1

HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ðẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
PHAN CÔNG TRỨ - TRƯỜNG THPT THANH BÌNH 2 – ðỒNG THÁPQuy tác cộng, Quy tắc nhân:
1. Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán. Thành lập một
ñoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên Toán và một học sinh chuyên Tin. Hỏi có
bao nhiêu cách lập một ñoàn như trên ?
2. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8.
a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số ñôi một khác nhau ?
b. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số ñôi một khác nhau và chia hết cho 5 ?
3. Có thể lập bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số: 0,2,3,6,9 ?
4. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số ñôi một khác nhau ?
5. Từ các số 0,1,2,3,4,5.
a. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?
b. có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9 ?
Hoán vị.
1. Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5.
a. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau ?
b. Có bao nhiêu số có 5 chữ số ñôi một khác nhau và bắt ñầu là số 3 ?
c. Có bao nhiêu số có 5 chữ số ñôi một khác nhau và không bắt ñầu bằng số 1?
d. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và bắt ñầu là chữ số lẻ ?
2. Có bao nhiêu xếp 5 bạn A,B,C,D, E vào một ghế dài sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa ?
b. Hai bạn A, E ngồi hai ñầu ghế ?
3. Một học sinh có 12 cuốn sách ñôi một khác nhau trong ñó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn
Anh Văn, Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ dài sao cho các cuốn cùng môn
nằm kề nhau ?

2

b.
3 2
5 21
x x
A A x
+ ≤

c.
10 9 8
9
x x x
A A A
+ =

Tổ hợp.
1. ðề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi . Học sinh cần chọn trả lời 8 câu.
a. Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý ?
b. Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu ñầu là bắt buộc ?
c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 trong 5 câu ñầu và 4 trong 5 câu sau?
2. Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 ñề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi ñề
kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn ?
3. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Người ta muốn chọn từ ñó ra 3 tem thư và 3 bì
thư và dán 3 tem thư lên 3 bì thư ñã chọn. Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm
như thế ?
4. Một lớp có 20 học sinh trong ñó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người ñi dự Hội
nghị sao cho trong ñó có ít nhất 1 cán bộ lớp ?
5. (ðH Y-2000) Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý. Muốn lập một ñoàn
công tác có 3 nguời gồm cả nam lẫn nữ, cần có nhà Toán học lẫn Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách

khối 10. Cử 8 em ñi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em. Hỏi có bao nhiêu cách cử như
vậy ?
13. Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ biết khiêu vũ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 nam và 3 nữ ñể
ghép thành 3 cặp nhảy ?
14. Bill Gate có 5 người bạn thân.Ông muốn mời 5 trong số họ ñi chơi xa .Trong 11 người này có
2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ngài tỷ phú có bao nhiêu cách mời ?
16. ðH-Cð khối B-2005
Một ñội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách
phân công ñội tình nguyện ñó về 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh ñều có 4 nam và 1 nữ ?
17. *ðH-Cð khối B-2002

3

Cho ña giác ñều A1,A2, A2n(n
∈
N và n
≥
2) nội tiếp ñường tròn (O). Biết rằng số tam
giác có ñỉnh là 3 trong 2n ñỉnh A1, A2, ,A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các ñỉnh là 4
trong 2n ñỉnh A1, A2, ,A2n. Tìm n.

RÚT GỌN BIỂU THỨC
1/ Rút gọn các biểu thức sau:
a. A =
4 7 8 9
10 3 5 2 7
P P P P
P P P P P
 
−

P
A P
+
5 6 7
15 15 15
7
17
C +2C C
C
+
e. E =
2 3 3
6 8 15
3
3 5
1 1 1
C - C C
3 28 65
P A
+
f. F=
3 2
5 5
2
A - A
P
+
5
2
P

=Phương trình liên quan ñến công thức tổ hợp:
Giải các PT và BPT sau:
1.
1 2 2 1
6 6 9 14
x x x
C C C x x
+ + = −
2. P
2
x
2
-P
3
.x=8 3.
2 2
x 2x
2A +50=A , x N
∈

4.
3 2 1
14
x
x x x
A C C
−

A C A
− =

10.
2 2
1
2 3 30
x x
C A
+
+ <
11.
2 3
2
1 6
10
2
x
x x x
A A C
x
− ≤ +
12.
! ( 1)! 1
( 1)! 6
x x
x
− −
=
+

15.
2 1
1
5 3
y y
x x
y y
x x
C C
C C
− −
−

=


=


16.
3 2
2
20
n n
C C
=Các bài toán tổng hợp:
1. Có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1,2,3,4,5,6. trong ñó 1 và 6 có mặt hai lần, các số

12. Cho ña giác ñều A
1
, A
2
, A
2n
nội tiếp ñường tròn tâm O, biết rằng số tam giác có các ñỉnh
là 3 trong 2n ñiểm A
1
, A
2
, A
2n
gấp 20 lần số hình chữ nhật có ñỉnh là 4 trong 2n ñiểm.Tìm n.
13. Từ các số 1,2, ,6. Lập bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 ?
14. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau và không bắt ñầu bằng 123 ?

Nhị thức Newton

I. Áp dụng công thức khai triển:
1. Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển
10
1
x
x
 
+
 
 


 
+
 
 
b.
7
3
4
1
x
x
 
+
 
 

5. Tìm hệ số của x
12
y
13
trong khai triển của (2x-3y)
25

6. Tìm hạng tử ñứng giữa trong khai triển
10
3
5
1
x
x

2
2
n
x
x
 
− =
 
 
là 97. Tìm hạng tử
của khai triển chứa x
4
?
3/ Cho khai triển
0 1 1
1 1 1
( 1)
3 3 3
n
n n n n
n n n
n
x C x C x C
−
 
− = − + −
 
 
. Biết hệ số của số hạng thứ ba trong
khai triểnlà 5. Tìm số hạng chính giữa ?

. Biết rằng
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
.
6/ Tìm hệ số của x
7
trong khai triển (2 - 3x)
n
trong ñó n thoả mãn hệ thức sau:

1 3 2 1
2 1 2 1 2 1
1024
n
n n n
C C C
+
+ + +
+ + + =

7/ Giải phương trình sau:
2 4 2 2007
2 2 2

.
9/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
khi khai triển (2+x)
n
biết :

0 1 1 2 2
3 3 3 ( 1) 2048
n n n n n
n n n n
C C C C
− −
− + + + − =

10/ Cho:
1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + =
.Trong khai triển nhị thức
28
3
15
n
x x x
−


12/.Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển biểu thức
(
)
2
1 3
n
A x x
= − −
. Trong ñó n là số nguyên dương
thỏa mãn:
(
)
2 2 2 2 2
2 3 4 1
2 3
n n
C C C C A
+
+ + + + =

13. Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức f(x) chính là f(1).
Cho
(
)
100
1 2

C C C
− + + =

2/ Chứng minh:
a.
0 1 2
2
n n
n n n n
C C C C
+ + + + =

b.
1 3 2 1 0 2 2
2 2 2 2 2 2

n n
n n n n n n
C C C C C C
−
+ + + = + + +

3/ Chứng minh rằng:
0 1 2
3
1 1 1
3 4
3 3 3
n n n
n n n n

2004 2004 2004
2
C C C+ + + =

b.
2004
0 2 2 4 4 2004 2004
2004 2004 2004 2004
3 1
2 2 2
2
C C C C
+
+ + + =66/ Chứng minh rằng:
1 1000 1001
2001 2001 2001 2001
, 0 k 2000
k k
C C C C
+
+ ≤ + ∀ ≤ ≤

7/ Chứng minh rằng:
(

n
n
n n n
C C nC
− + + − =

10/ Chứng minh rằng :
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =
, (
4
k n
≤ ≤
)
11/ CMR:
(
)
0 2 1 3 2 2 2 2 1 2
2 2 2 2
3 3 3 2 2 1
n n n n
n n n n
C C C C

+ + + − +
+ + + + =IV. Khai triển nhiều hạng tử:

1/ Tìm hệ số của x
6
trong khai triển [1+x
2
(1+x)]
7
.
2/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển (1+ 2x + 3x
2
)
10
.
3/ Tìm hệ số chứa x
10
trong khai triển: P(x) = (1+x) + 2(1+x)
2
+3(1+x)
3
+ +15(1+x)
15
.
4/ Tìm hệ số của x

x
 
− +
 
 

V. Sử dụng ñạo hàm hoặc tích phân
1/ Chứng minh hệ thức sau :
a.
1 2 3 1
2 3 2
n n
n n n n
C C C nC n
−
+ + + + =
b.
1
0 1 2
1 1 1 2 1

2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
+
−
+ + + + =

+

4/ Tìm n nguyên dương sao cho:

1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 (2 1).2 . 2007
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =

5/ Tính tổng: S =
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1

2 3 1
n
n
n n n n
C C C C
n
+
− − −
+ + + +
+



9/ CMR:
1 1 2 2 3 3 4 1
2 2 3.2 4.2 .3
n n n n n n
n n n n
C C C nC n
− − − − −
+ + + + + =

10/ CMR: .
(
)
(
)
1
1 0 2 1 1 1 2 1
.4 1 4 1 4 .2
n
n n n n n
n n n n n n
n C n C C C C n C
−
− − − −
− − + − = + +7

XÁC SUẤT

a/ không trả lời được lý thuyết.
b/ chỉ trả lời được 2 câu bài tập.
c/ đạt yêu cầu. Biết rằng muốn đạt yêu cầu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và ít
nhất 2 bài tập.
10. Trong hộp có 8 bi đen và 5 bi trắng. Lấy hú họa lần lượt 3 lần,mỗi lấn 1 viên ko hồn lại.
Tìm XS để viên bi lấy thứ 3 là trắng.
11. Một khách sạn có 6 phòng trọ phục vụ khách, nhưng có tất cả 10 khách đến xin nghỉ
trọ, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc “ai đến trước phục vụ
trước và mỗi phòng nhận 1 người”.
a/ Tìm xác suất để cho cả 6 nam đều được nghỉ trọ.
b/ Tìm xác suất để 4 nam và 2 nữ được nghỉ trọ.
c/ Tìm xác suất sao cho ít nhất 2 trong số 4 nữ được nghỉ trọ.
12.Có 2 lô hàng :
Lô 1 : Có 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn và 10 phế phẩm
Lô 2 : Có 80 sản phẩm đạt tiêu chuẩn và 20 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên mỗi lô hàng một sản phẩm. Tính xác suất :

8

a/ Có một sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
b/ Có hai sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
c/ Có ít nhất một sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
13. Giả sử có 10 khách hàng vào một cửa hàng có 3 quầy, mỗi người chỉ tối một quầy. Tìm
các xác suất :
a/ có 4 người đến quầy số 1;
b/ có 4 người đến một quầy nào đó;
c/ có 4 người đến quầy 1 và 3 người đến quầy 2.
14. Có 5 khách hàng không quen biết nhau và cùng vào mua hàng ở một cửa hàng có 4 quầy
hàng. Biết sự lựa chọn quầy hàng của các khách hàng là độc lập và như nhau. Hãy tìm xác suất
của các sự kiện sau:

a. Phương trình vơ nghiệm
b. Phương trình có nghịêm kép
c, Phương trình có hai nghiệm phân biệt
21. Gieo một con xúc xắc 2 lần . Tính xác suất để :
a. Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiên
b. Mặt 4 chấm xuất hiện ở ít nhất 1 lần
22. Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau. Lấy ra 2 quả cầu.

9

Tính xác suất ñể :
a. Hai quả cầu lấy ra màu ñen
b. Hai quả cầu lấy ra cùng màu
23. Sắp xếp 5 người ngồi vào 5 ghế thẳng hàng. Tính xác suất ñể :
a. A, B ngồi cạnh nhau
b. A,B ngồi cách nhau một ghế.
24. Gieo 3 con ñồng xu. Tính xác suất ñể
a. Có ñồng xu lật ngửa
b. Không có ñồng xu nào sấp
25. Gọi (x,y) là kết quả của việc gieo hai con xúc xắc khác nhau. Tính xác suất ñể :
a. x lẻ , y chẳn
b. x>y
c. x+y <4
d. x chia hết cho y
26.Có 4 tấm bìa ñỏ ghi 1,2,3,4 và 5 tấm bìa xanh ghi 6,7,8. Rút ngẩu nhiên 1 tấm. Tính xác suất
ñể :
a. Rút ñược tấm ghi số chẵn
b. Rút tấm bìa ñỏ
27: Một lớp có 28 sinh viên trong ñó có 5 SV giỏi,13 SV khá,10SV trung bình.Lấy ngẫu nhiên 4
SV ñi dự ðH ñoàn trường.Tính XS ñể có ít nhất 2 SV giỏi ñc lấy.

b/Vé có 5 chữ số ñều chẵn (P=0,03125)
34. 5 người A,B,C,D,E ngồi một cách ngẫu nhiên vào 1 chiếc ghế dài.Tìm xác suất ñể:
a/Người C ngồi chính giữa (P=0,2)
b/Hai người A,B ngồi ở 2 ñầu (P=0,1)
35. Trong một chiếc hộp có n quả cầu ñược ñánh số từ 1 ñến n.Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 2 quả
cầu.Tính xác suất ñể người ñó lấy ñược 1 quả có số hiệu lớn hơn k và một quả có số hiệu nhỏ hơn

10

k (ñáp số :
2( 1)( )
( 1)
k n k
P
n n
− −
=
−
)
36* Có 10 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy.Hỏi xác suất ñể 3 người
cùng ñến quầy số 1 là bao nhiêu?
HD: Mỗi khách có 3 khả năng như nhau ñể dến 3 quầy.Số biến cố ñồng khả năng là: 3
10
.Còn số
biến cố thuận lợi là:
3 7
10
.2
C suy ra
3 7

c. M sản phẩm ñầu tốt , các sản phẩm còn lại xấu
d. Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là xấu còn lẻ là tốt

Bài2: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu.Gọi
k
A
là biến cố người thứ ba bắn trúng mục tiêu
(k=1,2,3).Các biến cố sau ñây ñược viết bằng kí hiệu ra sao?
a/Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu
b/Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu
c/Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu
d/Có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu
Bài3: Khi kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm(các sản phẩm ñều thuộc 1 trong 2 loại
tốt hoặc xấu).Gọi A
k
là biến cố "sản phẩm thứ k là loại xấu".Viết bằng kí hiệu các biến cố sau:
a/Cả 10 sản phẩm ñều xấu
b/Có ít nhất 1 sản phẩm xấu
c/Sáu sản phẩm ñầu là tốt còn lại là xấu
d/Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt,thứ tự lẻ là xấu
Bài4: Có 2 hộp ñựng bi:hộp 1 ñựng 3 bi trắng,7 bi ñỏ,15 bi xanh ; hộp 2 ñựng 10 bi trắng,6 bi
ñỏ,9 bi xanh.Ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi.Tìm xác suất ñể 2 viên bi lấy ra cùng màu
(P= 207/625)
Bài5: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu.Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9.Tìm
xác suất của các biến cố sau
a/Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu (P=0,26)
b/Có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu (P=0,98)
c/Cả hai người bắn trượt (P=0,02)
Bài6: Bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu ñến khi viên ñạn ñầu tiên trúng mục tiêu thì dừng.Tính xác suất
sao cho phải bắn ñến viên ñạn thứ 6.Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên ñạn là 0,2.Và

Tìm xác suất để máy bay bò bắn rơi khi
a/ có một viên đạn trúng máy bay ;
b/ có hai viên đạn trúng máy bay;
c/ có ba viên đạn trúng máy bay;
d/ có bốn viên đạn trúng máy bay.
Bài 13: Hai máy bay lần lượt ném bom vào một mục tiêu đã đònh. Mỗi máy bay có mang theo
ba quả bom và mỗi lần lao xuống chỉ ném một quả. Xác suất trúng đích của một quả bom ở
máy bay thứ nhất bằng 0,4 còn của máy bay thứ hai là 0,5. Mục tiêu bò phá hủy ngay sau khi
qủa bom đầu tiên rơi trúng mục tiêu. Tìm xác suất mục tiêu bò phá hủy sao cho không sử dụng
hết tất cả số bom ở hai máy.
Bài 14: Một hộp có 10 viên bi trong đó có 7 bi đỏ và 3 bi xanh.
a. Lấy lần lượt từng bi một không hoàn lại cho tới khi lấy được bi xanh thì thôi.
Tìm xác suất để lấy được bi xanh không quá 2 lần lấy bi
b. Lấy lần lượt từng bi một không hoàn lại cho tới khi lấy được 2 bi đỏ thì thôi. Tìm xác
suất để lấy được 2 bi đỏ khi lấy ra không quá 3 bi.
Bài 15: Hai cầu thủ bóng rổ, mỗi người ném bóng 2 lần, xác suất ném trúng đích của mỗi cầu
thủ theo thứ tự là 0,6 và 0,7. Tính xác suất :
a/ Số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất nhiều hơn số lần ném trúng rổ của cầu thủ
thứ hai.
b/ Số lần ném trúng rổ của hai người như nhau.
Bài 16 : Một căn phòng điều trò có 3 bệnh nhân bệnh nặng với xác suất cần cấp cứu trong vòng
một giờ của các bệnh nhân tương ứng là 0,7 ; 0,8 và 0,9. Tìm các xác suất sao cho trong vòng
một giờ :
a/ có hai bệnh nhân cần cấp cứu.
b/ có ít nhất một bệnh nhân không cần cấp cứu.

12

Bài 17 : Một công ty đầu tư 2 dự án A và B. Xác suất thua lỗ dự án A là 10% và xác suất thua
lỗ dự án B là 20%. Sự thua lỗ của 2 dự án là phụ thuộc với nhau và biết xác suất để công ty

a. Tìm xác suất để chỉ lấy ra sản phẩm ở lần thứ tư thì dừng lại.
b. Tìm xác suất để việc dừng lại khi không lấy quá 4 sản phẩm
Bài 23 : Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vò trí A với xác suất
3
2
và ở vò trí B với xác suất
3
1
. Có ba phương án bố trí 4 khẩu pháo bắn máy bay như sau :
Phương án 1 : 3 khẩu đặt tại A, một khẩu đặt tại B.
Phương án 2 : 2 khẩu đặt ở A, 2 khẩu đặt ở B.
Phương án 3 : 1 khẩu đặt ở A và 3 khẩu đặt ở B.
Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động
độc lập với nhau, hãy chọn phương án tốt nhất.

13

Bài 24. Một thiết bò có 2 bộ phận hoạt động độc lập. Khả năng chỉ có một bộ phận bò hỏng là
0,38. Tìm xác suất để bộ phận thứ nhất bò hỏng, biết rằng khả năng để bộ phận thứ 2 bò hỏng là
0,8
Bài 25 : Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi
xuất ra thò trường, mỗi bóng đèn đều được qua kiểm tra chất lượng. Vì sự kiểm tra không thể
tuyệt đối hoàn hảo nên một bóng đèn tốt có xác suất 0,9 được công nhận là tốt và một bóng
đèn hỏng có xác suất 0,95 bò loại bỏ. Hãy tính tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau khi qua khâu kiểm
tra chất lượng.
Bài 26 : Có 4 nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất có 5 người, nhóm thứ hai có 7 người, nhóm
thứ ba có 4 người và nhóm thứ tư có 2 người. Xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong
nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba và nhóm thứ tư theo thứ tự là 0,8 ; 0,7 ; 0,6 và 0,5.
Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ này bắn trượt. Hãy xác đònh xem xạ thủ này có khả
năng ở trong nhóm nào nhất.


14

a/ Tính xác suất để bi lấy ra lần 2 là bi đỏ.
b/ Giả sử bi lấy ra lần 2 là bi đỏ, tính xác suất để bi đỏ đó là bi của hộp lúc ban đầu (tức
không phải bi đỏ mới bỏ vào).
Bài 33 : Trong việc truyền tin bằng điện tín ta thường dùng các tín hiệu chấm (.) và gạch ngang
(−). Do tiếng ồn ngẫu nhiên nên trung bình có
4
1
dấu chấm và
5
1
dấu gạch ngang truyền đi bò
sai (tín hiệu này chuyển thành tín hiệu kia). Tỷ số của các tín hiệu chấm và gạch ngang được
truyền đi là 3/5. Tìm xác suất để tín hiệu sau truyền đi đến nơi nhận đúng như ban đầu là :
a/ tín hiệu chấm.
b/ tín hiệu gạch ngang.

Bài 34 : Có hai chiếc hộp, hộp I có 2 thành phẩm, 1 phế phẩm, hộp II có 3 thành phẩm, 1 phế
phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra một sản phẩm bỏ vào hộp kia, sau đó từ hộp kia
lấy ra 1 sản phẩm.
a/ Tính xác suất để sản phẩm lấy ra bỏ vào hộp kia và sản phẩm lấy từ hộp kia ra đều
thành phẩm.
b/ Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần sau cũng là thành phẩm.
Bài 35 : Trong một kì thi vào Đại học mỗi thí sinh phải lần lượt thi 3 môn. Khả năng để một thí
sinh A nào đó thi đạt môn thứ 1 là 0,8, nếu thi đạt môn thứ 1 thì khả năng thi đạt môn 2 là 0,8
nhưng nếâu thi không đạt môn thứ 1 thì khả năng thi đạt môn thứ 2 là 0,6, nếu thi đạt cả 2 môn
đầu thì khả năng thi đạt môn 3 là 0,8, nếu thi không đạt cả hai môn đầu thì khả năng thi đạt
môn 3 là 0,5 ; nếu chỉ có một môn trong 2 môn thi trước đạt thì khả năng thi đạt môn 3 là 0,7.

Bài 40 : Một hộp có đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9 quả bóng còn mới. Lần đầu ta lấy ra
ba quả để thi đấu. Sau đó lại trả ba quả đó vào hộp. Lần thứ hai lại lấy ra ba quả. Tìm xác suất
để cả ba quả bóng lấy ra lần thứ hai đều là bóng mới.
Bài 41: Có 3 chiếc hộp:Hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh
Hộp 2 có 5 bi đỏ và 2 bi xanh
Hộp 3 có 4 bi đỏ bà 5 bi xanh
Lấy 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 sau đó lấy 1 bi bỏ vào hộp 3 rồi từ hộp 3 lấy ra 1 bi.
a. Tìm xác suất bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ
b. Biết bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ. Tìm xác suất để bi đó là bi của hộp 3 lúc đầu.
Bài 42 Có hai chiếc hộp:
- Hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh - Hộp 2 có 4 bi đỏ và 3 bi xanh
Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra 1 bi bỏ vào hộp kia. Sau đó từ hộp kia lấy 2 bi.
a. Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp kia là 2 bi đỏ.
b. Biết 2 bi lấy ra từ hộp kia là 2 bi đỏ. Tìm xác suất để trong đó có 1 bi đỏ của hộp này
và 1 bi của hộp kia.
Bài 43: Có 2 chiếc hộp :
Hộp 1 : có 3 bi đỏ và 2 bi xanh Hộp 2 : có 5 bi đỏ và 3 bi xanh.
Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 trộn đều. Sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi.
a/ Tìm xác suất để 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ.
b/ Tìm xác suất để 2 bi lấy ra từ hộp 2 có 1 bi của hộp 1 bỏ vào và 1 bi của hộp 2 lúc ban
đầu. Khi biết 2 bi đã lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ.
Bài 44. Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Lần 1 lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 bi, nếu là bi đỏ thì bỏ
bi đỏ đó trở lại hộp và thêm vào 2 bi đỏ nữa, nếu là bi xanh thì bỏ bi xanh đó trở lại hộp và
thêm vào 4 bi xanh nữa. Lần 2 lấy từ hộp ra 2 bi.
a. Tìm xác suất 2 bi lấy ra lần 2 là bi xanh.
b. Biết 2 bi lấy lần 2 là 2 bi xanh. Tìm xác suất để 2 bi xanh lấy ra đó là 2 bi xanh của
hộp lúc ban đầu.
Bài 45. Có 2 chiếc hộp: Hộp 1: Có 6 bi đỏ và 4 bi xanh
Hộp 2: Có 5 bi đỏ và 3 bi xanh
Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2, sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi.

b. Biết mục tiêu đã bò tiêu diệt. Tìm xác suất để quả tên lửa thứ nhất trúng mục tiêu.
Bài 50: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 8 thành và 2 phế phẩm. Trong quá trình vận
chuyển thì bò mất đi 2 sản phẩm không rõ chất lượng ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong 8 sản
phẩm còn lại.
a. Tìm xác suất để 2 sản phẩm ta lấy là thành phẩm.
b. Tìm xác suất để có ít nhất 1 thành phẩm bò mất. Biết rằng 2 sản phẩm ta lấy đều
thành phẩm.
Bài 51: Một người có ba chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá trong 1 lần thả
câu ở chỗ thứ nhất, thứ 2 và thứ 3 tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng người đó đã chọn 1 chỗ
và thả câu 3 lần độc lập và chỉ câu được 2 con cá. Tìm xác suất để người đó câu ở chỗ thứ
nhất.
Bài 52 :Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có hai cách : hoặc đi theo đường
ngầm hoặc đi qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong 1/3 các trường hợp còn lại đi
lối cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ; còn nếu đi lối
cầu thì chỉ có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn). Tìm xác suất để cn đó đã đi lối cầu
biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ.
Bài 53: Tại một bệnh viện tỷ lệ mắc bệnh A là 10%. Để chẩn đoán xác đònh người ta làm phản
ứng miễn dòch, nếu không bò bệnh thì phản ứng dương tính chỉ có 10%. Mặt khác biết rằng khi
phản ứng là dương tính thì xác suất bò bệnh là 0,5.
a/ Tìm xác suất phản ứng dương tính của nhóm có bệnh.
b/ Tìm xác suất chẩn đoán đúng.
Bài 54 : Hai người thợ cùng may một loại áo với xác suất để may được sản phẩm chất lượng
cao tương ứng là 0,8 và 0,9. Biết có một người khi may 6 áo thì có 5 sản phẩm chất lượng cao.
Tìm xác suất để người đó may 6 áo nữa thì có 5 áo chất lượng cao.
Bài 55 : Giả sử có 3 kiện hàng với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là 20, 15, 10. Lấy
ngẫu nhiên một kiện hàng (giả sử 1 kiện có cùng khả năng bò rút) rồi từ đó lấy hú họa 1 sản

17

phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm đó lại kiện hàng vừa lấy ra, sau đó lại lấy tiếp 1 sản

Bài 58 : Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích của người thứ 1, 2, 3 lần
lượt là 0,5 ; 0,6 ; 0,7. Gọi Ai là sự kiện chỉ người thứ i bắn trúng mục tiêu i = 1, 2, 3. Hãy biểu
diễn các sự kiện sau theo các sự kiện Ai,
i
A
; i = 1, 2, 3 và tính xác suất của các sự kiện đó.
a/ A = sự kiện chỉ có một người bắn trúng đích.
b/ A = sự kiện có nhiều nhất 1 người bắn trúng đích.
c/ C = sự kiện mục tiêu (đích) bò bắn trúng.
Bài 59: Ta kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm. Các sản phẩm đều thuộc một
trong hai loại : tốt hoặc xấy. Ta ký hiệu Ak (k =
10,1
) là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k
thuộc loại xấu. Viết bằng ký hiệu các biến cố sau đây :
a/ Có 10 sản phẩm đều xấu.
b/ Có ít nhất một sản phẩm xấu.
c/ Có 6 sản phẩm kiểm tra đầu là tốt, các sản phẩm còn lại là xấu.
d/ Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt, còn các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự
lẻ là xấu.
BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

Bài60: Một hộp có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen.Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu cho đến khi lấy
được quả cầu trắng.Hãy lập bảng phân phối xác suất của các quả cầu được lấy ra

Bài61: Một phòng thi vấn đáp có 20 câu hỏi lý thuyết và 10 câu bài tập.Mỗi người vào thi được
lấy 1 câu lý thuyết và 1 câu bài tập.Trả lời đúng được 5 điểm,trả lời sai được 0 điểm (cho mỗi
câu).Việc trả lời câu lý thuyết và câu bài tập là độc lập.Khi vào thi hcọ sinh A thuộc 12 câu lý
thuyết và có thể làm được 6 câu bài tập.
a/Tính xác suất để A đạt điểm 0 (P= 4/25)
b/Gọi X là số điểm A đạt được.CMR: X là một biến ngẫu nhiên rời rạc