B GIÁO DC VÀ ÀO TO
TRNG I HC VINH 
























Tác gi
Nguyn Trng Hà - B môn kt cu xây dng
(*) Tài liu biên son trong chng trình d án giáo d$c i hc nh hng
ngh nghip Vit Nam – Hà Lan.

3

MC LC
Li nói u………………………………………………………………………….
M$c l$c……………………………………………………………………
Kí hiu dùng trong tài liu…………………………………………………

CHNG 1: M U MÔN HC N NH CÔNG TRÌNH
1.1 M% u…………………………………………………………………

1.2 Mt s khái nim v C hc kt cu, n nh công trình……………….

1.3 Phân loi v mt n nh công trình…………………………………….

3

6

8

8

8

8

8

9

9

9

9

10

10

11

11


22

244

Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 3………………………………………
CHNG 4: N NH CA H THANH THNG
3.1 M% u…………………………………………………………………

3.2 Mt s gi thit khi tính toán n nh khung ph)ng…………………….

3.2 Cách tính n nh khung ph)ng theo phng pháp lc…………………

3.2.1 Các cách xác nh chuyn v trong thanh chu un cùng vi nén
hoc kéo……………………………………………………………………………
3.2.2 Tính n nh ca khung theo phng pháp lc………………………

3.3 n nh khung ph)ng theo phng pháp chuy*n v…………………….

3.3.1 Thit lp phn t m!u cho dùng cho phng pháp chuyn v……….

3.3.2 Tính n nh ca khung theo phng pháp chuyn v………………
3.3.3 n nh ca dm liên tc trên gi cng theo phng pháp chuyn
v………………………………………………………………………………………

Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 4………………………………………
CHNG 5: M U V NG LC HC CÔNG TRÌNH
5.1 M% u………………………………………………………………….

29

3030

31

33

33

3539

40

41

41

41

41

42



5

6.6 Mt s ng d$ng trong k thu&t ca lý thuyt dao ng………………

Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 6………………………………………
CHNG 7: DAO NG CA H CÓ MT S BC T DO
7.1 M% u…………………………………………………………………

7.2 Phng trình vi phân tng quát ca dao ng có n b&c t do………….
7.3 Dao ng riêng ca h có n b&c t do…………………………………
7.3.1. Phng trình c bn ca dao ng riêng……………………………
7.3.2 Cách s dng tính cht i xng ca h……………………………….
7.4 Dao ông cng bc ca h chu lc P(t) = Psinrt………………………
7.4.1 Nhim v bài toán………………………………………………………
7.4.2 Biu thc ni lc ng và chuyn v ng……………………………
7.4.3H phng trình chính t#c  xác nh các lc quán tính……………
Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 7………………………………………
CHNG 8 DAO NG CA KHUNG VÀ DM LIÊN TC
8.1 M% u………………………………………………………………….
8.2 Dùng phng pháp chuy*n v * tính dao ng ca khung…………….
8.2.1 Dao ng c$ng bc……………………………………………………

8.2.2 Phng trình biên  chuyn v và ni lc khi chu ti trng c$ng
bc……………………………………………………………………………………
Câu h#i ôn t&p và tho lu&n chng 8………………………………………
PH LC…………………………………………………………………
TÀI LIU THAM KHO………………………………………………
49


6364

68

72

95
6

CÁC KÝ HIU VÀ I LNG DÙNG TRONG TÀI LIU

1. H to 

W
y
Mômen chng un ca tit din trong mt ph)ng xz
4. Ngoi lc và ph!n lc
P Ti t&p trung
q Ti phân b
M Mômen t&p trung
m Mômen phân b
R Phn lc gi ta

R
Phn lc gi ta n v
P
tc
Ti trng tiêu chu+n
P
t
Ti trng tính toán
5. Các "ng su#t
, ,
p
σ τ
,ng sut toàn phn, ng sut pháp, ng sut tip

tl
σ
Gii hn t- l

ch
σ

Góc xo"n t- i ca thanh

km
∆
Chuy*n v tng ng vi v trí và phng ca lc P
k
do lc P
mkm
δ
Chuy*n v tng ng vi v trí và phng ca lc P
k
do lc P
m
1.2 Mt s( khái nim v) C* hc k$t c#u, +n nh công trình
* nghiên cu bài toán n nh công trình trc ht ta i tìm hi*u nhng
khái nim c bn sau ca c hc công trình:
a. Khái nim v  bn công trình: iu kin nhm m bo cho công trình
không b phá hoi di s tác ng ca các nguyên nhân bên ngoài: Ti trng,
chuy*n v…
b. Khái nim v  cng công trình: iu kin nhm m bo cho công trình s0
d$ng mt các bình th(ng trong quá trình s0 d$ng di s tác ng ca các
nguyên nhân bên ngoài: Ti trng, chuy*n v…
c. Khái nim v  n nh công trình: iu kin nhm m bo cho công trình
có kh n!ng gi c v trí ban u hoc gi c dng cân bàng ban u trong
trng thái bin dng tng ng vi ti trng tác d$ng.
1.3 Phân loi v) m#t +n nh công trình
T hai quan nim khác nhau v trng thái ti hn ng(i ta phân loi thành
mt n nh loi mt và mt n nh loi hai nh sau:
1.3.1 Mt n nh loi mt

9

Các c trng v hin tng mt n nh loi mt hai gi là mt n nh Euler
nh sau:
- Dng cân bng có kh n!ng phân nhánh
- Phát sinh dng cân bng mi khác dng cân bng ban u v tính cht
- Trc trng thái ti hn dng cân bng ban u là duy nht và n nh sau
trng thái ti hn dng cân bng ban u là không n nh.
Mt s ví d$ v các dng mt n nh loi mt nh:
- Mt n nh chu nén úng tâm
- Mt n nh bin dng i xng
- Mt n nh dng un ph)ng.



! "



#



$$



10

trí ca toàn b h theo mt thông s (chuy*n v
1
y
ca khp hay góc xoay
1
ϕ
ca
mt trong hai thanh.
Trong thc t công trình xây dng là h có
vô cùng b&c t do song trong nhiu tr(ng hp
ta có th* a h v mt s b&c t do hu hn *
nghiên cu gn úng.
1.5 Các tiêu chí v) s cân b,ng +n nh
Trong bài toán n nh công trình có hai tiêu chí v cân bng n nh là
tiêu chí cân bng bi*u hin t'nh hc và tiêu chí cân bng bi*u hin n!ng lng.



Nhng góc
θ
là góc nh# nên
sin 0
θ
=
, do ó ta có:
0
P l k
θ θ
∗ − =
suy ra
k
P
l
∗
=
;
ó là lc cn thit * gi cho h % trng thái lch v&y ta có:
khi
k
P
l
<
, tc là
P P
∗
<

δ
 
+
, /

11

1.5.2 Tiêu chí di dng nng lng
Nh ta ã bit, nguyên lý chuy*n v kh d' và tính cht th n!ng toàn phn
ca h t giá tr cc tr là nhng bi*u hin v s cân bng. Tuy nhiên, c hai
bi*u hin này u cha nói lên c trng thái cân bng ang xét là n nh hay
không n nh. * gii quyt vn  ó ta phi dùng nguyên lý Lgi!ng -
irichlê.
Nu h % trng thái cân bng n nh thì th n!ng toàn phn t giá tr cc
ti*u so vi tt c các v trí ca h % lân c&n v trí ban u vi nhng chuy*n v vô
cùng bé. Nu h % trng thái cân bng không n nh thì th n!ng toàn phn t
giá tr cc i còn nu % trng thái cân bng phim nh thì th n!ng toàn phn
không i.
Xét trng thái lân c&n sau:
U V T
δ δ δ
= −
(1.1)
Trong ó,
U
δ
- s gia ca th n!ng bin dng,
T
δ
- s gia ca công ngoi lc. 12

CHNG 2: CÁC PHNG PHÁP NGHIÊN CU

2.1 M& 'u
Hin nay, khi gii quyt các bài toán n nh công trình ta có th* v&n d$ng
nhiu phng pháp tính khác nhau. Nguyên lý ca các phng pháp này u xây
dng trên c s% các bi*u hin v s cân bng n nh.
Trong chng này chúng ta s/ c nghiên cu nhng phng pháp s0
d$ng bi*u hin cân bng n nh di dng t'nh hc gi là phng pháp tnh
hc. Nhng phng pháp s0 d$ng bi*u hin cân bng n nh di dng n!ng
lng gi là phng pháp nng lng. Còn nhng phng pháp s0 d$ng bi*u
hin cân bng n nh di dng ng lc hc là phng pháp ng lc hc.
2.2 Ni dung các ph*ng pháp nghiên c"u
2.2.1 Các phng pháp tnh hc
Ni dung ca phng pháp này nh sau: To cho h ang nghiên cu mt
h trng thái cân bng lch kh#i dng cân bng ban u, xác nh giá tr ca lc
(lc ti hn) có kh n!ng gi h % trng thái cân bng mi. Lc ti hn c xác
nh t các phng trình c trng hay gi là phng trình n nh bi*u th iu
kin dng cân bng mi.
Có th* v&n d$ng các phng pháp t'nh hc di nhiu hình thc khác nhau
tuy nhiên chúng ta s/ nghiên cu các phng pháp sau:
- Phng pháp trc tip thit l&p và gii các phng trình vi phân.
- Phng pháp thit l&p và gii các phng trình i s.
- Phng pháp sai phân.
2.2.2 Các phng pháp nng lng

(2.1)
α là h s ca phng trình, ph$ thuc các c trng hình hc và ph$ thuc ti
trng di dng hàm siêu vit. Phng trình (2.1) là phng trình c trng hay
phng trình n nh ca h theo phng pháp t'nh.
5. Phng trình n nh (2.1) * tìm các lc ti hn.
Cách gii này th(ng c áp d$ng cho nhng h có vô cùng b&c t do, do
ó v mt lý thuyt ta có th* tìm c vô s lc ti hn, song ch có lc ti hn
th nht (nh# nht) mi là lc ti hn có ý ngh'a thc ti n.
Phng pháp này là phng pháp chính xác, áp d$ng thích hp cho nhng
thanh n gin. Trong các chng di ây, khi nghiên cu s n nh ca các
kt cu c$ th* ta s/ v&n d$ng phng pháp này là ch yu.
Ví d 2.1
Xác nh lc ti hn nh# nht ca thanh có mt u t do và mt u ngàm
nh trên (hình 2.1), EI=const
* xác nh lc
th
P
trc tiên ta cn thit l&p phng trình vi phân ca
(ng àn hi. Cho thanh lch kh#i dng cân bng (ng th)ng và tìm mômen
un ti tit din bt k1 có hoành  z:
( ) ( )
M z P y
δ
= − −
.
T giáo trình Sc bn v&t liu ta ã bit:
"
( )
EJy M P y
δ

cos sin
y A z B z
α α δ
= + +
,

trong ó, A và B (là các hng s tích phân) và δ là i lng cha bit. * xác
nh chúng ta vit các iu kin biên:
khi z = 0 ; y = 0 và y’= 0
khi z = l ; y =
δ

T ó suy ra:

0
0
cos sin
A
B
A l B l
δ
α
α α δ δ
+ =


=


+ + =

2
P
l l
EJ
π
α
= =
suy ra
2
2 2
2,467
4
th
EJ EJ
P
l l
π
= =

2.3.2 Phng pháp thit lp và gii các phng trình i s
Theo phng pháp này ta tin hành theo th t sau:
1. To cho h mt trng thái bin dng lch kh#i dng ban u. Trng thái
này c xác nh theo các chuy*n v ti mt s hu hn các i*m.
2. C!n c vào các iu kin cân bng, iu kin bin dng ta thit l&p c
h phng trình i s liên h gia các chuy*n v ti nhng i*m kho sát.
Nu xác nh chuy*n v ti n i*m và b# qua các vô cùng bé b&c cao ca
các chuy*n v thì h phng trình i s ó có th* a v dng tng quát
nh sau:
11 11 12 2 1
21 11 22 2 2


15

ki
y
- chuy*n v ti i*m th k ca (ng bin dng tng ng vi ti trng
ti hn th i,

kn
a
- các h s ph$ thuc kích thc hình hc và  cng ca h.
H phng trình thun nht (2.2) c th#a mãn vi hai tr(ng hp:
* Tr%ng hp th nht: Tt c các nghim
ki
y
u bng không. Lúc này h ang
xét không có dng cân bng n nh mi khác dng ban u ngh'a là h cha
mt n nh.
* Tr%ng hp th hai: Các nghim
ki
y
tn ti. Lúc này h ang xét có dng cân
bng mi khác dng ban u ngh'a là h % trng thái ti hn. iu kin * cho
h phng trình thun nht (2.2) có các nghim
ki
y
khác không là nh thc các
h s ca (2.2) phi bng không.
11 12 1
21 22 2

P
, ta thay giá tr ca
i
P
vào (2.2) ta s/ c h phng trình liên h gia các chuy*n v
ki
y
. H
phng trình này không xác nh nhng nu cho trc giá tr ca mt chuy*n v
nào ó, ch)ng hn cho trc
li
y
thì ta có th* xác nh các chuy*n v còn li theo
li
y
và s/ tìm c dng bin dng ca h.
* Nhn xét: Phng pháp này th(ng c áp d$ng cho nhng h có s b&c t
do hu hn.
Ví d 2.2
Xác nh giá tr ca lc ti hn và dng mt n nh tng cho h v/ trên
(hình 2.2a), cho bit  cng ca các thanh bng vô cùng còn  cng ca c hai
liên kt àn hi bng k.
H có hai b&c t do ta dùng chuy*n v
1
y
và
2
y
còn các gi àn hi làm hai
thông s * tính toán (hình 2.2b). Lúc này phn lc ti các liên kt àn hi:


=


(b)
T các phng trình cân bng mômen i vi khp I (xét phn trên) và i
vi khp II (xét phn di) ta có:


&
&

&

1
1
"
!
1
1

$
%
%

"
!

1%
1%


= − =




= − =




(c)
suy ra:
1
3
Py
A
l
= ;
2
3
Py
B
l
= (c)
ng nht (b) và (c) ta c
1 2
1 2
2
( ) 0

kl kl
P
−
= =
−
(e)
Sau khi khai tri*n nh thc ta c:

17

2 2 2
1
9 4 0
3
P klP k l
− + =

Phng trình b&c hai này cho ta hai giá tr lc ti hn:
1,
9
th
kl
P
=
;
2,
3
th
kl
P

=
ta có
2
1
y
= −
, còn khi
3
kl
P
=

ta có
2
1
y
=
. Các dng mt n nh v/ trên (hình 2-2c, d)
Ví d 2.3
Xác nh lc ti hn cho thanh có mt u ngàm mt u t do và chu lc
nén P % u thanh. (Bài toán ã xét trong ví d$ 2.1)
*Nhn xét: H cho trong ví d$ là h có vô s b&c t do nên khi áp d$ng cách gii
này s/ cho ta kt qu gn úng
To cho h mt trng thái lch ban u
δ
.
* Tr%ng hp th nht: Nu ta xem P gây ra bi*u 
mômen dng tam giác. Tính chuy*n v do P gây ra
bng cách nhân bi*u :
. 2

Tính chuy*n v do P gây ra bng cách nhân bi*u 
2 . 5
. . . .
3 8
P
EI l l
δ
δ
= hay
2
5 .
0
12
P l
EI
δ
 
− =
 
 

Do ch có mt phng trình i s nên:
2
2,4
th
EI
P
l
= . Nh v&y sai s so vi kt
qu chính xác là 2,80%

gãy khúc vi khong chia
z
∆
u nhau dc chiu dài tr$c, ta có sai phân
(hình 2.4).
Ta có
( )
1
1
1 1
i i
i i
i i i i
i
y y y
y y y
tg
z z
y y y y y
tg
z z z
α
α
−
−
+ −
∆ = −
∆ −
= =
∆ ∆

d y
y
dz
α
+ =
(2.4)

vi
2
P
EI
α
= (2.5)

thì ti m2i i*m i sau khi thay
2 2
2 2
d y y
dz z
∆
=
∆
và thay y bng
i
y
ta c các phng
trình sai phân

2
1 1

19

hay
2
1 1
( 2) 0
i i i i
y y y
β
− −
+ − + =
, vi
1,2, ( 1)
i n
= −
(2.6)
trong ó,
2 2 2 2
.
i i
i
P
z z
EI
β α
= ∆ = ∆
(2.7)
* Nhn xét: Phng pháp này áp d$ng có hiu qu cho nhng tr(ng hp h có
tit din thay i theo quy lu&t phc tp, * t!ng mc  chính xác ca phng
pháp ta có th* v&n d$ng công thc sai phân b&c cao hoc t!ng s lng on

.
iu kin biên ti u ngàm: Ti ngàm góc xoay bng không do ó ta có th*
t%ng tng kéo dài thanh thêm mt on ri vit iu kin
4 2
y y
=
(hình 2.5).
Nh v&y ta có th* l&p 3 phng trình  vi s +n s là
1 2
,
y y
và
3
y
.

2
1 2
2
1 2 3
2
2 3 2
0 ( 2) 0
( 2) 0
( 2) 0
y y
y y y
y y y
β
β

0,268
β
=

2
2 2
. . 0,268
9
P P l
z
EI EI
β
= ∆ = =

v&y
%

& &

&
 
&

% %
$
%
&
%2%
, $
0

1. Tìm hi*u li v phng pháp thông s ban u trong Sc bn v&t liu?
2. Phng trình vi phân tng quát ca h chu un dc?
3. Phng pháp thit l&p và gii phng trình vi phân?
4. Phng pháp thit l&p và gii phng trình i s?

21

CHNG 3: N NH CA CÁC THANH THNG


;+<
;+<
=


;+<
;+<
%
%
0


=

5
%
0
&>?@ABCBBD

Mômen ti tit din bt kì ca thanh % trng thái bin dng:

[
]
( ) (0) (0) (0)
M z M Q z P y y
= + + −

T phng trình vi phân ca (ng àn hi (trong Sc bn v&t liu)
"
M

Trong ó,
2
P
EI
α
= (3.2)

Nghim ca phng trình vi phân trên có dng:

2
(0) (0) (0)
( ) sin cos
M Q z Py
y z A z B z
EI
α α
α
+ −
= + − (3.3)
Trong ó,
A
và
B
là các hng s tích phân c xác nh theo các iu
kin biên % u trái khi
0
z
=
. Mun v&y trc tiên ta hãy ly o hàm ca
y

2
(0)
'(0)
Q
y A
EI
α
α
= −
suy ra

3
'(0) (0)
y Q
A
EI
α α
= + ;
2
(0)
M
B
EI
α
= .
Thay các giá tr va tìm c vào
A
và
B
vào (3.3) ta c phng trình

α α
= − − − (3.6)

(0)
( ) "( ) . '(0)sin (0)cos sin
Q
M z EIy z EI y z M z z
α α α α
α
= − = − + (3.7)
T iu kin cân bng lc nh trên (hình 3.1) ta xác nh c lc c"t
( )
Q z
theo s  thanh không bin dng:

23( )
( ) (0)
dM z dy
Q z P Q
dz dz
= − =
(3.8)
3.4 n nh c0a các thanh th3ng có liên k$t & hai 'u khác nhau
3.3.1n nh thanh thng có liên kt cng  hai u
Trong thc t, các thanh th)ng chu nén có th* có liên kt % hai u di
các hình thc khác nhau nh sau:
1. Thanh có hai u là khp.

, ( ) 0
x l y l
= =
, ta c:

sin
( ) '(0) 0
l
y l y
α
α
= =

iu kin này th#a mãn vi hai kh n!ng
'(0) 0
y
=
hoc
sin 0
l
α
=
nu
'(0) 0
y
=
thì
( ) 0
y z
≡

P
l
π
=
vi
1, 2,
k
= ∞
;
Ti trng nh# nht tng ng vi khi k = 1:

2
2
th
EI
P
l
π
=
Công thc này là công thc Euler ã quen bit trong giáo trình Sc bn v&t liu.
C3ng áp d$ng phng pháp trên ta có th* tìm c ti trng ti hn cho
bn tr(ng hp còn li, ta có th* bi*u th lc ti hn cho c n!m tr(ng hp trên
di dng nh sau:

2
2
( )
th
EI
P


3.3.2 n nh thanh thng có liên kt àn hi
Trong thc t, ngoài nhng thanh có liên kt cng ã nghiên cu % trên, ta
còn nhng thanh có liên kt àn hi. Trong m$c này ta s/ nghiên cu cách tính
n nh ca thanh có các dng liên kt àn hi th(ng gp nh sau:
3.3.2.1 Thanh có mt u t do mt u liên kt ngàm àn hi
Trong tr(ng hp này, các thông s ban u có giá tr nh sau:
(0) ?, '(0) ?
(0) 0, (0) 0
y y
M Q
= =
= =

Các phng trình (3.5) và (3.6) có dng:
'(0)
( ) (0) sin
'( ) '(0)cos
y
y z y z
y z y z
α
α
α
= +
=25


-




-
-


-
π
$
π 3π
$
&& /
 
β

Nên
(0).
Py
ϕ ϕ
= −

Theo các iu kin biên ta l&p c h hai phng trình thun nht nh sau
* xác nh
(0)
y
và
'(0)

α
ϕ α
= =
−

Sau khi tri*n khai nh thc trên ta có
cos .sin 0
P
l l
ϕ
α α
α
− =
hay
.
l
l tg l
EI
α α
ϕ
=

Nu t
l v
α
=
và
1
l
EI tg

3.3.2.2 Thanh có mt u ngàm cng mt u có liên kt àn hi
Các thông s ban u: