Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
1 | LOVEBOOK.VN

n cun t thi th kèm li gii chi tit và bình luác gi th khoa, gii
quc gia GSTT GROUP biên son do Lovebook.vn sn xut.
Thời gian thấm thoát thoi đưa, cuốn siêu phẩm (cái tên do các em học sinh tặng) đã chào đời được gần 3 tháng.
Trong 3 tháng qua, chúng tôi đã nhận được rất nhiều những phản hồi góp ý từ các em học sinh và các thầy cô khắp cả
nước:
Theo thầy Nguyễn Minh Tuấn - GV chuyên Hóa - THPT Hùng Vương - Phú Thọ [tác giả của hơn 20 đầu sách ôn thi đại
học nổi tiếng và nhiều tài liệu chỉa sẻ trên mạng): “Đây thực sự là một cuốn sách ôn thi đại học chất nhất, công phu và
tâm huyết nhất mà thầy từng biết tới. Một học sinh ôn thi đại học mà không sở hữu cuốn này thì sẽ thiệt thòi rất nhiều
so với các bạn”.
Theo em Lê Nhất Duy [THPT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp]: “Đây là lần đầu tiên em được đọc một cuốn sách tâm huyết
như thế này. Từng lời bình của anh chị GSTT GROUP rất chất và gần gũi nữa. Kể từ khi cầm trên tay cuốn sách này,
em đã cảm thấy tự tin và yêu môn toán hơn nhiều”.
Theo cô Lê Thị Bình [Thạc sĩ Toán - Hóa] - giảng viên khoa Toán Tin ứng dụng- ĐH Kiến Trúc Hà Nội: "Một cuốn sách
đẳng cấp và thiết thực nhất tôi từng biết. Không chỉ dừng lại ở những lời giải kho khan mà cuốn sách còn cho ta những
lối tư duy, những kinh nghiệm sương máu mà họ trải qua".
Theo Nguyễn Văn Tiến [cựu học sinh Lý Thái Tổ - Bắc Ninh, tân sinh viên Y Hà Nội 29/30]: Lovebook luôn biết cách
tạo ra những ấn phẩm thật hữu ích cho các em học sinh, đặc biệt cuốn Toán. Năm vừa rồi mình chỉ tiếc là chưa có cuốn
Toán, nếu có thì chắc kết quả của mình sẽ trọn vẹn hơn. Tuy nhiên với 2 cuốn Hóa năm ngoái cũng đủ khiến mình đạt
được ước mơ vào đại học Y Hà Nội".
Cun tp 2 g i hc c chn lc và tng hp t các  thi th ng chuyên trên c c trong
c 2013  2014. Ngoài ra cun sách còn có khong gn 300 bài toán luyn thêm sau mi bài tn hình cho
các em luyn.

2sinxsin2x 11cosx cotx
2
cotx 3sin2x




m). Gi
11
x xln x 1
4x 4x

   



m). Tính tích phân I =
 
 
x
5
x
2
e 3x 2 x 1
dx
e x 1 x 1
  
  

.

2
lt là hai nghim c
 
2
z 1 3iz 2 2i 0    
và tha mãn
12
zz
. Tìm giá tr ca biu thc
 
 
2
2
1
1
12
A z 1 z


  
.

m). Trong mt phng vi h trc t Oxy, cho hình thang OABC (OA // BC) có din tích bng 6,
nh A(nh B thung thng d
1
: x + y nh C thung thng d
2
: 3x + y + 2 = 0. Tìm
t nh B, C.
Câu 8.b m). Trong không gian vi h trc t ng cao qua A và

z,w
.
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
3 | LOVEBOOK.VN

LI GII CHI TIT VÀ BÌNH LUN
Câu 1.
1.
nh:  \ {1}.
 bin thiên:
 S bin thiên:
 
2
3
 
x1



vi m .
Hàm s nghch bin trên các khong (; 1) và (1; +).
 Gii hn, tim cn:
xx
limy limy 2
 

;
x1
limy


cng th th (C)  
  biu din c tng và tích x
M
+
x
N
; x
M
x
N
theo bin m.

Tip theo, vng thc khong cách ging thi
khong cách ging thng song song chính bng khong cách ca mm bng thng này
ng thng kia. Trên  thì ta luôn lc mm K có t nh  dùng khong cách s c
khong cách t n MN   dài cnh PN = d(K, MN) (theo mt n m).
Vy d kin cui cùng là d king chéo. Vì ta có tng và tích x
M
+ x
N
, x
M
x
N
theo bin m nên vi dài
u d nh lí Pytago ta s có ngay: MN
2
+ NP
2
= PM

+
1


y 

+
2
2
y
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 4
 m cng thng MN và (C) là:
  
2x 1
3x m 2x 1 x 1 3x m
x1

      

(d thy x = 1 không tha mãn)
 
2
3x m 5x m 1 0     
(*).
(*) có bit thc  =
   
2
2
m 5 4.3 m 1 m 2m 37 0       

+ m) và N(x
2
; 3x
2
+ m) thì
MN
2
= 10(x
1
 x
2
)
2
= 10
 
2
1 2 1 2
x x 4xx




= 10
2
5 m m 1
4.
33


  

2
(K, MN) =
 
2
m 11
10

.
Áp dnh lí Pytac: MN
2
+ NP
2
= PM
2

 
 
 
2
2
2
m1
m 11
10
m 2m 37 5 2
289
9 10
m
109






 bn cht cc cht n t = sinx.
Bài gii:
u kin:
0
0
x
x
x
2
0
1
x
x
1
x 6 x 0
x 3 0
6
x
x0






  

sinx sinx
22
cosx 1
3.2sinxcosx 3.2sinx
sinx sinx
   
  

(do cosx  0).
2 3 2
11
4sin x 11 2 6sinx 4sin x 12sin x 11sinx 3 0
sinx sinx

         



Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
5 | LOVEBOOK.VN
   
2sinx 1 2sinx 3 sinx 1 0    
π
x k2π
π
x k2π
6
5π
2
1

6

5π
6

Câu 3.
ng: u kin x > 0 là không th thiu.
Nhn tha hàm hu t và c hàm logarit (hai hàm khác tính chn
  u.
u tiên giúp ta phát tring gii cho bài toán: Chúng ta nên dùng hàm s theo kiu
hay là nên dùng hàm s theo kiu hàm g(f(x)) = g(h(x)), vu?
 Nu tring th nh vio hàm tránh phc tp, chúng ta s nên chia hai v cho x. Bi vì ta
lo hàm ca
1
x.ln x
4x








thì s phc ti vic lo hàm ca ln
1
x
4x



6x 1
2x 1 4
x
4x
x



  
  


.
Vy viu cc không âm vi
 ng vi nn nhé o hàm có nghim (và ch có mt nghi
v c bng bin thiên ca hàm s, và bi có nghip cho chúng ta nhn xét!
Tht vy, th lp bng bin thiên thì thy ngay VT(*)  0. Dng thc xy ra khi x =
1
2
(chính là nghim ca
o hàm luôn!).
 Nu tring dùng hàm s. Cách này s c các bio
hàm dùng!
ng:
A(x)
A(x) ln B(x)
B(x)

(vi m
thành:

u kii:
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 6

2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 ln x 1 ln x 1
4x x x
4x 4x 4x

     
        

     
     


2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
1 ln 1 lnx 1 ln 1 ln
x x x
4x 4x 4x 4x
         
           
         
         
(*).
Xét hàm s f(t) = t + l
1
  

4x

      


.
Vy nghim cng trình là x =
1
2
.
Cách 2.
u kin x > 0. Chia hai v cc:
22
1 1 1 1 1 1
1 ln x 1 ln x 0
4x x x 4x
4x 4x
   
         
   
   
.
Xét hàm s f(x) =
2
1 1 1
1 ln x
x 4x
4x

   

  


;
1
  
2
  
(do x > 0).
Lp bng bin thiên cho ta f(x)  0 vi mi x > 0. Ta có f(x) = 0  x =
1
2
.
Vy nghim c
1
2
.
Bài tp cng c:
Gi
xx
1969
2014 xln 1969
2014

: x = 0).
Câu 4.
ng: Nhn thy tích phân có cha c hàm vô t, hu t và c 
ng phn, hoc tác dng I =
bb
aa

  
thì vng

g(x)
. Vy
phi làm sao? Không l li b cuc gia ch gp dng này thì mun xut hin dng

g(x)
thì
nhiu lúc ta phi cùng chia c t c mu cho mng,
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
7 | LOVEBOOK.VN
hoc là nhân t  mu s hoc t s), hoc có lúc là nhân c t và mu vi mt  xut hic
d xem nhé!
Vc di này thì ta s ng:
ng 1: Chia hai v cho e
x
c:
 
x
2x 1
x1
x1
e



 y xut hin dng

g(x)

 
 
x
55
x
22
e 2x 1
I dx dx
e x 1 x 1


  

.
+)
5
5
1
2
2
I dx x 5 2 3    

.
+)
 




x

2
2e 1
I I I 3 ln
e1

   

.
Câu 5.
ng: T di dài 4 cnh, và lc bim C,
D (AC = AD, BC = BD)  A, B nm trên mt phng trung trc ca cnh CD. Và mt phng trung trc này chính là
mt phm M ca CD  góc gia hai mt phng (ACD) và (BCD) chính bng
AMB
hoc
bng


0
180 AMB
 ln góc
AMB
là nh 
0
hay l
0
).
ng thi bài ra còn cho thêm khong cách gia mn mt phi din và cho thêm c th tích khi t
din  d c din tích mACD   dài CD (do  dài 2 cnh) 
nh các thông s v 3 cnh  tính ng cao BCD).
Ngoài ra nhn thy có khong cách t n (ACD) nên sin

= 3
5

Mt khác: S
ACD
=
1
2
AC.AD.sin
CADH
A
B
C
D
M
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 8
 sin
CAD
=
DAC
2S
AC.AD

=
2.3 5
3 2.3 2

3
 CD =
22
AC AD 2AC.ADcosCAD
= 2
3

 BM =
2
2
22
CD 2 3
BC 3 6
22


   





.
 sin
BMH
=
BH
BM
=
3

3 x 1
. Th c khi chia thì
ta phng h m bo


3 x 1
 0). Khi ta th x = 2 vào v trái thì thy rng v 
bng 0  chc chn v trái có th c nhân t (x  2)  nhân t (x  2) có th c cho


3 x 1
(vì c u có nghim bng x = 2). Tht vy:
x  2 = 
 




3 x 1 3 x 1 3 x 1

       

.
Vy nên ta chn cách thun li gi trái cha nhân t


3 x 1
 bài gic
ngn g
VT =

3 x 1 x 1 x 3 x m 3       
.
H
A
B
C
D
M
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
9 | LOVEBOOK.VN
Cái khó còn l lí nhân t th hai:
     
3 x 1 x 1 x 3 x m 3 0 m 1 x 3 x 1 x 3 x 3                 
(1).
X  ng thì ta s t
  
2
t 1 x 3 x t 4 2 1 x 3 x        

 (1) gc x lí. Th i các bn thc vic gii thì s chn cách
kho sát v phi ca (1) luô không mt thi gian bin lun theo n t na.
Bài gii:
u kin
x1 3 
.
i:



   

x2
m 1 x 3 x 1 x 3 x 3




       


(*)

 m phân bit khi và ch khi (*) có hai nghim phân bit khác 2.
Xét hàm s
    
f x 1 x 3 x 1 x 3 x 3       
trên
1;3



.
Vi mi
 
x 1;3
:
  
1 1 2x 2
 
2 1 x 2 3 x
2 1 x 3 x

5;
2
m




 
2 2 3
.
Câu 7.a.
ng:  m M nên có th ving thng   dng tng quát:
a(x  x
M
) + b(y  y
M
) = 0.


3
1
+
 





f(x)


y2
ab




   

  

  

  
   
      
   








u kin a  b).
+) Hình chiu H ca A lên Ox s có t là H(x
A
; 0)  H
3a 2b
0


  
 
22
22
a 2b
a 2b 2a b 2a ab 2b 0 b 2a
2a ab 2b 0



       


  


 Nu a = 2b  chn b = 1  a = 2 (tha mãn)  : 2x + y  6 = 0.
 Nu b = 2a  chn a = 1  b = 2 (tha mãn)  : x + 2y  3 = 0.
Vi a  b thì
 
 
2
2 2 2 2
13
2a ab 2b a b a b 0
22


z  2a = 0.
ng x ng x t phng mt cách gián tip).
+) Tng khong cách t n mt phng (P) là:
h = d(B, (P)) + d(C, (P)) =
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a 2b
3. 2a
4b 2a 32b a
3
a 2b a 2b a 2b
a b a b a b
2 2 2




     
  
     
     
     
.
Áp dng bng thc Bunhiacpc:
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
11 | LOVEBOOK.VN
h =
 
2








.
ng thc xy ra 
a 2b
ab
2
ab
2 2 1

    

 chn a = 3  b = 3  (P): 3x  3y  z  6 = 0.
Nhn xét: Mu cht cng th nào cho h 
ch n vic dùng bng thc cho mu s cho hp lí.
t ch  cp  .
Ta dùng bng thc:
 
 
2
2 2 2 2 2
a2 a1
xa yb
b
x y 1 a b b x a y 1b

x a y 1b
2

  


rút gc cho t s thì ta phi có
 
1
y 1 2x
2

   


(2).
Gii h (1), (2) c x = c áp bng thc Bunhiacpu d dàng .
 Vi bài toán này thì cách s di s là tt. Vic s dc s rt phc tp
trong vic bin lun, dn ng nhn kt qu  bài làm sai.
Câu 9.a.
n, ch yêu cu bn nc cách gic 2 trong tp s phc
i khuyên cho các bc nghim ci thì chng di gì li trình bày
c giy thi c! Hãy dùng cách phân tích nhân t  trong
bài làm, ta ch cn dùng các d không cn vit câu ch gì nhiu nhé .
Bài gii:
i:
      
2
z 2i
z 2i 1 i z 2i 1 i 0 z 2i z i 1 0

2i i 2 2 2



           


.
Câu 7.b.
ng: Do t cng thnh  dng ca
 ng thng BC (ch cha mt n cn tìm là m). Vy hoàn toàn có th c t m B
và C theo mt n m, da vào h m cng thng BC vng thng d
1
c B); h
m cng thng BC vng thng d
2
c C).
Cui cùng ta khai thác d kin din tích: S =
   
1
OA BC dOBC
2
 .,
 t n duy nht
là m  tìm m  t B, C.
Bài gii:
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 12

x 0 y 0

(OA + BC).d(O, BC)

2 2 2 2
22
m
1
( 1) 2 (2m 3) (4m 6) . 6
2
21

      



 
2m 3 1 m 12   
(*).
 gi là phá du giá tr tuyi!
 Nu m < 0 thì (*) thành: (3  2m + 1).(m) = 12  m
2
 2m  6 = 0  m = 1 ±
7
.
Kiu kin ta ch ly nghim m = 1 
7

 
B 7 1 7;
và
 

= (1; 2; 1).

2
:
x 1 t
y 4 2t
z 3 t








 B(1 + t; 4  2t; 3 + t) 
CB
= (t  2; 2  2t; t).
d
1
ng cao k t A nên
1
u.CB 0
 (t  2) + (2  2t) + (2).t = 0  t = 0  B(1; 4; 3).

3
1
u BC
2





  









     


. . .
 H(1; 2; 5).
+) Thy r
2
  A(1; 2; 5) và ABC vuông ti A.
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
13 | LOVEBOOK.VN
Din tích tam giác ABC là: S =
1
2
AB.AC =
1
.2 2.2 2
2

(d thy w = 2 không tha mãn).
Th  hai ca h c:

  
2
2 4 3 2 2 2
w7
w 2w 2 w 6w 15w 2w 57 0 w 7w 19 w w+3 0
2w


              




2
2
22
7 3i 3 5 3i 3
wz
22
7 27
7 3i 3 7 3i 3 5 3i 3
w
w w z
w 7w 19 0
24
2 2 2 2
w w 3 0


   




  
  





     










  
  



Vy h m:

 
2
2 2 2
w 3w+m 2m 6w 21 3mw m 57      
(*).
Mun v phi là mc có th ng âm cA
2
) thì:

   
 
2
2
77 3 33
1 3m 2m 6 m 57 0 m 11 m
4

        
.
m mn m = 11. Thay m = 11 vào (*):
 
 
  
2
2
2 2 2 2
w 3w+11 16w 64w 64 4w 8 w 7w 19 w w+3 0          
.
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 14




m). Tính tích phân I =
   
π
2
π
3
sin2x cosx 1 2xcosx 1lnx
dx
sinx xlnx
   


.
   m).           i C, cnh AB = 2a và
góc
ABC
= 30
0
. Mt pho vi mt góc 60
0
. Tính th tích ca kh 
và tính khong cách ging th
m). Cho các s thc a, b, c thun [0; 1]. Chng minh rng:
   
a b c
1 a 1 b 1 c
b c 1

m). Trong mt phng vi h trc t Oxy, cho hình vuông ABCD. Gi M là trunm ca cnh
n CD sao cho CN = 2DN. Bing th y  m M có
t M
11
2
2



;
. Tìm t m A.
Câu 8.b m). Trong không gian vi h trc t Oxyz, cho bm A(1; 2; 3), B(2; 3; 1), C(0; 1; 1) và
D(4; 3; 5). Lt phng (P) bing thu (P).
m). a s phc z, bit rng
3
z 12i z
và z có phn th
 HT 
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 16
LI GII CHI TIT VÀ BÌNH LUN
Câu 1.
1.
nh:  \ {2}.
 bin thiên:
 Chiu bin thiên:
 
2
5
 

2




;
, ct trc
hoành tm (ng thi (C) nhm ca
ng tim ci xng.
2.
ng: Chc chn là trong quá trình x lí bài toán thì ph m ca
(C) vi (d). Th m có dng bc 2 nên vi
Gi hai nghim c
1
, x
2
thì theo bài ra, x
1
và x
2
phi trái du  ac < 0.
Tip tc x lí góc
AOB
nh ý rng
AOB
chính là góc hp b
OA
và
OB
ng thi thy rng trong

x
2
< 0
 P = 2m + 3 < 0  m <
3
2

(**).
nh lí Viét ta có:
12
12
x x m 1
xx 2m 3
  





+) Không mt tính tng quát, gi s A(x
1
; x
1
+ m) và B(x
2
; x
2
+ m).
x
O

1 2 1 2 1 2 1 2
OA.OB 0 xx x m x m 0 2xx mx x m 0            

   
2
22m 3 mm 1 m 0 3m 6 0 m 2           
.
Kt hp vi (**) ta kt luc các giá tr m c
3
2
2





;
.
Cn nh:
AOB
nhn 
OA.OB 0
.
Câu 2.
Nhn xét:  dng khá thun, ta bii tanx =
sinx
cosx
c ngay d
trình quen thuc vng gii là phân tích nhân t chung:
cosx(cos2x + sin2x  cosx)  (1  sinx)sinx = 0 (*).


; còn
3π
4

là nghim c
1
cosx 0
2




. D ng
1
cosx
2




và
1
cosx
2




u là nhân t c nhân t chung

 t hin ri! Vic d  ca chúng ta thành công m mãn 
Bài gii:
u kin: x 
π
2
(1).
i:
cos2x + 2sinxcosx  cosx  (1  sinx).
sinx
cosx
= 0
 cosx.cos2x + 2sinx.cos
2
x  cos
2
x  (1  sinx)sinx = 0
 cos2x.cosx + sinx(2cos
2
x  1)  (cos
2
x  sin
2
x) = 0
 cos2x.cosx + sinx.cos2x  cos2x = 0
 cos2x.(cosx + sinx  1) = 0 
π
π kπ
2x kπ
x
2x 0





cos
cos sin
cos

Kim tra lu kin (1), ta kt lu nghim là x =
π
4
+
kπ
2

Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 18
Câu 3.
ng: Cu tiên khi gp phi b. ng th,
u kinh c.
 u kinh c 0.
c tic biu phi tha nhn là b
ngay tronc ri (mung hp là x > 0 và x < 0), trong
c x nh vào b
gii bu kin phc tt vng vi
bng xét d kt lun nghim ca b
Bi:
   
 
22

x4x 9x 6 x4x 3x 2 1 1      
.
u ngo c d 
3
3 2 3 2
4x 9x 6x 1 4x 3x 2x 1      
(*).
 trái là mc bc ba. V phi là mc bc 3. Vy gii theo cách thông
ng là l s chc kt qu tt n ph g không kh quan, bi nt
thì ch c
3
32
t 4x 3x 2x 1   
mà không biu ding còn li theo bin.
c b ti hình thc ct v bc 3, mt v
cha c này.
Ta s nhm tính dùng hàm s bc ba, bng cách thêm vào hai v mng la v phi (*).
ng ép, bi khi cng thêm vào hai v mng là
 
32
4x 3x 2x 1  
thì bên
v phi xut hin s ha cao nht là 8x
3
= (2x)
3
, là la m
(*) 
3
3 2 3 2 3 2









Vic còn li ca là trình bày ra giy na thôi nhé .
Bài gii:
u kin:
   
22
3
x4x 3x 2 1 1 x4x 3x 2 0 x 0.    

Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
19 | LOVEBOOK.VN
Bt i:
   
 
22
3
2
3
x4x 9x 6 x4x 3x 2 1 1
x4x 3 1
0
x 2 1
      



= 3t
2
+ 1 > 0 vi m ng bi
Mt khác (1) có dng
 
33
3 2 3 2
f 2x 1 f 4x 3x 2x 1 2x 1 4x 3x 2x 1

          

 
3
3 2 3 2
9 17
2x 1 4x 3x 2x 1 4x 9x 4x 0 x 0 x
8

             
.
Lp bng xét du ca v phi (**):

Da vào bng xét du, ta kt luc tp nghim ca b
S =
 

3. Gii b
2
3
23 2
2x. 6x33x 35 5x 2x 4x 3    

5 97
x
12
71
9



).
Câu 4.
ng: Li mt tích phân bnh na cha tng hp nhiu loi hàm (hàm hu tng
giác). Vi cc bit và mu s cha hn hp nhiu hàm, nên vic dùng tích phân tng ph
không có tác dng gì. Tu tiên ca chúng ta v dng:
bb
aa

I f(x)
g(x)


 nhn ra khi mà t s có nhiu s hng vi mu s, vy nên ta s tách  t s thành
d ta s tách nhng du ngoc  t s  hng có cha xlnx và nhóm li vi
s hng thích hp, c th là:
x

Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 20
T s =
sin2x cosx 1 2cosx.xlnx lnx   
 s hng cha xlnx là 2cosx.xlnx   c dng f(x).g(x)
(vi g(x) là mu s) thì phi nhóm (sin2x + 2cosx.xlnx) = 2cosx.(sinx + xlnx).
ng còn li là (cosx + 1 + lnx) chính bo hàm ca mu s.
Bài gii:
Ta có:
   
π
2
π
3
sin2x 2cosx.xlnx cosx 1 lnx
dx
sinx x
I
lnx
   


   
π
3
2
π




π π 3 π π
2 3 ln 1 ln ln ln
2 2 2 3 3




     








Vy I =
π π 3 π π
2 3 ln 1 ln ln ln
2 2 2 3 3


    


Nhim v ca bây gi là ch dp lí. Mun thc hin
u này thì hãy chú ý r  y có mt mt pht

B
C

A


M
H
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
21 | LOVEBOOK.VN
m thuc AB (mt phng thi mt phng này còn vuông góc vi mng thng
t ph ng cao  trong mt phn li nht!
Bài gii:
+) Gm ca AB. Do ABC cân ti C  CM  AB. Mt khác AB   góc gia hai mt phng (ABC)


= 60
0
.
Ta có: CM = BM.tan
CBM
= a.tan30
0
=
a
3
.



 AB   nu trong  MH   MH   MH.
 MH  
+) i M nên
2 2 2
2 2 2
2
a
.a
    
3
MH
2
  
 
a
a
3
     






.
Mt ph song vi AB nên:

a

   
a b c
1 a 1 b 1 c 1
b c 1

    

.
Xét
   
a b c
f(a) 1 a 1 b 1 c 1
b c 1

     

trên [0; 1]. nh lý: (P  1)  max{f(0); f(1)}.
Mt khác:
+) f(1) = 0.
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn Toán tập 2- LOVEBOOK.VN
LOVEBOOK.VN | 22
+) f(0) =
  
 
 
 
22
22
bc
b c 1 bc 1

1 a 1 b 1 c
b c 1

   

.
S dng bng thc Cauchy ta có:
           
 
3
1 1 1 a 1 a
b c 1 1 b 1 c b c 1 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c
3 27 27b c 1 b c 1

                
   
.
ng thc xy ra  (a, b, c) = (1; 1; 1), (1; 0; 0), (1; 1; 0) và các hoán v vòng.
Bài tp cng c:
Cho các s thc a, b, c, d thun [0; 1]. Chng minh rng:
    
1 a 1 b 1 c 1 d a b c d 1        
.
Gi ý: Xem v trái là hàm vi bin a  nh lí ln 1 thì ta có: f(a)  min{f(0), f(1)}.
+) f(1) = 1 + b + c + d  1.
+) f(0) = (1  b)(1  c)(1  d) + b + c + d = g(b).
Tip tn b thì: g(b)  min{g(0), g(1)}.
+) g(1) = 1 + c + d  1.
+) g(0) = (1  c)(1  d) + c + d = 1 + cd  1.
 min{g(0), g(1)}  g(b)  1  f(0)  g(b)  1  min{f(0), f(1)}  1  f(a)  u phi chng minh).

   



;
ca AC thuc BD

a d 2 a 5d 16
5. 7 0 4a 20 0 a 5
22
   
       
 A(5; 6).
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
23 | LOVEBOOK.VN
+) AD  ID 
     
2
d2
ADID 0 d 5 d 1 5d 13 5d 11 0 26d 126d 14
37
d
1
0
3
8



            


   


.
.
 m BD).
Vy A(5; 6), B(3; 8), C(0; 5), D(2; 3).
Câu 8.a.
ng: c tâm và bán kính ca mt cu (S). Khi có
c bán kính mt cng tròn giao tuyn ca (S) vi (P)
 c khong cách t n (P) nh nh lí Pytago. Mt khác (P) li
cha   có th gc dng tng quát cu kin này là
có th t phng (P).
Bài gii:
+) Mt cu (S) có tâm I(1; 2; 2) và bán kính R = 5.
Do (P) ct (S) theo mng tròn có bán kính r = 4 nên khong cách d t
n mt phng (P) là:

d = d(I, (P)) =
2 2 2 2
R r 5 4 3   
.
ng thng  m M(0; 0; 5) và có m 
u
= (1; 1; 4).
Gi
P
n
n cu kin a



    
22
b 2c
17b 86bc 104c 0 b 2c 17b 52c 0
52c
b
17



        




 Nu b = 2c  a = 2c  chn c = 1  a = b = 2  (P): 2x + 2y + z + 5 = 0.
 Nu b =
52c
17
 a =
16c
17
 chn c = 17  a = 16 và b = 52  (P): 16a + 52b + 17c + 85 = 0.
Câu 9.a.
+) Do không có trn hòa nên xác sut ch Hin thua mt ván là 1  0,4 = 0,6.

.0,4 = 0,13824.
 Xác su ch Hin thng là P(H) = 0,31744.
Câu 7.b.
ng: ng, vi mt hình vuông cnh bng 1 chng
hc  v m M, N c nh trên hình
vuông ri thì chc chn mu rng, các góc trong hình v t
k là góc nào to t m A, B, C, D, M, N trên hình vu
có th c!
 dài cc,
 i so vi m dài
b ng thm M, vy nên
vi
MAN
s là mt bin pháp thun l c ta
 m A, nh vic vip vng thng AN
mt góc
MAN
t!

Bài gii:
t AB = BC = CD = DA = a thì BM =
a
2
và CN = 2DN =
2a
3
.
nh lí côsin trong c:
     
2 2 2 2 2 2

   

   
   
.
 y  3 = 0  A(x; 2x  3) 
11 7
AM x 2x
22

  


;
.
 
AN
u
= (1; 2).
Ta có:
 
2
2
AN
22
22
11 7
1 x 2 2x
22
1 25 85


;
;

Vm A th bài là A
1
(1; 1) và A
2
(4; 5).
Nhn xét, cách gii khác: Bài gii trên ch là mt trong s các cách có th  nh
c góc
MAN
thì ta còn có th da vào công thc cng cung, ví d 
Cách 1:
A
B
C
D
N
M
Truy cp website: hoc gi ti s n tho có th s hu cun sách này.
25 | LOVEBOOK.VN




11
BM DN
π tanMAB tanNAD
23

1
1 tanMAD.tanNAD
1 2.
3


     



Và còn nhing n tip cn góc
MAN
dnh lí sin, cosin, cng cung.
Câu 8.b.
ng: c  dùng gián tit phng (hai a
vào d kiu (P)  mi quan h t l a : b  c mt phng (P)  xong phim!
Bài gii:
+) Gt phu kin a
2
+ b
2
+ c
2
 0).
 a + 2b + 3c + d = 0  d = a  2b  3c (1).
 2a + 3b  c + d = 0  c = 2a + 3b + d (2).
T (1) và (2)  c =
3a b
4



             


     


.
.

 Nu 7a = 3b, chn a = 3  b = 7  c = 4 và d = 23  (P): 3x  7y  4z + 23 = 0.
 Nu a = b, chn a = 1  b = 1  c = 1 và d = 4  (P): x  y  z + 4 = 0.
Nhn xét: Khi bic mt mt phm thì vit phng mt cách
gián tip s rt thun li cho vic gii toán.
 cng c thêm, các bn hãy gii các bài tp sau:
Bài 1. Trong không gian vi h t Oxyz, cho bm A(1; 1; 1), B(2; 1; 3), C(0; 0; 2) và D(2; 3; 5). Lp
t phng (P) bing thi khong cách t n mt phng (P)
gp hai ln khong cách t n mt phng (P).
Bài 2. Trong không gian vi h t Oxyz, cho bm A(2; 1; 3), B(1; 2; 3), C(1; 0; 2) và D(2; 2; 1). Lp
t phng (P) bing thi khong cách t n mt phng (P)
bng mt na khong cách t n mt phng (P).
Câu 9.b.
t z = x + yi (v
z x yi
.
+) Theo bài ra:

 
   
3