x = y thay vào (4) ta được:
02811032510
22
=+−⇔=−++− yyyyy



=⇒=
=⇒=
⇔
44

2
lyx
lx
xx
Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)
Cách 2: Điều kiện:
3,3 ≥≥ xy
Đặt





−=
−=
3
3
xv
yu
với
0,0 ≥≥ vu





+=
+=
⇒
3

vu
uv
vu
uv
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được
( )
0
22
=−−− vuvu
( )( )



−=
=
⇔=−+−⇔
vu
vu
vuvu
1
01
* Với u = v thay vào (1) ta được



−=
=⇒=
⇔=−+
)(2
11





−
=
−
=
+
−=⇒
+
=
⇔=−−⇔=−+
)(
2
51
)(
2
51
2
51
1
2
51
0121
22
loaiv
loaiuv
vvvv
Vậy hệ có nghiệm là (4;4)

=
ï
ì
=
ï
ï
ï ï
Û
í í
æ ö
ï ï
- =
÷
ç
ï ï
î - =
÷
ç
ï
÷
ç
÷
ï
è ø
ï
î
S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
ì ì ì ì
= + = = =

ï ï
Û
í í
ï ï
+ = - =
ï ï
î î
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
ì ì ì
= = =
ï ï ï
ï ï ï
Û Û Û
í í í
ï ï ï
= = = -
ï ï ï
î î î
.
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 19 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1

ç ç
ï
+ + + =
÷ ÷
ç ç
ï
÷ ÷
ç ç÷ ÷
ï
è ø è ø
ï
í
ï
æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
+ + + =
÷ ÷
ï
ç ç
÷ ÷
ï
ç ç
÷ ÷
è ø è ø
ï
î
Đặt
1 1 1 1

ç ç
ï
ì
ì
÷ ÷
= =ï
ï
ç ç
÷ ÷
ï
è ø è ø
ï ï ï
Û Û
í í í
æ öæ ö
ï ï ï
=
- =
÷ ÷
ç ç
ï ï ï
îî
+ + =
÷ ÷
ç ç
ï
÷ ÷
ç ç÷ ÷
ï
è øè ø

î
.
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
x y xy
x y

+ + =


+ =


.
Giải
Điều kiện
, 0x y ≥
. Đặt
0t xy= ≥
, ta có:
2
xy t=
và
(2) x y 16 2t+ = -Þ
.
Thế vào (1), ta được:
2
t 32t 128 8 t t 4- + = - =Û

x y x xy
*Đặt
2
3
x xy u
x y v

− =


=


,
Hệ trở thành
2
1
1
0
1
=

= −

⇔
 
=
− = −



+



+ =

+

Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 20 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Giải:
Điều kiện:
0x y+ ≠
Hệ đã cho
2
2 2
2
2
3
1
3( ) ( ) 7
3 ( ) 13
( )
1
1
( ) ( ) 3
( ) ( ) 3
x y x y

1
u x y
x y
v x y

= + +

+


= −

Hệ trở thành
2 2
2
3 13
1
3
u
u v
v
u v
=

+ =

⇔
 
=
+ =

1 3
82
y x
x y

− + =


+ =


Giải:
Điều kiện:
0x ≥
Đặt
3
3
0 à 1u x v v y= ≥ = −
Ta có
2 2 4
3 3 3 3
1 1
x u x u
y v y v
 
= =
 
⇔
 
− = = +


+ + + =

Khi đó ta có
3
3
3
9
1
1 0
x
x
y
y

=
=


⇔
 
=

− =


Vậy nghiệm của hệ là ( 9; 1).
Ví dụ 14. Giải hệ
4
4

= − ≥


= − ≥


Suy ra,
4
4
1
1
y u
x v

= +


= +


Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 21 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Khi đó hệ trở thành
4 4 4
4 8 7
0
0 0 ( 1) 0
v u u v u v



= −


Suy ra
4
4
1 0
1
1
1 0
y
y
x
x

− =
=


⇔
 
=

− =


Vậy nghiệm của hệ là (1; 1).
Ví dụ 15. Giải hệ

= +
 
 
= +
= −




Hệ trở thành
2 2 2 2
2 2
2 2
7
7 7 7 7 14 42 (1)
7
7 7 7 7
14 42 (2)
u
v u v u v u u
v
u v u v
u v v
≤


 
+ + = + = − − + =
  
⇔ ⇔


− + − =

⇔
 
+ =
+ =



=

− − − = − =
 

⇔ ⇔ ⇔
  
+ = + =
 

=


Suy ra,
3 17
2
2 4
3 17
2
2 4

3 2
2
2 ( 2)
( , )
1 2
x y x xy m
x y
x x y m

− + + =

∈

+ − = −


¡
Giải:
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 22 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Hệ
⇔

2
2
( )(2 )
( ) (2 ) 1 2
x x x y m

u v m
uv m
u u m u
= − −
+ = −


⇔
 
=
− + = +


2
1 2
(1)
2 1
v m u
u u
m
u
= − −


⇔

− +
=

+

− −
⇔ =
(loại) hoặc
1 3
2
u
− +
=
u
1
4
−
1 3
2
− +
+ ∞
f
/
(u) + 0 −
f(u)
2 3
2
−
5
8
−
– ∞
Vậy hệ có nghiệm
(1)⇔
có nghiệm thuộc

− + + =


2 2 3
2 3
( x xy) x y 1
( x xy) x y 1
Đặt u = − x
2
+ xy, v = x
3
y
(I) thành
= − +
 
= =
 
 + =
⇔ ⇔ ∨
   
= =
+ = − =
 
 
 
2
2
v u 1
u 0 u 1
u v 1

x 1 x 1
y 1 y 1
Ví dụ 18. Giải hệ
4 2 2
2 2
4 6 9 0
2 22 0
x x y y
x y x y

− + − + =


+ + − =


Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 23 WWW.ToanCapBa.Net

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Giải:
2) (2) ⇔
2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0

− + − =



2
0
=


=

u
v
hoặc
0
2
=


=

u
v

⇒
2
3
=


=

x
y



x
y
2. Đặt ẩn phụ bằng cách chia hoặc nhân hai vế của phương trình của hệ cho
một biểu thức hoặc chia hai phương trình của hệ:
Ví dụ 1. Giải hệ:





=+
−=
xyyx
xxy
6
)9(
22
333

Giải:
*Khi x=0 hệ trở thành:
0
0
0
2
3
=⇔







=+
=+
⇔







=+
=+−+
⇔







=+
=−
⇔
2
1

y
x
y
xy
x
x
y
vậy hệ có 3 nghiệm (0;0), (1;2), (2;2)
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
2 2 2
xy x 1 7y
(x, y )
x y xy 1 13y
+ + =

∈

+ + =

¡
( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2009)
Giải:
*Với y = 0 hệ vô nghiệm
* y ≠ 0 hệ ⇔
2
2
x 1
x 7
y y
x 1

⇒
2 2
2
1
x a 2b
y
+ = −
Ta có hệ là
{
2
a b 7
a b 13
+ =
− =
⇔
{
2
a b 7
a a 20 0
+ =
+ − =
⇔
{
a 4
b 3
=
=
hay
{
a 5


=



⇔
{
2
x 4x 3 0
x 3y
− + =
=
hay
{
2
x 5x 12 0
x 12y
+ + =
=
(VN) ⇔
x 1
1
y
3
=



=


x(x y) x 3
5
x (x y) x 5
(x y) 1
x
+ + =

+ + =


⇔
 
+ + =
+ + =



ĐK : x ≠ 0
Đặt t=x(x + y). Hệ trở thành:

2 2 2
t x 3 t x 3 t x 3 t 1 x 1
t x 5 (t x) 2tx 5 tx 2 x 2 t 2


+ = + = + =  = =
 
 
⇔ ⇔ ⇔ ∨
    

2 2
2 2
x x
y
y y x y

+ − =



− − = −

Giải :
Điều kiện :
Hệ
2
2
1
2 2 0
2 1
2 0
x x
y
x
y y

+ − − =


⇔


Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được
2 2 2 2
2 2 2 2 0 0u v u v u v u v− + − = ⇔ − + − =
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 25 WWW.ToanCapBa.Net