Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
MỤC LỤC
Trang 1
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
MỞ ĐẦU
Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực khoa học đã có từ lâu và có nhiều ứng dụng
hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của lý thuyết đồ thị được đề xuất vào những năm
đầu của thế kỷ 18 bởi nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Chính
ông là người đã sử dụng đồ thị để giải bài toán nổi tiếng về những cái cầu ở
thành phố Konigsberg.
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó, nó
được sử dụng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau như xác định
các mạch vòng trong vấn đề mạch điện, phân biệt các hợp chất hữu cơ khác nhau
có cùng công thức phân tử nhưng khác nhau về cấu trúc phân tử nhờ đồ thị…
Ngoài ra, đồ thị được sử dụng để giải các bài toán thực tế về lập lịch, lập thời
khóa biểu, phân bố tần số cho các trạm phát thanh và truyền hình…
Cùng với sự phát triển khoa học kỹ thuật và công nghệ thông tin như hiện nay
thì ngành lý thuyết đồ thị ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống.
Trên cơ sở đã học môn Lý thuyết đồ thị, chúng tôi đã nghiên cứu, và muốn
tìm hiểu hơn nữa về những ứng dụng hữu ích, thực tế của bài toán tô màu đồ thị.
Do đó, nhóm đã chọn đề tài: “Bài toán tô mầu đồ thị và ứng dụng”.
Nội dung đề tài gồm 3 chương:
Chương 1: Đại cương về đồ thị
Chương 2: Bài toán tô mầu đồ thị
Chương 3: Một số bài toán ứng dụng
Do thời gian có hạn và trình độ còn hạn chế nên chúng tôi chỉ đi vào nghiên
cứu tìm hiểu thuật toán và giới thiệu một số ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị.
Trang 2
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN TÔ MÀU VÀ ỨNG DỤNG
PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC NHÓM 3

E được liên kết với một cặp đỉnh v, w (không kể thứ tự).
e
v
w
Ví dụ 1:
(a) (b)
Hình (a) là đồ thị 4 đỉnh và 7 cạnh.
Hình (b) là đồ thị 5 đỉnh và 5 cạnh.
Định nghĩa 2: Đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các
cạnh có hướng gọi là cung.
Mỗi cung e
∈
E được liên kết với một cặp đỉnh v, w (có thứ tự).
e
v
w
Ví dụ 2:
Đồ thị có hướng gồm 6 đỉnh và 8 cung.
Ghi chú: Đồ thị vô hướng có thể coi là đồ thị có hướng trong đó mỗi cạnh
e=(v,w) tương ứng với hai cung (v,w) và (w,v).
Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V, E).
Trang 4
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w thì ta nói cạnh e liên thuộc đỉnh v, w, các đỉnh
v, w liên thuộc cạnh e, các đỉnh v, w là các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v kề
đỉnh w.
Nếu chỉ có duy nhất một cạnh e liên kết với cặp đỉnh v, w ta viết e = (v,w).
Nếu e là cung thì v gọi là đỉnh đầu và w gọi là đỉnh cuối của cung e. Nếu có
nhiều cạnh liên kết với cùng một cặp đỉnh thì ta nói đó là các cạnh song song.
Cạnh có hai đỉnh liên kết trùng nhau gọi là khuyên. Đỉnh không kề với đỉnh

, V
2
sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với 1 đỉnh thuộc V
1
và
1 đỉnh thuộc V
2
, kí hiệu G = ({V
1
, V
2
}, E).
1.1.3 Đường đi, chu trình, tính liên thông
Định nghĩa 7: Cho đồ thị G = (V, E)
Trang 5
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w là tập hợp các đỉnh và cạnh nối tiếp nhau bắt
đầu từ đỉnh v và kết thúc tại đỉnh w. Số cạnh trên dây µ gọi là độ dài của dây µ.
Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w, độ dài k được biểu diễn như sau:
µ = (v, e
,
1
v
1
, e
2
, v
2
, …, v
1

Vòng có hướng là dây có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.
Chu trình có hướng là đường đi có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.
Chu trình có hướng sơ cấp là chu trình có hướng không đi qua 1 đỉnh quá 1 lần.
Đồ thị vô hướng liên thông là đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nó đều có đường
đi nối chúng với nhau.
Đồ thị có hướng liên thông mạnh là đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nó đều có
đường đi có hướng nối chúng với nhau.
Đồ thị có hướng liên thông yếu là đồ thị có đồ thị lót (vô hướng) của nó liên
thông.
Đồ thị có hướng bán liên thông là đồ thị mà với mọi cặp đỉnh (u, v) bao
giờ cũng tồn tại đường đi có hướng từ u đến v hoặc từ v đến u.
Định nghĩa 8: Trọng đồ (có hướng) là đồ thị (có hướng) mà mỗi cạnh (cung)
của nó được gán một số.
Trọng đồ được biểu diễn bằng G=(V, E, w) trong đó V là tập các đỉnh, E là
tập các cạnh và w: E → R là hàm số trên E, w(e) là trọng số cạnh e với mọi e
∈
E.
Trong trọng đồ độ dài trọng số của đường đi µ là tổng các trọng số trên đường đi đó.
Định nghĩa 9: (Đồ thị con)
Trang 6
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
Cho đồ thị G = (V, E). Đồ thị G' = (V', E') gọi là đồ thị con của G nếu V' ⊂ V và
E' ⊂ E.
Nếu V’ = V, thì G’ gọi là đồ thị con phủ của G.
Nếu F ⊂ E, thì ký hiệu G-F là đồ thị con (V, E-F) của G gồm tập đỉnh V và
tập cạnh (cung) E - F.
Nếu U ⊂ V, thì ký hiệu G-U là đồ thị con của G thu được từ G sau khi loại
bỏ các đỉnh trong U và các cạnh liên thuộc chúng.
Cho U ⊂ V. Đồ thị con của G sinh bởi U, ký hiệu <U>, là đồ thị (U, E
U

Cặp ánh xạ (f; g) gọi là một đẳng cấu từ G
1
đến G
2
.
Mệnh đề: Hai đơn đồ thị G
1
= (V
1
, E
1
) và G
2
= (V
2
, E
2
) đẳng cấu với nhau nếu
tồn tại song ánh f: V
1
→V
2
thoả mãn ∀v, w ∈ V
1
: v kề w ⇔ f(v) kề f(w).
Trong trường hợp này, hàm f gọi là một đẳng cấu từ G
1
đến G
2
.

2
có tính chất P.
Do đó để chứng minh hai đồ thị không đẳng cấu ta phải tìm ra tính chất bất biến
nào đó mà một đồ thị có, còn đồ thị kia không có.
Định lý 2: Cho G
1
= (V
1
, E
1
) và G
2
= (V
2
, E
2
) là 2 đồ thị đẳng cấu. Khi đó
(i) G
1
và G
2
có số cạnh và số đỉnh bằng nhau.
(ii) Với mọi số k tự nhiên, số đỉnh bậc k của G
1
và G
2
bằng nhau.
(iii) Với mọi số k tự nhiên, số chu trình sơ cấp chiều dài k của G
1
và G

2
≤ −
−
g
e ν
g
Hệ quả : Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh (v 3), và
không có đỉnh treo. Khi đó ta có:
3 6
≤ −
e ν

e≤ 3v−6
Hệ quả : Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh (v 3), không có
đỉnh treo và không có chu trình độ dài 3. Khi đó ta có :
e≤ 2v− 4
2 4
≤ −
e ν
.
Chương 2: BÀI TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ
2.1 Tô màu đỉnh
Trang 8
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
Định nghĩa 14: (Tô màu bản đồ)
Những bài toán liên quan đến tô màu bản đồ đã dẫn đến nhiều kết quả trong lý
thuyết đồ thị. Khi tô màu một bản đồ, hai miền có chung biên giới phải được tô
bằng hai màu khác nhau.
Để đảm bảo việc tô màu bản đồ sao cho hai miền có chung biên giới phải tô khác
màu, ta có thể sử dụng màu sắc riêng cho mỗi miền. Tuy nhiên bản đồ có quá


A
B
C
D
E
B
C
A
D
G
E
F
G
1
G
2* Bài toán tô màu các miền của bản đồ tương đương với bài toán tô màu các
đỉnh đồ thị đối ngẫu sao cho các đỉnh kề nhau có màu khác nhau.
Định nghĩa 16: (Tô màu đỉnh)
Tô màu đỉnh một đơn đồ thị là sự gán màu cho các đỉnh của nó sao cho khồn
có hai đỉnh kề được cùng gán một màu.
Một đồ thị có thể tô màu bằng các màu khác nhau cho mỗi đỉnh. Tuy nhiên,
trong phần lớn các đồ thị, ta có thể tô bằng số màu ít hơn số đỉnh. Vậy số màu tối
thiểu cần sử dụng là bao nhiêu?
Định nghĩa 17: (Sắc số của đồ thị)
Sắc số của đồ thị G, ký hiệu là
( )G

D
C
E
F
G

Đồ thị con H với các đỉnh B, C, D, E, F có chu trình lẻ nên χ(H) ≥ 3. Không
mất tính tổng quát, ta dùng 3 màu 1, 2, 3 để tô các đỉnh như sau: Tô B, F màu 1,
Trang 11
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
E, C màu 2 và D màu 3. Để tô màu được hai đỉnh A và G, ta bắt buộc phải dùng
thêm ít nhất 1 màu nữa. Như vậy χ(G) = 4.
* Các định lý xác định sắc số của đồ thị G
Định lý 6: Nếu đồ thị G chứa đồ thị con đẳng cấu với K
n
, thì χ(G) ≥ n.
Chứng minh: Vì đồ thị
n
K
có n đỉnh mà giữa hai đỉnh bất kỳ luôn kề nhau nên
phải dùng n màu để tô màu cho n đỉnh của đồ thị. Vậy nên χ(G) = n. Mà G lại
chứa đồ thị con đẳng cấu với
n
K
nên χ(G) ≥ n.
Định lý 7: Một đơn đồ thị có thể tô bằng 2 màu khi và chỉ khi nó không có
chu trình độ dài lẻ.
Chứng minh:
(i) Điều kiện cần là hiển nhiên
(ii) Điều kiện đủ. Xét đơn đồ thị G không có chu trình lẻ. Không mất tính

n
và không phải
chu trình độ dài lẻ. Khi đó χ(G) ≤ ∆(G).
2.2 Thuật toán tuần tự ưu tiên đỉnh bậc lớn nhất
Cho đồ thị G = (V, E). Thuật toán sau sẽ tô màu các đỉnh đồ thị với số màu k
gần với sắc số χ(G).
(i) Lập danh sách các đỉnh đồ thị
E' := [v
1
, v
2
, . . . , v
n
]
theo thứ tự bậc giảm dần: deg(v
1
) ≥ deg(v
2
) ≥ . . . ≥ deg(v
n
)
Đặt i = 1
(ii) Tô màu i cho đỉnh đầu tiên trong danh sách. Duyệt lần lượt các đỉnh tiếp
theo và tô màu i cho đỉnh không kề đỉnh đã được tô màu i.
(iii) Nếu tất cả các đỉnh đã được tô màu thì kết thúc: Đồ thị đã được tô màu
bằng i màu. Ngược lại sang bước (iv).
(iv) Loại khỏi E' các đỉnh đã tô màu, đặt i = i+1 ,và quay lại bước (ii).
Ghi chú: (i) Mỗi đỉnh v ∈ G được tô bằng màu có số hiệu thấp nhất chưa tô cho
đỉnh kề v, và số đỉnh kề v không vượt quá ∆(G), cho nên số màu dùng để tô màu
trong thuật toán không vượt qua ∆(G)+1.

c
g
j
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
Các đỉnh còn lại là: E' = [a, b, c, h, i, g, j]
Tô màu 2 cho các đỉnh a, c, i, g.
Các đỉnh còn lại là: E' = [b, h, j]
Tô màu 3 cho các đỉnh b, h, j, ta nhận được đồ thị:
2.3 Tô màu đồ thị phẳng
Định lý 10: Mọi đồ thị tạo bởi các đường thẳng trên mặt phẳng có thể tô bằng hai
màu.
Chứng minh:
Quy nạp theo số đường thẳng n.
Nếu n=1 thì chỉ cần hai màu để tô bản đồ có hai nước.
Giả sử mọi bản đồ tạo bởi n-1 đường thẳng được tô bằng hai màu.
Ta chứng minh mọi bản đồ tạo bởi n đường thẳng được tô bởi hai màu.
Thậy vậy, gọi G là bản đồ được tạo bởi n đường thẳng và G’ là bản đồ thu
được từ bản đồ G bằng cách bỏ đi một đường thẳng bất kì d. Ta tô màu G’ bằng
hai màu 1 và 2. Sau đó thêm đường thẳng d vào bản đồ G’ để nhận được bản đồ G.
Hoán chuyển màu 1 thành màu 2 và ngược lại các nước ở một phía của đường
thẳng d. Lúc đó bản đồ G sẽ được tô bằng hai màu.
Trang 14
d(1)
f (1)
e(1)
i(2)
h
a(2)
b
c(2)

màu. Do đó xảy ra một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Các đỉnh kề X tô bằng 4 màu. Khi đó ta có thể tô X bằng màu
thứ 5.
Trường hợp 2: Các đỉnh kề X tô bằng 5 màu. Khi đó X kề 5 đỉnh A, B, C, D,
E được tô bởi 5 màu như hình vẽ.
E(5)
A(1)
B(2)
C(3)
D(4)
Xét tất cả các đường trong G bắt đầu từ A và đi qua các đỉnh chỉ tô màu 1 và 3.
Trang 15
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
Nếu không có đường đi nào qua C thì có thể hoán đổi màu các đỉnh trên các
đường đi đó như sau: đỉnh màu 1 tô bằng màu 3, đỉnh màu 3 tô bằng màu 1. Sau
đó tô đỉnh X bằng màu 1.
Ngược lại giả sử tồn tại đường đi sơ cấp từ A đến C gồm toàn các đỉnh màu 1
và màu 3. Nối thêm các cạnh CX và AX ta được chu trình sơ cấp. Hai đỉnh B và
D chỉ gồm các đỉnh màu 2 và màu 4.
Lập luận tương tự như trên ta có thể hoán đổi các đỉnh trên các đường đi xuất
phát từ B chỉ gồm các đỉnh màu 2 và màu 4 như sau: đỉnh màu 2 tô bằng màu 4,
đỉnh màu 4 tô bằng màu 2. Sau đó tô đỉnh X bằng màu 2.
Cuối cùng ta tô được G bằng 5 màu.
Vậy mọi đồ thị phẳng đều có sắc số nhỏ hơn hoặc bằng 5.
Định lý 13: (Định lý 4 màu Appel-Haken): Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số nhỏ
hơn hoặc bằng 4.
2.4 Tô màu cạnh
Định nghĩa 17:
Tô màu cạnh một đơn đồ thị là sự gán màu cho các cạnh của nó sao cho
không có hai cạnh kề được gán cùng một màu.

2 ( 1 ) ( 4 1 )
, 4 1
3
2 ( 1 ) ( 4 1 )
, 4 3
3
− −

=


− +

+ = = +


+ +

= +


s s s
n e u n s
s s s
b r n e u n s
s s s
n e u n s
Tồn tại cách tô màu để bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
Trang 17
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng

Trang 18
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
BD, DC, DB, DA, EC, ED, EB, EA. Những tuyến AB và EC có thể lưu thông
đồng thời nhưng những tuyến AD và EB thì không thể lưu thông đồng thời được
vì chúng giao nhau dẫn tới đụng độ, đó là các tuyến xung khắc. Mô hình đồ thị
có dạng như sau:

Vì các đỉnh BA, DC, ED là các đỉnh cô lập không kề với bất cứ đỉnh nào
trong đồ thị nên ta các tuyến BA, DC, ED lúc nào cũng lưu thông.
Dùng thuật toán tô màu cho các đỉnh còn lại của đồ thị và được kết quả sau:
Đỉn
h
AC BD DA EB AB EC B
C
DB A
D
EA BA DC ED
Bậc 5 5 5 5 4 4 3 3 2 2 0 0 0
Màu 1 2 3 4 1 4 2 3 1 3 1 1 1
Như vậy ta cần 4 pha để điều khiển:
Pha 1: Cho phép lưu thông các tuyến AC, AB, EC.
Pha 2: Cho phép lưu thông các tuyến BD, BC, AD, EA
Pha 3: Cho phép lưu thông các tuyến DA, DB.
Pha 4: Cho phép lưu thông tuyến EB.
3.1.2 Bài toán lập lịch thi
Bài toán: Giả sử mỗi sinh viên phải thi một số môn trong n môn thi. Bài toán đặt
ra là hãy xếp lịch thi sao cho không có sinh viên nào có 2 môn thi cùng một lúc
và số đợt thi là ít nhất.
Để giải bài toán này ta lập đồ thị có các đỉnh là các môn thi và hai đỉnh kề
nhau nếu có một sinh viên thi cả hai môn này. Thời gian thi của mỗi môn được

1
2
3
3
4
2
1
Vậy ta có lịch thi gồm 4 đợt:
Đợt I: thi môn 2, 6 Đợt II: thi môn 3, 5
Đợt III: thi môn 4, 7 Đợt IV: thi môn 1
3.1.3 Bài toán phân chia tần số
Bài toán: Có n đài phát. Hãy phân chia các kênh truyền hình cho các đài phát sao
cho hai đài cách nhau không quá k km không được trùng kênh và số kênh dùng là
ít nhất.
Để giải bài toán này ta lập đồ thị có các đỉnh là các đài phát và hai đài phát kề
nhau nếu khoảng cách giữa chúng không quá k km. Kênh truyền hình của mỗi
đài được biểu thị bằng các màu khác nhau. Như vậy bài toán phân chia tần số trở
thành bài toán tô màu đồ thị.
Trang 20
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
Ví dụ 11: 6 đài truyền hình ở cách nhau như đã cho ở bảng dưới đây. Mỗi đài sẽ
được cấp 1 kênh để phát sóng. Hãy tìm số kênh ít nhất cần phát, biết 2 đài cách
nhau không quá 150 km sẽ không được cấp phát chung 1 kênh.
1 2 3 4 5 6
1 85 175 200 20 100
2 85 125 175 100 160
3 175 125 100 200 150
4 200 175 100 110 250
5 20 100 200 110 220
6 100 160 150 250 220 100

bước 2, 4; w: các bước 1, 3, 5; x: các bước 1, 6; y: các bước từ 3 đến 6; z: bước
4, 5. Vậy cần bao nhiêu thanh ghi khác nhau để lưu các biến khi thực hiện vòng
lặp.
Giải
Ta xây dựng đồ thị như sau: coi mỗi đỉnh của đồ thị là một biến trong vòng
lặp. Hai đỉnh kề nhau nếu các biến biểu thị bằng các đỉnh này được lưu trong các
thanh ghi chỉ số tại cùng thời điểm khi thực hiện vòng lặp. Khi đó ta có đồ thị sau:
Dùng thuật toán tô màu cho các đỉnh của đồ thị và nhận được kết quả sau:
Đỉnh
t
y
v
w
z
x
u
Bậc
6
5
4
4
4
3
2
Màu
1
2
3
3
4

B B B
là các tập con của A gồm 3 phần tử sao cho:
1 , 1
i j
B B i j n
≤ ∀ ≤ < ≤
I
Với phần tử
x A
∈
: x thuộc vào (k Z
+
) tập hợp trong số
1 2
, , . . ,
n
B B B
.
Giả sử
1
k
i
i
x B
=
∈
I
mà
1 , 1
i j

⇒ ≤ ⇒ ≤
. Vậy
( ) 3 5S G
α
= ≤
.
Mặt khác, ta lại có tập S gồm 35 phần tử như sau: abe, aci, afk, alm, ahj, agn,
ado, bho, bgl, bcf, bmn, bdj, bik, cno, chm, cdg, cek, clj, dfl, dkm, din, deh, eln,
ejo, efi, egm, fgj, fmo, fhn, ghk, gio, hil, ijm, jkn, klo.
Ta tiếp tục xây dựng đồ thị G’ với tập đỉnh là tập S và hai đỉnh được gọi là kề
nhau nếu giữa chúng chung nhau một nữ sinh. Tô màu cho các đỉnh của đồ thị G’
thì mỗi màu sẽ đặc trưng cho một lần đi đến trường của các nữ sinh. Ta có
( ' ) 7G
χ
=
nên có thể sắp xếp nhiều nhất là 7 lần đi đến trường cho 15 nữ sinh
mà không có hai nữ sinh đi cùng nhau quá một lần.
3.2 Ứng dụng bài toán tô màu cạnh
3.2.1 Bài toán nữ sinh Lucas
Trang 23
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
Bài toán: Trong một ký túc xá có 2n nữ sinh. Mỗi sáng họ đi từng cặp đến
trường. Có thể sắp xếp nhiều nhất bao nhiêu lần đi như vậy sao cho không có hai
nữ sinh đi cùng nhau quá một lần?
Giải
Ta xây dựng một đồ thị gồm 2n đỉnh, mỗi đỉnh đại diện cho một nữ sinh. Vì
mỗi nữ sinh có thể ghép cặp với 2n-1 nữ sinh còn lại nên ta có đồ thị đủ
2 n
K
.

3.2.2 Bài toán chia thời khóa biểu
Bài toán: Cho danh sách một số giáo viên và danh sách các lớp học được dạy bởi
các giáo viên này. Giả sử rằng có đủ phòng học để cho các giáo viên thực hiện
các tiết giảng của mình tại các lớp nhưng tại một thời điểm thì một giáo viên chỉ
có thể dạy tại một lớp và cùng một lúc tại một lớp không thể có nhiều hơn một
giáo viên dạy. Xác định thời gian tối thiểu cần thiết để bố trí cho các giáo viên
thực hiện các tiết giảng của mình tại các lớp. Biết rằng một tiết dạy có thời gian
là 45 phút.
Giải
Ta xây dựng đồ thị lưỡng phân G = (X, Y, E) với X là tập các giáo viên, Y là
tập các lớp học. Một đỉnh x trong tập X được nối với một đỉnh y trong tập Y nếu
và chỉ nếu giáo viên x có tiết giảng ở lớp y.
Trang 24
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng
Như vậy việc xác định thời gian tối thiểu cần thiết để có thể bố trí cho tất cả
các giáo viên thực hiện các tiết giảng của mình tại các lớp trở thành xác định tích
số của 45 phút và số màu tối thiểu cần thiết để tô màu cho các cạnh của đồ thị G.
Mỗi màu sẽ đại diện cho một tiết mà các giáo viên thực hiện một tiết giảng của
mình tại các lớp.
Theo định lý 4.2 – Chương II thì sắc số của đồ thị G: χ’(G) = ∆(G).
Như vậy thời gian tối thiểu cần thiết để có thể bố trí cho tất cả các giáo viên
thực hiện tiết giảng của mình tại các lớp là
4 5 x ( )
∆
G
phút.
Trang 25