CHUƠNG 2 HỆ MỘT BẬC TỰ DO
2.1. Phương trình vi phân chuyển động của hệ
1.Các thành phần của hệ động lực học một bậc tự do
- Khối lượng m, lực quán tính F
q
;
- Tính chất đàn hồi (lò xo độ cứng k-lực đàn hồi F
đ
) ;
-
Hao tổn năng lượng (giảm chấn hệ số cản c- lực cản
dao động F
c
) ;
-
Nguồn kích động động lực học ( tải trọng động lực học
P(t), chuyển vị của giá đỡ).
P( t )
F
q
F
c
F
đ
y
m
m
P( t )
m
P( t )

ap
tP
ξξ
==
2.2. Xác định các thành phần của sơ đồ tính
( )
;
4
1
'
111
tycDD
dt
d
cF
c

=






=
DD’=BB’.a/4a=y(t)/4;
EE’=BB’.3a/4a=3y(t)/4;
FF’=BB’.2a/3a=2y(t)/3;
GG’=BB’.a/3a=y(t)/3.
F

=
J
A1
=J
H1
+(L/2)
2
m
1
=m
1
(L
2
/12)+m
1
L
2
/4=m
1
L
2
/3=16m
1
a
2
/3.
L=4a; m
1
=mL - chiều dài và khối lượng của thanh AB.
M

F
d1
F
q2
F
d2
F
c2
F
c1
C
y
2a
a
a aa a
m
k
1
k
2
B
A
D
E
F G
p(x,t)=p ξ(t)
c
2
c
1

zFzFzFz
qq
ccd
δδ
δ
δδδδδ
+−−
−−−=
.0
3
)(16
)(
916
9
)(
16
)(
9
4
3
21
1
2
21
=






tap
tz
kk
tz
c
ctz
mm
δ
ξ

( )
).(
3
16
916
9
)(
16
)(
9
4
3
211
2
21
taptz
kk
tz
c
ctz

)(*;
916
*;
16
*;
9
4
3
*
21
2
121
taptP
kk
kc
c
c
mm
m
ξ
=+=+=+=

2.3. Dao động tự do
.0)()()( =++ tkytyctym

;0)()(
=+
tkytym

.

y
tg

ω
λ
=
./1;//1/ kygmmk
t
====
δδω
.;
22
A
B
tgBAC =+=
λ
T=2π/ω
t
C
ỳ(0)
y
0
y(t)
0
( 2.6c )
( 2.7 )

a
b
h

2. Dao động tự do có lực cản
.0)()()( =++ tkytyctym

.;2;0)()(2)(
22
m
k
m
c
tytyty ===++
ωαωα

);cossin()(
1111
tBtAety
t
ωω
α
+=
−
a/ Trường hợp lực cản nhỏ ( α < ω ).
s
2
+ 2αs + ω
2
= 0;
s = -α ±iω
1
;
i = √-1 ; ω

1
1
1
11
1
1
y
yy
BAC
yy
y
A
B
tgyB
yy
A
+






+
=+=
+
===
+
=
ω

;
1
n
nn
u
uu
+
−
=
ψ
Độ tắt lôga δ:
Hệ số hấp thu năng lượng:
⇒===
−
+
+
22
;
2
222
1
1
2
δ
keyky
u
ky
u
nn
n

n+1
) = αT
1
= 2πξω/ω
1
= 2πξ/( √1-ξ
2
);
( 2.11b )
δ≈2πξ.
Hệ có lực cản nhỏ ( ξ<<1 ):
( 2.11a )
( 2.12 ) ;
.
2
2
1
2
1
δ
e
y
y
u
u
n
n
n
n
==

1
ω
π
1
2
ω
π
1
3
ω
π
1
4
ω
π
y
o
y(t)
t
O
y
1
y
2
( )
[ ]
.
1
sin
)sin(

δ=ln(y
n
/y
n+1
)=αT
1
=ξω.2π/ω
1
=2πξ/(√1-ξ
2
)
( 2.11a )
Độ tắt loga:
Hệ có lực cản nhỏ δ ≈ 2πξ (2.11b)

.
2
1
2
2
1
δ
α
ee
y
y
T
n
n
==

u
n
n
n
nn
n
n
n
====
+
+
+
+
.2ln
1
δψ
=








==
+
+
∫
n

y
Thí dụ 2.2a Nghiên cứu dao động tự do của hệ có khối
lượng m=9920kg, lò xo có độ cứng k=2.10
5
N/m, bộ
giảm chấn có hệ số cản dao động c=3162Ns/m.
Tần số dao động tự do ω (c=0):
srad
m
k
/49,4
9920
10.2
5
===
ω
.035,0
49,4
159,0
===
ω
α
ξ
( xác định ω,T,ω
1
,α,ξ,δ,y
i+1
/y
i
)

49,4
14,3.2.2
sT
===
ω
π
.0355,011
22
1
ωωξωω
≅−=−=
Tần số dao động tự do có kể lực cản (c≠0):

Một căn nhà một tầng được coi như một vật rắn giữ
bởi các cột đàn hồi như hình vẽ. Để đánh giá các đặc trưng
động lực học của công trình người ta đã làm các thử nghiệm
dao động tự do bằng cách dùng kích thuỷ lực tạo cho phần mái
( vật rắn ) chuyển vị ngang. Kết quả thử nghiệm cho thấy một
lực P tạo ra chyyển vị y
1
. Sau khi đột ngột triệt tiêu lực P để
công trình dao động tự do chuyển vị cực đại trong chu kỳ tiếp
theo chỉ còn y
2
và thời gian của một chu kỳ là T. Tìm khối lượng
quy đổi, độ cứng quy đổi, hệ số cản dao động, tần số và
biên độ dao động sau 6 chu kỳ.
m
c
k

2
= k/m m = k/ω
2
;
m = 2.10
5
/4,49
2
= 9920 kg.
1/ Xác định khối lượng quy đổi m.
m
c
k
s
P

2/ Tần số dao động:
f = 1/T = 1/1,40 = 0,714 Hz ;
3/ Độ tắt loga:
δ = ln(y
0
/y
1
) = ln(0,5/0,4) = 0,223.
4/ Tỷ lệ cản dao động:
5/ Hệ số cản dao động:
c = ξc
c
= ξ.2mω = 0,0355.2.9920.4,49 = 3162 Ns/m.
6/ Tần số vòng có tính đến lực cản:

π
α
ω
α
ξ
T

b/ Lực cản tới hạn ( α = ω ) :
Phương trình đặc tính có nghiệm kép.
y(t) = e
-ωt
( C
1
+ C
2
t ).
ω
)0()0();0(
21
yyCyC
+==

22
2,1
ωαα
−±−=s
[ ]
.)(
21
ttt

Chuyển động là không có chu kỳ.
( 2.16 )
( 2.17 )

2.4 Dao động cưỡng bức do tải trọng điều hoà P(t) = P
0
sinpt
( 2.3 )
ptPtkytyctym sin)()()(
0
=++

.sin)()(
0
ptPtkytym =+

).()()( tytyty
∗
+=
( 2.3a )

P
0
và p là biên độ và tần số của lực kích thích.
1. Trường hợp không có lực cản ( c=0)
( 2.3a )
.cossin)( tBtAty
ωω
+=
ptGty sin)( =

1
cossin)(
2
0
pt
k
P
tBtAty
β
ωω
−
++=
( 2.19 )
[ ]
;0;
1
0)0(;0)0(
2
0
=
−
−=⇒==
B
k
P
Ayy
β
β

( )

y
( 2.22 )
( 2.3b )
( 2.16 )
G=y
t
.K
đ

2. Trường hợp có lực cản ( c ≠ 0 )
;sin)()()(
0
ptPtkytyctym =++

.sin)()(2)(
0
2
pt
m
P
tytyty
=++
ωα

;)()()( tytyty
∗
+=
( 2.3c )
( )
tBtAety

.0cos2
2
21
2
2
=++−
ptGpGpG
ωα
( )
;21
0
2
2
1
k
P
GG =−−
ξββ
( )
⇒=+− .021
1
2
2
ξββ
GG
( 2.24 )
( 2.9a )
;
ω
β

−
=
k
P
p
k
P
G
( ) ( ) ( )
( )
.
21
2
/21
/2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
2
ξββ
ξβ
ωαβ
ωα

2
0
1111
ξββ
ξββ
ωω
α
−−
+−
+
+=
−
( ) ( )
θωω
α
−++=
−
ptGtBtAety
t
sincossin)(
1111
( )
( )
( )
.
1
2
;
21
1

Gk
K
o
td
=
+−
==
ξββ
( 2.26a )
( 2.26b )
( 2.26c )
( 2.27 )

0 1 2 3
β
90
o
180
o
θ
ξ=0,05
ξ=0,2
ξ=0,5
ξ=1,0
β 1
k
d
tăng rất nhanh
β = 1 cộng hưởng
ξ=1

giai đoạn chuyển động bình ổn ) của hệ có khối lượng
m=12400kg, độ cứng lò xo k=10
7
N/m, hệ số cản c=
114000Ns/m khi hệ chịu tác dung của lực P(t)=P
0
sinp
i
t
biết rằng P
0
=500kN; p
1
=16rad/s; p
2
=25rad/s.
( xác định ω, β, ξ, θ
1
, θ
2
, K
đ1
, K
đ2
, y
01
và y
02
)
Tần số dao động riêng:

2
====
ωω
α
ξ
m
c

Hệ số động lực học:
( )
( )
;
21
1
2
2
2
ξββ
+−
=
d
K
( )
( )
;41,1
563,0.169,0.2563,01
1
2
2
2

500000
;071,041,1.
10
500000
7
2
0
7
1
0
mymy ====
Góc lệch pha:
( )
;tan
22






−
=
pm
cp
ar
ω
θ
( )
'.4251;15

và có tần số lần lượt là p
a
= 16rad/s
và p
b
= 25rad/s. Các kết quả thu được ghi trong bảng dưới đây.
STT P
0
(kN) p(rad/s) G(cm) θ(đô)
Thí dụ 2.4b Người ta có thể dùng một máy chất tải điều hoà để
xác định các đặc trưng động lực học như khối lượng m, độ
cứng k, hệ số cản c trên sơ đồ tính toán dao động của hệ một
bậc tự do của một kết cấu thực ngoài hiện trường như sau.
Cho máy hoạt động, đo biên độ và độ lệch pha khi lực kích
thích có biên độ P
0
= 500 kN và có tần số lần lượt là p
a
= 16rad/s
và p
b
= 25rad/s. Các kết quả thu được ghi trong bảng dưới đây.
p(rad/s) G (m) θ (độ) sinθ cosθ

16 0,071 15 0,259 0,966
25 0,134 51
o

P
G
;
1
1
cos;
1
2
2
2
θ
θ
β
ξβ
θ
tg
tg
+
=
−
=
(2.26c)