Mở đầu
1. Tính cấp thiết của đề tài
Luật giáo dục (Năm 2005) đã nêu: Phơng pháp giáo dục phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của ngời học, bồi dỡng
năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vơn lên
. (Điều 2 khoản 5). Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh
phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng
cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động sáng tạo (Điều 27
khoản 1).
Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng
lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học; khả năng làm việc theo
nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến
tình cảm; đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh. (Điều 28
khoản 2).
Trớc những yêu cầu đòi hỏi của xã hội đã đợc cụ thể hoá trong Luật
giáo dục, việc hình thành và phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn
đề là quan trọng và cần thiết đối với học sinh phổ thông.
Thực tế giảng dạy toán hiện nay ở các trờng phổ thông cho thấy học
sinh thụ động nhiều trong giải toán, thờng phụ thuộc vào thầy hoặc các
thuật toán định sẵn, cha phát huy đợc tính độc lập, sáng tạo, ngời thầy còn
hạn chế trong việc dẫn dắt học sinh tìm ra lời giải đứng trớc bài toán cho
sẵn (Rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề) và hớng dẫn học sinh xây dựng
đề toán (Rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề). Để góp phần giải quyết
thực trạng trên chúng tôi lựa chọn đề tài: Dạy học giải bài tập toán học ở
trờng phổ thông theo hớng tăng cờng khả năng phát hiện và giải quyết vấn
đề cho học sinh.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Tìm các biện pháp s phạm để tăng cờng khả năng phát hiện và giải
quyết vấn đề cho học sinh khi dạy học giải bài tập toán học ở trờng trung

2.2 Những hình thức và cấp độ dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
2.3 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
2. Rèn luyện t duy học sinh qua giải toán
1.1 Rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp
1.2 Rèn luyện kỹ năng so sánh tơng tự
1.3 Rèn luyện kỹ năng khái quát hoá, đặc biệt hoá
1.4 Rèn luyện t duy thuật giải
1.5 Rèn luyện t duy hàm
1.6 Rèn luyện t duy sáng tạo
Chơng 2. Một số các giải pháp s phạm nhằm tăng cờng khả
năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh:
1. Một số biện pháp s phạm tăng khả năng giải quyết
vấn đề cho học sinh
1.1. Khai thác triệt để giả thiết của bài toán để tìm lời giải
1.2. Tìm nhiều lời giải cho bài toán
1.3. Tìm sai lầm của một lờ giải bài toán
2. Một số biện pháp s phạm tăng khả năng phát hiện
vấn đề cho học sinh
2.1. Sử dụng đặc biệt hoá, khái quát hoá và tơng tự hoá
2.2. Sáng tác bài toán
2.3. Chuyển đổi bài toán
Chơng 3. thực nghiệm s phạm
1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm
2. Nội dung và phơng pháp thực nghiệm
3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
4. Một số nhận xét sau thực nghiệm
Kết luận
Chơng 1
Cơ sở lý luận
1. dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

trên, khi đó giáo viên là ngời tạo tình huống gợi vấn đề sau đó lại phát hiện
và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết.
Những hình thức trên đợc sắp xếp theo mức độ độc lập của học sinh
trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề vì vậy nó cũng là cấp độ dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề theo phơng diện này, tuy nhiên trong
dạy học luôn có sự đan xen, pha trộn giữa các hình thức dạy học với nhau.
1.3. Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Bớc 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề:
Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề, thờng do thầy tạo ra
Giải thích và chính xác hoá tình huống để hiểu đúng vân đề đặt ra
Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bớc 2: Tìm giải pháp
Khi phân tích vấn đề cần làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cái
phải tìm, khi đề xuất và thực hiện hớng giải quyết vấn đề cùng với việc thu
thập và tổ chức dữ liệu, huy động tri thức thờng hay sử dụng những phơng
pháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận nh hớng đích, qui lạ về quen,
đặc biệt hoá, chuyển qua những trờng hợp suy biến, tơng tự hoá, khái quát
hoá, suy xuôi, suy ngợc tiến, suy ngợc lùi.
Phơng hớng đợc đề xuất không phải là bất biến trái lại có thể phải
điều chỉnh, có thể bác bỏ cho đến khi hợp lý.
Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hớng giải quyết vấn đề là hình
thành đợc một giải pháp. Việc tiếp theo là kiểm tra tính đúng đắn của giải
pháp và tìm giải pháp tối u nhất.
Tìm một cách giải quyết vấn đề thờng thực hiện theo sơ đồ sau:Bớc 3: Trình bày giải pháp
Khi đã giải quyết đợc vấn đề đặt ra học sinh phải trình bày lại toàn
bộ từ việc phát biểu vấn đề cho đến giải pháp khi trình bày, phải tuân thủ
các chuẩn mực đề ra.

Phân tích đi lên (Suy ngợc lùi): để chứng minh mệnh đề A ta suy ng-
ợc lại cần phải chứng minh A
1
, muốn chứng minh A
1
ta phải chứng minh A
2
cứ nh vậy cho đến khi có A
k
là mệnh đề đúng ta dừng lại. Khi trình bày
lời giải lại theo trình tự ngợc lại từ A
k
ta suy ra đến A
1
. Ta có sơ đồ sau:
A
k


A
k-1




A
1
.
Phép phân tích đi lên thờng dùng để tìm lời giải. Đây là một trong
cách thức để tìm ra lời giải của bài toán một cách thông dụng và phổ biến

minh một mệnh đề ta thờng giả thiết mệnh đề phủ định.
Phép tổng hợp là phơng pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái cha
biết . Nếu A là hệ thức cần chứng minh ta suy theo sơ đồ sau:
A
k


A
k-1




A
1


A.
Thờng dùng phép tổng hợp khi trình bày lời giải sau quá trình phân
tích. Hay còn gọi là suy xuôi, học sinh nắm vững phơng pháp tổng hợp dẫn
đến việc khái quát hóa một dạng toán đi từ các bài toán cụ thể, từ đó phát
hiện đợc những lời giải cho bài toán tổng quát; khi gặp những bài toán
thuộc dạng đó, học sinh dễ dàng nhận ra đờng lối chung để giải nó.
2.2. Rèn luyện kỹ năng so sánh, tơng tự
Đứng trớc nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhng có một số điểm
chung ở phần giả thiết, các yêu cầu của kết luận học sinh phải biết liên hệ
lôgic với nhau qua phép so sánh và tơng tự. Từ đó tăng khả năng phân biệt,
nhận biết các dạng toán và nhận biết nhanh đờng lối giải các dạng bài toán
đó.
So sánh bao gồm hai thành phần chính đó là phát hiện đặc điểm

dạng toán đó.
2.4. Rèn luyện t duy thuật giải
Thuật giải là một qui tắc chính xác và đơn trị, qui định một số hữu
hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên những đối tợng
sao cho sau một số hữu hạn bớc thực hiện các thao tác đó ta thu đợc kết
quả mong muốn.
T duy thuật giải là phơng thức t duy biểu thị khả năng tiến hành các
hoạt động sau:
HĐ 1: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp
với một thuật giải.
HĐ 2: Phân tích một quá trình thành những thao tác đợc thực hiện
theo một trình tự xác định.
HĐ 3: Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tợng
riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tợng.
HĐ 4: Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
HĐ 5: Phát hiện một thuật giải tối u để giải quyết một công việc.
Trong dạy học hệ thống những qui định nghiêm ngặt đợc thực hiện
theo một trình tự chặt chẽ dẫn tới cách giải quyết đúng đắn một bài toán.
Trong dạy học bài tập toán cái khó khăn lớn nhất, phổ biến nhất cho học
sinh đại trà là các dạng toán cha biết thuật giải. Trong chơng trình THPT đa
số các bài toán đều có thuật giải để giải quyết, còn lại một số ít các bài
toán dành cho học sinh giỏi phát huy trí tuệ của mình. Do vậy việc trang bị
thuật giải một dạng toán cho học sinh là vấn đề quan trọng, cần thiết. Học
sinh nắm vững thuật giải một dạng toán thì về cơ bản học sinh đó sẽ giải
quyết đợc bài toán thuộc dạng đó. Tạo điều kiện cho học sinh lĩnh hội kiến
thức và rèn luyện kỹ năng kỹ xảo trong việc giải quyêt một bài toán.
2.5. Rèn luyện t duy hàm
Các hoạt động đặc trng cho t duy hàm đó là:
HĐ 1: Phát hiện hoặc thiết lập những sự tơng ứng.
HĐ 2: Nghiên cứu những sự tơng ứng .

còn thể hiện ở sự đa dạng của các cách xử lý khi giải bài toán; khả năng
xem xét đối tợng theo nhiều khía cạnh khác nhau; khả năng tìm ra những
liên tởng và kết hợp mới; nhìn ra những mối liên hệ có trong những sự kiện
bên ngoài tởng nh không có liên hệ với nhau; khả năng tìm ra giải pháp lạ
tuy đã biết các giải pháp khác.
T duy sáng tạo tập trung vào sự tìm ra những lời giải, những sản
phẩm hay quá trình độc đáo, t duy sáng tạo đợc ghi nhận nhờ những tiếp
cận tởng tợng, phân kỳ đối với bài toán và trực giác là nguồn cung cấp ý
tởng hữu ích.
Theo Lecne: Sự sáng tạo là quá trình con ngời xây dựng cái mới về
vật chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem nh là hệ thống
các thao tác hoặc hành động đợc mô tả thật chính xác và đợc điều hành
nghiêm nghặt.
Rèn luyện t duy sáng tạo là một trong các vấn đề thiết yếu trong việc
tăng cờng khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy
học bài tập toán ở các trờng phổ thông trong xu hớng dạy học hiện nay.
Chơng 2
Một số biện pháp s phạm nhằm tăng cờng
khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho
học sinh trong quá trình dạy học bài tập
toán học
1. Một số biện pháp s phạm tăng cờng khả năng giảI
quyết vấn đề cho học sinh
1.1. Khai thác triệt để giả thiết của bài toán để tìm lời giải
Một bài toán mà học sinh cha biết lời giải hay cha biết thuật giải là
một vấn đề đối với học sinh; giáo viên có thể đa ra ngay thuật giải và làm
mẫu sau đó cho học sinh luyện tập nhiều lần cứ nh vậy học sinh sẽ đợc
truyền thụ kiến thức một cách thụ động không phát huy tối đa khả năng
nhận thức của học sinh. Song nếu dẫn dắt học sinh tự tìm ra thuật giải đó
mới giúp học sinh hiểu rõ và sâu hơn bài học, tạo điều kiện cho học sinh

thảo luận trong tập thể học sinh; đa ra ý kiến đã đợc thống nhất hay cha
thống nhất. Giáo viên làm trọng tài để tổng kết những cách giải đúng, cách
giải gọn gàng, độc đáo, cũng nh phát biểu ý kiến về những điều học sinh
cha thống nhất.
Trong bốn bớc giải bài tập toán trên thì bớc tìm hiểu nội dung bài
toán tạo tiền đề cho việc tìm ra lời giải. Do vậy giả thiết của bài toán phải
đợc khai thác triệt để. Muốn vậy học sinh phải luôn trả lời các câu hỏi
trong sự suy nghĩ là: giả thiết bài toán cho ta biết những thông tin gì? các
thông tin đó liên quan gì đến các kiến thức đã đợc học? các thông tin đó
liên quan gì đến yêu cầu của bài toán?
Một số ví dụ về khai thác giả thiết để tìm lời giải
1.1.1. Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến số
Trong phơng pháp đổi biến số để tính tích phân I =
( )
b
a
f x dx

ta thờng
dùng ẩn phụ, quy trình gồm các bớc:
Bớc 1: Chọn x = u(t) hoặc t = v(x) với u(t) và v(x) là các hàm số
thích hợp
Bớc 2: Lấy vi phân dx = u(t)dt hoặc dt =v(x)dx
Bớc 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt giả sử là g(t)dt sau đó tính các cận
, tơng ứng theo a và b
B4 : Tính tích phân I=
( )g t dt




biến số đợc.
- Các dạng quen thuộc nào để vận dụng phơng pháp đổi biến số
Sau đây là một số dấu hiệu đổi biến số cần rèn luyện cho học sinh:
STT Dấu hiệu của hàm
dới dấu tích phân
Gợi ý cách đổi biến số trong giải
toán
1
f(
2 2
a x

)
x= | a |.sint hoặc x=| a |.cost
2
f(
2 2
x a

)
x
sin
a
t
=
hoặc x
a
cost
=
3



HD Giải: Vấn đề then chốt của các bài toán dạng này là đặt ẩn phụ
thế nào? tại sao lại nghĩ đến việc đặt ẩn phụ?
Giáo viên có thể dẫn dắt học sinh dựa vào đặc điểm của các hàm số
dới dấu tích phân cụ thể đối với hàm số y=
2
1 x
có tập xác định [ -1;
1 ] ta liên tởng đến tập giá trị của hàm số lợng giác sinx hoặc cosx. Chẳng
hạn cách đặt ẩn phụ và dẫn đến việc đổi biến số tính tích phân nh sau:
Đặt x = sint, ta có dx = costdt với t
;
6 2Khi đó:
2
2
6
1 sin .cos .I t t dt



=

2

6
sin 2 3
( ) /
2 4 3 8
t t




= + = +
.
Bài toán 2. Tính tích phân sau:
2 2 2
0
. .
a
I x a x dx
=

với a >0
HD Giải: Bài toán tích phân này có biểu thức hàm số phức tạp hơn
tổng quát hơn trớc hết phải cho học sinh thấy thành phần nào cần quan tâm
đến khi tìm hớng giải bài toán này, có liên hệ đợc gì với bài toán trên hay
không? từ đó học sinh có thể liên hệ giữa các biểu thức
2
1 x
và

2 2
a x

= = =

.
Bài toán 3. Tính tích phân sau:
1
2
0
1
dx
I
x
=
+

HD Giải: Với bài toán này hàm số dới dấu tích phân ta liên hệ với
các công thức:

2
2
1
1 tan
cos


+ =
và (tan

) =
2
1

dx t
I dt dt
x t


+
= = = =
+ +

.
Bài toán 4. Tính tích phân sau:
0
.
a
a x
I dx
a x

+
=


với a >0
HD Giải: Với hàm số dới dấu tích phân với tập xác định [-a; a) ta
liên hệ với công thức :
1 cos2
cot
1 2
+ +
= =

a cos t dt a t t a






= + = + =

.
Bài toán 5. Tính tích phân sau:
2
2
2
3
1
dx
I
x x
=


HD Giải: Với hàm số dới dấu tích phân có tập xác định
+( ;1) (1; )
ta có
<
1
1
x
ta liên tởng đến sinx và cosx cũng có tập giá

1
.sin .
1 1
. 1
cos
t dt
cos t
I
t cos t
=
2
4
6
1
.sin .
sin
1
.
cos
t dt
cos t
t
t cost



=
4
4
6

Bài 2. Tính tích phân sau:
2 2 2
0
( )
a
dx
I
a x
=
+

a>0.
HD: Đặt x = a.tant
Bài 3. Tính tích phân sau:
3
2
2
2
3
2
9 2
.
x
I dx
x
+
=

.
HD: Đặt

HD: Đặt x = tant
* Phép đổi biến số dạng 2
Khi đặt t = u(x):
Cần chú ý các vấn đề sau:
. f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] với các biến là: u(a) và u(b).
. Hàm số t = u(x) đơn điệu, khả vi liên tục trên đoạn [a;b] .
. Hàm số hợp f(u(t)) xác định trên đoạn [; ].
. Các giá trị u(a) =

; u(b) =

.
Khi đó ta có:
( ( )). '( ) ( ).


=

b
a
f u x u x dx f t dt
.
ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán:
+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn.
+ Phát hiện và đặt t = u(x) cho đúng vấn đề của phơng pháp giải bài
toán.
Trong phơng pháp này chủ yếu là học sinh xác định đợc thành phần
nào là f(u(x)), thành phần nào là u(x). Do vậy giáo viên cần dẫn dắt học
sinh nhận biết các thành phần đó trong mỗi bài toán tính tích phân.
Giáo viên cho học sinh phát hiện các dấu hiệu đặc trng khi chọn hàm

f(tanx)
2
1
cos x
t = tanx
8
f(cotx)
2
1
sin x
t =cotx
9 f(e
x
)e
x
t = e
x
10
f(
1
x
x

)(
2
1
1
x
m
) t =

. . /
2008 2008
I t dt t

= = =

Bài toán này có thể liên hệ tới nguyên hàm của hàm hợp từ đó dẫn đến
việc tính tích phân. Các thành phần khác có thể thay đổi thành các bài toán
khác hay ta có thể giải bài toán tổng quát sau:
Tính tích phân sau:
(1 . ) . với n N
b
n
a
I x dx

= +

Bài toán 2. Tính tích phân sau:
2
1
2
. 1
dx
I
x x
=
+

HD Giải: Với bài toán này hàm số dới dấu tích phân cho ta thấy mối

1
ln
.
(ln ) 1
e
x
I dx
x x
=
+
HD Giải: Ta nhận thấy rằng (lnx) =
1
x
khi đó dễ nhận ra u(x) = lnx
việc còn lại là vận dụng phơng pháp đổi biến số.
Đặt t = lnx t
[ ]
0;1
,
1
.dt dx
x
=
.
Khi đó
2
1

u(x) = sinx do đó cách giải bài toán nh sau:
Đặt t = sinx thì t
[ ]
0;1

= =


1
0
1 1 1 1 8
. ( ). .ln
3 5 2 3 5
I dt
t t
Bài toán 5. Tính tích phân sau:


=


4
2
0
tan
( ) . (0 < x < )
(1 tan ).cos 4
t
x
I t dx


tan
3
0
1 1 1 1
( .ln ) / tan tan .lntan( )
3 2 1 3 2 4
t
t t
t t t t
t


= + + = +
+
.
Bài toán 6. Tính tích phân sau:
ln3
0
1
x
dx
I
e
=
+

.
HD Giải: Vấn đề làm mất căn thức trong các biểu thức hàm số bằng
cách đặt biến mới cũng là một ý tởng gợi cho học sinh cho việc đổi biến số

. ( ). ln / ln
1 1 1 1 3
t
I dt dt
t t t t
+
= = = =
+ +

.
Bài toán 7. Tính tích phân sau:
1
2
0
1 3
.ln .
9 3
x
I dx
x x
+
=


Giải: Đặt
2
3 3-x 3+x 6.dx
ln dt= .( )'.dx=
3 3+x 3-x 9-x
x

1
1
.
1
x
I dx
x

=
+

HD Giải: Nhờ các kết quả:


=
+
+
2
2
4
2
2
1
1
1
với x 0
1
1
x
x

2
2
4
1
1
.
1
x
I dx
x
+
=
+

=
2
2
1
2
2
1
1
.
1
x
dx
x
x

+


= =

+

( Đây là tích phân của hàm hữu tỷ quen thuộc)

5
2
2
1 2 1 (5 2 2).(2 2)
ln / = .ln
2 2 2 2 2 6 2
t
t
+
=
+
.
Bài toán 9. Tính tích phân sau:
4
1
1
.
1
o
x
I dx
x
+

+ + +3 2
1
2
0
1
4.( .ln(1 ) arctan )/
3 2 2
t t
t t t= + + +

1 1
4.( .ln2 )
4 2 6

=
.
Các bài toán tơng tự:
Bài 1. Tính tích phân sau:

3
1
2 3
0
.
( 1)
x dx
I

2(2 3)
4 12 5
x
x x
+
+ +
Đặt
2
4 12 5t x x= + +
Bài 3. Tính tích phân sau:

2
2 2 2 2
0
sin .cos .
( a; b 0 )
.cos .sin
x x dx
I
a x b x

=
+

HD: Đặt
2 2 2 2
cos sint a x b x= +
Bài 4. Tính tích phân sau:
2
0

x
u e

= +
Tính tích phân sau:
2
0
2cos .
3 2sin
x dx
I
x

=
+

HD: đặt t = sinx.
Qua các bài toán trên cho thấy nếu khai thác tốt giả thiết thì học sinh
dễ tìm đợc lời giải bởi vì trong giả thiết chứa các gợi ý cho lời giải. Vấn đề
tìm ra lời giải là điều kiện cần để giải quyết bài toán còn trình bày lời giải
là điều kiện đủ. Nh vậy khai thác triệt để giả thiết của một bài toán là một
trong các giải biện s phạm cho việc tăng cờng khả năng giải quyết vấn đề
cho học sinh phổ thông.
1.1.2 Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần
Bài toán tính tích phân:
( )
b
a
f x dx


0
.cos3 .I x x dx

=

HD Giải: Biểu thức của hàm số dới dấu tích phân có dạng tích của hàm đa
thức và hàm lợng giác ta có nhận xét là:
Nếu qua phép đạo hàm thì bậc của hàm đa thức sẽ giảm.
Nếu coi một hàm là u(x) và một hàm là v(x) thì việc tìm nguyên hàm
của hàm u(x).v(x) phải đơn giản hơn u(x).v(x). Vậy chọn hàm đa thức
đóng vai trò u(x) trong phơng pháp trên là phù hợp. Từ đó suy ra cách giải
sau:
Đặt u = x ; dv = cos3x.dx suy ra du = dx ; v =
1
3
sin3x
Ta có: