ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU HÀ
MÔNG THÙY LINH
ĐỖ THỊ HUYỀN TRANG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH THPT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

 
 
 

Thái Nguyên – 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU HÀ
MÔNG THÙY LINH
ĐỖ THỊ HUYỀN TRANG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH THPT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ


Mông Thùy Linh 
Đỗ Thị Huyền Trang 

ii 


MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ .......................................................................................................... i 
Lời cảm ơn ............................................................................................................. ii 
Mục lục ................................................................................................................. iii 
Danh mục chữ viết tắt .............................................................................................. v 
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
1. Lí do chọn đề tài .................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 3
5. Khách thể nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu ................................................... 3
6. Giả thuyết khoa học ............................................................................................. 3
7. Dự kiến cấu trúc của đề tài .................................................................................. 4
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 6
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán cho HS THPT .................................................. 6
1.1.1. Kỹ năng ......................................................................................................... 6
1.1.2. Kỹ năng giải toán ........................................................................................... 9
1.2. Hàm số và quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường THPT ................ 14
1.2.1. Khái niệm hàm số ........................................................................................ 14
1.2.2. Quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường phổ thông .......................... 15
1.3.  Thực  tiễn  rèn  luyện  kỹ  năng  giải  bài  toán  BĐT  và  BPT  cho  HS  THPT 
theo quan điểm hàm số. ......................................................................................... 16
1.3.1.  Thực  trạng  việc  dạy  học  giải  BPT  và  BĐT  theo  quan  điểm  hàm  số  ở 

2.4. Kết luận chương 2. ......................................................................................... 59
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 61

iv 


CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI
STT

Chữ viết tắt

Chữ viết đầy đủ

1 

BĐT 

 bất đẳng thức. 

2 

BPT  

bất phương trình. 

3 

GTLN  


trung học phổ thông 

9 

HS  

học sinh 

10 

TXĐ  

tập xác định 

v 


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ngày nay, nước ta đang trên đà thực hiện công nghiệp hóa hiện đại hóa đất 
nước.  Trải  qua  hơn  20  năm  đổi  mới,  nền  giáo  dục  nước  ta  đã  có  những  thay  đổi 
đáng kể. Tuy nhiên, công cuộc đổi mới giáo dục vẫn luôn là một nhiệm vụ cấp bách 
và được đặt lên trên hết. Nghị quyết 29.NQ/TW  về đổi  mới căn bản và toàn diện 
giáo dục đã chỉ ra cần: “tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của
giáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất và năng lực người
học”.

Chính  vì  vậy,  giáo dục  và  đào tạo luôn được Đảng  và Chính  phủ ta coi là 

quốc sách hàng đầu,  là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho 

trình Toán ở trường trung học phổ thông như sau: 
-

Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu suốt chương trình bậc

phổ thông ;
-

Phần lớn chương trình Đại số và Giải tích giành cho việc trực tiếp

nghiên cứu hàm số ;
-

Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số của đối

số tự nhiên;
-

Lượng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lượng giác, còn phần công

thức biến đổi được giảm nhẹ ;
-

Bất đẳng thức và bất phương trình đươc trình bày liên hệ chặt chẽ với

hàm số ;
Vì vậy việc phát triển tư duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học môn 
Toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao 
chất lượng dạy học môn toán. Việc dạy học các kiến thức môn Toán trình bày theo 
tư tưởng hàm số có tác dụng tốt cho việc phát triển tư duy hàm cho HS. Đồng thời 

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các đề tài  về dạy 
học theo quan điểm hàm, phương pháp dạy học môn toán và các tài liệu khác liên 
quan đến đề tài.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: quan sát, điều tra và khảo sát thực trạng 
dạy học Toán chủ đề BPT và BĐT theo quan điểm hàm số ở THPT hiện nay.
5. Khách thể nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu


Khách thể nghiên cứu: Tình hình dạy học toán ở trường THPT hiện nay.



Đối tượng nghiên cứu: Quá  trình  dạy  học  bất  phương  trình  và  bất  đẳng 

thức và phương pháp giải toán bất phương trình và bất đẳng thức bằng phương pháp 
hàm số ở trường trung học phổ thông hiện nay.
6. Giả thuyết khoa học

3 


Nếu  xây  dựng  được  các  biện  pháp  sư  phạm  và  sử  dụng  các  biện  pháp  đó 
nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài toán bất đẳng thức và bất phương trình  theo quan 
điểm  hàm  số  cho  HS  THPT  trong  quá  trình  dạy  học  sẽ  góp  phần  nâng  cao  chất 
lượng dạy học môn toán và đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay. 
7. Dự kiến cấu trúc của đề tài
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung của đề tài gồm 3 chương: 
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán cho HS THPT
1.1.1. Kỹ năng 

của biểu thức bằng phương pháp hàm số 
2.3. Rèn luyện một số kỹ năng giải bất phương trình theo quan điểm hàm.
2.3.1. Rèn luyện kỹ năng giải bất phương trình bằng phương pháp vận dụng 
khái niệm TXĐ và tập giá trị. 
2.3.1.  Rèn  kỹ  năng  giải  bất  phương  trình  thông  qua  sử  dụng  tính  đơn  điệu 
của hàm số 
2.3.3.  Rèn  kỹ  năng  giải  bất  phương  trình  bằng  phương  pháp  sử  dụng  đạo 
hàm và xét sự biến thiên 
2.4. Kết luận chương 2.

5 


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán cho HS THPT
1.1.1. Kỹ năng
1.1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau. Những định nghĩa này thường bắt 
nguồn từ quan niệm chuyên môn và góc nhìn cá nhân của mỗi người viêt. Tuy 
nhiên tất cả chúng ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng 
ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp 
lại  một  hoặc  một  nhóm  hành  động  nhất  định  nào  đó.  Kỹ  năng  luôn  có  chủ 
đích và định hướng rõ ràng. 
Theo Tâm lý học đại cương: ”Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, 
các tri thức hay khả năng sẵn có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những 
thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận 
hay thực hành xác định” (xem [  8 ]). 
Theo  Tâm  lý  học  lứa  tuổi  và  Tâm  lý  học  sư  phạm:  ”Kỹ  năng  là  khả 
năng  vận  dụng  kiến    thức  (khái  niệm,  cách  thức,  phương  pháp…)  để  giải 

b) Các đặc điểm cơ bản của kỹ năng:
Theo [7], kỹ năng có các đặc điểm cơ bản sau: 
 Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi 
vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích, biết cách thức đi đến kết quả, hiểu 
những điều kiện để triển khai các cách thức đó. 
 Kiến thức là cơ sở của các kỹ năng khi các kiến thức đó phản ánh đầy đủ 
các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thực nghiệm trong thực tiễn và tồn tại 
trong ý thức với tư cách của hành động. 
 Kỹ năng của con người không phải là yếu tố bất biến trong suốt cuộc đời mà 
phụ thuộc  vào người học thông qua hoạt động  của họ trong  mối  quan  hệ của họ  với 
cộng đồng. 
Giải một bài toán cần tiến hành một hệ thống các hành động có mục đích. Do 
đó chủ thể giải toán cần phải nắm vững tri thức về hành động thực hiện hành động 

7 


theo các yêu cầu cụ thể  của tri thức đó biết hành động có kết quả trong những điều 
kiện khác nhau. Có thể hiểu “ kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng có mục đích 
những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết 
quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải một cách khoa học.” 
Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc 
hiểu  biết,  luyện  tập  từng  thao  tác  riêng  rẽ  cho  đến  khi  thực  hiện  được  hành  động 
theo đúng  mục đích yêu cầu. Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư 
duy để  giải quyết những nhiệm  vụ đặt ra.  Sự dễ dàng hay  khó  khăn  khi  vận dụng 
kiến thức (hình thành kỹ năng ) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu toán, phát 
hiện  nhìn  thấy  trong  các  dữ  liệu  đã  cho  của  bài  toán,  có  những  thuộc  tính  những 
quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho. 
Ví dụ 1: Giải bất phương trình.


 Giải  một bài toán là tiến hành hành động có mục đích, vì thế chủ thể 
bài toán còn phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo 
yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có hiệu quả trong những điều 
kiện khác nhau. Trong giải toán, theo tôi kỹ năng giải toán của HS đó là khả 
năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào những 
bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi 
đến lời giải bài toán một cách khoa học. 
 Để thực hiện tốt môn Toán ở trường THPT, một trong những yêu cầu 
được đặt ra là: “Về tri thức, kĩ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp, 
đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kĩ năng tương ứng. Chẳng 
hạn: tri thức và kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức, kĩ 
năng chứng minh toán học, kĩ năng hoạt động và tư duy hàm.” . 
 Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải 
các bài tập toán bằng suy luận hay chứng minh. 
 Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu 
cầu rèn luyện kĩ năng khác nhau. 
1.1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT

Theo Nguyễn  Bá  Kim ([   9 ])  một trong các  mục tiêu  quan trọng của 
việc DH Toán ở trường phổ thông là “Trang bị tri thức, rèn luyện kĩ năng, đặc 

9 


biệt  là  kĩ  năng  tư  duy  cho  HS”.  Như  vậy,  việc  truyền  đạt  kiến  thức  và  rèn 
luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT được coi là nhiệm vụ quan trọng. Rèn 
luyện kỹ năng nói chung và kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan 
trọng, nó đảm bảo mối liên hệ giữa học và hành. Thực tiễn cho thấy, việc dạy 
học sẽ không đạt kết quả cao  nếu HS chỉ biết học thuộc lòng các khái niệm, 
định nghĩa, định lý mà không biết áp dung để giải các bài toán khác nhau.

dung bài toán, đề xuất định hướng giải quyết bài toán. 
 Kỹ năng phân tích 
 Kỹ năng sử dụng thông tin 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình 
7x  3
x 1

   6 x  4    (1) 
x 1

HS thực hiện lời giải này như sau: 
Điều kiện: x ≠ 1 
(1)      7 x  3 (x-1)   6 x  4  (x-1) 
x 1

x 1

 7x-3     6x -4 
 x   -1 
Đối chiếu với điều kiện có nghiệm của phương trình là: 
x    (-1; 1)    (1;   ) 
Thực tế  HS đã  mất cảnh  giác  khi  nhân 2  vế của phương trình (1)  với 
f(x) = x – 1 mà không quan tâm tới dấu của f(x) điều này ảnh hưởng trực tiếp 
đến chiều của BPT dẫn tới kết quả bài toán sai. 
Như vậy việc nắm vững các định lý về biến đổi BPT là quan trọng và 
cần thiết . Cần đưa ra những bài tập để HS có thể vận dụng các phép biến đổi 
tương đương này thành thạo. 
Làm  rõ  sự  giống  nhau  và  khác  nhau  giữa  phép  biến  đổi  tương  đương 
BPT bới phép biến đổi tương đương trong phương trình và tránh sai lầm khi 
áp dụng. 

(1)   

 x 1

2

 2  +  x 1  > 

 3  x

2

 2  +  3  x    (2) 

Xét hàm số: y= f(t) =  t 2  2  +  t  trên đoạn [0 ; 2 ] ( VÌ x    [1; 3 ] ) 
f’(t) = 

t
t2  2

+ 

1
 > 0 với mọi t    [0 ; 2 ] 
2 t

=> f đồng biến trên [0 ; 2 ]. Do đó từ (2) ta có: 

12 




+  Nhìn  nhận  bài  toán  dưới  nhiều  khía  cạnh  khác  nhau,  từ  đó  so  sánh 
các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc và vận dụng hợp lý kiến thức. 
+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm bài toán. 
+  Tích  cực  suy  nghĩ,  tìm  tòi  cách  giải  ngắn  gọn  trong  khi  giải  toán. 
Thực tế, trong học tập HS không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo 
phương pháp  và các bước  làm rõ  ràng  mà còn  gặp khá  nhiều bài  toán phức 
tạp,  không có phương pháp sẵn.  Đòi  hỏi  HS phải suy  nghĩ tìm  ra cách  giải 
ngắn gọn, chặt chẽ và độc đáo. 
Vì  vậy,  song  song  với  việc  truyền  thụ  tri  thức  toán  học  thì  việc  rèn 
luyện các kỹ năng cũng đóng một vai trò hết sức quan trọng, nó góp phàn bồi 
dưỡng tư duy Toán học cho HS. 
1.2. Hàm số và quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường THPT
1.2.1. Khái niệm hàm số
 Khái niệm hàm số đã được nhắc đến ở chương trình môn Toán cấp 
THCS,  và  đến  chương  trình  cấp  THPT  thì  vấn  đề  này  vẫn  tiếp  tục  được 
nghiên  cứu.  Ở  lớp  10  HS  vẫn  tiếp  tục  được  nghiên  cứu  về  hàm  số.  Ở  đây 
SGK giới thiệu lại khái niệm hàm số 1 cách chính xác hơn, có đề cập đến tập 
xác  định  của  hàm  số,  đồng  thời  đưa  ra  các  khái  niệm  hàm  số  đồng  biến, 
nghịch biến, hàm số chẵn,  lẻ, và giới thiệu thêm 1 phương pháp nghiên cứu 
hàm số là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của chúng. SGK trình bày đầy 
đủ về 2 hàm số y =ax + b và y = ax2+bx+c, ngoài ra SGK còn giới thiệu thêm 
về hàm số y =  ax + b| . 
Khái niệm hàm số đã được giới thiệu ở chương trình toán lớp 7, vì vậy 
ở đây  
SGK lớp 10 không xuât phát từ ví dụ mà giới thiệu ngay định nghĩa và 
cho ví dụ minh họa. 
 Định  nghĩa  trang  32-  SGK  Đại  số  10  “Giả  sử  có  2  đại  lượng  biến 
thiên  x  và  y,  trong đó  x  nhận  giá trị thuộc tập D. Nếu  với  mỗi  giá trị của  x 

một  biểu  thức  Toán  học  (hàm  số  cho  bởi  công  thức)  và  đồ  thị  là  hai  trong 
những hệ thống biểu đạt phổ biến nhất. Khi đã biết biểu thức xác định hàm số, 
ta có thể dùng công cụ của giải tích đại số để nghiên cứu các tính chất và phác 
15 


thảo đồ thị của nó. Ngược lại, nhìn vào đồ thị ta có thể đọc được các tính chất 
của  đồ  thị  như  :  chiều  biến  thiên  trong  từng  khoảng,  tính  chẵn  lẻ,  tính  tuần 
hoàn, tính bị chặn, giá trị cực đại, cực tiểu… 
1.3. Thực tiễn rèn luyện kỹ năng giải bài toán BĐT và BPT cho HS
THPT theo quan điểm hàm số. 
1.3.1. Thực trạng việc dạy học giải BPT và BĐT theo quan điểm hàm số ở
trường phổ thông.


Do  số  tiết  học  chủ  đề  BĐT  và  BPT  ở  trên  lớp  còn  ít  nhưng  khối 

lượng  tri  thức  cần  truyền  đạt  nhiều  đồng  thời  phải  đúng  lịch  phân  phối 
chương trình theo quy định  nên  việc  mở rộng, khai thác,  ứng dụng sáng  tạo 
các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu sắc. Điều này ảnh hưởng đến việc 
huy động vốn kiến thức của HS, hạn chế việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, 
sáng tạo, của HS trong học tập, cũng như giáo viên không có nhiều thời gian 
để giúp đỡ HS. 
 Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay là giáo viên với tư cách là 
người ngồi điều khiển đưa ra kiến thức rồi giải thích chứng minh, sau đó đưa 
ra một số bài tập ứng dụng, làm cho HS cố gắng tiếp thu vận dụng.  
 Chất lượng đại trà của HS còn yếu. Nhiều HS bị mất căn bản từ cấp 
THCS dẫn đến tình trạng các em nhận thấy chủ đề này là một chủ đề rất khó 
hiểu, trừu tượng nên không có hứng thú trong việc học và không có phương 
pháp học phù hợp cho bản thân. Các em hầu như không làm bài tập về nhà, 

 Trong  chương  trình  toán  trung  học  phổ  thông,  các  bài  toán  về  phần 
BĐT  và BPT là một chủ đề khó, nó gây ra nhiều trở ngại đối với các em HS 
trong việc chiếm lĩnh tri thức. Điều này cũng dẫn đến việc giải các bài tập của 
HS rất khó khăn, các em còn tỏ ra lúng túng, chưa được rèn luyện về kỹ năng 
giải toán, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám phá của HS.  
 Từ đó HS tiếp thu kiến thức một cách hình thức và hời hợt quá trình 
bồi dưỡng kiến thức toán học theo hướng nâng cao của chủ đề BĐT và BPT 

17 


cho HS chưa được liền mạch và chưa có hệ thống. Chính điều đó làm cho HS 
dễ hụt hỏng về kiến thức, việc khai thác một bài toán còn gặp nhiều khó khăn, 
việc dạy học của giáo viên chủ yếu dựa vào kinh nghiệm của bản thân. 
 Một số khó khăn chủ yếu là : 
 HS không biết cách phân chia các trường hợp để giải quyết bài toán. 
 HS không biết phải xuất phát từ cơ sở nào để phân chia các trường 
hợp riêng thích hợp cho việc giải quyết bài toán. 
 HS  không  biết  nhìn  nhận  các  bài  toán  bất  phương  trình,  bất  đẳng 
thức trong mối liên hệ với các bài toán hàm số. 
1.3.2.2. Một số sai lầm của học sinh trong giải toán BĐT và BPT theo quan điểm hàm

Nội dung BĐT và BPT là một nội dung quan trọng trong chương trình 
THPT. Tuy nhiên, cả GV và HS đều chưa thật sự chú trọng đến vấn đề này. 
Vì vậy, đa số HS chỉ làm các bài tập một cách máy móc mà chưa hiểu được 
bản chất của vấn đề dẫn đến mắc phải một số sai lầm đáng tiếc trong khi giải 
các bài toán bất phương trình cũng như chứng minh BĐT. 
Sau đây là một vài ví dụ điển hình. 
Ví dụ 5 : Giải BPT sau: x2 – x – 4 +  4  –  x2 


x  x  6  0



2

Nguyên nhân sai lầm : Phép biến đổi  x2  x 4  4  x2  2  4  x2 thành 
x 2  x  6  0  là không tương đương. 

Lời giải đúng : Điều kiện xác định ( x   0, -2
4

2

a
 d 2  ad ,
4

2

a
 e 2  ae  
4

Cộng các BĐT trên ta đượcđiều phải chứng minh. 
 
Đánh giá:  
Ở đây HS đã vận dụng bất đẳng thức Cô-si là sai, vì các số có thể âm. 
Tuy  nhiên,  mỗi  BĐT  trên  đều  đúng  nhưng  không  phải  theo  Cô-si,  mà  do 

a
(  b)2  0,...  
2
Ví dụ 7:  Tìm  GTLN  của  biểu  thức M  x(2a  x)(2b  x)   với  a, b 
dương, phân biệt và0 < x < 2a, 0 < x < 2b 
Lời giải:  

1
Vì M  .2 x(2a  x)(2b  x)  
2