Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Chuyên đề 2: Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình
Và hệ bất phơng trình đại số
Đ1. Hệ phơng trình phơng trình đại số
Một số dạng hệ phơng trình thờng gặp
1) Hệ phơng trình bậc nhất: Cách tính định thức
2) Hệ phơng trình đối xứng loại 1: Hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và ngợc lại
3) Hệ phơng trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trò của x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia
và ngợc lại
4) Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2: Xét 2 trờng hợp, sau đó đặt x = ty
5) Một số hệ phơng trình khác
Các ví dụ
Ví dụ 1. Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ phơng trình



=+++
=++
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy

a) Giải hệ khi m = 12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phơng trình
2 2 2
1 1
2


=+
=+
222
6 ayx
ayx

a) Giải hệ khi a = 2
b) Tìm GTNN của F = xy + 2(x + y) biết (x, y) là nghiệm của hệ
5) Cho hệ phơng trình





+=+
+=+
ymx
xmy
2
2
)1(
)1(
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
6) Giải hệ phơng trình:







+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
(KB 2003)
HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1
TH2 chú ý: x>0, y> 0 suy ra vô nghiệm
Ví dụ 3. Giải hệ phơng trình:





=+
=+








+=
+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2
2
2
2
2
HD:



=
=
223
2 axx
yx

xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ

a = 8
Ví dụ 8. Giải hệ phơng trình:





+=
=
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
HD: Rút ra
y
yy
y
x
+=
+
=
55
2

2
)1(
3
yxyx
yxyx
(KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung

(1;1) (3/2;1/2)
Ví dụ 10.





=+
=++
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có nghiệm
HD: Từ (1) đặt
2,1
+=+=
yvxu
đợc hệ dối xứng với u, -v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
1)




=++
=++
095
18)3)(2(
2
2
yxx
yxxx
4)





++=+
=
2
)(7
22
33
yxyx
yxyx
HD: tách thành nhân tử

4 nghiệm
5)




=++
=++
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
Đặt X = x(x + 2) và Y = 2x + y
8)
2 2 2 2
2 (1)
4
x y x y
x y x y

+ =


+ + =


HD: Đổi biến theo v, u từ phơng trình (1)
3
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
9)





4
=++
xx
vô nghiệm bằng cách tách hàm số

kq: 3 nghiệm
11)





+=+
+=+
axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
12)





=+
=+
3

Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Phơng pháp hàm số
4
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
2) Phơng trình, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối

( )
2 2
0
( 0)
A B A B
A B
A B B
A B
A B B A B B
< <
>

>

<

< < < >
3) Phơng trình, bất phơng trình chứa căn thức
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm m để
mxxxx
++++
)64)(3)(1(
2

2
++
xxx
2)
xxx 2114
=+
: x = 0
3)
510932)2(2
22
==+
xxxxx
4)
211
22
=++
xxxx
HD: Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải
5)
023)3(
22

xxxx
KD 2002
Ví dụ 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm






2
1
+=
t
x
xt
, AD BĐT cô si suy ra ĐK
Ví dụ 7. Giải bất phơng trình:
4
)11(
2
2
>
++
x
x
x
HD: + / Xét 2 trờng hợp chú y DK x> = - 1
+ / Trong trờng hợp x 4, tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT
Ví dụ 8. Cho phơng trình:
mxxxx
++=+
99
2
. Tìm m để phơng trình có nghiệm
HD: + / Bình phơng 2 vế chú ý ĐK
+ / Đặt t = tích 2 căn thức, Tìm ĐK của t
+ / Sử dụng BBT suy ra KQ
Ví dụ 9. Giải bất phơng trình (KA 2004) :
3

ĐS a = - 1 và a = 3
2) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm:
mxx
+
41624

3)
16212244
2
+=++
xxxx
4)
12312
+++
xxx
5)
1212)1(2
22
=+
xxxxx
HD: Đặt
12
2
+=
xxt
, coi là phơng trình bậc hai ẩn t
6)
2
2)2()1( xxxxx
=++

32)2()(
2
+=
axxxf
ĐS a 4 ; a 0
Chuyên đề 3: Lợng giác
Đ1. Phơng trình và hệ phơng trình lợng giác
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức biến đổi lợng giác
6
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Một số dạng phơng trình cơ bản
Phơng trình bậc 2, bậc 3 theo một hàm số lợng giác
Phơng trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c
Phơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx: a. sin
2
x + b. sinx. cosx + c. cos
2
x + d = 0
Phơng trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx:
a. sin
3
x + b. sin
2
x. cosx +
c. sinx. cos
2
x + d. cos
3
x = 0

Ví dụ 2.
)1(sin
2
1
3
2
cos
3
cos
22
+=






++






+ xxx

HD: Sử dụng công thức hạ bậc
xx sin
3
cos).2cos(.21

=

+
ữ ữ

HD: Đặt ĐK rút gọn MS = 1; AD công thức nhân 3; ĐS x = -

/6 + k

Ví dụ 5.
3 tan (tan 2.sin ) 6.cos 0x x x x + + =

HD: Biến đổi theo sin và cos đợc
0)cos21(sin)cos21(cos.3
22
=++
xxxx
ĐS x =

/3 + k

Ví dụ 6.
3.tan 6sin 2sin( )
2
tan 2sin 6sin( )
2
y
x y x
y
x y x

1
sin.4cos2sin.3cos
++=
HD: BĐ tích thành tổng rút gọn
Ví dụ 8.
2
1
5cos4cos3cos2coscos
=++++
xxxxx
HD: nhân 2 vế với 2. sin(x/2) chú y xet trờng hợp bằng 0
NX: Trong bài toán chứa tổng
cos cos 2 .. cos
sin sin 2 .. sin
T x x nx
T x x nx
= + + +


= + + +

thực hiện rút gọn bằng cách trên
Ví dụ 9.
2 2
tan .sin 2.sin 3(cos 2 sin .cos )x x x x x x = +
HD: BĐ sau đó đặt t = tg(x/2)
Ví dụ 10.
2
9
sin

Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Phơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN:
xx
xx
y
24
24
cos2sin.3
sin4cos.3
+
+
=
HD: t = cos2x, tìm Max, Min trên 1 đoạn

M = 8/5 m = 4/3
Ví dụ 2. Cho phơng trình:
tgxxmx
+=
1cos.2cos
2
1) Giải phơng trình khi m = 1
2) Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /3]
HD: t = tgx,
0; 3t



; Lập BBT f(t)

44
=++++
mxxxx
Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn [0; /2] ĐS: [ -10/3; -2]
Ví dụ 6. Cho phơng trình
3cos2sin
1cossin2
+
++
=
xx
xx
a
1) Giải phơng trình khi a = 1/3
2) Tìm a để phơng trình có nghiệm
HD: Đa về dạng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + 1 ĐS [ -1/2, 2]
Ví dụ 7. Tìm nghiệm của pt sau trong khoảng (0, ) :






+=
4
3
cos212cos.3
2
sin4
22

x
cos
1
3cos.2
sin
1
3sin.2
+=
5)
2
1 cos2
1 cot 2
sin 2
x
x
x

+ =
HD: Chú ý ĐK

ĐS: x = -

/4 + k

/2
6)
2
cos2 cos (2.tan 1) 2x x x+ =
7)
03cos2cos84cos3

0;2

của phơng trình
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5
+=






+
+
+
x
x
xx
x
KA 2002
2) Giải phơng trình
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3
1 tan
cos
x x

0;
2

(DB 2002)
6) Giải phơng trình
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x
+
=
(DB 2002)
7) Giải phơng trình
2
tan cos cos sin 1 tan .tan
2
x
x x x x x

+ = +
ữ

(DB 2002)
8) Cho phơng trình

x
= +
+
(KA 2003)
11) Giải phơng trình
( )
3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x + + =
(DBKA 2003)
12) Giải phơng trình
( )
2
cos 2 cos 2 tan 1 2x x x= =
(DBKA 2003)
13) Giải phơng trình
6 2
3cos 4 8cos 2cos 3 0x x x + + =
(DBKB 2003)
14) Giải phơng trình
( )
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x




(DBKD 2003)
17) Giải phơng trình
2sin 4
cot tan
sin 2
x
x x
x
= +
(DBKD 2003)
18) Giải phơng trình
( )
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x =
(KB 2004)
19) Giải phơng trình
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x + =
(KB 2004)
Chuyên đề 4: Mũ & Lôgarit
Đ1. Phơng trình và hệ phơng trình Mũ lôgarit
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức về mũ và lôgarit.
Giới thiệu một số phơng trình cơ bản.
Khi giải phơng trình về logarit chú ĐK.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho phơng trình:
0121loglog
2
3

)3(log
2
1
2
8
4
2
xxx
=++
HD: ĐK x>0 Và x1; ĐS x = 2,
332
=
x
Ví dụ 4.
xxxx
3535
log.loglog.log
+=
HD: Đổi cơ số ĐS: x = 1 và x = 15
Ví dụ 5.





++=+
=
633
)(39
22







yy
Ví dụ 7.
32
2
2
23
1
log xx
x
x
=








+
HD: VP 1 với x>0, BBT VT 1 ; Côsi trong lôgagrit

ĐS x = 1
Ví dụ 8.

2
=+
xmxx
HD: t > = 5;
31
1
31
1,0
2
2
<





=

+
>
m
t
m
m
mm
Ví dụ 10.