CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN HÌNH HỌC
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 1
CHUYÊN ĐỀ
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
1. Sử dụng tiên đề Ơcơlit và hệ quả

Tiên đề Ơcơlit : Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a kẻ được duy nhất một
đường thẳng song song với a.

Hệ quả : Qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng a kẻ được duy nhất một đường
thẳng vuông góc với a.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC với hai trung tuyến
BD và CE. Gọi M và N theo thứ tự thuộc các tia đối
của các tia EC và DB sao cho EC = EM và DB = DN.
Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng.
Giải: (H. 1)
Tứ giác AMBC có EA = EB, EM = EC (gt) nên
là hình bình hành. Suy ra AM // BC.
Chứng minh tương tự ta có AN // BC.
Qua A có AM // BC và AN // BC ⇒ A, M, N thẳng hàng (tiên đề Ơcơlit).
Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD (AB < CD) có O là giao điểm của hai đường
chéo. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE = CD. Gọi F là hình chiếu của của D
trên BE ; I là giao điểm của AB và CF ; K là giao điểm của AF và BC. Chứng minh rằng
ba điểm O, K, I thẳng hàng.
Giải :
ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, AC = BD
và OA = OB = OC = OD.
Ta có CB ⊥ AI (vì ABCD là hình chữ nhật)
⇒ CB là đường cao của ∆CAI (1)
∆FBD vuông tại F có FO là trung tuyến ứng với
cạnh huyền BD nên OF =

O
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
2 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH
Mặt khác, tứ giác ABEC có AB = CE (cùng bằng CD) và AB // CE (vì AB // CD)
nên là hình bình hành ⇒ BE // AC ⇒ BF //AC ⇒ ABFC là hình thang.
Lại có ∆FDE vuông tại F, FC là trung tuyến ứng với cạnh DE (vì CD = CE) nên
CF = CD ⇒ CF = AB (vì AB = CD).
Suy ra BAC = FCA (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ⇒ AF = BC.
Hình thang ABFC có hai đường chéo AF và BC bằng nhau nên là hình thang cân.
Suy ra


IAC ICA=
⇒ ∆IAC cân tại I ⇒ IO là trung tuyến đồng thời là đường cao.
Do đó IO ⊥ AC 4)
Từ (3) và (4) suy ra I, K, O thẳng hàng (đpcm).
2. Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳng
Tính chất : Nếu AM + BM = AB thì M nằm giữa A và B.
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, I và N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC
và CD. Chứng minh rằng nếu
AD BC
MN
2
+
=
thì M, I, N thẳng hàng và ABCD trở thành
hình thang.
Giải :
Giả sử
AD BC

=
thì M, I, N thẳng hàng và ABCD trở thành hình thang.
3. Sử dụng tính chất của góc bẹt
Nếu



0
180= + =AOB AOC COB
thì A, O, B thẳng hàng (H. 4)
MN =
AB+CD
2
b)
a)
Hình 3
N
M
I
N
M
I
A
B
C
D
D
C
B
A


0
CAD BAC BAD 180= + =
⇒ C, A, D thẳng hàng.
Ví dụ 5. Cho ∆ABC, đường cao AH. Dựng ra phía ngoài ∆ABC các tam giác vuông
cân BAD, CAE (vuông cân tại A). Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm
H, A, M thẳng hàng.
Giải : (H. 6)
Dựng hình bình hành ADFE ⇒ AE = DF và M ∈ AF.
Xét ∆ABC và ∆ADF có:
AB = AD (gt)



0
BAC ADF( 180 DAE)= = −
AC = DF (= AE)
⇒ ∆ABC = ∆ADF (c.g.c) ⇒


ABC DAF=
⇒




0
DAF HAB ABC HAB 90 .+ = + =
⇒


B
A
C
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
4 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH
Điểm G là giao điểm của CB và EO nên G là trọng tâm của ∆EAC (1)
Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên CD // AB, CD = AB.
⇒ CD // BE, CD = BE ⇒ BECD là hình bình hành.
Suy ra F là trung điểm của ED và BC.
Ta có OF là đường trung bình của ∆CAB nên OF // AB
⇒ OH // AE ⇒ HE = HC.
Do đó AH là trung tuyến của ∆EAC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, G, H thẳng hàng (đpcm).
5. Sử dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành
Ví dụ 7. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm E và F sao
cho BE = DF. Kẻ EH ⊥ AB, FK ⊥ CD (H ∈ AB, K ∈ CD). Gọi O là trung điểm của EF.
Chứng minh rằng ba điểm H, O, K thẳng hàng.
Giải : (H. 8)
Vì EH ⊥ AB, FK ⊥ CD và AB // CD nên EH // FK (1)
Xét ∠HBE và ∠KDF có:BE = DF,


KDF HBE=
,


0
DKF BHE 90= =
⇒ ∠HBE = ∠KDF (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ HE = KF. (2)

F
K
H
A
O
D
B
C
E
Hình 9
E
F
K
J
I
M
N
A
B
C
D
K'
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN HÌNH HỌC
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 5
NDC NAB ABD NAB ABC ADC AID CID CBD
NDC NAB ABD CBD ABC ADC ABD CBD
ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
1 1 1 1
S (S S ) (S S ) (S S S ) S
2 2 2 2

NK'J∆
có chung chiều cao hạ từ J nên từ
MK'J NK 'J
S S MK' NK'= ⇒ =
Theo giả thiết MK = NK (gt) nên
K K'.≡
Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.
6. Sử dụng định lí Mê -nê -la -uýt
Ví dụ 9. (Định lí Mê - nê - la - uýt) Cho ∆ABC và ba điểm
A ,B ,C
′ ′ ′
trên các đường
thẳng BC, AC và AB sao cho : hoặc cả ba điểm
A ,B ,C
′ ′ ′
đểu nằm trên phần kéo dài của ba
cạnh, hoặc một trong ba điểm trên nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm còn
lại nằm trên hai cạnh của tam giác. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba điểm
A ,B ,C
′ ′ ′
thẳng hàng là :
A'B B'C C'A
1.
A'C B'A C'B
⋅ ⋅ =
Giải :
b)
Hình 10
a)
D

CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
6 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH
Mặt khác, ta có :
CD B'D CD A'D C'A A'D B'C'
,
C'A B'C' C'B A'C' C'B A'C' B'D
= = ⇒ = ⋅
.
Suy ra :
A'B B'C C'A A'C' B'D A'D B'C'
1.
A'C B'A C'B A'D B'C' A'C' B'D
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
* Điều kiện cần : nếu
A'B B'C C'A
1
A'C B'A C'B
⋅ ⋅ =
(1) thì ba điểm
A ,B ,C
′ ′ ′
thẳng hàng.
Gọi
B
′′
là giao điểm của
A'C'
và AC.
- Nếu một điểm thuộc phần kéo dài của một cạnh và hai điểm còn lại nằm trên hai
canh của ∆ABC. Không giảm tổng quát, giả sử

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có
B' B''.≡
Do đó ba điểm
A ,B ,C
′ ′ ′
thẳng hàng.
Ví dụ 10. Cho ∆ABC, đường phân giác BE và CF. Gọi D là giao điểm của đường
phân giác góc ngoài tại đỉnh A với đường thẳng BC. Chứng minh rằng ba điểm D, E, F
thẳng hàng.
Giải : (H. 11)
Dễ thấy D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB còn F
thuộc phần kéo dài của cạnh BC.
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có :
DB AB EC BC FA CA
, ,
DC CA EA AB FB BC
= = =
Suy ra :
DB EC FA AB BC CA
1
DC EA FB CA AB BC
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
.
Theo định lí Mê - nê - la - uýt thì ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Hình 11
D
E
F
A
B

trực của một đoạn thẳng) thì thẳng hàng (H. 13).
Hình 14
AD = AE, BD = BE, CD = CE

A, B. C thẳng hàng
D
E
A
B
C
- Ba điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a và cùng cách đều a thì thẳng hàng.
a
h
h
h
Hình 15
A, B, C cùng cách a một khoảng bằng h

A, B. C thẳng hàng
A
C
B
Hình 12
H
B
D
A
Q
C
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

2. Cho ∆ABC,

0
B 120 ,=
phân giác BD, CE. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại
đỉnh A của ∆ABC cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng ba điểm D, E, F thẳng hàng.
3. Cho ∆ABC. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. Gọi M là điểm đối
xứng của E qua C, N là điểm đối xứng của D qua B, K là giao điểm của DM và AC. Chứng
minh rằng ba điểm N, E, K thẳng hàng.
4. Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau. Chứng minh rằng giao điểm của hai
đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy
nằm trên cùng một đường thẳng. (Bổ đề hình thang)
5. Cho ∆ABC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng
hình vuông ABDE ; trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng hình vuông
ACMN. Dựng hình bình hành AEIG. Gọi K là giao điểm của CD và BM. Chứng minh
rằng bốn điểm I, A, K, H thẳng hàng.
6. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm M,
N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng
minh rằng M, O, P thẳng hàng.
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN HÌNH HỌC
TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 9
7. Cho góc vuông xAy. Một điểm B cố định trên Ax, còn một điểm C chuyển động trên
Ay. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB và AC lần lượt ở M và N.
Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi điểm C chuyển động trên Ay.
8. Trong hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho


0
C ECB 15 .ΕΒ = =
Trên nửa mặt

a) Ba điểm H, D, G thẳng hàng.
b) Tam giác EDF cân.
13. Cho góc vuông xOy tam giác. M thuộc Ox; A, B thuộc Oy. Đường thẳng đi qua A
và vuông góc với AM cắt đường thẳng đi qua B và vuông góc với BM tại P. Gọi H là giao
điểm của AP với MB ; K là giao điểm của AM với BP ; I, K, E lần lượt là trung điểm của
MP, AB và KH. Chứng minh rằng I, E, N thẳng hàng.
14. Cho hình vuông EFGH. Một góc vuông xEy quay quanh đỉnh E có cạnh Ex cắt FG
và GH theo thứ tự tại M và N, còn cạnh Ey cắt các đường FG và GH theo thứ tự tạ P và Q.
Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM. Chứng minh rằng bốn điểm F, H, K, I
thẳng hàng.
15. Cho tứ giác ABCD và một điểm O nằm bên trong tứ giác sao cho các tam giác
ABO, BCO, CDO, DAO có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng hoặc ba điểm A, O, C
thẳng hàng, hoặc ba điểm B, O, D thẳng hàng.
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
10 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH
16. Cho ∆ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE. Gọi I là điểm thuộc đoạn
BC ; H là giao điểm của BD và CE ; N thuộc đoạn AH ; M thuộc đoạn DE. Chứng minh
rằng M, I, N thẳng hàng.
17. Cho hình vuông EFGH. Một góc vuông Exy quay quanh đỉnh E. Cạnh Ex cắt các
đường thẳng FG và GH theo thứ tự tại M và N ; cạnh Ey cắt các đường thẳng FG và GH
theo thứ tự ở P và Q. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM. Chứng minh
rằng 4 điểm F, H, K, I thẳng hàng.
18. Cho

0
xOy 90=
. Lấy điểm M thuộc Ox, A và B cùng thuộc Oy. Đường thẳng đi qua
A và vuông góc với AM cắt đường thẳng đi qua B và vuông góc với BM tại P. Gọi H là
giao điểm của AP và MB ; K là giao điểm của AM và BP ; I, E, N lần lượt là trung điểm
của MP, AB và KH. Chứng minh rằng I, E, N thẳng hàng.