Ch¬ng 1: Giíi thiÖu vÒ kÜ thuËt OFDM.

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU VỀ KĨ THUẬT OFDM
1.1. Giới thiệu chương.
Phương thức truyền dữ liệu bằng cách chia nhỏ ra thành nhiều luồng bit và sử
dụng chúng để điều chế nhiều sóng mang đã được sử dụng cách đây hơn 30 năm.
Ghép kênh phân chia theo tấn số trực giao -OFDM(Orthogonal Frequency Division
Multiplexing) là một trường hợp đặc biệt của truyền dẫn đa sóng mang,tức là chia
nhỏ một luồng dữ liệu tốc độ cao thành nhiều luồng dữ liệu tốc độ thấp hơn được
truyền đồng thời trên cùng một kênh truyền.OFDM là một phương thức điều chế
hấp dẫn cho các kênh có đáp tuyến tần số không phẳng,lịch sử của OFDM được bắt
đầu từ 1960.
Trong OFDM, băng thông khả dụng được chia thành một số lượng lớn các
kênh con, mỗi kênh con nhỏ đến nỗi đáp ứng tần số có thể giả sử như là không đổi
trong kênh con. Luồng thông tin tổng quát được chia thành những luồng thông tin
con, mỗi luồng thông tin con được truyền trên một kênh con khác nhau. Những
kênh con này trực giao với nhau và dễ dàng khôi phục lại ở đầu thu. Chính điều
quan trọng này làm giảm xuyên nhiễu giữa các symbol (ISI) và làm hệ thống
OFDM hoạt động tốt trong các kênh fading nhiều tia. Dựa vào các lợi ích của sự
tiến bộ trong kỹ thuật RF và DSP, hệ thống OFDM có thể đạt được tốc độ cao trong
truy xuất vô tuyến với chi phí thấp và hiệu quả sử dụng phổ cao.
Trong hệ thống FDM (Frequency Division Multiplexer) truyền thống, băng tần
số của tổng tín hiệu được chia thành N kênh tần số con không trùng lắp. Mỗi kênh
con được điều chế với một symbol riêng lẻ và sau đó N kênh con được ghép kênh
tần số với nhau. Điều này giúp tránh việc chồng lấp phổ của những kênh và giới hạn
được xuyên nhiễu giữa các kênh với nhau. Tuy nhiên, điều này dẫn đến hiệu suất sử
dụng phổ thấp. Để khắc phục vấn đề hiệu suất, nhiều ý kiến đã được đề xuất từ giữa
những năm 60 là sử dụng dữ liệu song song và FDM với các kênh con chồng lấp
nhau, trong đó mỗi sóng mang tín hiệu có băng thông 2b được cách nhau một
1
Ch¬ng 1: Giíi thiÖu vÒ kÜ thuËt OFDM.

Ch¬ng 1: Giíi thiÖu vÒ kÜ thuËt OFDM. 3
Ch¬ng 1: Giíi thiÖu vÒ kÜ thuËt OFDM.

Hình 1.1 Sóng mang OFDM(N=8)
1.3. Nguyên lý OFDM.
Nguyên lý cơ bản của OFDM là chia nhỏ một luồng dữ liệu tốc độ cao trước
khi phát thành nhiều luồng dữ liệu tốc độ thấp hơn và phát mỗi luồng dữ liệu đó
trên một sóng mang con khác nhau . Các sóng mang này là trực giao với nhau , điều
này được thực hiện bằng cách chọn độ giãn tần số một cách hợp lý . Bởi vì khoảng
thời symbol tăng lên cho các sóng mang con song song tốc độ thấp hơn, cho nên
lượng nhiễu gây ra do độ trải trễ đa đường được giảm xuống. Nhiễu xuyên ký tự ISI
được hạn chế hầu như hoàn toàn do việc đưa vào một khoảng thời bảo vệ trong mỗi
symbol OFDM . Trong khoảng thời bảo vệ , symbol OFDM được mở rộng theo chu
kỳ (cyclicall extended) để tránh xuyên nhiễu giữa các sóng mang ICI.
4
(a)
Tần số
Tần số
Khoảng thông tiết kiệm
(b)
Hình 1.2 Kỹ thuật đa sóng mang không chồng xung và chồng xung.
Ch.1 Ch.10
Ch¬ng 1: Giíi thiÖu vÒ kÜ thuËt OFDM.

Hình 1.2 minh họa sự khác nhau giữa kỹ thuật điều chế đa sóng mang không
chồng xung và kỹ thuật đa sóng mang chồng xung . Bằng cách sử dụng kỹ thuật đa
sóng mang chồng xung , ta có thể tiết kiệm được khoảng 50% băng thông .Tuy

)().(
2
1
K
dttftf
t
t
mn
(1.1)
Trong đó: K là hằng số không phụ thuộc t, n hoặc m. Và trong OFDM, tập các sóng
mang con được truyền có thể được viết là:

)2exp()( tfjtf
nn
π
=
(1.2)
Trong đó :
1−=j
và
Tnffnff
n
/
00
+=∆+=
(1.3)
f
0
là tần số offset ban đầu
Bây giờ ta chứng minh tính trực giao của các sóng mang con. Xét biểu thức (1.1) ta

=
π
ππ
( ) ( )
[ ]
Tmnj
TttmnjTtmnj
/)(2
/))((2exp1/)(2exp
212
−
−−−−
=
π
ππ
(1.4)
= 0 với n≠m
Nếu các sóng mang con trực giao nhau thì biểu thức (1.1) phải xảy ra,tức biểu thức
(1.4) luôn đúng.
Khi n=m thì tích phân trên bằng T/2 không phụ thuộc vào n,m.
Vì vậy, nếu như các sóng mang con cách nhau một khoảng bằng 1 T , thì
chúng sẽ trực giao với nhau trong khoảng t
2
− t
1
là bội số của T. OFDM đạt được
tính trực giao trong miền tần số bằng cách phân phối mỗi khoảng tín hiệu thông tin
vào các sóng mang con khác nhau. Tín hiệu OFDM được hình thành bằng cách tổng
hợp các sóng sine, tương ứng với một sóng mang con. Tần số băng gốc của mỗi
sóng mang con được chọn là bội số của nghịch đảo khoảng thời symbol, vì vậy tất

dụng DFT, phổ của chúng không liên tục như hình 1.3a , mà là những mẫu rời rạc.
Phổ của tín hiệu lấy mẫu tại các giá trị ‘0’ trong hình vẽ. Nếu DFT được đồng bộ
theo thời gian, các mẫu tần số chồng lắp giữa các subcarrier không ảnh hưởng tới
bộ thu. Giá trị đỉnh đo được tương ứng với giá trị ‘null’ của tất cả các subcarrier
khác do đó có tính trực giao giữa các subcarrier.
1.5. Sử dụng biến đổi IFFT để tạo sóng mang con(subcarrier).
Để đạt được khả năng chống lại hiện tượng tán sắc trong các kênh truyền,kích
thướt khối N (số subcarrier) phải lớn ,điều này đòi hỏi một lượng lớn modem sub-
channel . May mắn là chúng ta có thể chứng minh về mặt toán học rằng việc lấy
biến đổi Fourier rời rạc ngược (IDFT-inverse discrete Fourier transform) N symbol
QAM và sau đó truyền các hệ số một cách liên tiếp. Việc đơn giãn hoá phần cứng
cho việc truyền dẫn tín hiệu OFDM có thể đạt được nếu các bộ điều chế và giải điều
chế cho các kênh con được thực hiện bằng cách sử dụng cặp biến đổi IFFT (inverse
fast Fourier transform) và FFT.Một tín hiệu OFDM bao gồm tổng hợp của các sóng
mang con được điều chế sử dụng khóa dịch pha PSK (Phase Shift Keying) hoặc
điều chế biên độ vuông góc QAM (Quadrature Amplitude Modulation). Nếu gọi d
i
là các chuỗi dữ liệu QAM phức, N
S
là số lượng sóng mang con, T là khoảng thời
symbol và f
C
là tần số sóng mang, thì symbol OFDM bắt đầu tại t = t
s
có thể được
viết như sau[13]:
8
Ch¬ng 1: Giíi thiÖu vÒ kÜ thuËt OFDM.






+
−=
∑
−
−=
+ s
1
2
2
2/
t, )(
5,0
2expRe)(
π
(1.5)
Tts +><=
ss
t t vàt t, 0)(
Để cho dễ tính toán, ta có thể thay thế symbol OFDM trên như sau [13]:

Ttttt
T
i
jdts

t t vàt t, 0)(
Trong biểu thức trên, phần thực và phần ảo tương ứng với thành phần cùng pha
và vuông pha của tín hiệu OFDM, mà sẽ được nhân với hàm cosin và sin của từng
tần số sóng mang con riêng rẽ để tổng hợp được tín hiệu OFDM sau cùng.
Hình 1.4 minh họa sơ đồ khối hoạt động của bộ điều chế OFDM [13].
Khi tín hiệu OFDM s(t) ở (1.6) được truyền đi tới phía thu, sau khi loại bỏ
thành phần tần số cao f
c
, tín hiệu sẽ được giải điều chế bằng cách nhân với các liên
hiệp phức của các sóng mang con. Nếu liên hiệp phức của sóng mang con thứ l
được nhân với s(t) , thì sẽ thu được symbol QAM d
j+Ns/2
(được nhân với hệ số T ),
9
Serial
to
parrellel
OFDM
signal
)/)(exp( T
s
tt
s
Nj
−−
π
)/))(2(exp( T
s
tt
s

t
N
N
i
sNis
s
s
s
s
s
dttt
T
i
jdtt
T
l
j
1
2
2
2/
)(2exp)(2exp
ππ
Tddttt
T
li
jd
s
s
s

∑
∫
π
(1.7)
Tín hiệu OFDM s(t) được miêu tả trong (1.6) thực tế không khác gì hơn so với
biến đổi Fourier ngược của N
s
symbol QAM ngõ vào. Lượng thời gian rời rạc cũng
chính là biến đổi ngược Fourier rời rạc, công thức được cho ở (1.8), với thời gian t
được thay thế bởi số mẫu n.

∑
−
=






=
1
0
2exp)(
s
N
i
i
N
in

số cao và truyền đi. Ở đầu thu, tín hiệu trong miền thời gian sẽ được thu, được biến
đổi tần số, và đưa đến bộ biến đổi FFT có nhiệm vụ là biến đổi tín hiệu trong miền
thời gian thành tín hiệu trong miền tần số , sau đó đưa luồng dữ liệu đến cho các bộ
giải điều chế.
1.6. ISI, ICI trong hệ thống OFDM .
ISI( intersymbol interference) là hiện tượng nhiễu liên kí hiệu. ISI xảy ra do
hiệu ứng đa đường, trong đó một tín hiệu tới sau sẽ gây ảnh hưởng lên tín hiệu
trước đó.
Hình 1.5 Mô tả truyền tín hiệu đa đường tới máy thu.
Chẳng hạn như ở hình 1.5, chúng ta thấy rõ tín hiệu phản xạ (reflection) đến
máy thu theo đường truyền dài hơn so với các tín hiệu còn lại. Khoảng thời gian
trễ(mức trải trễ) này tính như sau:
τ = ∆s/c
khoảng chênh lệch này là khá nhỏ, tuy nhiên so với khoảng thời gian một mẫu
tín hiệu thì nó lại không nhỏ chút nào. Trong các hệ thống đơn sóng mang, ISI là
một vấn đề khá nan giải. Lí do là độ rộng băng tần tỉ lệ nghịch với khoảng thời gian
kí hiệu, do vậy nếu muốn tăng tốc độ truyền dữ liệu trong các hệ thống này, tức là
giảm khoảng kí hiệu , vô hình chung đã làm tăng mức trải trễ tương đối. Lúc này hệ
thống rất nhạy với trải trễ. Và việc thêm khoảng bảo vệ khó triệt tiêu hết ISI.
11
Ch¬ng 1: Giíi thiÖu vÒ kÜ thuËt OFDM.

Phương án giải quyết được lựa chọn là tạo các đường truyền thẳng. Theo đó, các
anten thu phát sẽ được đặt trên cao nhằm lấy đường truyền. Tuy nhiên, đó cũng
không phải là một cách hiệu quả.
Nhưng vấn đề về nhiễu ISI đã được giải quyết trong hệ thống OFDM,đây cũng
là một lý do quan trọng để chúng ta sử dụng hệ thống OFDM,tức là nó bị ảnh
hưởng ít bởi độ trải trễ đa đường. Đối với một hệ thống băng thông cho trước, tốc
độ symbol của tín hiệu OFDM thấp hơn nhiều so với phương thức truyền dẫn đơn
sóng mang. Ví dụ, đối với kiểu điều chế BPSK đơn sóng mang, tốc độ symbol


chiều dài tổng cộng của symbol, T
G
là chiều dài khoảng thời bảo vệ, và T
FFT
là
khoảng thời thực hiện biến đổi IFFT dùng để phát tín hiệu OFDM.
Hình 1.6. Chèn thời khoảng bảo vệ vào tín hiệu OFDM
Trong một tín hiệu OFDM, biên độ và pha của sóng mang con phải ổn định
trong suốt khoảng thời symbol để cho các sóng mang con luôn trực giao nhau. Nếu
nó không ổn định có nghĩa là hình dạng phổ của các sóng mang con sẽ không có
dạng hình sinc chính xác nữa, và như vậy các điểm có giá trị phổ cực tiểu của sóng
mang con sẽ không xuất hiện tại các tần số mà những sóng mang con khác có phổ
cực đại nữa và gây ra nhiễu xuyên sóng mang (ICI).
Tính chất trực giao của sóng mang có thể được nhìn thấy trên giản đồ trong
miền thời gian hoặc trong miền tần số. Từ giản đồ miền thời gian, mỗi sóng mang
có dạng sin với số nguyên lần lặp với khoảng FFT. Từ giản đồ miền tần số, điều này
tương ứng với mỗi sóng mang có giá trị cực đại tần số trung tâm của chính nó và
bằng không tại tần số trung tâm của sóng mang khác. Hình 1.7 biểu diễn phổ của
bốn sóng mang trong miền tần số cho trường hợp trực giao.
13
Ch¬ng 1: Giíi thiÖu vÒ kÜ thuËt OFDM.

Hình 1.7. Phổ của bốn sóng mang trực giao
Tính trực giao của một sóng mang với sóng mang khác bị mất nếu giá trị của
sóng mang không bằng không tại tần số trung tâm của sóng mang khác. Từ giản đồ
miền thời gian, tương ứng hình sin không dài hơn số nguyên lần lặp khoảng FFT.
Hình 1.8 biểu diễn phổ của bốn sóng mang không trực giao.
ICI xảy ra khi kênh đa đường khác nhau trên thời gian ký tự OFDM. Dịch
Doppler trên mỗi thành phần đa đường gây ra bù tần số trên mỗi sóng mang, kết

offsets) hơn so với các hệ thống sóng mang đơn.
9. OFDM chịu đựng tốt với nhiễu xung và nhiễu xuyên kênh kết hợp.
1.9. Các hạn chế khi sử dụng hệ thống OFDM.
Ngoài những thuận lợi trên hệ thống OFDM cũng có những hạn chế cần giải
quyết như sau :
1. Symbol OFDM bị nhiễu biên độ với một khoảng động rất lớn. Vì tất cả các
hệ thống thông tin thực tế đều bị giới hạn công suất, tỷ số PAPR (Peak-to-Average
Power Ratio) cao là một bất lợi nghiêm trọng của OFDM nếu dùng bộ khuếch đại
công suất hoạt động ở miền bão hòa để khuếch đại tín hiệu OFDM. Nếu tín hiệu
OFDM có tỷ số PAPR lớn thì sẽ gây nên nhiễu xuyên điều chế. Điều này cũng sẽ
làm tăng độ phức tạp của các bộ biến đổi từ analog sang digital và từ digital sang
analog. Việc rút ngắn (clipping) tín hiệu cũng sẽ làm xuất hiện cả méo nhiễu
(distortion) trong băng lẫn bức xạ ngoài băng.
2. OFDM nhạy với tần số offset và sự trượt của sóng mang hơn các hệ thống
đơn sóng mang. Vấn đề đồng bộ tần số trong các hệ thống OFDM phức tạp hơn hệ
thống sóng mang đơn. Tần số offset của sóng mang gây nhiễu cho các sóng mang
con trực giao và gây nên nhiễu liên kênh làm giảm hoạt động của các bộ giải điều
chế một cách trầm trọng. Vì thế, đồng bộ tần số là một trong những nhiệm vụ thiết
yếu cần phải đạt được trong bộ thu OFDM.
1.10. kết luận.
16
Ch¬ng 1: Giíi thiÖu vÒ kÜ thuËt OFDM.

Với việc giới thiệu về nguyên lý và các đặc tính cơ bản của OFDM trong
chương này, chúng ta thấy rằng OFDM thực sự là một phương thức điều chế thuận
lợi cho các ứng dụng không dây tốc độ cao.
Đi cùng với việc chế tạo các mạch tích hợp tỷ lệ rất cao (VLSI) và kỹ thuật xử
lý tín hiệu số (DSP) tiên tiến là việc hạ giá thành của các hệ thống OFDM. Chính
nhờ điều này mà các hệ thống OFDM hoạt động dựa trên nguyên tắc tạo các sóng
mang con bằng biến đổi IFFT/FFT đã trở nên dễ dàng khi chế tạo các ma trận

Tại anten phát,các sóng vô tuyến sẽ được truyền đi theo mọi hướng (nghĩa là
sóng được mở rộng theo hình cầu).Khi chúng ta dùng anten định hướng để truyền
tín hiệu ,sóng cũng được mở rộng theo dạng hình cầu nhưng mật độ năng lượng khi
đó sẽ tập trung vào một vùng nào đó do ta thiết kế.Vì thế mật độ công suất của sóng
giảm tỉ lệ với bình phương khoảng cách.Phương trình (2.1) cho ta công suất tín hiệu
thu được khi truyền trong không gian tự do:
2
4






=
R
GGPP
RTTR
π
λ
(2.1)
Trong đó :
P
R
là công suất thu được (Watts).
P
T
là công suất phát (Watts).
G
T

=
π
λ
π
(2.2)
Gọi L
pt
là hệ số suy hao do việc truyền dẫn trong không gian tự do:
L
pt
(dB)=P
T
(dB) - P
R
(dB)
=-10logG
T
-10log10G
R
+20logf+20logR-47.6dB (2.3)
18
Ch¬ng 1: Giíi thiÖu vÒ kÜ thuËt OFDM.

Nói chung truyền trong không gian tự do không phức tạp lắm,chúng ta có thể
xây dựng mô hình chính xác cho các tuyến thông tin vệ tinh và các tuyến liên lạc
trực tiếp như các tuyến liên lạc viba điểm nối điểm trong phạm vi ngắn.Tuy nhiên
,cho hầu hết các thông tin trên mặt đất như thông tin di động, DVB_T, mạng LAN
không dây,môi trường truyền phức tạp hơn nhiều do đó việc tạo ra các mô hình
cũng khó khăn hơn.Ví dụ đối với những kênh truyền dẫn vô tuyến di động UHF, khi
điều kiện về không gian tự do không được thoả mãn ,chúng ta có thể tính suy hao

19
Công suất
Thời gian truyền
Hình 2.1 Đáp ứng xung thu khi truyền một xung RF
1
2
1
3
1
4
1
5
Ch¬ng 1: Giíi thiÖu vÒ kÜ thuËt OFDM.

2.5. Fading lựa chọn tần số và fading phẳng.
Ảnh hưởng đa đường cũng gây nên sự thay đổi fading cùng với tần số, là do
đáp ứng pha của các thành phần đa đường sẽ thay đổi cùng với tần số. Pha thu
được, tùy theo phía phát của một thành phần đa đường tương đương với số bước
sóng của tín hiệu đã truyền đi từ phía phát. Bước sóng tỷ lệ nghịch với tần số và vì
thế đối với đường truyền cố định thì pha sẽ thay đổi theo tần số. Khoảng cách
truyền của mỗi thành phần đa đường khác nhau và như vậy sự thay đổi pha cũng
khác nhau. Hình 2.2 biểu diễn một ví dụ truyền dẫn hai đường. Đường thứ nhất
hướng trực tiếp khoảng cách 10m, đường thứ hai là hướng phản xạ khoảng cách
25m. Đối với Hình 2.1: Phổ Doppler (fc – fm) fc (fc + fm) bước sóng 1m, mỗi
đường có một số nguyên bước sóng và pha thay đổi từ phía phát đến phía thu là 0
0
cho mỗi đường. Ở tần số này, hai đường sẽ tăng cường lẫn nhau. Nếu chúng ta thay
đổi tần số để có bước sóng là 0,9m thì đường một sẽ có 10/ 0,9 = 11,111λ hay có
pha là 0,111× 360
0

Và như thế ta thấy, ở một số tần số nhất định nào đó, hiện tượng tín hiệu bị
triệt tiêu hoàn toàn sẽ xảy ra. Đặc tính fading lựa chọn tần số của một kênh có thể
được tóm tắt bởi băng thông Coherent của kênh đó. Băng thông Coherent tỷ lệ
nghịch với độ trải trễ của kênh. Đường biểu diễn của hai tín hiệu có tần số không
kết hợp thay đổi nên được cách nhau một khoảng lớn hơn độ rộng băng thông
Coherent B
c
của kênh. Băng thông Coherent có thể được tính xấp xỉ từ hệ số đường
bao kết hợp giữa hai tín hiệu cách nhau bởi Δf Hz và Δt giây. Hệ số đường bao kết
hợp là:
22
2
0
).2(1
).2(
),(
δπ
π
ρ
f
tfJ
tf
m
∆+
∆
=∆∆
(2.5)
với J
0
là hàm Bessel bậc không, f

c
B
B
(2.6)
Kết quả băng thông Coherent là:
δπδ
6
1
2
1
≈=
c
B
(2.7)
Đối với các giá trị độ trải trễ cho trong Bảng 2.1, ta sẽ tính được các băng
thông Coherent tương ứng. Nếu độ rộng băng của tín hiệu đã điều chế nhỏ hơn băng
thông Coherent của kênh, tất cả các thành phần tần số của tín hiệu đều có cùng
fading, và fading này được gọi là fading (tần số) phẳng. Tương tự trong miền thời
gian, nếu độ trải trễ của kênh nhỏ hơn khoảng thời symbol, thì sự ảnh hưởng làm
thay đổi hình dạng của xung phát lên kênh đó là không đáng kể, chỉ có biên độ của
xung là bị thay đổi.
Mặt khác, nếu băng thông của tín hiệu điều chế lớn hơn nhiều so với băng
thông Coherent của kênh, các thành phần tần số khác nhau của tín hiệu có các đặc
tính fading khác nhau, và fading này được gọi là fading lựa chọn tần số. Các kênh
lựa chọn tần số cũng còn được gọi là các kênh phân tán thời gian, bởi vì độ trải trễ
dài tương ứng với việc kéo dài khoảng thời gian của symbol được phát. Trong
trường hợp này, bên cạnh biên độ thì hình dạng của xung phát cũng bị thay đổi. Cần
chú ý rằng bóng mờ (fading chậm) luôn luôn là fading phẳng, trong khi đó, fading
nhanh do ảnh hưởng đa đường thường gây ra bởi fading lựa chọn tần số. Như vậy,
ảnh hưởng của bóng mờ độc lập với băng thông của tín hiệu còn ảnh hưởng của

được định nghĩa là
moment cấp một của power delay profile:

∑
∑
∑
∑
==
k
k
k
kk
k
k
k
kk
P
P
a
a
)(
)(
2
2
τ
τττ
τ
(2.8)
a
k

k
k
kk
P
P
a
a
)(
)(
2
2
22
2
τ
τττ
τ
(2.10)
2.7. Phổ Doppler (Doppler spectrum).
Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung tìm hiểu ảnh hưởng của doppler shift
vào việc truyền một sóng mang chưa điều chế tần số f
c
từ BS. Một MS di chuyển
23
Hình 2.3: Hiệu ứng Doppler
Ch¬ng 1: Giíi thiÖu vÒ kÜ thuËt OFDM.

theo hướng tạo thành một góc
i
α
với tín hiệu nhận được từ thành phần thứ I như

:

t
f
D
∆
∆Φ
−=
π
2
1
(2.13)
Thay phương trình (2.12) vào phương trình (2.13) ta được:

imiD
f
v
f
αα
λ
coscos ==
(2.14)
Với f
m
=v/
λ
=vf
c
/c là độ dịch tần doppler cực đại ( từ tần số sóng mang được
phát đi ) do sự di chuyển của MS.

khi tia
sóng truyền trùng với hướng MS di chuyển :
i
α
=0
0
ứng với trường hợp tia sóng đi tới từ phía trước MS.
i
α
=180
0
ứng với trường hợp tia sóng đi tới từ phía sau MS.
Điều này tương tự với sự thay đổi tần số của tiếng còi xe lửa được tiếp nhận
bởi một người đứng ở đường ray khi xe lửa đang tới gần hoặc đi xa dần người đó.
Trong một môi trường truyền dẫn thực,tín hiệu đến bộ thu bằng nhiều đường
với khoảng cách và góc tới khác nhau. Vì vậy, khi một sóng sin được truyền đi,
thay vì bị dịch một khoảng tần số duy nhất (Doppler shift
i
c
D
c
vf
f
α
cos=
) tại đầu
thu, phổ của tín hiệu sẽ trải rộng từ f
c
(1-v/c) đến f
c

với k là hằng số (2.15)
Chú ý rằng, khi f=f
c
=> S(f=f
c
)=
m
f
K
π
2
f=
cm
ff +±
=> S(f=
cm
ff +±
)=
∞
Hình dạng của S(f) được mô tả như hình 2.4:
25
f
c
+f
m
f
c
-f
m
f