Đề tài: Xây dựng hệ thống bài toán từ một phương pháp giải hiệu quả cho
bất ñẳng thức chứa căn
Cao Ti
ến Trung

THPT Đô Lương 2

1

PHẦN 2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1 Hình thành phương pháp "tạo nhân tử giải bất ñẳng
thức chứa căn"
Những năm gần ñây trong các ñề thi học sinh giỏi của các trường và các tỉnh có rất
nhiều bất ñẳng thức chứa căn gây không ít cảm giác khó cho các em học sinh.
Thực tế khi gặp bất ñẳng thức chứa dấu căn các em lúng túng không biết nên bắt
ñầu từ ñâu, vận dụng giả thiết như thế nào
Chúng ta bắt ñầu từ bài toán ñơn giản như sau
Bài toán 1:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y =
2
1
x x
−

Lời giải:
Điều kiện : x∈ [-1; 1]
Ta có y =
2 2
2
1 1

x
x
−

Phân tích: Bài toán này yêu cầu ñã cao hơn một tí, ñể tìm max của y ta phải làm
sao xuất hiện
y a
≤
( hằng số) .Làm sao ñể khử x ở vế trái tức là tử thức phải có
dạng a.x. Từ ñó xét
1
x
−
liệu x-1 có là tích hai số cộng lại mất số tự do như số
-1 ? và kết quả là x-1= 1(x-1)
Lời giải:
Điều kiện: x
≥
1

Đề tài: Xây dựng hệ thống bài toán từ một phương pháp giải hiệu quả cho
bất ñẳng thức chứa căn
Cao Ti
ến Trung

THPT Đô Lương 2

2

Khi ñó y

Nhận xét: Việc nhân thêm số 1 là ý tưởng khá ñộc ñáo ñã làm cho bài toán trên
trở nên rất ñẹp sau khi ta giải, và chính bài toán ñã khơi nguồn cho bản thân tôi
bắt tay vào chọn ñề tài này ñể viết.
Ta sẽ bắt ñầu từ bất ñẳng thức cô si:
Cho n số không âm a
1
; a
2
; ; a
n
khi ñó ta luôn có

1 2 1 2

n
n n
a a a n a a a
+ + + ≥ dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= = a
n

Thông thường khi học sinh giải toán sẽ rất dễ nhận ra việc ứng dụng bất ñẳng thức
trên theo chiều thuận như thế cho nên ña số các em sẽ giải quyết các bất ñẳng thức
chứa tổng các số hạng nên ñôi lúc gặp bất ñẳng thức chứa dấu căn mà vì không
linh hoạt vận dụng ñược bất ñẳng thức ñó theo chiều ngược như
1 2
1 2
21
21
)
nên thấy phức tạp.
Vì lí do ñó suy nghĩ của tôi là giúp các em tạo ra các tích trong căn thức ñể vận
dụng bất ñẳng thức cô si làm ñơn giản bài toán.
Đó là nội dung của phương pháp tôi gọi tên là " Phương pháp tạo nhân tử giải
quyết bất ñẳng thức chứa căn"
2.2 Xây dựng hệ thống bài toán từ phương pháp " Tạo nhân
tử giải bất ñẳng thức chứa căn"
\ Trong ñề tài tôi sẽ xây dựng và hình thành các kĩ thuật, kinh nghiệm giải toán của
phương pháp kết hợp các bài toán tôi xây dựng theo hệ thống logic từ bài toán số
1 ñế bài toán 30, tuy vậy ñể làm nổi bật nội dung phương pháp giải trong ñề tài
này tôi tạm phát triển vấn ñề phân loại theo hai hệ thống cụ thể trong mỗi hệ
thống sẽ phân hai nhóm cho người ñọc dễ nhớ như sau
2.2.1. Hệ thống 1. Các bài toán tạo nhân tử gắn với vai trò của vị trí
dấu căn.
Như chúng ta thường thấy khi gặp một bài toán chứa căn thì ñập vào mắt
chúng ta là dấu căn thức và ấn tượng ñầu tiên luôn là cảm giác phức tạp hơn bất

Đề tài: Xây dựng hệ thống bài toán từ một phương pháp giải hiệu quả cho
bất ñẳng thức chứa căn
Cao Ti
ến Trung

THPT Đô Lương 2

3

≥

Rút gọn T ta có T=
2
1 3
y
x z
x y z
−
− −
+ +

(Đến ñây ta thấy xuất hiện bài toán 2 và yêu cầu tổng quát trên ñã có mặt
chẳng hạn với
2
y
y
−
giải quyết thế nào? làm sao khử số -2 )
=
1
2 2

Ta tiếp tục lời giải :
Ta có
1( 1) 2( 2) 3( 3)
1 1 2 2 3 3
2
2 3 2 2 2 3
x y z

2 2 2 3
+ + khi x=2;y=4;z=6
2 2( 2)
2 2
2 2 2
y y
y
y
y y
− −
+ −
= ≤

Đề tài: Xây dựng hệ thống bài toán từ một phương pháp giải hiệu quả cho
bất ñẳng thức chứa căn
Cao Ti
ến Trung

THPT Đô Lương 2

4

Qua các bài toán vừa rồi ta có thể tổng quát là
.( )
1
( 0)
. 2
a x a
x a
a

x

Lời giải:

Với mọi số nguyên k (
nk
≤
≤
1
) ta có
( )
1
2 2
k x k
x k k x k
x
x k x k k
−
− + −
= ≤ =
(
dấu bằng có thể xảy ra khi x=2k)
suy ra
1 2 1 1 1 1
( )
2
1 2
x x x n
x x x
n


2
1
1
1
−−++−+−+≤+++ nn
n

2 1
n
= −

Qua 4 bài toán trên chắc hẳn bạn ñọc ñã nhận ra một nét chung rất riêng biệt và dễ
thấy ñó là ta ñã làm mất dấu căn thông qua tạo ra tích các thừa số ñể vận dụng
bất ñẳng thức cô si, một ñiều có thể không khó ñể nhìn ra mấu chốt ñể giải quyết
các bất ñẳng thức chứa căn là nhân thêm nhưng liệu nhân thêm như thế nào và
nhân thêm bao nhiêu số ? Đa số các bài chứa căn trước hết ta cứ tìm cách khử dấu
căn rồi tính tiếp, vậy làm sao ñể mất ñược căn bậc n?
Trong các bài tập tôi ñề cập phương pháp giải ñều là áp dụng bất ñẳng thức cô si
nên xuất phát từ dấu = xảy ra ta dự ñoán rồi nhân thêm biểu các biểu thức
bằng nhau dưới dấu căn và phải nhân thêm ñể có ñủ n thừa số trong căn bậc
n thì việc làm mất dấu căn là có thể.Tôi nghĩ rằng khi ñưa ra câu trả lời ñó ta cảm
thấy rõ ràng và dễ dàng nhưng ñể phát hiện ra nó là kết quả của một quá trình tính
toán và xử lí của cả một hệ thống bài toán có phát triển và với phép tương tự như ta
ñã làm
Ta hãy tiếp tục với bài toán sau:

Đề tài: Xây dựng hệ thống bài toán từ một phương pháp giải hiệu quả cho
bất ñẳng thức chứa căn
Cao Ti

;
4d+3
4 +1
2 2
d ≤
suy ra
4( ) 12
4a+1 4 1 4 1 4d+1 4 2
2 2
a b c d
b c
+ + + +
+ + + + + ≤ =

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d=1/4.
Ở bài toán này có người ñọc cho rằng sao ta không dùng cách giải dùng bất ñẳng
thức Bunhia-copxki như sau:

(
)
(
)
( )
3214141414111114141414
2222
2
=++++++++++≤+++++++ dcbadcba

2414141414 ≤+++++++⇔ dcba


3b+1
3 4
≤
và
3
3
3c+5
3c+1
3 4
≤
từ ñó suy ra
3
3 3 3
3 3
3( ) 15 18
3a+1 3b+1 3 +1 3 2
3 4 3 4
a b c
c
+ + +
+ + ≤ = =

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/3

Đề tài: Xây dựng hệ thống bài toán từ một phương pháp giải hiệu quả cho
bất ñẳng thức chứa căn
Cao Ti
ến Trung

THPT Đô Lương 2

ab bc ca
+ + ≤

Đến bài tập này chắc chắn học sinh có thể tự tin giải mà không phải khó khăn
mấy trong việc tìm ra biểu thức nhân thêm
Vẫn dự ñoán dấu bằng khi a=b=c=1/3 ñể từ ñó biết nhân vào 1/3 trong dấu căn bậc
3 cho ñủ 3 thừa số.
Lời giải : Ta có
3 3 3
3
1
1
3
3. . . 3.
3 3
a b
ab a b
+ +
= ≤

tương tự
3 3
1
3
3.
3
b c
bc
+ +
≤

1
a
≤
Hướng dẫn
(2a-1).1
2a-1 2a-1+1
1
2
a a a
= ≤ =

b,
3
3a-2
1
a
≤
Hướng dẫn
3
3
(3a-2).1.1
3a-2 3a-2+1+1
3
a a a
= ≤

c,
n
na -n+1
1

2 1. 3 2. 4 3 1
a b c
− − − ≤

b.
3
4
2 1 3 2 4 3
3
a b c
a b c
− − −
+ + ≤D
ễ
dàng gi
ả
i
ñượ
c và d
ấ
u b
ằ
ng khi a=b=c=1
Nh
ư
v
ậ

ả
n
h
ơ
n nhi
ề
u so v
ớ
i
ñặ
t nó n
ằ
m riêng l
ẻ
và không bi
ế
t tìm ra công c
ụ
chung trong các
bài toán
ñ
ó.
Đế
n
ñ
ây các em h
ọ
c sinh có th
ể
nhìn th

ư
ng ng
ườ
i ta không có m
ộ
t
ph
ươ
ng pháp nào chung c
ả
.
Sau ñây là các ví dụ minh họa những bài toán ñã gặp
:
Ví dụ 1
: ( Toán h
ọ
c tu
ổ
i tr
ẻ
5/2008)
Cho a,b,c>0 và
3
ab bc ca
+ + ≥
ch
ứ
ng minh
2 2 2
a+3 3 3 2( )

L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có
( 3).4
3 4 7
a+3
2 4 4
a
a a
+
+ + +
= ≤ =

áp d
ụ
ng t
ươ
ng t
ự
cho hai s
ố
h
ạ
ng còn l
ạ
i và c
ộ

1
2
c
c
+
≤
suy ra
2 2 2
21 45
4 8
a b c a b c
+ + + + + +
≤
ta ch
ứ
ng minh
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
45 45
2 3
8 15
a b c
a b c a b c
+ + +
≤ + + ⇔ + + ≥ =

Hi
ể
n nhiên

t làm b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trung gian b
ở
i vì ta luôn có quan h
ệ
th
ứ
t
ự Đề tài: Xây dựng hệ thống bài toán từ một phương pháp giải hiệu quả cho
bất ñẳng thức chứa căn
Cao Ti
ến Trung

THPT Đô Lương 2

8

222
2
3
)(
cba

h
ơ
n là t
ạ
o ra bài toán khác

Ví dụ 2.
( Sách b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Max cop)
Cho a,b,c không âm th
ỏ
a mãn
2 2 2 6
a b b c c a
+ + + + + + + + =
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2
3
a b c
+ + ≥

2 2 2
4 2
a b c a b c
a b b c c a
+ + + + + +
+ + + + + + + + ≤ =
theo gi
ả
thi
ế
t suy ra
9
6 3
2
a b c
a b c
+ + +
≥ ⇔ + + ≥

V
ậ
y ta có
(
)
2
2 2 2
3
3
a b c
a b c


Cho a,b,c là các s
ố
d
ươ
ng th
ỏ
a mãn a + b + c = 3 ch
ứ
ng minh ta luôn có

2 2 2
1 2 1 2 1 2 6
a bc b ca c ab
+ + + + + + + + ≤L
ờ
i gi
ả
i :
Ta có
2
2
2
(1 2 )4
1 2 4
1 2
2 4

2
2 2 2 15
1 2 1 2 1 2
4
( ) 15
6
4
a b c ab bc ca
a bc b ca c ab
a b c
+ + + + + +
+ + + + + + + + ≤
+ + +
= =
D
ấ
u b
ằ
ng khi và ch
ỉ
khi a=b=c=1
C
ũ
ng có m
ộ
t bài toán t
ươ
ng t
ự
ví d

ến Trung

THPT Đô Lương 2

9

Ta l
ạ
i d
ự

ñ
oán d
ấ
u b
ằ
ng khi a=b=c=1 và a+7=8 l
ạ
i có c
ă
n b
ậ
c 3 nên ta nhân hai s
ố

8
L
ờ
i gi
ả

mà
4 4
1 1 1 3
4 4
a a
a
+ + + +
≤ = và
4
3
4
b
b
+
≤ ;
4
3
4
c
c
+
≤ suy ra
4 4 4
69 285
12 48
a b c a b c+ + + + + +
≤

Đế
n

n vì
4 4 4 4 8 2
4
1 4 4ab
a b b a b+ + + ≥ =

4 4 4 2
1 4bc
b c c
+ + + ≥
;
4 4 4 2
1 4ca
c a a
+ + + ≥

nh
ư
v
ậ
y
(
)
(
)
4 4 4 2 2 2
3 3 4 ab 12
a b c bc ca
+ + + ≥ + + ≥
hay

6
11111
3
11
2
1
+=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
a
aaa
D
ấ
u = x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi a=1.
L
ờ
i gi
ả

n thêm các c
ă
n
ñể
có các bài toán khác ho
ặ
c s
ử
a
thành các ph
ươ
ng trình vô t
ỷ
nh
ư

VD: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
63
+=++ xxxx

M
ộ
t s
ố
ví d

baba
+
+
+
≤+=+

Ví dụ 7.
Cho a,b,c d
ươ
ng a
2
+b
2
+c
2
=3
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a P=
333
434343 ++++++++ accbba

G
ợ

c
(
)
222
cba3 ++≤++ cba

Ví dụ 8
. Cho a,b,c d
ươ
ng a+b+c=1
Ch
ứ
ng minh
1111
333
≤−++−++−+ bacacbcba

G
ợ
i ý
3
3
)111(
.)1(1.11
3
3
acab
a
cba
cbacba

2.2.1.b. Khi dấu căn thức nằm ở mẫu hoặc biểu thức dưới dấu căn là

phân thức

Qua ph
ầ
n trên h
ọ
c sinh có th
ể
t
ự
tin khi g
ặ
p m
ộ
t s
ố
bài v
ớ
i bi
ể
u th
ứ
c d
ạ
ng c
ă
n
ở

ă
n có
d
ạ
ng phân th
ứ
c trong m
ụ
c này ta s
ẽ
gi
ả
i quy
ế
t các d
ạ
ng
ñ
ó.
Các bài toán trên v
ớ
i d
ấ
u c
ă
n th
ứ
c n
ằ
m trên t

m
ấ
u v
ớ
i bài toán tìm giá tr
ị

nh
ỏ
nh
ấ
t.
Đ
ó là n
ộ
i dung c
ủ
a bài toán sau:
Bài toán 9.
(
Diễn ñàn Boxmath.vn
) Cho a,b,c d
ươ
ng a+b+c=3/4 .
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ

ộ
t cách
nhân thêm hai s
ố
1
L
ờ
i gi
ả
i: Ta có

( ) ( ) ( )
( )
( )
3
64
111.3
23
3
23
3
23
3
1.1.3
1
1.1.3
1
1.1.3
1
3

=
cbaaccbba
accbbaaccbba
P

d
ễ
dàng tìm
ñượ
c giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a P=3 khi a=b=c=1/4.
Bài toán 10
: Cho a,b,c không âm, a
2
+b
2
+c
2
=1. Ch
ứ
ng minh
1
111

n theo h
ướ
ng khai
thác d
ấ
u = c
ủ
a b
ấ
t
ñắ
ng th
ứ
c Cô si
ñề
xây d
ự
ng l
ờ
i gi
ả
i, tuy v
ậ
y
ñ
i
ề
u
ñ
ó s

ạ
i tâm. V
ớ
i ph
ươ
ng pháp nhân thêm
ở
bài toán 9 v
ớ
i m
ụ
c tiêu làm
sao xu
ấ
t hi
ệ
n a+b+c ho
ặ
c ab+bc+ca
ở
v
ế
ph
ả
i
ñể
g
ầ
n g
ũ

oán là nhân v
ớ
i a
2
, b
2
,c
2
khi
ñ
ó bu
ộ
c ta ph
ả
i xét a,b,c t
ạ
i biên là s
ố
0. Và k
ế
t
qu
ả
là d
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra khi a=0;b=1;c=2 và các hoán v

ả
s
ử
a#0 suy ra a=1,b=c=0
thì
1
111
=
+
+
+
+
+ ab
c
ca
b
bc
a

TH
2
: Có hai trong 3 s
ố
khác 0 gi
ả
s
ử
c=0, a,b#0 ta có a
2
+b

ớ
i s
ử
d
ụ
ng
( )
bca
a
bc
a
+
=
+
1
1
2
2
s
ẽ

ñ
ánh giá
ñượ
c v
ế
trái l
ớ
n h
ơ

ñ
ây ta
ñ
ang theo lu
ồ
ng suy ngh
ĩ
c
ủ
a bài toán 3 là làm m
ấ
t h
ệ
s
ố
t
ự
do
nh
ư
x-2 và 2 nh
ư
ng không
ñượ
c, tuy v
ậ
y 2-a và a thì có th
ể
m
ấ

ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
, , (0;2)
. . 1
1
2
2
2
a b c
a b c
a b c
a a
b b
c c
∈


=


⇔ = = =
= −


= −

= −


m
ẫ
u và ch
ắ
c ch
ắ
n h
ọ
c
sinh có th
ể
liên h
ệ
v
ớ
i d
ạ
ng ch
ứ
a
ở
t
ử
nh
ư
ng chi
ề
u b
ấ
t

u thì làm sao?
Ta ti
ế
p t
ụ
c gi
ả
i quy
ế
t câu h
ỏ
i
ñ
ó.
Cùng v
ớ
i vi
ệ
c thay
ñổ
i hình th
ứ
c bài toán còn có th
ể
thay
ñổ
i
ñ
i
ề

Đề tài: Xây dựng hệ thống bài toán từ một phương pháp giải hiệu quả cho
bất ñẳng thức chứa căn
Cao Ti
ến Trung

THPT Đô Lương 2

122 2 2 2 2 2
a b c
P
b c a c a b a b c
= + +
+ − + − + −

Phân tích: Bài toán này có th
ể

ñư
a v
ề
d
ạ
ng gi
ố
ng bài toán trên hay không và ph
ả
i

a
a,b,c nên hãy
ñư
a m
ỗ
i c
ă
n
ñ
ó v
ề
theo m
ộ
t bi
ế
n, th
ứ
2 là làm sao ta
dồn căn thức về
hẳn tử thức hay mẫu thức tức là mất căn ở tử hoặc mẫu
.
L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có
2 2 2 4 4 4
a b c a b c
T

ó h
ọ
c sinh d
ễ
dàng gi
ả
i quy
ế
t v
ấ
n
ñề
ph
ứ
c t
ạ
p c
ủ
a m
ẫ
u th
ứ
c v
ề
s
ố

ñơ
n gi
ả

ậ
n d
ụ
ng d
ạ
ng này m
ở
r
ộ
ng yêu c
ầ
u sang hình h
ọ
c ta g
ặ
p bài toán
Bài toán 13

Cho tam giác ABC các c
ạ
nh là a,b,c . Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
cba

3
)22.(3)22.(3)22(3
3
=












−++
+
−++
+
−++
≥









Nh
ư
v
ậ
y b
ả
n thân các bi
ể
u th
ứ
c v
ề
m
ặ
t hình th
ứ
c thì có v
ẻ
ph
ứ
c t
ạ
p nh
ư
ng n
ế
u
ñặ
t
trong nh

ñề
u cho r
ằ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c là m
ộ
t ph
ầ
n khó trong
ch
ươ
ng trình h
ọ
c và các kì thi?. B
ở
i m
ỗ
i b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c th
ự

do
ñ
ó n
ế
u ng
ườ
i gi
ả
i ít va ch
ạ
m và ít phân d
ạ
ng theo h
ệ
th
ố
ng thì s
ẽ
r
ấ
t b
ỡ

ng
ỡ
trong vi
ệ
c ch
ọ
n h

các chìa khóa mà ng
ườ
i gi
ả
i ph
ả
i t
ạ
o ra m
ộ
t ph
ầ
n
là
ñộ
t phá nh
ư
ng v
ẫ
n ph
ả
i xu
ấ
t phát t
ừ
m
ộ
t trong các d
ạ
ng c

ặ
p các bài toán t
ươ
ng t
ự

ñ
ó là bi
ế
t bi
ế
n
ñổ
i phù h
ợ
p bi
ể
u th
ứ
c
trong d
ấ
u c
ă
n phù h
ợ
p v
ớ
i chi
ề

ñổ
i r
ồ
i nhân thêm t
ạ
o
ra tích các s
ố
không âm mà t
ổ
ng c
ủ
a nó khi
ñặ
t vào bài toán giúp làm xu
ấ
t hi
ệ
n
h
ằ
ng s
ố
ho
ặ
c bi
ể
u th
ứ
c g

t sáng t
ạ
o và bi
ế
n
ñổ
i
ñư
a ra các bài toán m
ớ
i hay và
ñẹ
p ho
ặ
c t
ổ
ng h
ợ
p t
ừ
nh
ữ
ng bài
ñ
ã bi
ế
t thành
nh
ữ
ng v

ng suy ngh
ĩ
trên ta có th
ể
gi
ả
i bài toán quen thu
ộ
c sau
ñ
ây theo
cách
ñ
ó
Bài toán 14:
Cho các s
ố
d
ươ
ng a, b, c b
ấ
t kì ch
ứ
ng minh
a.
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +

ự

2
b b
c a a b c
≥
+ + +
và
2
c c
a b a b c
≥
+ + +

Suy ra
2( )
2
a b c a b c
b c c a a b a b c
+ +
+ + =
+ + + + +
f
d
ấ
u b
ằ
ng không x
ả
y ra

n t
ạ
i
R
∈
α
sao cho
a c
a b c
α
=
+ +
áp d
ụ
ng tính
ch
ấ
t dãy t
ỉ
s
ố
b
ằ
ng nhau
a c a c a c
a b c a b c a b c
α α
+ +
= =
+ + + + + + +

i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Ti
ế
p t
ụ
c có m
ộ
t suy ngh
ĩ
xu
ấ
t hi
ệ
n là li
ệ
u ta có th
ể
ch
ế
bi
ế

thay các s
ố
ho
ặ
c thay c
ă
n b
ậ
c cao ta có các bài toán m
ớ
i:
Bài toán 15:

Cho a,b,c>0 ch
ứ
ng minh
3 3 3
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
f

L
ờ
i gi
ả
i :
Đặ

3 3 2 2
3 2
a a a a
b c
b c b c
b c b c bc
α α
β γ
β γ β γ
β γ β γ βγ β γ
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
+ +
+ + + +
⇔ + ≥ + ⇔ + + + ≥ + +

(
)
3 2
bc
βγ β γ
⇔ + ≥
Hi
ể
n nhiên
ñ
úng vì
( )
3 3
3 6 6 6 2
bc bc

c các b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
4 4 4
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
f
;
5 5 5
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
f

6 6 6
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
f

2
n n n
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
f
và
3
111
≥∀
+
+
+
+
+
≥
+
+
+
+
+
−−−
n
ba
c
ac
b
cb
a

ñể
ta gi
ả
i quy
ế
t cho các tr
ườ
ng h
ợ
p n l
ớ
n h
ơ
n
Bây gi
ờ
ta l
ạ
i ti
ế
p t
ụ
c xét
ñế
n m
ở
r
ộ
ng bi
ể

= ≥
+ + + + +
+ +
t
ươ
ng t
ự
ta có
2( )
2
a b c d a b c d
b c d c d a d a b a b c a b c d
+ + +
+ + + ≥ =
+ + + + + + + + + + +D
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra khi
0
a b c d
b c d a
a b c d
c d a b
d a b c

ỉ
c
ầ
n cho d=c là xu
ấ
t hi
ệ
n b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c khá thú v
ị

2 2
2 2
a b c
b c c a a b c
+ +
+ + + +
f

Ta th
ấ
y n
ế
u
ñặ


ñặ
t S=
1 2

n
a a a
+ + +
khi
ñ
ó ta có

1 2
1 2
2
n
n
a a a
S a S a S a
+ + +
− − −
fL
ạ
i thay
ñổ
i b
ậ


THPT Đô Lương 2

16L
ờ
i gi
ả
i.

Đặ
t
3
a x
=
;
3
b y
=
;
3
c z
=
;
3
d t
=
suy ra


(
)
(
)
2 3
b c d y z t
⇔ + + ≤ + +
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3 2 2 2
3 2
y z t t y z y z t b c d bc cd db
⇔ + + + + + + ≥ + + + + +

(
)
3 ( ) 3zt(z+t)+3ty(t+y)+6yzt 2
yz y z bc cd db
⇔ + + ≥ + +

mà
3 3

trên ta có th
ể
t
ổ
ng quát theo bi
ể
u th
ứ
c trong d
ấ
u c
ă
n
và c
ả
b
ậ
c c
ă
n
Cho các s
ố
d
ươ
ng
1 2
; ; ;
n
a a a


n
n
mmTổng kết mục 2.2.1.b
:
Ở ñây tôi không tham vọng ñưa ra công cụ giải quyết
hết các bài toán chứa căn mà xác ñịnh mục tiêu và phạm vi của ñề tài là cố gắng
phân dạng ñược một số bài toán theo hướng giải áp dụng bất ñẳng thức Cô si
như ñã nêu. Những bài toán ở mục này giúp học sinh biết cách giải một số bài
toán tương tự , khi gặp biều thức chứa căn phức tạp phải làm sao triệt tiêu căn
ở tử hoặc mẫu khi ñó bài toán sẽ có dạng 2.1.1 hoặc 2.1.2 công ñoạn tiếp theo là
phân tích thành tích tiếp tục khử căn .

Đề tài: Xây dựng hệ thống bài toán từ một phương pháp giải hiệu quả cho
bất ñẳng thức chứa căn
Cao Ti
ến Trung

THPT Đô Lương 2

17

2.2.2.Hệ thống 2. Các bài toán ñã có sẵn nhân tử ẩn sâu trong căn
thức hoặc tạo nhân tử từ giả thiết của bất ñẳng thức có ñiều kiện.

Th
ự
c ra không hoàn toàn là m

ế
n th
ứ
c nh
ỏ
h
ơ
n
ñể
b
ạ
n
ñọ
c d
ễ
ti
ế
p c
ậ
n nên tôi t
ạ
m phân ra hai h
ệ

th
ố
ng.
Quay l
ạ
i các bài toán h

ã có trong c
ă
n
ñể
kh
ử
c
ă
n b
ậ
c n. M
ộ
t v
ấ
n
ñề

ñặ
t ra
là li
ệ
u khi nào ta không c
ầ
n nhân thêm mà v
ẫ
n kh
ử

ñượ
c nh

t s
ố
bài toán
mà b
ả
n thân nó
ñ
ã là tích c
ủ
a các
ñạ
i l
ượ
ng ta
ñ
ang mu
ố
n có nh
ư
ng cái khó là làm
sao
ñể
t
ạ
o ra nó. N
ế
u làm
ñượ
c
ñ

ả
i bài t
ậ
p tôi th
ấ
y r
ằ
ng có m
ộ
t chi
ế
c
chìa khóa
ñ
a n
ă
ng
ñể
gi
ả
i quy
ế
t khó kh
ă
n lúc này thông th
ườ
ng là
ta sử dụng thay
thê một cách khéo léo các giả thiết và thao tác phân tích một cách sáng tạo phù
hợp

ấ
n t
ượ
ng trong l
ờ
i gi
ả
i khi
ế
n h
ọ
c sinh r
ấ
t
h
ứ
ng thú. Thông th
ườ
ng
ñ
ó là d
ạ
ng
các biểu thức có n thừa số trong căn bậc n thì
ta không cần phải nhân thêm mà hãy tính toán cách phân tích sao cho tổng của
chúng không ñổi hoặc tổng của chúng liên quan các biểu thức cần có là ñược,
còn nếu trong căn bậc n ta chỉ mới ñưa về ñược tích k thừa số thì phải nhân
thêm n-k thừa số bằng nhau.
2.2.2.a Các bài toán với biểu thức trong căn có thể phân tích trực tiếp thành
nhân tử

i làm cho h
ọ
c sinh suy ngh
ĩ
làm sao
ñể
m
ấ
t d
ấ
u c
ă
n
ñ
ó và bi
ể
u
th
ứ
c d
ướ
i d
ấ
u c
ă
n có gì
ñặ
c bi
ệ
t

ng x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
2
0
1 1
2
1
x
x x x
x
x
=

+ = − +

⇔


=
≥ −



Nhận xét: Điều ñặc biệt trong căn này là học sinh thấy ñược hằng ñẳng thức quen
thuộc và từ ñó dễ dàng xuất hiện tích.Qua bất ñẳng thức ñó ta thấy khi gặp phương
trình vô tỉ
2

≥
0 thỏa mãn, a+b+c = 3 .Chứng minh
5111
333
≤+++++ accbba

Lời giải:
Ta có
(
)
a
abbbba
bbbaba +=
+−++
≤+−+=+
2
2
11
)1)(1(1
22
23

Tương tự sẽ suy ra
3
2
2
111
222222
333
+

2
20))((
2
22222
2222
cacab
cababcbcbabccaab
abcbaabcbacaabbcaba
++
=+=++≤++⇔
+≤+≤+⇔≥−−

4
3
2
2
1
3
=






++++
≤
cacab
Dấu bằng xảy ra khi a=0;b=1;c=2 và các hoán vị
Bài toán 20

b
≥
− +
+
tương tự ta có
2 2
2
3
2b
c 6
8
b
c
c
≥
− +
+
;
2 2
2
3
2c
a 6
8
c
a
a
≥
− +
+


Đề tài: Xây dựng hệ thống bài toán từ một phương pháp giải hiệu quả cho
bất ñẳng thức chứa căn
Cao Ti
ến Trung

THPT Đô Lương 2

19

Đến ñây ta chỉ việc chứng minh
(
)
2
2 2 2
2
1
( ) 18
a b c
a b c a b c
+ +
≥
+ + − + + +
(*)
Thật vậy do ab+bc+ca=3, ñặt t=
( ) ( )
2
3 3
a b c a b c ab bc ca
+ + = + + ≥ + + =


(**) hiển nhiên ñúng vì tập nghiệm của (**) là
(
]
[
)
; 4 3;
t
∈ −∞ − ∪ +∞

Vậy bất ñẳng thức ñã ñược chứng minh và dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Bài toán tương tự
Bài toán 21
Cho a,b,c>0 chứng minh
2
23
222
≥
+
+
+
+
+ caa
c
bcc
b
abb
a
+
=
+
+
+
+
+
ca
c
c
bc
b
b
ab
a
a
a
c
c
c
b
b
b
a
a
3
3
3
3
3

cabcabcabcab
cba
cba
cabcabcba
cba

(
)
( )
( )
(
)
( )
4
3
4
3
3
8
3
4
2
2
222
2
=
++
++
=
++

Đề tài: Xây dựng hệ thống bài toán từ một phương pháp giải hiệu quả cho
bất ñẳng thức chứa căn
Cao Ti
ến Trung

THPT Đô Lương 2

20

Lời giải : Ta có
5
5
5 5
( ) (2a+b)
2 13
. . .1.1
2 3
5 30 15 10
( )(2a+b)
6 6
a c
a b c
a
a a c
+
+ + +
+ = ≤

Tiến hành tương tự rồi cộng tương ứng ta có ñpcm
Bài toán 23

abc ++≤=

V
ậy
3
4
)(
3
4
3
=++≤++ cbaabcaba
Dấu bằng khi









=
=
=
⇔






tử hay không thì nhiều khi việc thay thế giả thiết một cách khéo léo vào biểu
thức trong căn cũng là phương pháp hiệu quả ñể tạo nhân tử.
Ta xét bài toán
Bài toán 24
Cho a,b,c dương a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=
bca
ac
abc
cb
cab
ba
+
+
+
+
+
+
+
+

Hướng dẫn
(
)
2
1
4
1
222
))(()(

)
36
3
222
6
1
4
1
4
1
4
2
=−
+++
++
≥−
+
+
+
+
+
≥
c
b
a
c
b
a
P


2 2 2 2
ab bc ca
P
ab a b c c bc a b c ca a b c b
ab bc ca
a c b c b a c a c b a b
bc ca a b c
a c b c b a c a c b a b
≤ + +
+ + + + + + + + +
= + + ≤
+ + + + + +
+ +
≤ + + + + + = =
+ + + + + +

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Cái hay trong bài toán này là học sinh thay số 3 bằng a+b+c nhờ giả thiết phù hợp
chiều tìm giá trị lớn nhất
Bài toán 26. Cho a,b,c
≥
0 thỏa mãn, a+b+c = 1 .Tìm giá trị lớn nhất của
P=
abcabccabcbabca 9
222
++++++

Lời giải:
Ta có
(

)
( ) ( )
( )
3
35
27
631
2
1
6)1(
2
1
3
2
=
++
++++++≤
++++++≤
cba
cbacba
abccbacbaP

Dấu bằng khi và chỉ khi a=b=c=
3
1

Bài toán 27
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn ab+bc+ca=5 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
( ) ( )
55656

6655656
2
22222
cbabcaccbabcaba
bcaccbabcaba
bcaccbabcabacabcabc
cabcabbcabcabacba
++
=
+++++++++++
≤++++++++
=++++++++=++++
+++++++=+++++

Suy ra
3
2
≥P
dễ dàng giải dấu = khi và chỉ khi a=b=1;c=2
Vậy min P=2/3 khi a=b=1 , c=2.
Trong các bài toán trên ñộ phức tạp chưa cao vì giả thiết và biểu thức có thể thay
thế ta có thể nhìn ra trực tiếp, sẽ có những bài toán mà biểu thức ñó ẩn ñi sau một

Đề tài:
Xây d
ự
ng h
ệ
th
ố

ô L
ươ
ng 2

22

vài bước biến ñổi giả thiết mới hiện ra ñó chính là những bài toán ñộ khó cao hơn
và cũng là những bài thú vị hơn. Chẳng hạn xét bài toán

Bài toán 28 Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=x.y.z
Tìm giá trị lớn nhất của P=
2 2 2
2 1 1
1 1 1
x y z
+ +
+ + +

Phân tích: Ở ñây có số 1 trong căn nhưng ta không thay thế ñược từ ñầu tuy vậy
nếu ta chia hai vế cho xyz thì sẽ xuất hiện số 1
Lời giải :
Đặt a=1/x; b=1/y ;c=1/z suy ra ab+bc+ca=1
2 2 2
2
1 1 1
a b c
P
a b c
= + +
+ + +

+ +
+ + + +
( )
2 2
2c 1 1
( )
4
( ).4( )
1
c c
c
c a c b
c a c b
c ab bc ca c
= = ≤ +
+ +
+ +
+ + + +

Cộng lại ta có
9
4
P
≤
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
15
7
15
15
x

1
222
≤
+
+
+
+
+ cba

Lời giải Ta có
( ) ( )
3
111
39
2
≤++⇔++≥++=
c
b
a
cabcabcbaabc

Và
3
1
1
3
1
1
3
1

Đặt x=1/a; y=1/b; z=1/c ta có x,y,z dương và
3
≤
+
+
zyx
suy ra

Đề tài:
Xây d
ự
ng h
ệ
th
ố
ng bài toán t
ừ
m
ộ
t ph
ươ
ng pháp gi
ả
i hi
ệ
u qu
ả
cho
b
ấ

zxyzxy
zxyzxyz
z
zxyzxyy
y
zxyzxyx
x
z
z
y
y
x
x
P
+++
+
+++
+
+++
≤
+
+
+
+
+
=
222222
333
≤
++

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ yz
z
xz
z
zy
y
xy
y
zx
x
yx
x

Dấu bằng khi x=y=z=1 hay a=b=c=1 (Đpcm)
Bài toán 30: Cho x,y dương thỏa mãn x+y=1 chứng minh

2 2
2
3
1 1

1
y y
y
y
≥
+
−
nên
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2
2
3( ) 3( )
2 2x 2 2xy
1 1
2
3 3 3
3
4x
3
2x
( )
2
x y x y x y

2
3
333
22
3
22
3
22
3
≥
++
+
+ ac
c
cb
b
ba
a

Lời giải: Ta có
acabba
a
bacbaa
a
bacbaa
a
ba
a
4497
6

ng bài toán t
ừ
m
ộ
t ph
ươ
ng pháp gi
ả
i hi
ệ
u qu
ả
cho
b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c ch
ứ
a c
ă
n
Cao Ti
ế
n Trung

THPT
Đ

333
22
2
22
2
22
2
22
3
22
3
22
3
+
+
+
+
+++
+
+++
≥
++
+
+

Mặt khác theo Cauchy Schwarz ta có
( )
( )
( )
2






++++








+++
∑∑∑∑∑
cyccyccyccyccyc
abaacaacabbaac
acabba
a
Đế
n ñây ta cần chứng minh
( )
( )
∑∑ ∑∑
∑∑∑
≥++−−++⇔
++++≥



9
4x4y9xy-y9x4x
3233223
≥++=++

0
4
3
2
3
33
22
2
22432234
≥+






−+=+−++
yxyxyxyxyyxyxx

Vậy bất ñẳng thức ñã ñược chứng minh , dấu bằng khi a=b=c=1.
Đây là một bài toán khó và lời giải trên diễn ñàn trình bày hơi dài và ta ñã vận
dụng làm giảm ñộ khó của bước ñầu tiên hơn so cách giải ñó
Như vậy ñến ñây các bạn có thế giải những bài có ñộ khó ñã tương ñối xa các bài
toán ban ñầu
Vấn ñề mấu chốt của phần hệ thống 2 là học sinh biết khai thác thay thế giả thiết

t ph
ươ
ng pháp gi
ả
i hi
ệ
u qu
ả
cho
b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c ch
ứ
a c
ă
n
Cao Ti
ế
n Trung

THPT
Đ
ô L
ươ
ng 2




+=
++
≤






+=+
a
a
a
a
a
a
a
1
17.
6
1
2
)
1
8(9
.
3
1

+≤+
b
bb
1
17.
6
1
18
2
suy ra
( ) ( )
cba
cba
cbacba ++=






+++++≤+++++ 3
111
17
6
1
181818
222

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1


+
++≤
+
+
+=+
2
)2(
4
2
4
2
2
4
2242
22
2

( )
cb
bac
cb
cb
cab
cb
cb
cab
cbcab
+
−
++=

++≤
+
+
+=+
2
42
.
22
42
).
2
(242
22
2

suy ra

(
)






+
−
+
+
−

1114
2
2
2
2
)2(2
)11102(
2
2
2
2
)2(2
)11102(
2
2
2
2
2
)4(2
2
5
2
≥
+
−
+
+
−
⇔
+

−
+
+
−
+
+
+
≥+
ca
ba
cb
cb
cb
ba
ca
ab
cb
cba
cb
ba
ca
ab
c
cb
cbac
cb
ba
ca
ab
c