Ngô Trọng Hiếu
www.VNMATH.com
Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
www.VNMATH.com
CHỦ ĐỀ 1:
CĂN THỨC
VÀ
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Các phép biến đổi về căn thức
3 3 2 2
a b a b a ab b
3 3 2 2
a b a b a ab b
2
2 2 2
a b c a b c 2ab 2bc 2ca
2. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai
- Đều kiện để căn thức có nghĩa
A
có nghĩa khi A 0
- Các công thức biến đổi căn thức.
2
A A
(B 0)
B
B
2
2
C C( A B)
(A 0;A B )
A B
A BC C( A B)
(A 0;B 0;A B)
A B
A B
Ngô Trọng Hiếu
www.VNMATH.com
Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
www.VNMATH.com
1
5
2
x
x
5.
2008 2 1
x
6.
2008
4
x
7.
-5x
8.
1
5
x
x
16.
3 x
7x 2
17.
x 3
7 x
18.
2
1
2x x
19.
2
2x 5x 3
20.
2
1
15 x27.
4
2
7 3
x
28.
23
2
x
29.
2
5
x30.
53
1
x
5
x36.
8 3
2 1 3 5
x x
37.
3 2
1
4 5
2
x x
x
38.
2
27
7
x39.
Ph
ương pháp: Nếu biểu thức có
Chứa mẫu số ĐKXĐ: mẫu số khác 0
Chứa căn bậc chẵn ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn
0
Chứa căn thức bậc chẵn dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn
0
Ch
ứa căn thức bậc
l
ẻ
dư
ới mẫu
ĐKXĐ: bi
ểu thức d
ư
ới dấu căn
0
Ngụ Trng Hiu
www.VNMATH.com
ễn thi vo lp 10 Mụn Toỏn
1622001850
3.
4532055
4.
5 48 4 27 2 75 108
5.
1 33 1
48 2 75 5 1
2 3
11
6.
485274123
7.
483512
8.
18584322
9.
54452203
10.
2 24 2 54 3 6 150
18.
277512
19.
27 12 75 147
20.
243754832
21.
8 32 18
6 5 14
9 25 4922.
16 1 4
2 3 6
3 27 7523.
1
3 2 8 50 32
5
24.
32.
2 3
33.
8 28
34.
18 2 65
35.
9 4 5
36.
4 2 3
37.
7 24
38.
2 3
47.
15 6 6 33 12 6
Ph
ng phỏp: Thc hin theo cỏc bc sau
Bớc 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
Bớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có)
Bớc 3: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn
Bớc 4: Rút gọn biểu thức
Dng toỏn ny rt phong phỳ vỡ th hc sinh cn rốn luyn nhiu nm
c mch bi toỏn v tỡm ra hng i ỳng n, trỏnh cỏc phộp tớnh quỏ phc
tp.
Ngô Trọng Hiếu
www.VNMATH.com
Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
www.VNMATH.com
48.
6 2 5 6 2 5
49.
8 2 15 23 4 15
50.
31 8 15 24 6 15
58.
35 12 6 35 12 6
59.
8 8 20 40
60.
4 15 10 6 4 15
61.
2 3 5 13 48
62.
6 2 5 13 48
63.
4 5 3 5 48 10 7 4 3
70.
2 3 2 3
2 3 2 3
71.
2 3 2 3
2 3 2 3
72.
3 4
6 3 7 3
73.
6
3 2 2 3
74.
)23)(122375(
80.
1
10 15 14 21
81.
1
2 5 2 2 10
82.
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
83.
2 30
5 6 7
84.
2 10
24 6
3
6 1
85.
2 2
2 2
2 3 1 3 5 4
:
3 1 5 1
90.
15 4 12
6 11
6 1 6 2 3 6
91.
2 2 2 5 1
3 12
3 3 6
92.
2
7 5 2 35
5 3 5 3
97.
3 5 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
98.
3
3 3
26 15 3 2 3
9 80 9 80
99.
3 3
26 15 3 26 15 3
100.
3;
3
20 14 2 20 14 2
5 5 5 5
10
5 5 5 5
107.
34
1
23
1
12
1
108. 222.222.84
109.
14 7 15 5 1
):
1 2 1 3 7 5
1 1
7 24 1 7 24 1
115.
3 3
3 1 1 3 1 1
116.
5 2 6 5 2 6
5 6 5 6
117.
3 5 3 5
3 5 3 5
118.
2 6 2 3 3 3
27
2 1 3
146
123.
222)22(
124.
15
1
15
1
125.
25
1
25
1
126.
234
2
234
2
132.
22
)32()21( 133.
22
)13()23(
134.
22
)25()35( 135.
)319)(319(
136.
57
57
57
57
2
3 3 2 3 3 3 1
Ngô Trọng Hiếu
www.VNMATH.com
Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
www.VNMATH.com
142.
4 3 2 2 57 40 2
143.
1100 7 44 2 176 1331
144.
2
1 2002 . 2003 2 2002
145.
1 2
72 5 4,5 2 2 27
3 3
146.
2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2
152.
2 5 14
12
153.
5 3 50 5 24
75 5 2
154.
3 5 3 5
3 5 3 5
155.
3 8 2 12 20
3 18 2 27 45
160.
322
32
322
32
161.
25
1
25
1
162.
3:486278
163.
1027
1528625
169.
15 216 33 12 6
170.
2 8 12 5 27
18 48 30 162
171.
2 3 2 3
2 3 2 3
172.
16 1 4
2 3 6
3 27 75
173.
4 3
179.
5 2 6 49 20 6 5 2 6
180.
1 1
2 2 3 2 2 3
181.
6 4 2 6 4 2
2 6 4 2 2 6 4 2
182.
2
5 2 8 5
2 5 4
188.
28:
37
37
37
37
Ngô Trọng Hiếu
www.VNMATH.com
Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
www.VNMATH.com
189.
4 1 6
3 1 3 2 3 3
192.
3 3
2 1 2 1
193.
3 3
1 3 1 1 3 1
194.
286)2314(
2
195.
198.
1 1
1
7 24 1 7 24 1
199.
2 3 15 1
.
3 1 3 2 3 3 3 5
200.
61
66
:
6
5
2
3
3
11
2
x
xxx
x
xx
x
A
2
1
4
1 xA
3.
B
4
4
x
x
B
4.
xxxxx
A
2
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
A
3
3
x
A
6.
Q =
7.
3
1 1
1 1 1
x x
A
x x x x x
12 xxA
8.
3 1 4 4
a > 0 ; a 4
4
2 2
a a a
a
a a
2
4
www.VNMATH.com
Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
www.VNMATH.com
10.
1
)1(22
1
2
x
x
x
xx
xx
xx
A
1 xxA
11.
xxx
xx
A
2
1
x
A
12.
32
1115
x
x
x
x
xx
x
A
3
52
x
x
A
14.
1
x
xx
x
x
A
x
x
A
2
16.
9
93
3
2
3
x x x
39
133
x
xx
A
18.
2 10 2 1
6 3 2
x x x
Q
x x x x
1
1
2
:
1
11
x
x
x
x
xx
A
x
x
A
3
2
20.
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
E
x
xx
A
)1(2
21.
2
22.
xx
x
xx
2
2
:
2
3
2
4
x
x
x
x
xxx
x
A
xA 1
24.
x
A
3
x
x
A
25.
1
1
1
1
xx
x
x
x
x
x
xx
x
A
2
2
2
3
:
2
23
2
xxx
x
x
x
x
P
2
2
1
:
4
8
2
4
x
x
A
3
4
28.
65
2
3
2
2
3
:
1
1
1
2
1
3
:
1
32
1
1
x
x
x
x
xx
x
x
1
2
1
1
:
1
22
1
1
x
xxxxx
x
x
A
1
1
x
x
A
32.
x
x
A
3
x
x
A
33.
a
a
a
a
a
a
A
3
12
2
3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
A
3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx
A
2
3
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
A
3
3
x
A
37.
3 1 4 4
4
2 2
x
xx
xx
xx
xx
xx
A
1
1
x
x
A
39.
x
A
3
x
x
A
40.
aaaa
a
A
2
1
6
5
3
2
2
4
2:
1
2
1
1
x
xx
xxxxx
A
x
x
A
2
1
42.
x
x
A
43.
2
1
:
1
1
11
2
1
1
1
1 a
aa
a
aa
A
45.
1
3
1
3
x
xx
x
xx
A
Ngô Trọng Hiếu
www.VNMATH.com
Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
www.VNMATH.com
47.
11
1
1
1
3
22
a a a a
49.
aaaa
a
a
a
a
A
1
2
1
1
:
1
1
51.
8
1
1
xx
xx
x
x
x
x
x
x
A
52.
a
aa
aa
aaaa
a
aa
A
54.
a
a
a
a
a
a
a
A
55.
1
12
2
41
21
:1
41
4
x
x
x
x
x
xx
A
57.
144
1
:
21
58.
3
32
1
23
32
1115
x
x
x
x
xx
x
P
59.
12
1
:
1
11
xx
x
xxx
P
61.
2
62.
xx
xxxx
x
3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
M
x
x
xx
x
x
xx
x
xx
P
1
1
.
1
1
:
1
1.
2
Ngô Trọng Hiếu
www.VNMATH.com
Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
www.VNMATH.com
65.
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
66.
2 2 1
1 1
:
1
x x
x x x x
P
x
x x x x
1
x
x
x
xx
69.
4
52
2
2
2
1
x
x
x
x
x
1
1
1
a
a
a
a
aa
71.
x
x
x
x
x
x
4
4
.
22
xx
xx
74.
6
5
3
2
aaa
a
P
a2
1
75.
a
a
a
aa
76.
1
2
1
3
1
1
xxxxx
77.
x
x
x
x
xx
x
1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
79.
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a
1 1 1
x x
x x x x x
83.
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
Ngô Trọng Hiếu
www.VNMATH.com
Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán
www.VNMATH.com
84.
1 3 2
1 1 1
x x x x x
85.
7 1 2 2 2
87.
4 3 2
:
2 2
2
x x x
x x x
x x
88.
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2
x x x x x
x
91.
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x
92.
a
a
a
a
a
P
93.
a
a
a
a
aa
aa
P
1
2
2
1
2
393
95.
1
1
1
1
1
aa
A
96.
2
2
:
11
2
1
1
1
1
1
1
x
x
xx
A
98.
1
122
:
11
1
1
1
12
100.
www.VNMATH.com
ễn thi vo lp 10 Mụn Toỏn
www.VNMATH.com
1. Cho biểu thức :
a 2 5
P
a 3 a a 6
1
2 a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P < 1
2. Cho biểu thức: P =
x x 3 x 2 x 2
4. Cho biểu thức P =
a 1 2 a
1 :
a 1
a 1 a a a a 1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P < 1
c) Tìm giá trị của P nếu
a 19 8 35. Cho biểu thức: P =
2 3 3
a(1 a) 1 a 1 a
: a . a
1 a
1 a 1 a
1
. 3 2 2
27. Cho biểu thức: P =
2 x 1 x
: 1
x 1
x x x x 1 x 1
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P
0
Ph
ng phỏp: Thc hin theo cỏc bc sau
tớnh giỏ tr ca biu thc bit
x a
ta rỳt gn biu thc ri
thay
x a
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P.
1 a
9. Cho biểu thức P =
x 2 x 1 x 1
1: .
x 1
x x 1 x x 1
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3
10. Cho biểu thức : P =
1 a a 1 a a
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P <
1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
12. Cho biểu thức: P =
x 3 x 9 x x 3 x 2
1 :
x 9
x x 6 2 x x 3
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P < 1
13. Cho biểu thức : P =
15 x 11 3 x 2 2 x 3
x 2 x 3 1 x x 3
a) Rút gọn P
a) Rút gọn P
b) Biết a > 1 Hãy so sánh P với
P
c) Tìm a để P = 2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
16. Cho biểu thức P =
a 1 ab a a 1 ab a
1 : 1
ab 1 ab 1 ab 1 ab 1
Ngụ Trng Hiu
www.VNMATH.com
ễn thi vo lp 10 Mụn Toỏn
www.VNMATH.com
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a =
2 3
và b =
2 a a 1 a 1
a) Tìm các giá trị của a để P < 0
b) Tìm các giá trị của a để P = -2
19. Cho biểu thức P =
2
a b 4 ab
a b b a
.
a b ab
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi a =
2 3
và b =
3
20. Cho biểu thức : P =
a) Rút gọn P
b) Tính
P
khi x=
325
22. Cho biểu thức P =
3x
1 2 1
2
1: :
4 x
2 x 4 2 x 4 2 x
a) Rút gọn P
b)
Tìm giá trị của x để P = 20
23. Cho biểu thức: P =
2a a 1 2a a a a a a
1 .
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P < 1
25. Cho biểu thức P =
a 1 . a b
3 a 3a 1
:
a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b Ngụ Trng Hiu
www.VNMATH.com
ễn thi vo lp 10 Mụn Toỏn
www.VNMATH.com
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
26. Cho biểu thức P =
a) Tìm x để
Q Q
b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
28. Cho biểu thức P =
1 x
x 1 x x
a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
2
29. Cho biểu thức : A =
x x 1 x 1
x 1
x 1
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
x x x x
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tìm x để A < 0
32. Cho biểu thức : A =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2
33. Cho biểu thức : A =
a 3 a 1 4 a 4
x x 26 x 19 2 x x 3
x 2 x 3 x 1 x 3
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó
36. Cho biểu thức : A =
a 1 a 1 1
4 a . a
a 1 a 1 a
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính A với a =
với x
0 , x 1.
a) Rút gọn A.
b) Tìm GTLN của A.
c) Tìm x để A =
1
2
d) CMR : A
2
3
39. Cho A =
x 2 x 1 1
x x 1 x x 1 1 x
với x
0 , x 1.
a) Rút gọn A.
b) Tìm GTLN của A
40. Cho A =
1 3 2
x 1 x x 1 x x 1
với a
0 , a 9 , a 4.
a) Tìm a để A < 1
b) Tìm
x Z
để A Z
43. Cho A =
x x 7 1 x 2 x 2 2 x
:
x 4 x 4
x 2 x 2 x 2
với x > 0 , x 4.
a) Rút gọn A.
b) So sánh A với
1
A
víi x > 0 , x 4.
a) Rót gän A
b) TÝnh A víi x =
6 2 5
46. Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 x 1 x 1 x 1 x 2 x
víi x > 0 , x 1.
a) Rót gän A
b) TÝnh A víi x =
6 2 5
víi x
0 , x 1.
a) Rót gän A.
b) T×m x ®Ó A ®¹t GTNN
49. Cho A =
2 x x 3x 3 2 x 2
: 1
x 9
x 3 x 3 x 3
víi x
0 , x 9
víi x > 0 , x 1.
a) Rót gän A
b) So s¸nh A víi 1
52. Cho A =
x 1 1 8 x 3 x 2
: 1
9x 1
3 x 1 3 x 1 3 x 1
Víi
1
x 0,x
9
a) T×m x ®Ó A =
6
5
www.VNMATH.com
54.
Cho biểu thức A =
2 1
1 1 1
x x
x x x x x
:
2
1x
a. Tìm điều kiện xác định.
b. Chứng minh A =
1
2
xx
c. Tính giá trị của A tại
288 x
d. Tìm max A.
55.
a) Rút gọn P.
b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.
56.
Cho biểu thức : M =
1
1
1
1
.
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
P
xx
x
A
1
.
1
2
12
2
a) Rút gọn A
b) Tìm các giá trị nguyen của x sao cho A có giá trị nguyên.
60.
Cho biểu thức
2
2
Cho biểu thức:
1
122
:
11
x
xx
xx
xx
xx
xx
A
2
1
1
1
1
1
1
x
x
xx
A
vi
1;0
xx
a) Rỳt gn A
b) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x biu thc A cú giỏ tr nguyờn.
63.
Cho biu thc:
x
x
x
x
xx
A
5
3
2
aaa
a
P
a2
1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
65.
Cho biểu thức: P=
Cho biểu thức: P=
13
23
1:
19
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu
3819 a
68.
Cho biểu thức: P=
12
1
1:1
12
2
12
1
x
xx
x
x
x
xx
x
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x
223.
2
1
69.
Cho biểu thức: P=
b) Tìm x để P
0
70.
Cho biểu P=
a
a
a
:1
x
x
xx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3
72.
Cho biểu thức: P=
2
x
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P<
2
1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
73.
Cho biểu thức : P=
x
xx
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1
74.
Cho biểu thức : P=
3
32
1
23
32
1115
x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
1
1
1
1
2
1
2
2
a
x
xxx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P>0
x
1
78.
Cho biểu thức : P=
x
x
x 24
1
:
24
2
4
2
3
2
1
:1
a
aa
aa
aaaa
a
aa
a) Rút gọn P
b) Cho P=
61
6
tìm giá trị của a
c) Chứng minh rằng P>
3
2
81.
Cho biểu thức:
1 1
1 1
a a a a
A
a a
a/ Tìm điều kiện để Q có nghĩa
b/ Rút gọn Q
c/ Tính giá trị của Q khi
4
9
x
d/ Tìm x để
1
2
Qe/ Tìm những giá trị nguyên của x để giá trị của Q nguyên.
83.
Cho biểu thức:
2 1
1
x x
P
x x x
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa
b) Rút gọn P
Ngụ Trng Hiu
www.VNMATH.com
ễn thi vo lp 10 Mụn Toỏn
www.VNMATH.com
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Tính giá trị của A khi
5 2 6 5 2 6
5 2 6 5 2 6
a
c) Tìm các giá trị của a để
A A
d) Tìm a để A=4; A=-16
e) Giải phơng trình: A=a
2
+3
85.
Cho biểu thức:
1
2 2 1 1
a a a a a
M
a) Rút gọn K
b) Tính giá trị của K khi a=9
c) Với giá trị nào của a thì
K K
d) Tìm a để K=1
e) Tím các giá trị tự nhiên của a để giá trị của K là số tự nhiên
87.
Cho biểu thức:
3
1 1 1
x x x
a/ Rút gọn T
b/ Tinh giá trị của T khi
7 5 7 5
7 5 7 5
x
c/ Tìm x để T=2
d/ Với giá trị nào của x thì T<0
e/ Tìm xZ để TZ
Copyright: Tài liệu đại học ©