Trường đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng & Tin học
Sự hội tụ mạnh và yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn
Giáo viên hướng dẫn : TS. TRẦN QUỐC BÌNH
Sinh viên thực hiện : NGUYỄN VĂN CƯỜNG
Lớp : Toán tin 1 – K54
Mục lục
•
Chương 1. Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.
•
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn.
•
Chương 3. Sự hộ tụ yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.
Chương 1. Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không
giãn.
Định lý 1.1. Cho D là tập con đóng của không gian Banach X và T là ánh xạ liên tục từ D
vào X sao cho
(1.1)
(1.2) Với mỗi và mọi
(1.3) Tồn tại
với
Khi đó { } hội tụ đến điểm bất động của T thuộc D khi và chỉ khi
Chương 1. Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.
Chương 1. Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.
Định nghĩa 1.1. Gọi T là ánh xạ từ vào D.
- T được gọi là chính quy tiệm cận tại nếu

- T được gọi là chính quy tiệm cận trên D nếu với mọi ta có
Chương 1. Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.
Định nghĩa. Ta gọi ánh xạ là tựa không giãn có điều kiện nếu T là tựa không
giãn khi

Định nghĩa: Không giãn ngặt
được gọi là không giãn ngặt nếu
với x và y thuộc G.
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Hệ quả 2.1. Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập lồi, đóng, bị chặn thuộc X
và T là ánh xạ không giãn từ D vào D sao cho T thỏa mãn một trong hai điều kiện
sau:
(2.1) Ánh xạ (I - T) biến tập đóng thuộc D vào tập đóng thuộc X.
(2.2) T là nửa compact tại 0.
Với bất kì, , ta định nghĩa
Và với mọi thì phép lặp , hội tụ mạnh tới
điểm bất động của T thuộc D.
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Định nghĩa 2.1.
- Độ do không compact Kuratorskii được xác định là có thể được
phủ bởi một số hữu hạn các tập mà đường kính nhỏ hơn hoặc bằng d }.
- Độ đo không compact Hausdorff được xác định là được
phủ với một số hữu hạn các hình cầu có tâm thuộc X và bán kính r.}
- Tương ứng với ta có ánh xạ k-ball-contraction, k-set-contraction, ball-condensing,
set-condensing.
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Hệ quả 2.3. Cho X là không gian Banach và D là tập con lồi, đóng, bị chặn của X.
Gọi T là ánh xạ không giãn của một set-condensing hoặc một ball-condensing từ D
vào D. Giả sử thêm rằng X là lồi chặt hoặc T là không giãn ngặt. Với bất kì,
, ta có . Với mỗi , dãy hội tụ mạnh
đến điểm bất động của T thuộc D.
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Bổ đề 2.1. Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập con của X, và T là ánh xạ từ
D vào X sao cho và T là tựa không giãn. Nếu tồn tại x
0

Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Định lý 3.2. Cho X là không gian Banach phản xạ, D là tập con lồi, đóng của X, và T là ánh xạ
liên tục từ D vào X sao cho
(3.5)
(3.6) T là tựa không giãn.
(3.7) Tồn tại thuộc D sao cho với
Nếu T thỏa mãn điều kiện (3.2) và (3.3) của Định lý 3.1, thì chứa một dãy con hội tụ yếu
với giới hạn thuộc F(T), hơn thế nữa, mọi dãy con hội tụ yếu của có một điểm giới hạn thuộc
F(T). Giả sử rằng F(T) chứa một điểm duy nhất, gọi là p, thì chỉ sự hội tụ yếu với
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Định lý 3.4.
Cho X là không gian Banach lồi chặt và phản xạ, D là tập con lồi, đóng của X, và T là ánh
xạ liên tục từ D và X sao cho
(3.5)
(3.6) T là tựa không giãn.
(3.7) Tồn tại thuộc D sao cho với
(3.2) T là tiệm cận chính quy tại .
(3.3) Nếu là dãy con bất kì của sao cho và
với , thì .
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
.
(3.8) Không gian X có tính chất Opial. Nếu
là dãy bất kỳ thuộc X mà hội tụ yếu đến

thuộc X thì

với mọi .

Khi đó dãy hội tụ yếu đến điểm bất động của T thuộc D.
Xin chân thành cảm ơn