TRAÀN SÓ TUØNG
›š & ›š
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

+=


Giải và biện luận:
– Tính các định thức:
ab
D
ab
11
22
= ,
x
cb
D
cb
11
22
= ,
y
ac
D
ac
11
22
= .

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:
phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các


−=

−=


d)
(
)
( )
xy
xy
2121
22122


++=−

−−=


e)
xy
xy
32
16
43
53
11
25





+=


b)
xy
xy
101
1
12
253
2
12

+=


−+


+=
−+

c)
xyxy
xyxy
2732

3217

+−−=

++−=

f)
xyxy
xyxy
438
356

++−=

+−−=


Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
mxmym
xmy
(1)1
22

+−=+

+=

b)
mxmy

mxym
mxymm
22
(1)21
2

+−=−

−=+

f)
mxym
xmym
21
225

+=+

+=+


Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận. ii) Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
a)
mxym
mxymm
22
(1)21
2


x
D
D
xy
DD
;

==



D
x
≠ 0 hoặc D
y
≠ 0
Hệ vô nghiệm
D = 0
D
x
= D
y
= 0 Hệ có vô số nghiệm

Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 2

Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.


Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
axyb
xy
325

+=

+=−

b)
yaxb
xy
234

−=

−=

c)
axyab
xya2

+=+

+=


d)




Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xyz
xyz
xyz
31
225
230

+−=

−+=


−−=

b)
xyz
xyz
xyz
328
26
36

++=

++=
Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 3
3. Hệ đối xứng loại 2
Hệ có dạng: (I)
fxy
fyx
(,)0(1)
(,)0(2)

=

=


(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
• Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
(I) ⇔
fxyfyx
fxy
(,)(,)0(3)
(,)0(1)

−=

=


• Biến đổi (3) về phương trình tích:
(3) ⇔
xygxy
().(,)0
−=


=


.
• Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm
xy
00
(;)
thì
yx
00
(;)
cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì
xy
00
=
.

4. Hệ đẳng cấp bậc hai
Hệ có dạng: (I)
axbxycyd
axbxycyd
22
1111
22
2222

++=


+=

b)
xxy
xy
2
24
231

−=

−=

c)
xy
xy
2
()49
3484

−=

+=


d)
xxyyxy
xy
22

xy
2
4
250

+=

+−=

h)
xy
xyy
22
235
324

+=

−+=

i)
xy
xxyy
22
25
7

−=

++=


+=


Bài 3. Trong các hệ phương trình sau:
i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.
a)
mxym
xmya
21
221

+=+

+=−

b)
mxym
xmym
3
21

+=

+=+


c)
xym


b)
xy
xxyy
22
4
13

+=

++=

c)
xyxy
xyxy
22
5
8

++=

+++=


d)
xy
yx
xy
13
6

++=



Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xyyx
22
1
6

++=−

+=−

b)
xy
xxyy
22
4224
5
13


+=

−+=



xyxy
22
4422
7
21


++=

++=


f)
xyxy
xyxy
22
11
3()28

++=

+++=


Bài 6. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
xy
xy

1
124

+=+



++=






c)
xy
xy
xy
xy
22
22
11
4
11
4

+++=




xyxy
22
226
1
4

+++=


+++=


f)
xy
xy
xy
xy
1
4
1
()15

+=





++=


c)
xym
xyxym
(1)(1)5
()4

++=+

+=


Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxy
yyx
2
2
32
32


=+

=+


b)
xyxy
yxyx
22

yx
y
34
34

−=




−=


e)
y
y
x
x
x
y
2
2
2
2
2
3
2
3

+

g)
xxy
yyx
3
3
38
38


=+

=+


h)
xyxy
xyyx
2
2
8(1)
8(1)


+=−

+=−


i)
xy

xyy
yxx

Bài 9. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xxmy
yymx
2
2
3
3


=+

=+


b)
xymm
yxmm
22
22
(34)(34)
(34)(34)


−=−

−=−

b)
xyxmy
xyymx
2
2
(1)
(1)


+=−

+=−


c)
m
xy
y
m
yx
x
2
2
2
2
2
2

=+



−+=−

++=


c)
yxy
xxyy
2
22
34
41


−=

−+=



d)
xxyy
xxyy
22
22
35438
59315



−−=



Bài 12. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xmxyym
xmxymym
22
22
(1)


++=

+−+=


b)
xyy
xxym
2
2
12
26


−=

−=+

3. Phương pháp đánh giá: Từ điều kiện của ẩn, xét trường hợp xảy ra dấu "=" ở bất
đẳng thức.
4. Phương pháp điều kiện cần và đủ:
5. Phương pháp hàm số: Chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (α; β). Khi đó, với mọi
a, b ∈ (α; β) ta có: f(a) = f(b) ⇔ a = b.
Chú ý: Các hệ phương trình hoán vị vòng quanh
xfy
yfz
zfx
()
()
()

=

=


=

, thường sử dụng tính đơn
điệu của hàm số để chứng minh x = y = z.
– Xét tính đơn điệu hàm số f(t).
– Chứng tỏ x < y, x > y, … không xảy ra.
– Từ đó suy ra x = y = z. Thế vào hệ đã cho để giải tìm x, y, z.
Vấn đề 1: Phương pháp thế

yx
3
=−

Nghiệm: (1; 2), (–2; 5).

Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

22
22
3(1)
114(2)

+−=


+++=


xyxy
xy

• (2) ⇔ xyxyxyxyxy
22222
2(1).(1)142()411
++++=⇔+++=
(3)
Đặt xy = p.
p
p

+=+
• p = xy =
35
3
−
(loại) • p = xy = 3 ⇒ xy
23
+=±
1/ Với
xy
xy
xy
3
3
23

=
⇒==

+=

2/ Với
xy
xy
xy
3
3
23

=


+−+=


(D – 2009)
• Vì x ≠ 0 nên HPT ⇔
xy
x
xy
x
2
2
3
1
5
()10

+=−




+−+=


⇔
xy
x
x
x



=
∨


+=
+=



. Nghiệm:
3
(1;1),2;
2

−


.
Bài 4. Giải hệ phương trình sau:

xxyxyy
xyxy
3223
6940(1)
2(2)


−+−=



xxy
xxyxyx
2
322
59
32618

• Hệ ⇔
yxx
xxxx+
2
432
95
4518180


=−−

+−−=


⇔
yxx
x
x
x
2
95

=−=

=−−=+


=−+=−


Bài 6. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
xy
20
1412

−−=

−+−=



• Hệ PT ⇔
(
)
(
)
xyxy
xy
20
1412

x
y
2
1
2

=


=



Bài 7. Giải hệ phương trình sau:

xy
xy
xy
xyxy
22
2
2
1(1)
(2)

++=

+



0
+>
nên xyxy
22
0
+++>
)
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 8

Thay
xy
1
=−
vào (2) ta được:
xx
2
1(1)
=−−
⇔
xx
2
20
+−=
⇔
xy
xy
1(0)
2(3)


xy
3
=
, ta có: xy
33
4
−=
và
(
)
xy
33
.27
−=−

Suy ra:
(
)
xy
33
; − là các nghiệm của phương trình:
XXX
2
4270231
−−=⇔=±

Vậy nghiệm của Hệ PT là xy
33
231,231
=+=−−


()
2
32(1)
28(2)

−=


−=


xyxy
xy

• Điều kiện :
xyxy
.0;
≥≥

Ta có: (1) ⇔ xyxyxyxy
2
3()4(3)(3)0
−=⇔−−=
y
xyhayx3
3
⇔==

• Với

Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là:
xx
yy
612
;
24

==

==


Bài 10. Giải hệ phương trình sau:

xyyx
yx
33
22
416(1)
15(1)(2)


+=+

+=+



• Từ (2) suy ra yx
22

x
0
=
⇒
y
2
4
=

⇔

y
2
=±
.
• Với xxy
2
–5–160
=
⇔
x
y
x
2
16
5
−
= (4). Thế vào (3) được:

x

xy
xy
1(3)
1(3)



==−
=−=
.
Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 9

Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)
Bài 11. Giải hệ phương trình sau:

xyy
xyx
2
2
48
2


−=−

=+




x
2
2
2
2
248

+
+−=−


⇔ xx
22
(2)(1)0
−−=
⇔
x
2
=±

⇒ Hệ có nghiệm (x; y) là:
(
)
(
)
2;8,2;8
−−
• Nếu xy < 4 thì
x
2


⇔ x
2
2(2)0
−=
⇔
x
2
2
=
(loại)
Kết luận: Nghiệm (x; y) của hệ:
(
)
(
)
2;8,2;8
−−
Bài 12. Giải hệ phương trình sau:

xyxyxx
xyxx
22
2
(1)(1)341(1)
1(2)


+++=−+


⇔
x
x
1
2

=

=−

(vì x ≠ 0)
Nghiệm (x; y):
5
(1;1),2;
2

−−−



Bài 13. Giải hệ phương trình sau:

xyxyxy
xyyxxy
22
2(1)
2122(2)


++=−

yxx
yxxyxy
2
22
(54)(4)(1)
54168160(2)


=+−

−−+−+=



• Từ (1) ⇒ yxx
22
51616
=−++
.
Thay vào (2) ta được: yxyy
2
2480
−−=
⇔
y
yx
0
24

=

22
(24)51616
+=−++
⇔ x = 0 ⇒ y = 4.
Kết luận: Nghiệm (x; y):
4
(0;4),(4;0),;0
5

−


.
Bài 15. Giải hệ phương trình sau:

xy
xy
xy
xyxyx
22
3
8
16(1)
3321(2)

++=

+




Thay vào (2) ta được:
xx
3
2732
+=−
⇔
xxx
32
291450
−+−=
⇔ xy
17
22

==



Nghiệm (x; y):
17
;
22



.
Bài 16. Giải hệ phương trình sau:
xxyy
xyxy

42
2
22
430
2

−
−+−=


+
⇔
x
xx
x
22
22
22
16(4)
(4)0
(2)
−
−+=
+

⇔ xxxx
2642
(4)(42064)0
−++−=
⇔



(B - 2002)
• Điều kiện:
xy
xy
0
(3)
0

−≥

+≥


(1) ⇔
(
)
xy
xyxy
xy
36
10
1

=
−−−=⇔

=+


(A - 2003)
• Điều kiện xy ≠ 0. Ta có: (1) ⇔
xy
xy
xy
xy
1
()10
1


=
−+=⇔


=−



Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 11

Trường hợp 1:
xy
xyxy
xy
xxxxx
xy
32
1

3
3
4
1
1
1
2
21
1
20()


=−


=−
=−

⇔⇔

=+


−=+
++=




Kết luận: Nghiệm (x; y):

36(2)


−=+

−=


.
Thế (2) vào (1) ta được:
xyxyxy
3322
3()(3)(4)
−=−+
⇔ xxyxy
322
120
+−=

⇔
x
xy
xy
0
3
4

=

=
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 12

Vấn đề 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 1. Giải hệ phương trình sau:

xxyy
xyxy
422
22
4690
2220


−+−+=

++−=



• HPT ⇔

22
20
4
02
4()8


==
+=
⇔∨

==
++=


. Nghiệm
(2;3),(2;3),(2;5),(2;5)
−−
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

xyy
xyxy
333
22
82718
46


+=


. Đặt a = 2x; b =
y
3
. HPT ⇔
ab
ab
3
1

+=

=


Hệ đã cho có nghiệm:
356356
;,;
44
3535

−+


+−


Cách 2: Dễ thấy y ≠ 0. HPT ⇔
xyy
xyxyy
333


=−


±

=



Bài 3. Giải hệ phương trình sau:

xyyxy
xyxy
2
2
1()4
(1)(2)


+++=

++−=



• Dễ thấy y ≠ 0. HPT ⇔
x
yx
y


=


=+−

.
HPT ⇔
uv
uv
2
1

+=

=

⇔
u
v
1
1

=

=

x
y
yx


=


Bài 4. Giải hệ phương trình sau:



++=

+++=


xxy
xxyxyx
2
322
59
32618

• HPT ⇔
xxxy
xxxy
2
2
239
(2)(3)18


+++=

uv
uv
6,3
3,6

==

==

. Nghiệm:
xy
xy
xy
xy
1;3
3;15
17;637
17;637

==

=−=

=−−=+


=−+=−


Bài 5. Giải hệ phương trình sau:





+−=




. Đặt
ux
y
x
v
y
1

=+




=


.
HPT ⇔
uv
uv
2

3



.
Bài 6. Giải hệ phương trình sau:

22
33
21
22
yx
xyyx

−=


−=−



• HPT ⇒
(
)
(
)
xyyxyxxxyxyy
33223223
2222250
−=−−⇔++−=

tttt
32
22501
++−=⇔=
yx
xy
xy
y
2
1
1
1

=

==
⇔⇔


==−
=



Bài 7. Giải hệ phương trình sau:

y
x
xy
x

=+−=
. Hệ PT trở thành:
uvuv
uvuv
3232
11(1)
1422214(2)


+=+=
⇔


++==−


Thay (2) vào (1) ta được:
v
vv
v
vv
2
3
32
1213210
7
214
2

=

+=
⇔⇔∨

==−
=
=





• Nếu v
7
2
=
thì u = 7, ta có Hệ PT:
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 14 yy
xy
xy
x
xy
y
xx
22
22
22

So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT.
Bài 8. Giải hệ phương trình sau:

22
22
14
()272
xyxyy
yxyxy

+++=

+=++


• Từ hệ PT ⇒
y
0
≠
. Khi đó ta có:
x
xy
xyxyy
y
yxyxyx
xy
y
2
22
222

,
+
==+
ta có hệ:
uvuv
vu
vu
vuvv
22
44
3,1
5,9
272150

+==−

==

⇔⇔


=−=
−=+−=




• Với
vu
3,1



.
• Với
vu
5,9
=−=
ta có hệ:
xyxyxx
xyyxyx
222
19199460
555


+=+=++=
⇔⇔

+=−=−−=−−


, hệ VN
Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm:
(1;2),(2;5)
−
.
Bài 9. Giải hệ phương trình sau:





++++=


Đặt
xyu
xyv

+=

=

. HPT ⇔
uvuv
uvuv
()30
11

+=

++=

⇔
uvuv
uvuv
(11)30(1)
11(2)

−=


+−



• Với uv = 6 ⇒
uv
5
+=
. Giải ra ta được các nghiệm (x; y) là:
(1;2)
và
(2;1)

Kết luận: Hệ PT có 4 nghiệm:
(1;2)
,
(2;1)
,
521521
;
22

−+


,
521521
;
22



−−+=


. Đặt
uxx
vyy
2
2
3
4


=−

=+


.
HPT ⇔
uv
uv
1
323

+=

−=

. Nghiệm (x; y):

+>−≥
. Đặt:
uxy
vxy

=+

=−

ta có hệ:

uvuvuvuv
uvuv
uvuv
2222
2()24
22
33
22

−=>+=+

⇔

++++

−=−=


=
⇔==

+=

(với u > v).
Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(thoả đk)
Kết luận: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2).
Bài tương tự:
xyxy
xyxy
2222
2
4

+−−=


++−=



Bài 12. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
xyxy
22
3216
2433

uv
22
()21
38

−+=

+=

. Nghiệm (x; y):
(
)
(
)
33;23,33;23
−+−−−−−+ .
Bài 13. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
xy
x
xy
22
2
3
4()7
()
1
23




+++−=

+

. Đặt
uxy
xy
vxy
1

=++

+

=−

(với u
2
≥
)
HPT ⇔
uv
uv
22
313
3

+=

=
⇔

+
=


−=

.
Bài 14. Giải hệ phương trình sau:
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 16 




=+
=+
358
152
33
22
yx
xyyx

• Hệ PT ⇔

⇔
uv
uv
2;3
3;2

==

==


Nghiệm (x; y):
3
(1;3),;2
2



.
Bài 15. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
xy
211
324

++−+=

+=




=−=−
+=


⇒
x
y
2
1

=

=−

.
Bài 16. Giải hệ phương trình sau:




=++
=++
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx



Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 17

Vấn đề 3: Phương pháp đánh giá



từ (c) suy ra:
3
9(3)27273
zyyz
=−+>⇒>
⇒ (d) không thoả mãn
+ Tương tự, nếu x < 3 thì từ (a) ⇒ 0 < z < 3 ⇒ 0 < y <3 ⇒ (d) không thoả mãn
+ Nếu x = 3 thì từ (b) ⇒ y = 3; thay vào (c) ⇒ z = 3. Vậy: x = y = z =3
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

xy
yz
zx
1
1
1

−=


−=

−=


• Dễ thấy x > 0, y > 0, z > 0.
Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ⇒
yzyz
11

z
y
z
x
z
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1

=

+



=

+


=

⇒ x = 1. Nghiệm (0; 0; 0), (1; 1; 1).
Bài 4. Giải hệ phương trình sau:

xy
xxy
xx
xy
yyx
yy
2
3
2
2
2
3
2
29
2
29

+=+


−+


+=+

−+


xyxy
xyxyxy
22
22
22
22
+=≤≤+

Dấu "=" xảy ra ⇔
xy
xy
1
0

==

==

. Nghiệm: (0; 0), (1; 1).
Bài 5. Giải hệ phương trình sau:

yxx
xyy
3
3
34
262


=−++

−=+−



Dễ dàng thấy (x; y) = (2; 2) là một nghiệm của hệ.
Nếu x > 2 thì từ (1) ⇒ y < 2. Nhưng từ (2) ⇒ x – 2 và y – 2 cùng dấu ⇒ Mâu thuẫn.
Nếu x < 2 thì cũng suy ra điều mâu thuẫn tương tự.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2.
Bài 6. Giải hệ phương trình sau:

xyx
xyy
2
2
1020(1)
5(2)

−=−


=+



HD : Rut ra y
yy
y
x +=
+
=

20
≤
.
Do đó
x
2
20
=
⇔
xy
xy
25(5)
25(5)

==

=−=−


Bài 7. Giải hệ phương trình sau:

•


• Cộng 3 phương trình, vế theo vế, ta được:
xyz
3(4)
++=

Từ (4) và (1) ⇒ z = 2; từ (4) và (2) ⇒ x = 1; từ (4) và (3) ⇒ y = 0.
Thử lại ⇒ Nghiệm (x; y; z): (1; 0; 2).
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

xyxy
yzyz
zxzx
21
27
22

=++

=++


=++


•
xyxy
yzyz
zxzx

(21)(21)(21)225
−−−= ⇔
xyza
xyzb
(21)(21)(21)15()
(21)(21)(21)15()

−−−=

−−−=−


Trường hợp (a) ⇒
x
y
z
211
213
215

−=

−=


−=

⇔
x
y

y
z
0
1
2

=

=−


=−


Thử lại ⇒ Nghiệm (x; y; z):
(1;2;3),(0;1;2)
−−
.
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:

•


+−+=+

+−+=+



• Đặt
ux
vy
1
1

=−

=−

. HPT ⇔
v
u
uu
vv
2
2
13
13


++=


1
++
′
=+>
+
⇒ f(t) đồng biến.
⇒
uv
=
⇒
(
)
u
uuuuu
22
3
13log10
++=⇔−++=
(2)
Xét hàm số:
(
)
guuuu
2
3
()log1
=−++
⇒ gu
()0
′

()5,[1;1]
=−∈− ⇒ fttt
2
()350,[1;1]
′
=−<∀∈− ⇒ f(t) nghịch biến
trên [–1; 1].
Do đó: Từ (1) ⇒ f(x) = f(y) ⇔ x = y.
Thay vào (2) ta được:
xx
84
10
+−=
⇔
xy
4
15
2
−+
=±=

Bài tương tự:
xxyy
xy
33
66
33
1



3
1
81221
+
+=−
xx • Đặt
xx
uv
3
1
20;21
+
=>−=
.
Ta được hệ
uv
uvuv
uu
vuuvuuvv
33
3
322
0
1212
210
12()(2)0


3
3
1221
+=−

• Đặt
yx
3
21
=−
. Ta được hệ
xy
yx
3
3
12
12


+=

+=


⇒ xyxyxy
22
()(2)0
−+++=
⇔
xy

Ta có hệ:
uv
uv
32
238
538

+=

+=

⇔
u
v
uuu
32
82
3
15432400

−
=



+−+=

⇔
u
v
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 22

Vấn đề 7: Hệ phương trình chứa tham số

Bài 1. Tìm m để hệ phương trình:
( )
22
22
2
4

−+=


+−=


xyxy
mxyxy
có ba nghiệm phân biệt.
• Hệ PT ⇔
mxmxm
x
y

+=


+
=

+

+ Khi m ≠ 1. Đặt t = x
2
,
t
0
≥
. Xét ftmtmtm
2
()(1)2(3)240(2)
=−+−+−=
Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có ba nghiệm x phân biệt
⇔ (2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 ⇔
( )
f
m
m
S
m
(0)0
2
23
0

uv
uvm
uvm
33
1
1
13

+=

+=
⇔

=
+=−


.
ĐS: m
1
0
4
≤≤
.

Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
yxm
yxy
2(1)
1(2)

Xét
() ()
=−+⇒=+>
fyyfy
y
y
2
11
2'10

Dựa vào BTT ta kết luận được hệ có nghiệm duy nhất
⇔>
m
2
.
Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau:
a)

Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 23

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)








+=

d)
xy
yx
xyxy
22
5
2
21

+=



++=


e)
xy
yx
xyxy
22
3
3






=

h)
xy
xy
3
3
4
27

+=

=


Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xyxy
xyxyxy
22
3
6

−+=−

+−++=


22
4
112

+++=


++++=



Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xyx
yxy
22
22
232
232


−=−

−=−


b)
xyx
yxy
3

22
22


−=+

−=+



e)
y
x
y
x
y
x
2
2
2
1
2
1

=


−



+


Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22
22
6256
549


−−=

−−=


b)
xxyy
xxyy
22
22
2315
28


++=

++=



e)
xy
xy
55
33
1
1

+=


+=


f)
xy
xy
22
33
1
1

+=


+=



+=



Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyyxy
xxyyxy
22
222
3()
7()

−+=−


++=−


b)
xyxyxy
xyyxxy
22
2
2122

++=−


−−=−



e)
xyxyxyxy
xyxyx
232
42
5
4
5
(12)
4

++++=−




+++=−


f)
xxyxyx
xxyx
4322
2
229
266

++=+


++=



Bài 6. Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm:
a)
xyxym
xyxy
22
(1)(1)
8

++=

+++=

b)
xxyy
xxyym
22
22
1
32


−+=

−+=


+=−
=−
mxyx
yxy
26
12
2
2
f)
xy
xy
xym
xy
33
33
11
5
11
1510

+++=




+++=−



Bài 7. Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:




=+



c)
xym
xxy
20
1

−−=


+=


d)
yxxmx
xyymy
232
232
4
4


=−+


)1(
)1(
(ĐK cần và đủ)

Bài 8.
a)