Trưng THPT Quốc Tha
́
i Tổ : Toán
Tài liệu ôn tập TN_THPT Trang 10 -

Chuyên đề 2
KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. Mục đích yêu cầu :
- Thu kho sát, kho sát thành tho hàm s bt
bin .
- Thành tho vit pttt, bin lun s nghim b thm cng
cong, tìm tham s  hàm s ng bin, nghch bit cc tr, tìm GTLN và GTNN,
tim cn c th hàm s
- ng dng tích phân tính din tích hình phng và th tích khi tròn xoay .
- Hc sinh vn dng thành tho các kin th KSHS và các bài toán v tip
tuyn, cc tr, tim c
II. Chun b :
GV : - Son ging , h thng kin thn nhm giúp hc sinh d vn dng khi làm
bài.
- Trình bày bài tp mu, cho hc sinh thc hin các bài t.
HS : - Xem , hc và h thng kin th nhà. Thc hin các bài tã giao.
III. Nội dung ôn tập:
A. 
I. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)

 p tuyn ca ( C ) ti M(x
0
; y

0
)( x  x
0
)
 N
0
thì tính y
0
= f(x
0
)
 N cho x
0
thì x
0
là nghim c
0Trưng THPT Quốc Tha
́
i Tổ : Toán
Tài liệu ôn tập TN_THPT Trang 11 -

Ví dụ Lp tuyn c th hàm s y = f(x) = x
3
 3x + 2 ti:
 x
M
m ca ( C ) vi trc hoành

189)2(9  xyxy

Vấn đề 2: Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Phương pháp
Cách 1 : Gi M(x
0
; y
0
) là tim. Tip tuyn có h s góc k
 
kxf 


0
. Gi
0
 
00
xfyD 

p tuyn y – y
0
= k( x – x
0
)
Cách 2 : Gi (d) : y = kx + b là tip tuyn ca ( C )

   
   


GIẢI
1) Gi M(x
0
; y
0
) là tim. Tip tuyn song song vi (d) nên có h s góc k = 1
 
11231
0
2
00


 xxxf

 x
0
= 1

y
0
p tuyn : y = x
 x
0
=  1

y
0
p tuyn : y = x + 4
2) Vì tip tuyn vuông góc vi (d) nên có h s góc k =  1 .

 xx
. T (2) vi x =
9
32
2
3
3
 b
.
p tuyn y =  x + 2
9
32


Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A(
11
;xy
)
Phương pháp
Cách 1 : 
0
; y
0

0
= f(x
0)

0
) theo x








2
1
11
yxxkxf
kxf


Ví dụ y = f(x) = x
3
– 3x + 2 
qua A(2 ; 4 )
Cách 1 
0
; y
0
Ta có y
0
= x
0
3
– 3x
0
+2 và

3
+ 2
3003
00
2
0
3
0
 xxxx

 x
0
y = – 3x + 2
 x
0
y = 24x – 52
Cách 2 k
y = k(x – 2) – 4 
 
   








24223
133

xgxf
xgxf

Ví dụ Cho (C) : y = f(x) = x
4
– x
2
+ 1 và (D) : y = g(x) = x
2
+ m

GIẢI 
 














21
)1(224
)()(

0
;y
0
) là điểm cố đònh của (C
m
)
mxfy  )(
00

Biến đổi thành phương trình ẩn số m
p dụng : phương trình có nghiệm với mọi m khi tất cả các hệ số đều bằng 0 ta được
hệ phương trình ẩn số x
0
; y
0
. Giải hệ tìm nghiệm x
0
thuộc tập xác đònh D .
Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu điểm cố đònh
2 /- Tìm những điểm mà (C
m
) không đi qua
Phương pháp Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm mà (C
m
) không đi qua


  


  


Ví dụ Cho (C
m
) : y =
2
2( 1) 3
2
mx m x
x
  

( m là tham số )
1) Tìm những điểm mà (C
m
) luôn đi qua khi m thay đổi
2) Tìm những điểm mà (C
m
) không đi qua với mọi m
GIẢI
1) Tập xác đònh D =

\
 
2
Gọi M(x

2
0 0 0 0 0 0
2 2 2 3 0x x m y x y x m       

2
00
00
0 0 0 0
0
0 ( 2)
20
3
2 2 3 0
2
x vì x
xx
y x y x
y







   





 







)2()1(03222
2
111111
2
1
1
xVNxyxymxx
x

(1)













(2)y)
y



Trưng THPT Q́c Tha
́
i Tổ : Tốn
Tài liệu ơn tập TN_THPT Trang 14 -

Vấn đề 2 Sự tương giao của hai đường
Phương pháp: Cho 2 đường ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình f(x)= g(x) (1 )
Phương trình ( 1 ) có bao nhiêu nghiệm thì ( C ) và ( D ) có bấy nhiêu điểm chung.
Muốn tìm giao điểm ta thay nghiệm của ( 1 ) vào y = f(x) hay y =g(x)
Lưu ý
1. Phương trình
2
0ax bx c  

a) Phương trình vô nghiệm
00
00
a a b
c
  



  

.
b
S x x
a
c
P x x
a

   








2. Phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 khi biết 1 nghiệm x = x
0

Phương pháp ( Chia 2 v c x
0
)
Ta có ax
3
+ bx

) = Ax
0
2
+ Bx
0
+C
 Pt có 1 nghiệm












0)(
0
0
0
xg
° Pt có 2 nghiệm






0
0
xg

Cách tìm x
0

 a + b + c + d = 0 Phương trình có nghiệm x
0
= 1
 a – b + c – d = 0 Phương trình có nghiệm x
0
= –1
 x
0
là nghiệm nguyên của phương trình thì x
0
là ước số của d
Khi khơng biết nghiệm
Cách 1 Biện luận phương trình bằng đồ thò
Cách 2 Xét hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
a) Nếu hàm số không có cực trò thì phương trình chỉ có 1 nghiệm
b) Nếu hàm số có cực trò tính y
CĐ
.y
CT

(x – 1)(4x
2
+ 4x + 1 – m) = 0 (1)
 






20144
01
2
mxx
x

Đặt h(x) = 4x
2
+ 4x + 1 – m . Tính


= 4 – 4(1 – m) = 4m và h(1) = 9 – m
x

0 9






( y = m là đường thẳng cùng phương với Ox cắt Oy tại điểm có tung độ m )
Dựa vào đồ thò để kết luận. chú ý so sánh m với các giá trò cực trò , nếu đồ thò có
tiệm cận ngang thì so sánh với giá trò tiệm cận ngang
Trường hợp 2 : f(x) = am + b tương tự như trường hợp 1 ở đây giao điểm của (d) với
trục Oy có tung độ là am + b
Ví dụ Cho (C) : y = x
3
– 3x
2
+ 2.
1) Khảo sát hàm số
2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của :
x
3
– 3x
2
– m = 0 (1)
GIẢI : 1)
2) (1)

x
3
– 3x
2
+ 2 = m + 2
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của
32
( ) : 3 2
( ) : 2 (cùng phương với trục hoành)
C y x x



0)(
0)(
xkhixf
xkhixf
nên ta có (C
1
) :
 Giữû phần đồ thò (C) với x > 0
 Bỏõû phần đồ thò (C) với x < 0
 Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thò (C) với x > 0
x
y
m + 2
O
1

Trưng THPT Q́c Tha
́
i Tổ : Tốn
Tài liệu ơn tập TN_THPT Trang 16 -

2) (C
2
) : y =
)(xf
=





0)(
)(
)(
0)(
)(
)(
xQkhi
xQ
xP
xQkhi
xQ
xP
nên ta có (C
3
):
 Giữû phần đồ thò (C) với Q(x) > 0
 Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thò (C) với Q(x) < 0
 Bỏõû phần đồ thò (C) với Q(x) < 0
4; (C
4
) : y = f(x) =
)(.)( xQxP
hay y = f(x) =
)(
)(
xQ
xP



Khử m ta được hệ thức liên hệ giữa x và y là phương trình q tích . Từ điều kiện của
m suy ra điều kiện của x hay y là giới hạn của q tích . Đặc biệt nếu M là trung điểm
của AB là giao điểm của (C) : y = f(x) và đường thẳng (d) : y = ax + b ta có :
12
2
xx
x
y ax b








trong đó x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình f(x) = ax + b
Ví dụ
1/- Cho (C) : y =
2
21
1
x mx m
x
  

1 1 0 2
2
1 2 1 0 2
mm
m
mm
   

   

    


Khi đó hàm số có điểm cực đại M(x ; y) với y = 2x + 2m
1 2 2 1x m m x      

Trưng THPT Q́c Tha
́
i Tổ : Tốn
Tài liệu ơn tập TN_THPT Trang 17 -


22
1 0 1
2 2 1 1 2
xx
m x x m x x
  




là phương trình q tích của tâm đối xứng
2/- Cho (C) : y = x
3
– 3x
2
+ 2 và đường thẳng (d) đi qua A(0 ; 2) có hệ số góc k . Khi
(C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt A, B , C tìm q tích trung điểm I của đoạn BC khi k
thay đổi
Giải
Ta có (d) : y = kx + 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :
x
3
– 3x
2
+ 2 = kx + 2
2
( 3 ) 0 (1)x x x k   

2
0
3 0 (2)
x
x x k




  


Gọi I(x ; y) là trung điểm của BC với x
B
; x
C
là nghiệm của phương trình (2) ta có :
3
3
2
2
2
35
3
2
2
2
8
2
BC
xx
x
x
x
k
y kx
k
y





)
  th 
  thi xng c th)
 Tnh
 
 Gii hn & tim cn
 Bng bin thiên
)
  th 
  thi xng c th)

 Các d th hàm s:  







 .
Trưng THPT Quốc Tha
́
i Tổ : Toán
Tài liệu ôn tập TN_THPT Trang 18 -

B. CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số. Các bài toán liên quan…Ứng dụng của tích phân.

S x x dx x x dx dvdt

      


Bài 2: Cho hàm s:
32
34y x x   
 th là (C).
1/ Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca hàm s.
2./ Vip tuyn vi (C) bit tip tuyn song song vng thng d:
9 2009yx  

 th (C) bin lun theo
m
s nghim c
32
30x x m  

HD Bài 2:

2/ PTTT là:
9 9, 9 23y x y x     


32
3 0 (1)x x m  

PT (1)
32

2/ PTTT là:
9 25yx

3/ Tính din tích hình pha (C) và
d:
3 2 3 2
3 2 2 3 4 0 1, 2x x x x x x          

 
1 1 1
3 2 3 2 3 2
2 2 2
27
3 2 ( 2) 3 4 3 4 ( )
4
gh
S x x dx x x dx x x dx dvdt
  
            
  Bài 4 : Cho hàm s:
32
3y x x
 th là (C).
1/ Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca hàm s.

u kin ca
m

- 3
- 2
1-1
O

Trưng THPT Quốc Tha
́
i Tổ : Toán
Tài liệu ôn tập TN_THPT Trang 19 -

HD Bài 4:
u kin ca
m
: Xét PT:
3 2 3 2
3 2 0 3 2x x m x x m       
, kt qu:
22m  

m thu th (C): Gi s
0 0 0
( ; ) ( )M x y C

H s góc ca tip tuyn ti
0
M
là:
22
0 0 0 0 0
'( ) 3 6 3( 2 1) 3 3f x x x x x       

;0
2




, cc tiu
1
;2
2





2/
ng thng d:
1yx
.
b/ To  m ca d và (C):
( 1; 2), ( 1;0), (1;0)A I B  

c/
 


22
' 6 12 6 6( 1) 0,y x x x x        
 c tr 0 -2
1
2
-
1
2
y
y'
+
_
+
0
0
x
CT
C§
-


y
y'
x
-

+

-

+


x
y
-2
2
2
1
O

Trưng THPT Quốc Tha
́
i Tổ : Toán
Tài liệu ôn tập TN_THPT Trang 20 -

2/
22
3 2 3 2
11
1

1y x mx m   
,
m
là tham s.
1/ Kho sát và v  th (C) ca hàm s khi
3m 
.
2/ Vip tuyn c th (C) , bit tip tuyn vuông góc vng thng
d:
11
33
yx

 hàm s t cc tiu tm
2x 
.
HD Bài 7:
1/
3m 
, ta có hàm s:
32
32y x x  

m ci:
(0;2)
m cc tiu:
(2; 2)

  

   

  

.
Bài 8: Cho hàm s :
32
32y x x   
 th ( C )
1/ Kho sát s bin thiên và v  th hàm s
2/ Vip tuyn

vi (C ) tm A( 0 , - 2)
ng thng qua K( 1,0) có h s góc m . Tìm giá tr  ng thng d ct (C )
tm phân bit .
HD Bài 8:
ng thng d:
( 1)y m x
.
a d và (C ):
 
32
3 ( 1) 2 0 1x x m x    
 
2
1
2 2 0 2
x


  




m ci:
(0; 2)
m cc tiu:
(2;4)
2/ PTTT vi (C) tm
(0; 2)A 
.
Bài 9: Cho hàm s:
32
2 3 1y x x= - -
 th (C).
-2
2
2
0
y
y'
+

C§
CT
_
+
_
+

-

+

-

0
0
y
y'
x

Trưng THPT Quốc Tha
́
i Tổ : Toán
Tài liệu ôn tập TN_THPT Trang 21 -

1/ Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca hàm s .
2/ Tìm to  m cng thng d:
1yx=-

 th (C) bin lun theo
m





Gii hn :
lim
x
y

 
,
lim
x
y

 


BBT

1; 6);
13
;
22

0
3 17
4
x
x
é
=
ê
ê
±
ê
=
ê
ë

 m.
3/ Bin lun theo m s nghim PT:
32
2 3 0x x m- - =

>
3 2 3 2
2 3 0 2 3 1 1x x m x x m- - = Û - - = -

>
t:
32
2 3 1y x x= - -
 th (C) va v và
1ym=-

= - - =
ê
ë

>
S m (d
1
) và (C) = s nghim ca PT(1)
>
Xét PT(2):
·
TH1: g(0) = 0
0aÛ=
, PT(2) có hai nghim:
3
0
2
x ;x==
Þ
PT(1) có hai nghim
Þ
có
m
·
TH2: g(0)
¹
0:
98aD = +

+



Trưng THPT Quốc Tha
́
i Tổ : Toán
Tài liệu ôn tập TN_THPT Trang 22 -

+
D
= 0
9
8
aÛ = -
PT(2) có mt nghim kép
3
4
x =

Þ
PT(1) có 2 nghim
Þ
có hai
m.
+
D
> 0 và
9
8
a ¹-
9

;
3x 

4
1;
3
A

  


;
2
1;
3
M




;
(3;0)B
t kt qu trên

m cn AB.
Din tích tam giác OAB:
14
.3. 2
23
OAB

'
1
y
x


' 0, 1yx   
, hàm s gim trên tng khonh.

lim 2
x
y


 th có tim cn ngang là
2y 
11
lim ; lim
xx
yy


     
 th có tim cng là
1x 
x 1
+

-
 -

+

--
+

-

y
y
'
x 1

2
2
x
y
-
2
3
2
3
2
1
- 2