MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1. Xác định các yếu tố của (E), (H), (P) khi biết phương trình
chính tắc của chúng.
Ví dụ 1. Cho elip (E) có phương trình
2 2
x y
1
4 1
 

Tìm tiêu điểm, tâm sai, đường chuẩn của (E).
Giải:
Ta có: a
2
= 4, b
2
= 1 và c
2
= a
2
– b
2
= 3.
Vậy a = 2, b = 1, c =
3

Tiêu điểm của (E) là F
1
(–
3
; 0), F

4 1
1
a b
 
(*)
Phương trình hai đường tiệm cận Δ
1
: bx – ay = 0 và Δ
2
: bx + ay = 0
Góc giữa hai đường tiệm cận là:
cos(Δ
1
; Δ
2
) =
2 2
2 2
b a
b a


= cos60
o
.
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
b a

Với a
2
= 3b
2
thay vào (*) được a
2
= 1; b
2
= 1/3.
Pt (H):
2 2
x y
1
1 1/ 3
 

DẠNG 3. Lập phương trình tiếp tuyến của các đường cônic
Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 4) và tiếp xúc
với hypebol (H):
2 2
x y
1
1 4
 
. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Giải:
Gọi M(x
o
; y
o

0
0
5
x
3
8
y
3

 




 



Suy ra M(1; 0) hoặc M(–5/3; –8/3)
Tiếp tuyến của (H) là: x = 1
hoặc
5 2
x y 1 5x 2y 3 0
3 3
      

DẠNG 4. Lập phương trình các đường cônic không ở dạng chính tắc
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (P) có phương trình
16x
2

DẠNG 5. Xác định điểm M nằm trên (E), (H), (P) thỏa mãn điều kiện
cho trước.
Ví dụ 5. Cho parabol (P): y
2
= 4x.
a) Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 4.
b) Tìm trên (P) điểm M  O sao cho khoảng cách từ M đến Oy gấp hai lần
khoảng cách từ M đến Ox.
Giải:
a) Từ phương trình (P): y
2
= 4x  p = 2
Ta có: MF = x
M
+ p/2 = 4  x
M
+ 1 = 4  x
M
= 3
Thay vào (P)  y
M
2
= 12  y
M
=
2 3

Vậy tọa độ điểm M là: (3;
2 3
 ).

= 4x. Đường thẳng (d) bất kỳ đi qua tiêu điểm F
có hệ số góc k ≠ 0 cắt (P) tại M và N.
a. Chứng minh rằng: tích khoảng cách từ M và N đến trục Ox có giá trị
không đổi.
b. Tìm k sao cho FM = 4FN.
Giải:
Vì (d) đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k ≠ 0 nên có phương trình (d): y = k(x
– 1)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
[k(x – 1)]
2
= 4x  k
2
x
2
– 2(k
2
+ 2)x + k
2
= 0 (*)
Δ’ = (k
2
+ 2)
2
– k
4
= 2k
2
+ 4 > 0 k
 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

1 2 M N
d d 16x x 4
  
không đổi.
b) Theo công thức bán kính qua tiêu điểm:
MF = 1 + x
M
; NF = 1 + x
N

Để MF = 4NF thì 1 + x
M
= 4(1 + x
N
)  x
M
– 4x
N
= 3 ( 3)
Từ (2) và (3)  x
M
= 4; x
N
= 1/4
Thay vào (1)  k =
3
4
