Chuyên đề khảo sát hàm số
Trang 1
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
A.
ĐỒ THỊ HÀ
M SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phương pháp chung:
Để vẽ đồ thị của hàm số có mang dấu GTTĐ ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: Phá dấu GTTĐ
+ Xét dấu biểu thức chứa bên trong dấu GTTĐ.
+ Sử dụng đ/n khử dấu GTTĐ (viết hàm số cho bởi nhiều biểu thức)
Bước 2: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại (vẽ chung trên cùng một hệ trục toạ độ
2. Các k
iến thức sử dụng:
• Đ/n GTTĐ:
A 0
A A < 0
A
A
≥

=


neáu
neáu
• Một số tính chất của đồ thị:
1. Đồ thị hàm số y = f(x) và y= - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành Ox.
2. Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung Oy.
3. Đồ thị hàm số y = f(x) và y = - f(-x) đối xứng nhau qua gốc toạ độ O.

: ( )
C y f x
= suy ra đồ thị
(
)
(
)
1
:
C y f x
=
B1: Ta có
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
1
f f 0 (1)
:
-f f < 0 (2)
x x
C y f x
x x

≥

= =


( )
( )
(
)
( )
2
f x 0 (1)
:
f x < 0 (2)
x
C y f x
x

≥

= =

−


neáu
neáu
B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C
2
) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía phải trục Oy (do 1)
- Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục tung (do 2)
- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có).
Minh hoạ
• Dạng 3: Từ đồ thị





−


B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C
3
) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox (do 1)
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (do 2)
- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox (nếu có).
Minh hoạ
3. Ví dụ:
VD1: Cho hàm số
3
3
y x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:
a)
3
3
y x x
= − + b)
3
3

1
1
x
y
x
+
=
−
c)
1
1
x
y
x
+
=
−
d)
1
1
x
y
x
+
=
−
e)
1
1
x

4 5
m
≤ ≤
Bài tập 2 (Khối B - 2009) Cho hàm số
4 2
2 4
y x x
= − có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Tìm m để phương trình
2 2
2
x x m
− =
có đúng 6 nghiệm phân biệt
Đáp số:
0 1
m
< <
5. Bài tập tự luyện
Bài tập 1 (Khối A - 2006) Cho hàm số
3 2
2 9 12 4
y x x x
= − + −
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Tìm m để phương trình
3 2
2 9 12

3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
y’ = f’(x) = 3ax
2
+ 2bx + c
Hàm số có cực trị
⇔
Hàm số có CĐ và CT
⇔
f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
2. Hàm trùng phương: y=f(x) = ax
4
+ bx
2
+ c
(a
≠
0)
y’ = f’(x) = 4ax
3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b)
Hàm số có đúng 1 cực trị
0
0


⇔

<

Bài 1: Tìm
m
để hàm số
(
)
3 2
2 3 5
y m x x mx
= + + + −
có cực đại và cực tiểu
Đáp số:
2
3 1
m
m
≠ −


− < <

Bài 2 (ĐH Bách khoa HN-2000) Tìm
m
để hàm số
(
)

)
4 2
1 1 2
y mx m x m
= − − + − có đúng một cực trị.
Đáp số:
1
0
4
m
≤ ≤
Bài 5 (ĐH khối A DB1 - 2001) Tìm
m
để hàm số
( )
3
3
y x m x
= − −
đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ
0
x
=
Đáp số:
1
m
= −
Bài 6 (ĐH khối B - 2002) Tìm
m
để hàm số

( )
1 1 1
2 2 2
Ax
Ax
y f x B
y f x B

= = +


= = +


2. Tìm nhanh cực trị hàm đa thức f(x) bậc ba, bậc bốn
* Chia f(x) cho f’(x) ta được: ( ) ( ). '( ) Ax
f x Q x f x B
= + +
* G/s x
0
là hoành độ điểm cực trị khi đó tung độ điểm cực trị là
(
)
0 0 0
Ax
y f x B
= = +
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3 2
3 6 8

có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song
song với đường thẳng
4 1
y x
= − +

Bài 10: Tìm m để hàm số
(
)
(
)
3 2
2 3 1 6 1 2
y x m x m m x
= + − + − có các điểm cực trị nằm trên đường thẳng
4
y x
= −

Bài 11: Tìm m để hàm số
3 2 2
3
y x x m x m
= − + +
có các điểm cực cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua
đường thẳng
1 5
2 2
y x
= −

)
(
)
3 2
1 2 2 2
y x m x m x m
= + − + − + +
có hai điểm cực
đại, cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Đáp số:
5 7
1;
4 5
m m
< − < <
Bài 14 (CĐ - 2009) Tìm m để hàm số
(
)
(
)
3 2
2 1 2 2
y x m x m x
= − − + − +
có cực đại và cực tiểu đồng thời
các điểm cực trị của hàm số có hoành độ dương.
Đáp số:
1
1, 0
3

4 2 2
2 1
y x m x
= − +
có ba điểm cực trị là ba đỉnh của
một tam giác vuông cân.
Bài 18 Chứng minh rằng hàm số
(
)
(
)
3 2
3 1 3 2 1
y x m x m m x
= − + + + +
luôn có cực đại, cực tiểu. Xác định
m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương .
Đáp số:
0
m
>
Bài 19 (Khối B - 2007) Tìm m để hàm số
(
)
3 2 2 2
3 3 1 3 1
y x x m x m
= − + + − − −
có cực đại và cực tiểu và
các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O Đáp số:

1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = + Đáp số:
1; 5
m m
= =
Chun đề khảo sát hàm số
Trang 6
C- PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG GIAO
1. Phư
ơng pháp chung:
• Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
(
)
(
)
(
)
1
f x g x=
• Khảo sát nghiệm của phương trình (1). Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của
(C1) và (C2).
• Chú ý: * (1) vơ nghiệm
⇔
(C
1
) và (C

)
3 2
ax 0
f x bx cx d
= + + + =
(1)
a) Đ/k để (1) có 1, 2, 3 nghiệm
• (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
( )



<


( ) có cực đại, cực tiểu
1
y . 0
CĐ CT
f x
y
• (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
( )



=


( ) có cực đại, cực tiểu

1 2 3
, ,
x x x
lập thành CSC khi đó
2
3
b
x
a
= − thế vào (1)  giá trị của
tham số
Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành
CSC hay khơng.
* Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSN:
Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm
1 2 3
, ,
x x x
lập thành CSN khi đó
3
2
d
x
a
= −
thế vào (1)  giá trị của
tham số
Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành
CSN hay khơng.
Chú ý: Nếu a = 1

(*)
a) Đ/k để (2) vơ nghiệm, có 1,2, 3,4 nghiệm
* (2)
vơ nghiệm khi và chỉ khi (*) vơ nghiệm hoặc có nghiệm
1 2
0
t t
≤ <
* (2) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm
1
2
0
0
t
t

=


<


hoặc t = =0
2
t
1
Chuyên đề khảo sát hàm số
Trang 7
* (2) có 2 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm
1 2

1 2
0
9
0
. 0
9
0
t t
t t
t t
t t
t t

∆ >

=

< <
 
⇔
 
>
=

 

+ >

4. Xét phương trình
( )


≠ − ⇔
 

− ≠
 

 

Chú ý: Trên đây chỉ là điều kiện trong trường hợp tổng quát, khi giải bài toán cụ thể ta cố gắng nhầm
nghiệm để phân tích phương trình về dạng tích khi đó điều kiện sẽ đơn giản hơn
5. Bài tập:
a) Dạng 1: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại k điểm phân biệt
Bà
i 1 (DB2 ĐH Khối D -2002) Tìm
m
để đồ thị hàm số
4 2
1
y x mx m
= − + −
cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt.
Đáp số:
1 2
m
< ≠
Bài 2 (DB1 ĐH Khối B -2003) Tìm
m
để đồ thị hàm số

<
Bài 5: Tìm
m
để đồ thị hàm số
(
)
3 2 2
1 2
y x m x mx m
= + + + + cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ âm
Đáp số:
1
0
4
m
< <
Bài 6:Tìm
m
để đồ thị hàm số
(
)
(
)
3 2 2 2
2 2 1 1
y x mx m x m m
= − + − + − cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt có hoành độ dương
hoặc t = >0

18 2
y x x mx m
= − + − cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn
1 2 3
0
x x x
< < <

Đáp số:
0
m
<
b) Dạng 2: Tìm đ/k để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại k điểm phân biệt
Bài 9 (CĐ -2008) Tìm
m
để đồ thị hàm số
1
x
y
x
=
−
cắt đường thẳng
:
d y x m
= − +
tại hai điểm phân
biệt
Đáp số:
0

2 3 1
y x x
= − −
có đồ thị (C), gọi
k
d
là đường thẳng đi
qua điểm
(
)
0; 1
M
−
và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng
k
d
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Đáp số:
9
0
8
k
− < ≠
Bài 12 (ĐH Khối D -2006) Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
= − +
có đồ thị (C), gọi
d

3
m m
− < < ≠

Bài 14: Tìm để đường thẳng
: 2
d y x m
= +
cắt đồ thị hàm số
3 1
4
x
y
x
+
=
−
tại hai điểm phân biệt A, B .
Tìm m để đoạn thẳng AB ngắn nhất.
Đáp số:
Bài 15: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).

)
(
)
3 2
3 1 5 4 8
y x m x m x
= − + + + −
cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành
cấp số cộng
Đáp số:
2
m
=
Bài 18: Tìm
m
để đồ thị hàm số
(
)
4 2
2 1 2 1
y x m x m
= − + + +
cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số
cộng
Đáp số:
4
4;
9
m m
= = −

0
))

2. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k
- Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: f’(x) = 0 (*)
- Giải PT (*) tìm được hoành độ tiếp điểm
⇒
tung độ tiếp điểm
⇒
bài toán trở về dạng 1
3. Chú ý :
a) Đ/k để hai đường cong
(
)
y f x
= và
(
)
y g x
= tiếp xúc nhau là hệ
(
)
(
)
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x

=

−
đồng thời tiếp tuyến tại A có hệ số góc
bằng 3.
Đáp số:
4, 1
a b
= − =
Bài 2: Cho hàm số
(
)
3 2
3 1
y f x x x mx
= = + + +
có đồ thị (C
m
).
a) Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng
1
y
=
tại 3 điểm phân biệt
(
)
0;1 , ,
C D E
.
b) Tìm m để các tiếp tuyến với (C

1
2 3
3
y x x x
= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của
(C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Đáp số:
8
3
y x
= − +
Bài 5 (HV Quân Y 1997) Cho hàm số
3
1 ( 1)
y x m x
= + − +
có đồ thị (C
m
).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C
m
) tai các giao điểm của (C
m
) với Oy.
b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8.
Đáp số:
) 1 b)m=9 4 5; 7 4 3
a y mx m m= − + − ± = − ±
Bài 6: Cho hàm số

2
3 2 3
y f x x x x
= = + − −
có đồ thị (C). Viết phương tình
tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đương thẳng
: 4 2
d y x
= +

Đáp số:
Bài 8 (ĐH khối D-2005) Gọi (C
m
) là đồ thị hàm số
3 2
1 1
3 3 3
m
y x x
= − +
. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có
hoành độ x = -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song song với đường thẳng
5 0
x y
− =
.

= − = −
Bài 10: Cho hàm số
3 2
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C). Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành một
góc 45
0
.
Đáp số:
2; 6
y x y x
= − + = − +
Dạng 3: Đ/k tiếp xúc của hai đường
Bài 11 (DB1 ĐH khối D-2008) Gọi (C
m
) là đồ thị hàm số
(
)
3 2
2 1 1
y x m x m
= − − + − −
. Tìm m để đồ thị
(C

−
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường
tiệm cận của (C), Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM.
Đáp số:
Bài 14 (ĐH khối D-2007) Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
+
có đồ thị (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp
tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
Đáp số:
( )
1
; 2 ; 1;1
2
M M
 
− −
 
 
Bài 15 (DB2 ĐH khối D-2007) Cho hàm số
1
x

3 2
tại điểm uốn và
chứng minh rằng
Δ
là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 2: Cho đường cong (C):
2
2
+
y
=
x
+
x
−
x
1

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
(Δ) : y = x − 2

Bài 3: Cho hàm số
1
63
2
x
+
+
x
+

+
x
−
(C)
Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thò (C) vuông góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).
Bài 6: Cho hàm số
3
1
23
y
=
1
x
3
+
m
x
2
+
(C
m
)
Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song
song với đường thẳng 5x-y=0
Bài 7: Cho đường cong (C): y = x