BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Góc và cung lượng giác:
*. Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2πR và có số đo bằng 360
0
.
*. Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ
dài bằng
180
R
π
và có số đo 1
0
.
*. Cung tròn bán kính R có số đo a
0
(0 ≤ a ≤ 360) thì có độ dài bằng
180
aR
π
.
*. Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.
*. Cung có số đo bằng a
0
ứng với α radian công thức đổi đơn vị là:
π
α
=
0
0

P T
A’ O Q A x
B’
*. Hệ thức Sa-lơ:
+ Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:
sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz).
+ Với M, N, K tùy ý trên đường tròn
lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK.
2. Các công thức lượng giác cơ bản:
Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng
giác với sđAM = α + k2π (k ∈ Z).
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 1
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Ta có:
.cot,tan,sin,cos BSATyOPxOQ ======
αααα
Nhận xét: - 1 ≤ cosα ≤ 1, - 1 ≤ cosα ≤ 1.
cos(α + k2π) = cosα, sin(α + k2π) = sinα, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cot α.
tanα =
α
α
cos
sin
xác định khi α ≠
,
2
π
π
k+
cotα =

0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
TS . 0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π

2
2
−
2
3
−
-1
tan 0
3
3
1
3

3−
-1
3
3
−
0
cot

3
1
3
3
0
3
3
−
-1




−
α
π
2
= sinα, tan






−
α
π
2
= cotα, cot






−
α
π
2
= tanα.







+
α
π
2
= - cotα, cot






+
α
π
2
= - tanα.
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 2
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
4. Các công thứ lượng giác khác:
*. Công thức cộng:
cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ, sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ.
cos(α– β) = cosαcosβ + sinαsinβ, sin(α– β) = sinαcosβ – cosαsinβ.
tan(α + β) =
βα

−
*. Công thức hạ bậc:
sinαcosα =
.
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos;2sin
2
1
22
α
α
α
αα
−
=
+
=
*. Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosαcosβ =
[ ] [ ]
;)sin()sin(
2
1
cossin;)cos()cos(
2
1

cos
2
sin2
βαβα
−+
sinα – sinβ =
.
2
sin
2
cos2
βαβα
−+
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1. a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các
số do sau: - 45
0
, 1200
0
, - 830
0
.
b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho
cung AM có số đo bằng:
.45;
46
;
23
0
π

=
+
=
;
cos4x - 1
2cos4x 6
x cot x tang) x; tan
xsin x sin -x cos
xcos x cos xsin
e)
224
422
422
+
=+=
+
+−
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 3
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
h) tan
2
x – sin
2
x = tan
2
xsin
2
x;
i)
cosx. x







+
ππππ
4. Rút gọn các biểu thức sau:
;
1 -cosx x 2cos
1 cosx cos2x cos3x
C ; tanx) x(1cos cotx) x(1sin B ;
sinx
1 -x 2cos
A
2
22
2
+
+++
=+++==
;
cosx - 1 cosx 1
cosx - 1 cosx 1
E ;
xsin
cosx) - (1
1
sinx

=

;
cos98 2cos638
)cos(-1882520sin2
tan368
1
H
00
00
0
+
+=

.
2
x
tan
cosx - 1
cosx 1
I
2
+
=
5. Tính tổng: S
1
= sina + sin2a + sin3a + . . . + sinna;
S
2
= 1 + cosa + cos2a + cos3a + . . . + cosna.






+






++






+






=
ππππ
( )( )
;

8
x – cos
8
x) + 4(cos
6
x – 2sin
6
x) + 6sin
4
x;
yxcotcot -
yxsinsin
ysin -x cos
G
22
22
22
=
7. CMR: sinxcosxcos2xcos4x =
.8sin
8
1
x
Áp dụng: Tính giá trị các biểu thức:
A = sin6
0
.sin42
0
.sin66
0

+
c) Biết tana + cota = m,
,
2
a 0
π
<<
tính sin2a, sin4a. Tìm điều kiện của m.
d) Cho sina + cosa = m với
.2 m 2 - ≤≤
Tính sin2a, sina, cosa.
9. Không dùng bảng tính và MTĐT, tính:
.
24
11
.sin
24
7
.sin
24
5
.sin
24
sin B ;
12
5
.cos
12
11
sin A

F = sin10
0
.sin50
0
.sin70
0
;
.
12
5
tan
12
tanG
22
ππ
+=
H = tan5
0
tan55
0
tan65
0
.
H = tan9
0
– tan27
0
– tan63
0
+ tan81

sin
12
5
cos M
ππππ
=
10. Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:
.
2
A C
tan
2
A - C
tan

a c
a - c
;
2
C B
tan
2
C - B
tan

c b
c - b
;
2
B A

bacoscos
b) - b)sin(a sin(a
b tan- a tanc)
22
22
+
=
cos4x
4
1

4
3
x cos x sin f) ;
sina cosa
sina - cosa
sin2a 1
cos2a
e) 0;
2
3
-cos4x
2
1
-2cos2x -x4cos d)
444
+=+
+
=
+

b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các
điều kiện 3sin
2
x + 2sin
2
y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì
.
2
2y x
π
=+
13. CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;
b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana.
14. CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:
a) sinA + sinB + sinC =
;
2
C
cos
2
B
cos
2
A
4cos
;
2
C
sin
2

A
cot
2
C
cot
2
B
cot
2
A
cot =++
i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1;
0;
2
B
cot a) - (c
2
A
cot c) - (b
2
C
cot b) - (a k) =++
l) S = 2R
2
sinAsinBsinC;
;
2
C
sin
2

2
B
cos
2
A
p.sin
a o) =

;
sinC
B) -sin(A

c
b - a
p)
2
22
=

;
2
C
.tan
2
B
.tan
2
A
p.tan r q) =
;

sin
2
A
sin
4R
r
)t =
cosC; cosB cosA
R
r
1 u) ++=+

ccosC; bcosB acosA
R
2pr
v) ++=
;
2
C
tan
2
B
tan
2
A
tan
p
r 4R
w) ++=
+

1

b
1

a
1
2
c - p
1

b - p
1

a - p
1
c)






++≥++
d) Nếu a
4
= b
4
+ c
4



+
=
=





=++
=
+
+
=
;
c - b a
c - b - a
a
4
1
cosBcosC
e) ;
a
a - c b
a - c b
a 2bcosC
d)
333
2

8
1
sCcosAcosBco i) ;
2
C
2cot tanB tanA h) ;
cosC cosB
sinC sinB
sinA g) ==+
+
+
=
k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15;
.3
cosC cosB cosA
sinC sinB sinA
l) =
++
++
17. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là:
a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0;
c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC.
18. Chứng minh ∆ABC vuông khi:
tanA.
cosA sinB
cosB sinA
c);
b
c a


2
===
19. Chứng minh rằng ∆ABC là vuông hoặc cân khi:
.
a
c - b
C) - sin(B b) ;
2
B - C
tan
b c
b - c
a)
2
22
=






=
+
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 6
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
20. Chứng minh rằng ∆ABC là cân khi và chỉ khi:
BtanC; tan tanC 2tanB b) ;
2
B A


2
C
cot f) ;
2
C
sinB)cot (sinA
cos
Bsin

cosA
Asin
e)
22
=+=
;
2
B
ptan
2
C
cot b)- (p h) ;
2
A
cos
2
B
sin
2
B

)sin(C + B);
;
tanC
tanB

Csin
Bsin
b)
2
2
=
.
cos2B - 1
C) - cos(B - 1
2.
b
c) - (b
d) ;
sinA
sinB

cosC 2cosB
cosC 2cosA
c)
2
2
=+
+
+
22. CMR: ∆ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

3
=
3
+ c
3
; d) sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C ≤ 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B
2; cotB) cotA)(1 (1 f) =++
g) sin
2
A + sin
2
B = 5sin
2
C;
h) A, B, C là nghiệm của phương trình:
.
3
32

2
x
tan-tanx =
24. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
.sinxcosx cosxsinx y +=

cot
2
A
cot =+
(ĐH Cần thơ
1998)
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 7
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
29. CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác
đều có diện tích lớn nhất. (ĐH Công đoàn 1998)
30. Cho ∆ABC. CMR:
.
4S
c b a
cotC cotB cotA
222
++
=++
(ĐH Dược hà nội 1998)
31. Cho ∆ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = 3cosA + 2(cosB + cosC). (ĐH Luật Hà nội
1998)
32. Cho ∆ABC. CMR:
.
c
b - a

sinC
B) -sin(A
2

1

sinA
1






+++=++
(ĐH Ngoại thương 1998)
34. Cho ∆ABC sao cho:

2 sinC sinB sinA
a c b
222





+=++
≤+
. Tính các góc của ∆ABC.
(ĐH Ngoại thương 1998)
35. CMR: trong mọi ∆ABC ta luôn có:
.
3
C

(ĐH Quốc gia Hà nội 1998)
36. a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức:
.
2
C
sin
1

2
B
sin
1

2
A
sin
1

cosC
1

cosB
1

cosA
1
++=++
CMR: ∆ABC đều.
b) ∆ABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức:
2cosA

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 8
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
41. Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot
4
a + cot
4
b + 2tan
2
a.tan
2
b + 2.
(ĐH Giao thông vận tải 1999).
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 9