Tài liệu luyện thi đại học

Trang 1/3
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Dạng:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =


+ =


Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp cộng đại số hặc phương pháp thế.
2. Giải và biện luận phương trình
Bước 1: Tính các định thức:

1 1
1 2 2 1
2 2
D
a b
a b a b
a b
= = −

1 1
1 2 2 1

x
y

=




=



• Nếu D = 0 và
D 0
x
≠
hoặc
D 0
y
≠
thì hệ phương trình vô nghiệm.
• Nếu
D=D =D 0
x y
=
thì hệ có vô số nghiệm.
II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn
1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
* Cách giải
: Giải bằng phương pháp thế: Từ phương trình bậc nhất, rút 1 ẩn theo ẩn

( )
(
)
( ) ( )
(
)
2
3 3 2 2 2
3 . 3
x y x y x y xy x y x y xy S S P
 
+ = + + − = + + − = −
 

•
(
)
2 2
x y xy xy x y SP
+ = + =

•
(
)
(
)
2
2 2
4 4 2 2 2 2 2
2 2 2

* Định nghĩa
: Đó là hệ chứa 2 ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x, y cho nhau thì
phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.
* Cách giải:
• B1: Trừ vế theo vế 2 phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích
số.
• B2: Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để
giải tìm nghiệm của hệ.
4. Hệ đẳng cấp bậc hai:
* Có dạng:
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d

+ + =


+ + =



* Cách giải:
• B1: Kiểm tra xem y = 0 (hoặc x = 0) có phải là nghiệm của hệ hay
không?
• B2: Với y = 0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t, y.
Từ 2 phương trình ta khử y để được 1 phương trình chứa t.
• B3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x, y.

( ) ( )
n m
a f x b f x c
− ± + =

Đặt
( )
n
u a f x
= −
,
( )
m
v b f x
= +
ta đưa phương trình đã cho về hệ phương
trình
n m
u v c
u v a b
± =


+ = +

. Giải hệ tìm u, v sau đó thay vào tìm x.
6. Một số dạng hệ phương trình khác
Ngoài những dạng hệ phương trình đã nêu ở trên thì ta thường gặp một số dạng
hệ phương trình khác có cách giải không mẫu mực. Khi đó tùy từng hệ phương trình
mà ta vận dụng tổng hợp các kiến thức kết hợp với suy luận hợp lý để chọn cách giải


Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
1.
2 2
4
2
x xy y
xy x y

+ + =

+ + =

2.
2 2
7
3 3 16
x y xy
x y x y
+ + = −


+ − − =

3.
2 2
11
30
xy x y
x y xy


+ =


6.
2 2
6
20
x y y x
x y xy

+ =


+ =



7.
x 4
4
y
x y xy

+ =


+ − =



2 3
x xy x
y xy y

+ =


+ =


11.
2
2
1
3
1
3
x y
x
y x
y

+ =




+ =



1 1
5
1 1
9
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + + =


14.
2 2
2 2
3 1
3 13
x xy y
x xy y

− + = −


− + =


x y x y
x x y y

+ − − =


− − =


3.
2 2
3 2 2 3
5
6
x y x y
x x y xy y

− + − =


− − + =



4.
( )
2 2
2 2
3
x x y y

2.
2
5 5
x x
− + =
3.
17 3
x x
+ − =