LêI C¶M ¥N
***
E
E
m
mx
x
i
i
n
nđ
đ
ư
ư
ợ
ợ
c
cb
b

ơ
ơ
n
ns
s
â
â
u
us
s
ắ
ắ
c
ct
t
ớ
ớ
i
iU
U
y
y
,
,n
n
g
g
ư
ư
ờ
ờ
i
iđ
đ
ã
ãt
t

ẫ
ẫ
n
ne
e
m
mt
t
r
r
o
o
n
n
g
gs
s
u
u
ố
ố

t
t
h
h
ự
ự
c
ch
h
i
i
ệ
ệ
n
nđ
đ
ề
ềt
t
à
à

t
t
r
r
ọ
ọ
n
n
g
gc
c
ả
ả
m
mơ
ơ
n
nc
c
á
á
t
t
r
r
o
o
n
n
g
gt
t
ổ
ổP
P
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n

y
y
,
,B
B
a
a
n
nc
c
h
h
ủ
ủn
n
h
h
i
i
ệ
ệ

i
i
n
n
,
,P
P
h
h
ò
ò
n
n
g
gQ
Q
u
u
ả
ả
n
n
n
ng
g
i
i
á
á
m
mh
h
i
i
ệ
ệ
u
uv
v
à
àt
t
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
gT
T
H
H
P
P
T
TH
H
à
à

h
hp
p
h
h
ố
ốB
B
ắ
ắ
c
cN
N
i
i
n
n
h
h
n
nt
t
h
h
u
u
ậ
ậ
n
nl
l
ợ
ợ
i
ic
c
h
h
o
o

q
q
u
u
á
át
t
r
r
ì
ì
n
n
h
hh
h
ọ
ọ
c
ct
t

h
hl
l
u
u
ậ
ậ
n
nv
v
ă
ă
n
nn
n
à
à
y
y.
S
Ơ
Ơ
N
N
2

M
M
Ụ
Ụ
C
CL
L
Ụ
Ụ
C
C Trang


A.5. Suy diễn – Quy nạp 60
A.6. Phân tích - Tổng hợp 63
A.7. Cụ thể - Trừu tượng 67
B – Nghiên cứu lời giải bài toán
B.1. Cái chung – Cái riêng 78
B.2. Nội dung – Hình thức 87
B.3. Vận động - Đứng yên 92
B.4. Bản chất - Hiện tượng 96
B.5. Suy diễn – Quy nạp 101
B.6. Phân tích - Tổng hợp 103
Kết luận chương II
Bài tập vận dụng 110
Chương III:
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 114
I - Bước đầu tìm hiểu thực trạng của việc vận dụng TDBC vào giải toán
ở trường THPT 114
II - Mục đích - Nội dung - Tổ chức thực nghiệm 120
III - Đánh giá về kết quả thực nghiệm 125

KẾT LUẬN 128

TÀI LIỆU THAM KHẢO 130

PHỤ LỤC 133 CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt Viết đầy đủ
PPDH

pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho học sinh
”. Cũng theo Luật Giáo dục:“Mục tiêu của giáo dục phổ thông
là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và
các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo,
hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa.” (Điều 27.1).
Mục tiêu này đã được cụ thể hoá trong mục tiêu dạy học môn Toán.
Trong các mục tiêu của dạy học môn Toán thì mục tiêu phát triển trí tuệ củ
a
học sinh được đặt lên hàng đầu.
Tư duy sáng tạo có vai trò đặc quan trọng trong việc phát triển trí tuệ của
học sinh. Tư duy sáng tạo giúp cho học sinh phát huy được tính tích cực, chủ
động và sáng tạo trong học tập.
Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ nhữnng hiểu biết đã có đến những
hiểu biết mới. Vận động đi liền với “biện chứng” nên tư duy biệ
n chứng luôn
gắn liền với sự sáng tạo. “Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức
(khái niệm, định lí) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung
khái niệm, nội dung định lí, hiểu chứng minh định lí, cố gắng tập vận dụng
các công thức, các định lí để tính toán, để chứng minh khi làm bài tập mà ở đã
cái gì đã biết, cái gì chưa biết, cái gì phải tính toán, phả
i chứng minh là rõ
ràng. Nhiều học sinh thường thắc mắc không biết giả thuyết và kết luận của
bài toán ở đâu mà ra, ai nghĩ ra đầu tiên và làm thế nào mà họ nghĩ ra
được.[28, tr4,5].

5


Thuyên - Bắc Ninh.
• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kêt những kinh nghiệm rút
ra từ thực tế giảng dạy và nghiên cứu của bản thân, vận dụng những kinh

6

nghiệm này để khai thác hệ thống bài tập trong SGK 10, 11 và các đề thi
học sinh giỏi và thi tuyển sinh đại học.

4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Có thể đưa ra được một số gợi ý, hướng dẫn vận dụng tư duy biện
chứng vào khai thác một bài toán. Nếu học sinh được luyện tập và vận
dụng tốt hướng dẫn này sẽ góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học
sinh.5. BỐ CỤC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm có ba chương :

Chương 1
:
Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2
:

Vận dụng tư duy biện chứng vào việc nghiên cứu bài tập Toán học


và những hiểu biết thông thường về kỹ thuật về kĩ thuật và hướng nghiệp để
tiếp tục học Đại học, Cao đẳng, Trung h
ọc Chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi
vào cuộc sống lao động ” (Luật giáo dục, chương II, mục 2 , điều 23).
Xuất phát từ mục tiêu giáo dục phổ phông nước ta, từ đặc điểm, vai trò, vị
trí và ý nghĩa của môn Toán, việc dạy học môn Toán có các mục tiêu
chung sau đây:
• Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học.
• Phát triển n
ăng lực trí tuệ.
• Giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động khoa
học.
• Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động.
Các mục tiêu thành phần không tách rời nhau mà trái lại chúng liên hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ và bổ sung cho nhau nhằm hình thành ở người
học sinh thế giới quan và nhân sinh quan cách mạng, năng lực nhậ
n thức và
hành động, động cơ đúng đắn và lòng say mê học tập, lao động, xây dựng

8

và bảo vệ Tổ quốc. Điều đó thể hiện sự thống giữa dạy chữ và dạy người,
giữa dạy học và phát triển. ( [15], tr56).
Đặc biệt
, đối với cấp Trung học phổ thông, do nhiệm vụ cấp học và đặc
điểm đối tượng, việc dạy học môn Toán ở cấp Trung học Phổ thông có
những yêu cầu đặc biệt sau đậy:
• Về tri thức và kĩ năng, cần chú ý tới những tri thức phương pháp, đặc
biệt những tri thức phương pháp không có thuật giải và những kĩ năng
tươ

học tập của học sinh” ( Luật giáo dục 1998, chương I, điều 24).
Những quy định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để
giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng lạc
hậu nói chung của PPDH ở nước ta hiện nay.
Ph
ải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay, phương pháp dạy học ở nước
ta có những nhược điểm phổ biến:
• Thầy thuyết trình tràn lan;
• Tri thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện;
• Thầy áp đặt, trò thụ động;
• Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo
củ
a người học;
• Không kiểm soát được việc học.
Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công nghiệp
hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH ở nước ta đã làm nảy sinh
và thúc đẩy cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong nghành Giáo
dục và Đào tạo từ một số năm nay. Những ý tưởng này đề
u bao hàm những
yếu tố tích cực, có tác dụng đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao
hiệu quả giáo dục và đào tạo. Tuy nhiên cần nêu bật bản chất của tất cả các ý
tưởng này như là định hướng cho sự đổi mới PPDH
PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt
động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ độ
ng và sáng tạo.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định. Đó
trước hết là những hoạt động đã được tiến hành trong quá trình lịch sử hình
thành và ứng dụng những tri thức được bao hàm trong nội dung này, cũng
chính là những hoạt động để người học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri
thức trong nội dung đó. Trong quá trình dạy họ

thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán
học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt
động trí tuệ chung và nhữ
ng hoạt động ngôn ngữ.
Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và
phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập được thể hiện trên cả ba bình
diện này:
1) Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông
là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể
hiện mức
độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những
chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học
môn Toán :

11

• Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
• Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
• Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành phẩm chất
đạo đức của ng
ười lao động mới.
2) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập là giá mang hoạt động
liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung
để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày
trong phần lý thuyết.
3) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang
hoạt động để người học kiế
n tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở

chức học tập thường bị bó hẹp, chủ yếu diễn ra trên lớp học, ở đó GV
đối diện với học sinh.
4. Hiện nay ở nhà trường phổ thông thường chỉ chú trọng đến việc truyền
thụ tri thức mà không quan tâm đến việc dạy tìm tòi, vậy nên các
ph
ương pháp thực nghiệm, quy nạp để suy đoán thường bị coi nhẹ.
Đứng trước thực trạng của việc dạy học, để khắc phục những hạn chế của
PPDH truyền thống đòi hỏi phải đổi mới PPDH. Đổi mới phương pháp dạy
học cần kế thừa, phát triển những mặt tích cực của hệ thống phương pháp
dạy họ
c quen thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phương pháp
mới, phù hợp với hoàn cảnh, điều kiện dạy và học ở nước ta. Đổi mới phương
pháp dạy học giúp cho học sinh :
1. Học được quá trình kiến tạo một tri thức (học sinh nắm được bản chất
được mỗi vấn đề đặt ra) ; Học sinh t
ự tìm tòi, khám phá, phát hiện,
luyện tập, khai thác và xử lí thông tin…tự hình thành hiểu biết, năng
lực phẩm chất.
2. Không những biết được cách chứng minh một chân lí, học sinh còn học
được cách tìm ra chân lí đó.
3. Chú trọng và việc hình thành ở học sinh các năng lực: sáng tạo, hợp
tác… Dạy cho học sinh phương pháp và kĩ thuật lao động, dạy cách
học.
4. Nội dung học tập của học sinh không bị
bó hẹp, có thể xuất phát từ
nhiều nguồn khác nhau: SGK, GV, các tài liệu khoa học phù hợp, thí
nghiệm, bảo tàng,… gắn với:
- Vốn hiểu biết, nhu cầu, kinh nghiệm của mỗi học sinh.
- Tình huống thực tế, bối cảnh môi trường địa phương.
- Những vấn đề mà học sinh quan tâm.

• Quy luật lượng đổi chất đổi

Các cặp phạm trù đối lập của triết học duy vật biện chứng: 14

1. Lí luận và thực tiễn
2. Cái chung và cái riêng
3. Cụ thể và trừu tượng
4. Chủ quan và khách quan
5. Nội dung và hình thức

6. Bản chất và hiện tượng
7. Ngẫu nhiên và tất nhiên
8. Vận động và đứng yên
9. Suy diễn và quy nạp
10. Phân tích và tổng hợp.

Quy luật mâu thuẫn
chỉ ra nguồn gốc bên trong của sự phát triển. Khi
mọi việc đều ăn khớp, đều thuận buồm xuôi gió, không gặp khó khăn gì thì
không có gì thúc đẩy người ta tìm tòi, suy nghĩ và đo đó cũng không có cái
mới ra đời, trái lại khi có sự không ăn khớp, có sự khó khăn thì điều đó sẽ
thúc đẩy người ta cố gắng nghiên cứu và sớm muộn thì từ sự nghiên cứu, tìm
tòi đó sẽ có cái mới ra đờ
i. Người ta diễn tả điều này bằng ngôn ngữ triết học
như sau: “ Mâu thuẫn là động lực của sự phát triển”. Khi nói tới “mâu thuẫn”
là nói tới một sự trái ngược, một sự không ăn khớp giữa lí luận và thực tiễn,
hoặc trong nội bộ lí luận. Nói tới “động lực” là nói tới một sức mạnh thúc


0 (***)
Nếu áp dụng phương pháp trên để giải thì (**) trở thành: 




0 ,
nhưng phương trình này không có nghiệm thì làm sao (***) có nghiệm ?

15

Trong khi đó thực tế thì phương trình (***) lại có ba nghiệm là 1,0 à 1.
Như vậy ta đang đứng trước một hiện tượng kỳ lạ, một khó khăn (mâu thuẫn)
thôi thúc ta tìm hướng giải quyết ? Trước tình huống này làm nảy sinh một ý
tưởng táo bạo: “cứ thử chấp nhận căn bậc hai của số âm xem sao?” . Và thật
bất ngờ, theo hướng đó ta chỉ ra được ba nghiệm của ph
ương trình
 1 ; 0; 1 từ đó dẫn đến sự xuất hiện của một tập số mới, đó là số phức.

Một ví dụ khác, ta xét bài toán quen thuộc về bất đẳng thức lượng giác
trong tam giác:
Bài toán 1

Chứng minh rằng :
    
3
2
 ớ ∆ ọ
Một bài toán khác được đề xuất như sau :

t) thì hai bài toán này có cùng một nội
dung. Mối quan hệ phức tạp giữa các đối tượng của bài toán 2 làm cho hình
thức của bài toán che lấp nội dung của nó. Khiến cho việc nghiên cứu nội
dung của nó khó khăn hơn.

16

Nếu giáo viên cho học sinh thấy được những mâu thuẫn như trong ví dụ
này sẽ kích thích và phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học
sinh trong việc tìm ra câu trả lời. Không những thế, học sinh sẽ tìm tòi và rút
ra được những kiến thức bổ ích :
• Hệ thức đại số   1 ,,0 có thể đưa về dạng:
. ..1 , do vậy bài toán 2
có thể đưa về bài toán 1.
• Trong tam giác bất kỳ thì bài toán 1 vẫn
đúng, vậy bài toán 2 sẽ ra sao?
• Thay 


;


;


ta có bài toán khác… ?
• Khi nào thì có thể đưa bài toán 2 về bài toán 1 ? …
• Dấu hiệu nào có thể “lượng giác hóa” một bài toán ?
Muốn học toán sáng tạo, muốn tìm ra cái mới thì trước tiên phải xuất hiện
“vấn đề” để nghiên cứu. Vấn đề ở đây có thể do tự mình phát hiện hoặc do

phủ định .
Trong dạy học toán, nếu cho học sinh nắm bắt được tư tưởng của các quy
luật triết học duy vật biện chứng sẽ giúp cho học sinh đi sâu vào việc nắm
được bản chất (nguyên nhân) của một sự việc, phát huy đượ
c vai trò tự giác,
tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc bước đầu làm quen với
nghiên cứu toán học.
Ta đi xem xét một ví dụ sau đây:
Từ trước đến nay học sinh đều biết đến định lí côsin trong tam giác và họ
cũng biết dùng định lí này để đi giải quyết các vấn đề khác nhau. Tuy nhiên,
không phải ai cũng biết mở rộng định lí này bởi vì ở họ thiếu tư duy bi
ện
chứng, họ không biết tới quy luật phủ định của phủ định để mở rộng định lí
đó.
Phủ định lần thứ nhất

Phủ định tam giác , bằng cách coi  không phải là tam giác mà là
một tứ giác đặc biệt có một cạnh có độ dài bằng không ( tứ giác , có
). Tuy hệ thức vẫn là 





2. (1) nhưng đã có mầm
mống của cái mới xuất hiện.
Lúc này đoạn  suy biến 0.
Vậy có thể  cũng xuất hiện
trong hệ thức (1) nhưng do   0
nên (1) là cách viết gọn ?

 à .
Có thể nhận thấy các hạng tử ở (1) đều có bậc hai. Nên để đảm bảo tính
đẳng cấp ta dự đoán biểu thức chứa  trong hệ thức sẽ là một bội của 

.
Vậy nên ta có dự đoán:


.





2. 2 , 


.





2. 3
Bây giờ ta sẽ đi kiểm tra xem dạng nào đúng ? Bằng cách áp dụng vào một
trường hợp đặc biệt, khi tứ giác là hình vuông.
Khi đó:  à 

0,


2. 4
Để chắc hơn dự đoán này, ta thử áp dụng nó vào một trường hợp khác:
Khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật thoả mãn 22
 đó ∆ đề 
√
5
,



Áp dụng hệ thức (4) ta được :




2.
4

4

2.
√
5

.
3
5
2



ức cũ đồng thời kế thừa những mặt tích
cực trong kiến thức cũ. Sự phủ định có tính kế thừa, được gọi là phủ định
“biện chứng”. Chính sự “kế thừa” là cơ sở cho sự thống nhất về sau .

20

• Trong ví dụ trên ta thấy tuy định lí côsin là công thức tổng quát cho tam
giác bất kì (mà định lí pitago quen thuộc là một trường hợp đặc biệt)
nhưng công thức đó bất lực trong việc giải thích trường hợp đặc biệt của tứ
giác khi cho một cạnh bằng không ( không xác định được công thức cụ thể
trong trường hợp này, định lí côsin chỉ là dạng rút gọn nhờ   0) đồng
thời định lí côsin chỉ là một trường hợp đặc biệt
của một hệ thức lượng
trong tứ giác. Thật là “biện chứng”!.
• Không chỉ có vậy, ta còn gặp quy luật phủ định ở trong thiên nhiên, trong
xã hội và trong tư duy con người bao giờ cũng là sự thống nhất giữa các
mặt đối lập, không bao giờ chỉ có một mặt này mà không có mặt kia, một
ví dụ gần gũi chẳng hạn như: muốn học toán một cách sáng tạo thì phả
i
tuân theo quy luật: Ban đầu có thầy giáo dạy cho học, dần dần học một
cách tích cực “học” sẽ biến thành “tự học”. Càng tự học dẫn đến tư duy
độc lập càng phát triển rồi sẽ có tư duy phê phán, rồi tư duy sáng tạo. Lúc
này “tự học” lại bị phủ định đột biến thành “nghiên cứu khoa học”. Như
vậy, tư duy biện chứng thuộc lĩnh vực phi toán l
ại là một cầu nối giữa
“toán” và “phi toán” .
Trong sự vận động (biến đổi) của thế giới khách quan, những sự thay đổi từ
từ về số lượng, tích luỹ đến một giới hạn nào đó thì sẽ gây ra một thay đổi về

chất lượng


hệ tiên đề trái ngược nhau nhưng lại thống nhất với nhau ở chỗ hình học Ơclit
là giới hạn của hình học Lôbasepski khi bán kính cong tiến tới 0 ( 0 ).
Kết luận

Mâu thuẫn xuất hiện dưới muôn hình vạn trạng, nếu không rèn luyện để
có một sự nhạy bén trong tư duy (tư duy biện chứng) thì sẽ không phát hiện
được và sẽ cho qua. Tuy mâu thuẫn đa dạng như vậy nhưng người ta cũng cố
gắng sắp xếp thành từng cặp phạm trù đối lập nhau và chính sự đối lập đó
giúp ta phát hiện ra vấn đề nghiên cứu rồi đi đế
n sáng tạo và sự sáng tạo này
lại phủ định sự đối lập nói trên (phủ định của phủ định). Ta thường nói tới các
cặp phạm trù đối lập sau đây :
1. Lí luận và thực tiễn
2. Cái chung và cái riêng
3. Cụ thể và trừu tượng
4. Chủ quan và khách quan
5. Nội dung và hình thức

6. Bản chất và hiện tượng
7. Ngẫu nhiên và t
ất nhiên
8. Vận động và đứng yên
9. Suy diễn và quy nạp
10. Phân tích và tổng hợp.

II.2. Cơ sở toán học
II.2.1. Tư duy toán học
II.2.1.1. Tư duy là gì ?
• Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất,

• Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn : “…về toán học thì có hai góc độ
để nhìn khoa học này; hai góc độ đó ứng với hai định nghĩa sau đây về
toán học:
-
Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình
dáng và lôgic trong thế giới khách quan.
- Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người
ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề.
Đối tượng của toán học được cụ thể hoá và mở rộng dần, qua từng giai đoạn:
Giai đoạn 1
Giai đoạn toán học sơ cấp ( từ thế kỷ VI – TrCN đến thế kỷ XVII ):
Ứng với nền sản xuất thủ công, toán học nghiên cứu các số và hình ở
dạng tĩnh tại, cùng với lôgic cổ điển.
Giai đoạn 2
Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển (thế kỷ XVII đến thế kỷ XIX)
Ứng với nền sản xuất cơ khí, toán học nghiên cứu các đại lượng biến
thiên và hàm số, Ănghen đã phát biểu: “Đại lượng biến thiên của Đêcac là

23

một bước ngoặt trong toán học… nhờ nó mà vận động và cả biện chứng nữa
đi vào toán học… Chỉ có phép tính vi phân mới đem lại cho khoa học tự
nhiên khả năng miêu tả bằng toán học không chỉ những trạng thái mà cả quá
trình” và lôgic cổ điển được phát triển thành đại số mệnh đề.
Giai đoạn 3
Giai đoạn toán học hiện đại (từ thế kỷ XIX đến nay)
Ứng với nền sản xuất tự động hoá, toán học nghiên cứu các cấu trúc và
thuật toán đồng thời với lôgic toán .
Ngày nay, bên cạnh toán học kinh điển vẫn phát triển mạnh mẽ, ta có toán
học kiến thiết, cùng với cấu trúc ta có thuật toán, chúng đối lập nhau nhưng

đã biết.
Phép phân tích đi lên (Suy ngược lùi ):
A

A

A

A

A
bước n …. bước 1
Phép phân tích đi xuống (Suy ngược tiến):
AA

A

A

A
24

 So sánh – Tương tự
So sánh

So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những đặc
điểm khác nhau ở một số đối tượng. Mục đích thứ nhất dẫn đến tương tự và


- Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược của khái quát hoá. Đặc biệt
hoá là thao tác tư duy chuyển một khái niệm hay tính chất nào đó từ

25

ngoại diên rộng sang tập hợp các đối tượng có ngoại diên hẹp, chứa
đựng trong tập hợp ban đầu ( đặc biệt hoá về ngoại diên )
- Đặc biệt hoá cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính
chất tổng quát về khái niệm hay tính chất xuất phát (đặc biệt hoá về
nội hàm).
Mối quan hệ
giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá:
thường được vận dụng trong tìm tòi, giải toán. Từ một tính chất nào
đó ta muốn khái quát hoá (về ngoại diên hay nội hàm) ta thử đặc
biệt hoá. Nếu kết quả của đặc biệt hoá là đúng thì ta mới tìm cách
chứng minh dự đoán từ khái quát hoá. Nhưng nếu sai thì dừng lại.
 Trừu tượng hoá
- Trừu tượng hoá là thao tác tách ra từ một đối tượng toán họ
c một
tính chất (về quan hệ số lượng hoặc hình dạng hoặc lôgic của thế
giới khách quan ) để nghiên cứu riêng tính chất đó. Trừu tượng hoá
thoát ra khỉ mọi nội dung có tính chất chất liệu.
- Trừu tượng hoá có liên hệ mật thiết với khái quát. Nhờ trừu tượng
hoá ta có thể khái quát hoá rộng và sâu hơn. Trừu tượng hoá và khái
quát hoá là nguồn gốc của sự hình thành các khái niệm toán học.
II.2.1.4. Một số loại hình tư duy toán học
1. Tư duy hình thức
(dựa vào lôgic hình thức)
• Lôgic hình thức nghiên cứu cơ cấu của các hình thức tư duy (khái niệm,