

ĐẠIHỌCTHÁINGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 





NGUYỄN ĐÌNH LONG
CẬN SAI SỐ
CHO BẤT ĐẲNG THỨC LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CẬN SAI SỐ
CHO BẤT ĐẲNG THỨC LỒI
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ







Thái Nguyên, năm 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2

3.2.Nónhìnhkem(Theice-creamcone) 34

3.3.Bấtđẳngthứckhảvilồi(Convexdifferentiableinequalities) 36

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3
ii


BẢNG KÝ HIỆU

x S
phầntử
x
thuộctập
S


y S
phầntử
y
khôngthuộctập
S

S


L
phầnbùtrựcgiaocủa
L
trongkhônggianvéctơ

C S
tíchđềcáccủahaitập
C
và
S


C S
tổngcủahaitập
C
và
S
trongkhônggianvéctơ

C S
tổngtrựctiếpcủahaitập
C
và
S
trongkhônggianvéctơ

C

x K
f x
infimumcủatập


( ):
f x x K


co
A
baolồicủatập
A

co
A
baolồiđóngcủatập
A

cl
A
baođóngcủatập
A

int
A
phầntrongcủatập
A

x

tại
x

( ; )
T x A
nóntiếpxúcvới
A
tại
x

dom( )
f
miềnhữuhiệucủa
f

epi( )
f
tậptrênđồthịcủa
f

dist( , )
x y
khoảngcáchgiữahaiđiểm
x
và
y

dist( , )
x S
khoảngcáchtừđiểm

tậpmứctrêncủahàm
f


( ; )
f x d
đạohàmtheophương
d
củahàm
f
tại
x


( )
f x
dướiviphâncủahàm
f
tại
x

*
f
hàmliênhợpvớihàm
f

X
khônggianlồiđịaphương
*
X




dist( , ) ( )
x S f x
vớimọi


n
x
,(1)
trongđó


  

: : ( ) 0
n
S x f x
là mộttập lồiđóng,khácrỗngtrong

n
,
“
dist
” là khoảng cách từ một điểm
x
 bất kỳ tới một tập cố định (chuẩn
Euclid),và




12
nghiêncứuhệbấtđẳngthứcbậc
hai,lồivàthiếtlậpcậnsaisốtoàncụcchỉvớigiảthiếtSlater(khôngcóđiều
kiệnràngbuộcnàonữa).TiếpđóKlatte


10
nghiêncứuliênhệgiữatínhliên
tụcHaussdorffcủanghiệmvớihệbấtđẳngthứccó“nhiễu”vàcậnsaisốtoàn
cụccủahệkhôngnhiễu.Li


13
nhậnđượcmộtsốtínhchấtthúvịcủacậnsai
sốtrêntậpcompactchonhữngbấtđẳngthứclồikhảvitheokhíacạnhtiêu
chuẩnhạnchế.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6

Gầnđây,Deng


6,7
xâydựngcậnsaisốcủatậplồiđóngxácđịnhbởi
nhữnghàmlồi thựcsựđóngtrongkhônggianBanach, vớiđiềukiệnSlater
trênnhữnghàmlùixatươngứng.DengvàHu



Cho


  

: : ( ) 0
n
S x f x
làmộttậplồiđóng,khácrỗngtrong
n

,
tìmdềukiệntồntạisố
0


saocho



dist( , ) ( )
x S f x
,vớimọi


n
x
.



.
Luậnvăngồmbachương
Chương1:Trìnhbàycáckiếnthứccơsởcủagiảitíchlồivềtậpafin,tậplồi,
nónlồi,hàmlồi,cựctrịcủahàmlồi,đạohàmtheophương,dướiviphân.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7

Chương2:Trìnhbàymộtsốđiềukiệncầnvàđủchosựtồntạicủacậnsaisốđối
vớibấtđẳngthứclồikhôngcóràngbuộcvàbấtđẳngthứclồicóràngbuộc.
Chương3:Trìnhbàymộtsốđiềukiệncầnvàđủchosựtồntạicủacậnsaisố
đốivớitậpcompact,nónkem,bấtđẳngthứckhảvilồi.
Đểhoànthànhluậnvănnày,tácgiảđãnhậnđượcsựgiúpđỡhướngdẫn
tậntìnhcủaPGS.TS.TrươngXuânĐứcHà.Tácgiảxinbàytỏlòngbiếtơn
sâusắctớicôgiáocủamình.
TácgiảcũngxinchânthànhcảmơntớicácthầycôtrongViệnToánHọc,
TrườngĐạihọcSưphạmTháiNguyênđãgiảngdạyvàtạođiềukiệnthuận
lợitrongquátrìnhhọctậpvànghiêncứu.
Bảnluậnvănchắcchắnsẽkhôngtránhkhỏinhữngkhiếmkhuyếtvìvậy
rấtmongnhậnđượcsựđónggópýkiếncủacácthầycôgiáovàcácbạnhọc
viênđểluậnvănđượchoànchỉnh.

TháiNguyên,tháng7,năm2012
Họcviên



NguyễnĐìnhLong.





Tập
A
làtậpafinnếu
 
,
a b A
,

 

thì


 
  
1
a b A
.
Giaocủatấtcảcáctậpafinchứatập
A
đượcgọilàbaoafincủatập
A
,vàký
hiệulà
aff( )
A
.Dễthấyrằng
aff( )
A
làtậpafinnhỏnhấtchứatập

n
L
là không gian con nếu và chỉ nếu
L
là tập afin
chứa
0
.

1.1.3. Tập lồi
Tập
A
làmộttậplồinếu

 
   
 
, ,  0,1
a b A
thì
 
  
(1 )
a b A
.
Baolồicủamộttập


n
A


x A
đều
cómộtsố


0
saocho
 
  
( )
x a A
.
Tậphợpcácđiểmtrongtươngđốicủa
A
kýhiệulà
ri
A
.
Nhậnxét:
ri
A
làtậplồi,mọitậplồi
A
đềucó
 
ri
A
.
Mộtđiểmbiêncủatậplồi



4
Hìnhellipsoit
 


    
2
: ( )
T
n
E x x a M x a r
(
M
làmatrậnxác
địnhdương).


5
Cácnửakhônggianđóng



  : ,
n
x a x
;



A
là tập lồi. Khi đó


i

int
A
,
cl
A
là lồi;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10
 3




ii


cl cl(int )
A A
;



iii



Nón
A
cóđỉnhtại0đượcgọilànónlồinếu
A
làmộttậplồi,cónghĩalà:
 
   
, , , 0
x y A
tacó
 
 
x y A
.
Véctơ


*
n
x
đượcgọilàvéctơpháptuyếncủatậplồi
A
tại
x
nếu:
 
*
, 0
x x x


nếu


  
     

: 0 , ,x y A x A
.
Tậptấtcảcácphươnglùixacủamộttậplồi
A
cùngvớivéctơ0làmthành
mộtnónlồi.Nónlồiấygọilànónlùixacủatập
A
.

1.1.7. Ví dụ . Cáctậpsauđâylàcácnónlồigốctại
0
trong
n





i



  
  

X
vàcho
mộthàmtùyý


   
: ,f X
làhàmsốxácđịnhtrên
X
.
Kíhiệu



dom( ) : ( )f x X f x
   
làmiềnhữuhiệucủa
f
.



epi( ) ( , ) : ( )
f x t X f x t
   

làtậptrênđồthịcủa
f
.


được
gọilàhàmlồi,nếuvớimọi
,
x y X

và


0,1


,tacó
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ).
f x y f x f y
   
    

Hàm
f
đượcgọilàhàmlõmnếuhàm
( )
f

làhàmlồi.
Hàm
f
gọilàchínhthườngnếu
dom( ) 
f
 

n
f
   
 
,xácđịnhbởi
( ) ,
f x a x t
 
,
n
x



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12
 5

làhàmlồi,trongđó
,
a x
làtíchvôhướngtrong
n

,đượcđịnhnghĩa:
1/2
2
1
,
n
i


0 khi 
( ) 
khi 
C
x C
I x
x C





 



làmộthàmlồi.


3
Cho
*
X
 
.Vớimọi
x X

,hàm
( / )

X

và


: ,f S
   

.Hàm
f
đượcgọilànửaliêntụcdướitạimộtđiểm
x S

nếu
lim inf ( ) ( )
y x
f y f x


.

1.2.4. Mệnh đề. Cho hàm


: ,f X
   

, các điều kiện sau là tương
đương:


là đóng.



iii

f
là hàm nửa liên tục dưới trên
X
.

1.2.5. Định nghĩa . Hàm


: ,f X
   

đượcgọilàLipschitzđịa
phươngtại
x
vớihằngsốLipschitz
K
nếutồntạimộtlâncận
U
của
x
sao
cho:
( ) ( ) ,
f x f y K x y


ii

f
là bị chặn trên mọi tập mở;



iii



int epi( )f
 
;



iv



int dom( )f
 
và
f
là Lipschitz địa phương trên mọi tập
bị chặn chứa trong



là
mộttậplồikhácrỗngvà
x C

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14
 7




i

x C

làđiểmcựctiểutoàncụccủahàm
f
nếuvớimọi
x C

tacó

( ) ( )
f x f x

vớimọi
x C

.


trên một tập
dom( )
C f

khác rỗng đều là cực tiểu toàn cục.
ký hiệu argmin


( ):
f x x C

là tập các điểm cực tiểu của
( )
f x
trên
C
.

1.2.9. Định lí. Cho một hàm lồi


: ,f X
   

và cho một tập lồi
int(dom( ))
C f

. Khi đó ta có


vào


,
  

,
,
x d X

.Đạo
hàmtheophương
d
củahàm
f
tại
x
,kýhiệulà
( ; )
f x d

,đượcđịnhnghĩalà
giớihạnsau:
0
( ) ( )
( ; )=lim
f x d f x
f x d







 

.

1.3.3. Mệnh đề. Cho
x C

xác định và
n
d


,
P
là một phép chiếu. Khi
đó
( )
0
( )
lim ( )
C
C
T x
t
P x td x
P d

Tậptấtcảcácdướigradientcủa
f
tại
x
đượcgọilàdướiviphâncủahàm
f

tại
x
vàđượckýhiệulà
( )
f x




* * *
( ) : , ( ) ( ), 
f x x X x x x f x f x x X
       
.
Hàm
f
đượcgọilàkhảdướiviphântại
x
nếu
( )
f x
  
.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16
 9



2
Hàmafin
: 
n
f

 
,xácđịnhbởi
( ) ,f x c x

 
,với
, 
n
c x


,



códướiviphânvớimọi
n
x

X
có dưới vi phân khác
rỗng tại mỗi điểm
int(dom( ))
x f

.

1.3.8. Mệnh đề. Cho
f
là một hàm lồi, đóng, chính thường và
dom( )
S f


là một tập khác rỗng, đóng và bị chặn . Khi đó tập


( ) ( ) :
f S f x x S
    

là khác rỗng, đóng và bị chặn. Ký hiệu



    
* *
: sup : ( )x x f S
,

tại
x
là bao đóng của nón lồi sinh bởi
( )
f x

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17
 10

1.3.10. Mệnh đề. Cho
f
là một hàm lồi chính thường và
x
là một điểm trong
tương đối của
dom( )
f
sao cho
( )
f x
không là cực tiểu của
f
. Một véc tơ
*
x

là véc tơ pháp tuyến của

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18
 11

Chương 2
CẬN SAI SỐ ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC LỒI CÓ RÀNG BUỘC
VÀ KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC
Bàitoánxácđịnhcậnsaisốtoàncụccủamộthàmsốcóliênhệchặtchẽ
vớicácbàitoánkhác:bàitoántốiưuhóa,bàitoánbấtđẳngthứcbiếnphân,…
Vìlýdođómàbàitoáncậnsaisốđượcnhiềunhàtoánhọcquantâmnghiên
cứu.Trongchươngnàychúngtôinhắclạicáckháiniệmcơbảnvềcậnsaisố,
và trình bày bài toán cận sai số toàn cục cho bất đẳng thức lồi trong hai
trườnghợp,khôngcóràngbuộcvàcóràngbuộc.Cáccôngcụđượcsửdụng
làdướiviphânhàmlồivànónlồitronggiảitíchlồi.Nộidungtrìnhbàyởđây
đượclấychủyếutrongchương2củabàibáo


11
.

2.1. Khái niệm cận sai số
Cho



tớitập
S
thôngquamộthằngsốnhânvớimộthàmcóthểtínhđượcđolườngsựvi
phạmcủaràngbuộc
( ) 0
f x

.Nóicáchkhác,chúngtatìmđiềukiệncầnvà
đủchosựtồntạicủahằngsố
0


đểcóbấtđẳngthứcsau

dist( , ) ( )
x S f x



,vớimọi
n
x


(2)
Mộtbấtđẳngthức(2)đượcgọi là“cận sai số toàn cục”củatập
S
.Trong
trườnghợptổngquáthơnvới

.(4)
Cậnsaisốtoàncụccủahàmlồi
f
cóthểkhôngtồntại,vàsauđâylàmột
sốvídụminhhọa.

2.1.1. Ví dụ
Xéthàmlồiđóngchínhthường:
 
2
1
2
2
1 2 1 2
nêú 0
, 0 nêú 0
nêúkhác
x
x
x
f x x x x





  




 
 
,
k
=1,2,….
Vớitập
S
đượcđịnhnghĩabởi(1)tacó

2
1
dist( , ) 1
4
k
x S k
k
 

Thậtvậy,đặt

2
1
,
1
2
k
u v k
k
k
 



1
Với
1 2
0
x x
 
tacó
(0,0) 1
f
 
nên
(0,0)
S

.



2
Với
2
0
x

tacó
 
2 2
1 1 2







2
1 2 1 2
, : , 0
S x x f x x
  







2 2
1 2 1 2
= , :
S w x x x x
  


.
Khiđótacó


w w

   
.
Khoảngcáchnàydầntiếntới

khi
k
tiếntớivôcực.Tuynhiên,talạicó
2
2
( )
 ( ) 1 0
1
2
k
k k
f x
k k

  

,
nótiếndầntới0khi
k
 
.Suyra,khôngthểtồntạibấtkỳhằngsố
, 0
 


saochovớimọi

k k k k
k k
x
a a f x k f x f x
 

     

.
Điềukiệnnàyrõràngkhôngđúngvớihàm
f

vàdãy


k
x
.

2.1.2. Ví dụ
Chohàmlồi
f
:

2 2
1 1 2
( ) :
f x x x x
  
,

k
x S

vớimọi
k
nhưng

2
( ) ( ) 1 0
k k
f x f x k k

     
,khi
k
 
.
Vìvậykhôngthểcócậnsaisốđốivớihàmnày.

Tiếptheo,chúngtađitìmcậnsaisốtoàncụcchomộtbấtđẳngthứclồi
khôngcóràngbuộc.
2.2. Cận sai số đối với bất đẳng thức lồi không có ràng buộc
Trongmụcnàychúngtalàmviệcvớitập
S
xácđịnhbởi(1).Kếtquảsau
đâyđưarađiềukiệncầnvàđủchocậnsaisốtoàncục(2)đượcthỏamãn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22
 15

2.2.1. Định lí. Cho



và
( ; )
d N x S

,

1
( ; )
f x d d




. (5)
( )
c
Với mọi
1
(0)
x f


và
( ;dom( )) ( ; )
d T x f N x S
 
thì (5) đúng.
Chứng minh.

( )
d f x d
  
  
.
Dođó
1
( ) ( )
f x d f x d
  

  
.
Chiacảhaivếcho
0


,nhớrằng
( ) 0
f x

,vàtínhgiớihạnkhi
0


tacó
1
0
( ) ( )
lim

x f


và
( ;dom( )) ( ; )
d T x f N x S
 
nênta
cũngcó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23
 16

1
(0), ( ; )
x f d N x S

 
.
Ápdụngchứngminhcủaphầntrêntacóđiềuphảichứngminh.
( ) ( )
c a

:Cho
x S

xácđịnh.Khôngmấttínhtổngquátgiảsử
( )
f x
 
.

. Do
dom( )
f
 là lồi nên
( ;dom( ))
x x T x f
 
. Tiếp
theo,chúngtasẽchỉra
( ( )) 0
S
f x


bằngphươngphápchứng minhphản
chứng. Giả sử ngược lại
( ( )) 0
S
f x


. Khi đó với
0


 đủ bé, véc tơ
( )
x x x

 

( ( )) 0
S
f x


.Từgiảthiết


c
,chúngtacó
1
( ( ); ( )) ( )
S S S
f x x x x x
   


  
.
Mặtkhác,chúngtacó
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ); ( ))
S S S
f x f x f x f x f x x x
  


    
.
Trongđóbấtđẳngthứccóđượclàdotínhlồicủahàm
f

: ( ) 0
n
S x f x
  

cóđượccậnsaisốtoàn
cục.Vìmụcđíchnày,chúngtôichứngminhmộtbổđề.

2.2.2. Bổ đề. Cho


:
n
f
  
 
là một hàm lồi đóng, chính thường và


: ( ) 0
n
S x f x
  

. Cho
n
L


là một không gian con tuyến tính

N x S T x f f x

  

.
Chứng minh. Cho
1
(0) ri(dom( ))
x f f

 
.Đểđơngiảnhóakýhiệu,và
khôngmấttínhtổngquátgiảsửrằng
x
làđiểmgốctọađộ.Vớigiảthiếtnày,
khônggiancon
L
đồngnhấtvớibaoafincủa
dom( )
f
.Chúngtacó
n
L L

 

,
trongđó

làphéptoán tổng trựctiếpvà

tacóđẳngthứcsau
1
(0; ( , 0]) (0)
N g g


  
.
Đểchứngminhđẳngthức
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25