Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong báo cáo về nhiệm vụ năm học, Bộ giáo dục & Đào tạo chỉ rõ:
Chỉ đạo mạnh mẽ việc đổi mới phương pháp dạy học và phong trào tự học, tự
đào tạo''. '' Coi trọng giáo dục chính trị, tư tưởng nhân cách, khả năng tư duy sáng
tạo và năng lực thực hành của học sinh''. '' Quyết tâm thực hiện 2 khơng trong
ngành giáo đục''. Chủ trương đó hồn tồn phù hợp với những u cầu cấp bách
của cơng cuộc cơng nghiệp hố, hiện đại hố đất nước như nước ta hiện nay.
Căn cứ vào nhiệm vụ, mục tiêu của ngành giáo dục, căn cứ vào thức trạng
dạy- học tốn hiện nay, hướng đổi mới phương pháp dạy học tốn ở trường THCS
là tích cực hố hoạt động học tập của học sinh, tập trung việc rèn luyện khả năng
tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo.
Để trở thành học sinh giỏi là ao ước của mọi học sinh , đó là điều mọi bậc phụ
huynh điều mong muốn cho con mình được thành đạt và đây cũng là niềm tư hào
của các thầy cơ giáo trong mọi miền đất nước .
Trong chương số học của THCS, các bài tốn về phân tích một số ra thừa số
ngun tố và tính chất chia hết của số ngun hết sức phong phú và đa dạng. Vì
nó vận dụng kiến thức cơ bản vào giải tốn và còn phát triển tư duy cho học sinh.
Khi gặp một bài tốn chứng minh chia hết, học sinh sẽ gặp khó khăn nếu khơng
nắm vững kiến thức cơ bản và các dạng bài tập, cách làm các dạng bài tập đó
Vậy làm thế nào để học sinh biết làm các bài tốn chia hết và biết cách vận
dụng nó để giải các dạng tốn khác và ứng dụng nó trong thực tế? Và làm thế nào
để học sinh cảm thấy có sự say mê, hào hứng khi giải các bài tốn nhất là đối với
học sinh giỏi học tốn?
Đó là vấn đề tơi ln quan tâm và ln tìm phương pháp tối ưu, để đạt được
mục đích đó tơi lựa chọn đề tài "Một số dạng tốn áp dụng tính chia
hết của số ngun''.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I) CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đích cho học sinh phương pháp suy
nghĩ, chiếm lĩnh các tri thức khoa học và phương pháp nghiên cứu kiến thức một

và phân tích đa thức thành nhân tử , học sinh có thể giải được các bài tốn nhanh
hơn và phức tạp hơn ở lớp dưới
Dựa trên cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tối thấy cần có một số giải
pháp đổi mới phương pháp giảng dạy cho phù hợp với thực tiễn hiện nay.
III CÁC GIẢI PHÁP
Để đáp ứng mục tiêu giáo dục và khắc phục những tồn tại trên, để học sinh có
thể làm được các bài tập liên quan đến phân tích một số ra thừa số ngun tố và sự
chia hết của số ngun, một cách chủ động hơn giáo viên cần phải:
- Chuẩn bị tốt tiến trình bi soạn v tổ chức dạy học.
- Chuẩn bị tốt cc tình huống cĩ vấn đề để có thể giúp học sinh tư duy suy
nghĩ, định hình cch lm
- Cung cấp học sinh một số dạng tốn thường gặp về phân tích một số ra
thừa số ngun tố và tính chia hết của số ngun , áp dụng vào giải các bài tốn có
vận dụng một số kiến thức nâng cao của phân tích một số ra thừa số ngun tố mà
học sinh có thể ứng dụng được.
- Qua các bài tốn học sinh biết áp dụng những kiến thức đ học vo lm bi tập
một cch linh hoạt,cĩ sng tạo.
- Thơng qua nội dung lý thuyết cần lưu ý v cc bi tập cĩ tính hệ thống,nâng
cao phát triển cho học sinh tư duy tốn: lơgic, sáng tạo, phát triển khả năng khái
qt,tổng qt hố
Để tạo cho học sinh có sự phấn khích khi gặp cc bi tốn : Phn tích một số ra
thừa số nguyn tố hay tính chia hết của số nguyn, tơi xin trình bày một số ví dụ về
các dạng tóan để minh hoạ cho chun đề '' Một số dạng tóan áp dụng tính
chia hết của số nguyn''
SƠ ĐỒ QUAN HỆ GIỮA CC KIẾN THỨC SỐ HỌC 6
Cấu tạo số

Chia hết cho 2
Chia hết cho 3
2

n+1
chia cho n có số dư là1.
Do đó : a
n+1
– a
1
= (n.k +1) – (n.l +1)
= n.k – n.l = n(k – l )
= n.q
Tương tự ta xét bất kỳ số dư khác ta vẫn chứng minh được . Hiệu hai số chia
hết cho n
Đây chính là ngun lý Dirich- le .
Ví dụ 2 : Tìm hai số ngun biết tích của chúng bằng 21.
Giải :
Gọi hai số ngun cần tìm : là x , y
Ta có : x.y = 21
Vì : 21 = 21. 1 = 3 . 7 = 7 . 3 = 1 . 21 = (-1)(-21) =
=(-3)(-7)= (-7)(-3)= (-21)(-1)
Nên ta giải ra tìm được nhiều nghiệm của các cặp giá trị của x và y .
Đây chính là phân tích một số ra thừa số ra thừa số ngun tố và tính ước của
số ngun .
Ví dụ 3 : Tìm hai số x và y . Biết BCNN của chúng bằng 48 và ƯCLN của
chúng bằng 8 .
Giải :
+ Nếu x chia hết cho y thì : x = 48 , y = 8 (hoặc ngược lại)
+Nếu x khơng chia hết cho y thì : (x> y hoặc y>x)
x = 8d
1
, y = 8d
2

+ Trước hết cho hs nhận xét về các hạng tử của biểu thức A
+ Từ đó phân tích A thành nhân tử
Giải: Ta có
A =n[n
2
(n
2
-7)
2
-36]= n[(n
3
-7n
2
)-36]
= n(n
3
-7n
2
-6)( n
3
-7n
2
+6)
Mà n
3
-7n
2
-6 = (n+1) (n+2) (n-3)
n
3

+Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho một số, ta thường phân tích A(n)
thành thừa số, trong đó có một thừa số là m.Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành
mơt tích các thừa số đơi một ngun tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n)chia hết
cho tất cả các số đó.
+Trong q trình chứng minh bài tốn trên ta đã sử dụng các kiến thức của lớp 6 :
-Phân tích một số ra thừa số ngun tố .
-Tính chất chia hết của một tích (thừa số là số ngun tố )
-Ngun lý Dirich- le
Lưu ý: Trong k số ngun liên tiếp, bao giờ cũng tồn tại một bội số của k.
Ví dụ 2.Chứng minh rằng với moi số ngun a thì
a) a
2
-a chia hết cho 2.
b) a
3
-a chia hết cho 3.
c) a
5
-a chia hết cho 5.
d) a
7
-a chia hết cho 7.
Giải:
a) a
2
- a =a(a-1), chia hết cho 2.
b)a
3
-a = a( a
2

+1)(a
2
-4+5)
= a(a
2
+1)(a
2
-4)+ 5a( a
2
-1)
= (a -2) (a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a
2
-1)
Số hạng thứ nhất là tích của năm số ngun liên tiếp nên chia hết cho 5,số
hạng thứ hai cũng chia hết cho 5.
Do đó A = a
5
-1 chia hết cho 5.
+Ta vận dụng tính chia hết của một tổng vào giải .
+ Qua ví dụ 2 để chứng minh chia hết ta đã làm như sau:
5
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
Chú ý 2: Khi chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể xét mọi trường hợp về
số dư khi chia n cho m.
Ví dụ 3.
a)Chứng minh rằng một số chính phương chia hết cho 3 chỉ có thể có số dư
bằng 0 hoặc 1.
b) Chứng minh rằng mọt số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng
0 hoặc 1.
c)Các số sau có là số chính phương khơng?

∈
N)
⇒
A = 9k
2
chia hết cho 3
n= 3k
±
1 (k
∈
N)
⇒
A = 9k
2

±
6k +1 chia cho 3 dư 1
Vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.
+Ta đã sử tính chia hết cho 3 và số dư trong phép chia cho 3 .
b)Xét các trường hợp
n =2k (k
∈
N)
⇒
A= 4k
2
, chia hết cho 4.
n= 2k+1(k
∈
N)

Vậy số N chia cho 4 dư 2,khơng là số chính phương.
+Ta đã vận dụng tính chất chia hết của số chính phương và xét số dư cửa các
số chính phương đó khi các số đó chẳn hay lẻ .
d) Mọi số của dãy đều tận cùng là 11 nên chia cho 4 dư 3.Mặt khác số chính
phương lẻ thì chia cho 4 dư 1.
Vậy khơng có số nào của dãy là số chính phương.
Chú ý 3:Khi chứng minh về tính chất chia hết của các luỹ thừa,ta còn sử dụng
các hằng đẳng thức bậc cao và cơng thức Niu-tơn sau đây:
+a
n
-b
n
=(a-b)(a
n-1
+a
n-2
b+a
n-3
b
2
+ +ab
n-2
+b
n-1
) (1)
+a
n
+b
n
=(a+b)(a

2
+ +c
n-1
ab
n-1
+b
n
Trong cụng thc trờn, v phi l mt a thc cú n+1 hng t ,bc ca mi hng
t i vi tp hp cỏc bin l a,b l n.Cỏc h s c
1
,c
2
, c
n-1
c xỏc nh bi tam
giỏc Pa -xcan:
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
c
1

n
= Bs( a +1)
( a -1)
n
= Bs (a- 1)
(a-1)
2n+1
= Bs( a 1)
*Tt c cỏc cụng thc Niu Tn trờn ch ỏp dng cho hc sinh cỏc khi 8 , 9 .
Vớ d 4.Chng minh rng vi mi s t nhiờn n, biu thc 16
n
-1 chia ht cho 17
khi v ch khi n l s chn.
Gii:
Cỏch 1:
Nu n chn (n=2k, k

N) thỡ
A= 16
2k
-1 = (16
2
)
k
-1 chia ht cho 16
2
-1
Theo hng ng thc (1)
M 16
2

A
2
=2004 2004

7
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
A
2004
=2004 2004 2004 (Nhóm 2004 có mặt 2004 lần).
Theo ngun lý Dirich let, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003.
Gọi hai số đó là a
m
và a
n
(1
≤
n
≤
m
≤
2004)
Thì a
m
-a
n
chia hết cho 2003.Ta có
a
m
-a
n

2

= n
2
( n
4
+n
2
- 2)
=n
2
(n
4
-1 + n
2
-1 )
= n
2
[ (n
2
-1)(n
2
+1) +(n
2
-1)]
= n
2
(n-1)(n+1)(n
2
+2)



72 với mọi số ngun n
Bài 2. Chứng minh rằng 3
2n
-9 chia hết cho 72 với mọi số ngun dương n
Giải:
Ta có B =3
2n
-9= 9
n
- 9,nên B chia hết cho 9
Mặt khác B = 3
2n
- 9 = (3
n
-1)(3
n
+1) -8
Do 3
n
-1,3
n
+1 là hai số chẵn liên tiếp nên B chia hết cho 8
Vậy B

72
* Bài tập tự làm
Chứng minh rằng
1.n

cho 9 là 7.
b) Luỹ thừa của 2 sát với bội số của 25 là
2
10
= 1024 =B(25) -1
Ta có 2
100
= (2
10
)
10
=(B(25) -1)
10
=B(25) +1
8
Saựng kieỏn kinh nghieọm Trửụứng T H C S Bửng Baứng
S d khi chia 2
100
cho 25 l 1.
c) Dựng cụng thc Niu-tn:
2
100
= (5 - 1)
50

=5
50
-50.50
49
+ +

2

100.5k+1
= B(125) +1
(5k

2)
100
=(5k)
100

+
2
99.100
(5k)
2
.2
98


100.5k .2
99
+ 2
100

= B(125) +2
100

Ta li cú 2
100

Cỏch 1. Ta thy s tn cựng bng 0625 nõng lờn lu tha nguyờn dng bt kỡ vn
tn cựng bng 0625.Do ú
5
1994
=5
4k+2
=25(5
4k
)=25(0625)
k
= 25.( 0625) = 5625
Cỏch 2. Ta thy 5
4k
-1 chia hờt cho 5
4
-1
= (5
2
-1)(5
2
+1) nờn chia ht cho 16.
Ta cú: 5
1994
= 5
6
( 5
332
-1) +5
6
Do 5

n
( 7
4
-1)
= 7
n
.2400
Do ú 7
n+1
v 7
n
cú ch s tn cựng ging nhau.
9
Saựng kieỏn kinh nghieọm Trửụứng T H C S Bửng Baứng
2.Tỡm s d ca 22
22
+55
55
cho 7.
+ Xột s d ca 22 v 55 cho 7?
Gii: Ta cú 22
22
+ 55
55
=(B(7) +1)
22
+(B(7) -1)
55

= B(7) +1+ B(7) -1

n +3
3n
2
-3n +2

-
3n
2
-3n
2
Mun chia ht, ta phi cú 2 chia ht cho n(n-1),do ú 2 chia ht cho n(vỡ n l s
nguyờn)
Ta cú:
n 1 -1 2 -2
n-1 0 -2 1 -3
n(n-1) 0 2 2 6
loi loi
Vy n= -1; n = 2
Vớ d 10
Tỡm s nguyờn dng n n
5
+1 chia ht cho n
3
+1.
Gii: Ta cú
n
5
+1 chia ht cho n
3
+1

Vớ d 11
Tỡm s nguyờn n n
5
+1 chia ht cho n
3
+1.
Gii: Theo vớ d trờn ta cú:
n -1 chia ht cho n
2
-n +1


n(n-1) chia ht cho n
2
-n +1


n
2
-n chia ht cho n
2
-n +1
10
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng

⇒
(n
2
-n +1) -1 chia hết cho n
2

n
-1 = 2
3k
-1 = 8
k
-1
Chia hết cho 7
Nếu n =3k +1(k
∈
N) thì
2
n
-1= 2
3k+1
- 1=2(2
3k
-1) +1 = Bs 7 +1
Nếu n = 3k +2 ( k
∈
N) thì
2
n
-1= 2
3k+2
-1 =4(2
3k
- 1)+3 =Bs 7 +3
Vậy 2
n
-1 chia hết cho 7

4
-1 chia hết cho 240.
Bài 3:
Tìm số ngun tố p để 4p +1 là số chính phương.
Bài 4.
Tìm ba số ngun tố liên tiếp a,b,c sao cho a
2
+ b
2
+ c
2
cũng là số ngun tố
Giải: Xét hai trường hợp
+ Trong 3 số a,b,c có một số bằng 3.
Khi đó 2
2
+ 3
2
+ 5
2
=38 là hợp số (loại)
Còn 3
2
+ 5
2
+ 7
2
=83 là số ngun tố.
+ Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 3.
Khi đó a

2
-b)+( c
2
-c)+ (d
2
-d)
Dễ thấy A là số chẵn (vì biểu thức trong mỗi dấu ngoặc là tích của hai số
ngun liên tiếp) nên
11
Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng
(a
2
+ b
2
+ c
2
+d
2
) -(a+b + c+ d) là số chẵn
mà a
2
+b
2
= c
2
+ d
2
nên a
2
+b

3
-c)
Do a
3
-a , (b
3
-b) , (c
3
-c) đều chia hết cho 6
Nên A

6
Mặt khác a+ b +c chia hết cho 6
Do đó a
3
+ b
3
+ c
3
chia hết cho 6
Bài 3: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba sơ ngun liên tiếp thì chia
hết cho 9.
+ Hướng suy nghĩ: Tổng các lập phương của ba số ngun liên tiếp có dạng
như thế nào?
- HS: a
3
+ ( a + 1)
3
+ ( a + 2)
3

a
5
+ b
5
+c
5
+ d
5
là hợp số
Giải:
Gọi ƯCLN (a,c) = k ( k ngun dương)
Khi đó a = ka
1
, c= k .c
1
và ( a
1
, c
1
) =1
Thay vào a.b = c.d được
k.a
1
.b = k .c
1
.d nên a
1
.b = c
1
. d

+ b
5
+c
5
+ d
5

= k
5
a
1
5
+ c
1
5
m
5
+ c
1
5
m
5
+k
5
c
1
5
+ a
1
5

1
, k ,m là các số ngun dương nên A là hợp số.
Bài 6. : Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thoả mãn điều kiện
a
2
+ b
2
= c
2
thì abc chia hết cho 60.
Giải: Theo bài ra a
2
+ b
2
= c
2
(1)
12
Saựng kieỏn kinh nghieọm Trửụứng T H C S Bửng Baứng
Ta cú 60 = 3. 4. 5
*Nu a ,b ,c u khụng chia ht cho 3 thỡ a
2
, b
2
,c
2
u chia cho 3 d 1.
Khi ú
a
2

Khi ú a
2
+ b
2
chia cho 8 d 0, 2 , 5, cũn c
2
chia cho 8 d 1, 4 trỏi vi (1).Vy
tn ti mt s chia ht cho 4.
Kt lun: abc chia ht cho 3.4.5 tc l chia ht cho 60.
Bi 7. Tỡm s t nhiờn n giỏ tr ca biu thc l s nguyờn t:
a) 12n
2
-5n -15 b)
4
3
2
nn +
Gii:
a) Ta cú 12n
2
-5n -15
= 12n
2
+ 15n - 20n - 15
= 3n( 4n +3) - 5( 4n +3)
= (4n +3) (3n - 5)
Do 12n
2
-5n -15 l s nguyờn t nờn 4n +5, 3n - 5 l cỏc s nguyờn dng .
Ta li cú 3n -5< 4n + 5 ( vỡ n >1)

Vy n =4, khi ú B = 7
Bi 8. Chng minh rng: 2
70
+ 3
70
chia ht cho 13.
Gii: Ta cú 2
70
+ 3
70
= (2
2
)
35
+ (3
2
)
35
= 4
35
+ 9
35
.
Do ú chia ht cho 4 + 9 =13
(p dng a
n
+ b
n
chia ht cho a+b vi n l s l)
Vy 2

2
.5
630 = 2.3
2
.5.7
729 = 3
6

Số ước số của số 720 là (4+1)(2+1)(1+1) = 5.3.2 = 30
Số ước số của số 630 là (1+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 2.3.2.2 = 24
Số ước số của số 729 là (6+1) = 7
Đây là bài tốn các học sinh có thể giải được .
Ví dụ 2 : Rút gọn phân số :
102010201020
092009200920
Giải :
Ta có : 200920092009 = 2009.100000000+2009.10000+2009
= 2009(100000000+10000+1)
= 2009.100010001
Và : 201020102010 = 2010.100000000+2010.10000+2010
= 2010(100000000+10000+1)
= 2010.100010001
Nên :
2010
2009
100010001.2010
100010001.2009
102010201020
092009200920
==

sinh tham gia.
* Các bài tập đưa ra ban đầu có thể theo từng dạng cụ thể, để học sinh làm
quen dần với các dạng tốn. Sau đó, đưa ra các dạng bài có tính tổng hợp hơn, đồi
hỏi học sinh biết vận dụng, suy nghĩ tìm tòi cách giải. Từ đó mới phát triển được tư
duy, khả năng sáng tạo của học sinh.
* Nên quan tâm đến câu trả lời của học sinh, khai thác những phát hiện dù là
nhỏ nhất của học sinh để phát huy tính chủ động suy nghĩ, tích cực của học sinh.
Trên đây là một số ý kiến, quan điểm của tơi xung quanh vấn đề nâng cao
chất lượng dạy học mơn tốn. Đồng thời phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo
của học sinh thơng qua chun đề '' Một số dạng tốn áp dụng việc phân tích một
số ra thừa số ngun tố và tính chia hết của số ngun''. Khi viết đề tài này chắc
hẳn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tơi rất mong nhận được sự góp ý, phê
bình của các đồng nghiệp để xây dựng cho kiến thức chun mơn của mình.
Cuối cùng tơi xin chân thành cám ơn!

Đại an ngày 05/03/2010
Người viết
Nuyễn Văn Minh
15
Saựng kieỏn kinh nghieọm Trửụứng T H C S Bửng Baứng
PH LC :

A. t vn
B. Gii quyt vn
I/ C s lý lun
II/ C s thc tin
III/ Cỏc gii phỏp .
IV/ Ni dung .
Dng 1 Chng minh quan h chia ht
Dng 2 Tỡm s d