Môc Lôc
Më ®Çu 2
Mở đầu
Cuộc cách mạng khoa học và công nghệ đang diễn ra một cách sôi
động cha từng thấy nh hiện nay trên toàn thế giới thúc đẩy loài ngời nhanh
chóng bớc sang một kỷ nguyên mới. Đó là kỷ nguyên của nền văn minh
dựa trên cơ sở công nghiệp trí tuệ. Mở đầu cho cho cuộc cách mạng khoa
học và công nghệ lần này có thể đợc đánh dấu bằng sự ra đời và phát triển
của máy tính cũng nh các phơng tiện xử lý thông tin khác, đặc biệt là các hệ
thống sử lý song song với tốc độ ngày càng cao. Cùng với sự phát triển
ngày càng nhanh chóng các công cụ sử lý tín hiệu số hiện đại. Đặc biệt các
phơng pháp sử lý số này phải áp dụng có hiệu quả trong các lĩnh vực thông
tin liên lạc,phát thanh truyền hình,tự động điều khiển và các nghành công
nghệ khác. ở bất cứ nơi đâu bạn cũng sẽ gặp rất nhiều những vật dụng
trong cuộc sống đợc áp dụng kỹ thuật số, từ những vật dụng rất đơn giản
nh những món đồ chơi trẻ em đến các vật dụng loại Hi End đắt tiền
trong gia đình, ứng dụng trong truyền thông, các thiết bị chuyên dùng trong
truyền thông, phát thanh, truyền hình, các thiết bị của ngành khoa học, y tế,
giáo dục đều đ ợc các nhà sản xuất tận dụng tối đa những u thế của công
nghệ số đa vào trong sản phẩm của mình. Những chiếc máy ảnh kỹ thuật
số, máy tính số với tốc độ phân giải cao nh ng kích thớc chỉ cỡ một bao
thuốc lá, thậm chí là mỏng và nhỏ hơn, rất thời trang và rất nhẹ đang dần
thay thế những chiếc máy ảnh vận hành bằng cơ khí cổ điển rất thịnh hành
ở những năm cuối thế kỷ trớc mà có lẽ bây giờ khi đi du lịch, mang theo nó
là một vấn đề cần phải cân nhắc, xem xét. Còn về các dịch vụ viễn thông đa
phơng tiện, chắc chúng ta còn nhớ đến những chiếc máy điện thoại để bàn
quay tay, muốn thực hiện cuộc gọi thì phải đăng ký với tổng đài, thì bây giờ
tổng đài số đã đợc thay thế, các cuộc điện thoại dùng cách gọi trực tiếp
2
quay số IDD hết sức dễ dàng, tiện dụng. Sự phát triển bùng nổ của công
nghệ thông tin làm cho các dịch vụ Internet trở nên gần gũi và giúp cho con

đợc biểu diễn bởi hàm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó đợc gọi là tín
hiệu rời rạc( rời rạc ở đây đợc hiểu là rời rạc theo biến số). Hàm của tín
hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó đợc gọi là tín hiệu số.
Tín hiệu rời rạc theo thời gian là một chuỗi số có chỉ số( đợc định chỉ
số) các số thực hoặc số phức. Nh vậy tín hiệu rời rạc theo thời gian là hàm
của biến độc lập có kiểu số nguyên n( biến nguyên n), ta kí hiệu là x(n).
Một điều quan trọng cần phải lu ý là tín hiệu rời rạc theo thời gian không đ-
ợc định nghĩa ở các thời điểm nằm giữa hai mẫu liên tiếp nhau. Cũng sẽ
không đúng nếu cho rằng x(n) sẽ có giá trị bằng 0 nếu giá trị của x(n)
không phải là số nguyên. Rất đơn giản, tín hiệu x(n) chỉ đợc định nghĩa đối
với các giá trị nguyên của n. Do vậy một tín hiệu có giá trị thực x(n) sẽ đợc
biểu diễn bằng đồ thị ở dạng giản đồ lollipop nh đợc trình bày trong hình
1.1.
4
Trong nhiều bài toán cũng nh trong nhiều ứng dụng, để thuận lợi ta
xem x(n) nh là một vector. Các giá trị từ x(0) đến x(N-1) của chuỗi thờng đ-
ợc khảo sát nh là các phần tử của một vector cột nh sau:
x= [x(0), x(1), , x(N-1)]
T
.
Trong khi nghiên cứu, chúng ta giả sử rằng tín hiệu rời rạc theo thời
gian đợc định nghĩa đối với giá trị nguyên của n thuộc khoảng - < n < +
. Theo qui ớc chúng ta cũng sẽ xem x(n) nh là mẫu thứ n của tín hiệu,
thậm chí nếu tín hiệu này vốn đã là tín hiệu rời rạc( không phải là kết quả
của quá trình lấy mẫu tín hiệu rời rạc). Nếu cho rằng x(n) là tín hiệu nhận
đợc do quá trình lấy mẫu của tín hiệu tơng tự x
a
(t) thì x(n) = x(nT), trong
đó T là chu kỳ lấy mẫu( thời gian giữa hai lần lấy mẫu liên tiếp nhau).
Chú ý: Chúng ta sẽ sử dụng x(n) nh là cách viết đơn giản của x(nT)

2
5
giây ta có f
s
mẫu) để tạo ra tín hiệu đợc lấy mẫu ( rời rạc theo thời gian )
x(n), x(n) quan hệ với x
a
(t) nh sau: x(n) = x
a
(nT
s
).
Tuy nhiên không phải tất cả các tín hiệu rời rạc theo thời gian đều có
đợc theo cách trên. Một số tín hiệu đợc khảo sát là các chuỗi xuất hiện một
cách tự nhiên rời rạc theo thời gian mà không cần đến bộ biến đổi tơng tự -
số để biến đổi tín hiệu tơng tự thành tín hiệu rời rạc theo thời gian. Ví dụ
cho tín hiệu loại này nh giá cả hàng ngày trên thị trờng cổ phiếu, thống kê
dân số, kiểm kê kho hàng và các số vệt đen ở bề mặt của mặt trời.v.v
Ngoài phơng pháp sử dụng đồ thị nh mô tả trên hình 1.1 còn có một số
phơng pháp khác tơng đối thuận tiện đợc dùng để biểu diễn tín hiệu( hoặc
dãy) rời rạc theo thời gian. Các phơng pháp này bao gồm:
a. Biểu diễn bằng hàm
Ví dụ:
b. Biểu diễn bằng bảng
Ví dụ:
n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x(n) 0 0 0 1 3 0 1 0 0

c. Biểu diễn qua dãy số

Biên độ có thể đợc suy ra từ các phần thực và phần ảo nh sau:
z(n)
2
= Re
2
{z(n)} + Im
2
{z(n)}
Trong khi đó pha đợc tính theo công thức
arg{z(n)} = tan
-1
Im{z(n)}/Re{z(n)}
Nếu z(n) là một chuỗi phức, liên hợp phức( complex conjugate) ký
hiệu là z
*
(n) đợc thành lập bằng cách thay đổi dấu trong phần ảo của z(n)
7
z
*
(n) = Re{z(n)} - jIm{z(n)} = z(n)exp[- jarg{z(n)}]
2. Một vài tín hiệu rời rạc cơ bản.
Mặc dù hầu hết các tín hiệu mang thông tin trong thực tế là các hàm
phức tạp theo thời gian( complicated functions of time ), nhng dới đây là
một số tín hiệu rời rạc theo thời gian tuy đơn gian nhng rất quan trọng. Nó
rất hay xuất hiện và thờng đợc sử dụng trong lý thuyết về tín hiệu và hệ
thống rời rạc theo thời gian để biểu diễn và mô tả các tín hiệu phức tạp hơn.
Các tín hiệu cơ bản này là: xung đơn vị( unit sample), nấc đơn vị( unit
step), tín hiệu dốc đơn vị và hàm mũ( exponential)
a. Dãy mẫu đơn vị
Tín hiệu này còn đợc gọi là dãy xung đơn vị và đợc định nghĩa nh sau:

n
k
knnu
0
)()(

Tơng tự, một xung đơn vị có thể đợc viết thành sai biệt của hai tín hiệu
nấc đơn vị:

(n) = u(n) u(n - 1)
Tín hiệu nhảy bậc đơn vị đợc mô tả trên hình 1.3.
c. Tín hiệu dốc đơn vị
Tín hiệu này đợc ký hiệu bằng u
r
(n) và đợc định nghĩa qua công thức:

Tín hiệu này đợc mô tả trên hình 1.4.
(n) =
0 1
2
3
-1
-2
-3
1
Hình 1.3. Biểu diễn bằng đồ thị tín hiệu nhẩy bậc đơn vị
u(n)

n
9

j
+=
.
Nghiên cứu các hàm mũ phức rất hữu ích trong việc phân rã
Fourier( Fourier decomposition) các tín hiệu.
3. Phân loại tín hiệu rời rạc
Các phơng pháp toán học đợc dùng trong việc phân tích tín hiệu và hệ
thống rời rạc theo thời gian hoàn toàn phụ thuộc vào đặc thù của tín hiệu.
Dới đây chúng ta sẽ phân loại các tín hiệu rời rạc theo thời gian tuỳ theo
các đặc thù này.
a. Tín hiệu năng lợng và tín hiệu công suất
Năng lợng E của tín hiệu x(n) đợc định nghĩa bằng công thức:


=
=
n
nxE
2
|)(|

(1.1.9)
Trong đó |x(n)| là modul của tín hiệu. Với cách định nghĩa này thì công
thức (1.1.9) có thể đợc sử dụng để tính năng lợng của tín hiệu phức cũng
nh tín hiệu thực.
0 1
2
3
-1
-2

1
lim
(1.1.10)
Nếu định nghĩa năng lợng tín hiệu của dãy x(n) trong khoảng hữu hạn
N n N là:

=
=
N
Nn
N
nxE
2
|)(|
(1.1.11)
thì có thể xác định năng lợng tín hiệu E qua biểu thức:

=
N
N
EE lim
và công suất trung bình của tín hiệu x(n):
N
N
E
N
P
12
1
lim

+
=

=


N
N
N
N
nu
N
P
N
N
n
NN
Từ đây suy ra rằng tín hiệu nhẩy bậc đơn vị là tín hiệu công suất.
11
Cũng tơng tự nh vậy có thể nhận thấy rằng hàm mũ phức x(n) = Ae
j

n
có công suất trung bình là A
2
vì vậy đây là tín hiệu công suất. Tuy vậy có
thể thấy rằng tín hiệu dốc đơn vị không phải là tín hiệu năng lợng cũng
không phải là tín hiệu công suất.
b. Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn
Các tín hiệu rời rạc theo thời gian luôn luôn có thể đợc phân loại thành

= k/N (1.1.15)
trong đó k và N là những số nguyên.
Năng lợng của tín hiệu tuần hoàn x(n) trong một chu kỳ hay trong một
khoảng 0 n N 1 là hữu hạn nếu x(n) nhận các giá trị hữu hạn trong
một chu kỳ. Tuy vậy, năng lợng của tín hiệu tuần hoàn với - n là vô
hạn. Mặt khác, công suất trung bình của tín hiệu tuần hoàn là hữu hạn và
bằng công suất trung bình trong một chu kỳ. Nh vậy, nếu x(n) là tín hiệu
tuần hoàn với tần số cơ bản N và có các giá trị hữu hạn thì công suất của nó
đợc xác định qua biểu thức:


=
=
1
0
2
|)(|
1
N
n
nx
N
P
(1.1.16)
Suy ra rằng tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu công suất.
1.1.2. Các hệ thống xử lý tín hiệu số
1. Mô tả vào/ra hệ thống
Một hệ thống rời rạc theo thời gian là một toán tử toán học hoặc phép
ánh xạ biến đổi một tín hiệu( ngõ vào) thành một tín hiệu khác( ngõ ra) dựa
vào một tập cố định các quy luật và các phép toán. Các tính chất vào ra

T[.]
x(n)
y(n)
Tín hiệu hoặc kích
thích vào
Tín hiệu hoặc đáp
ứng ra

Hình 1.10. Biểu diễn bằng sơ đồ khối của hệ thống rời rạc theo thời gian
x(n) c y(n) = cx(n)
Hình 1.11. Biểu diễn qua sơ đồ của hệ nhân với hằng số
14

c. Bộ nhân tín hiệu( signal multiplier)
Hình 1.13. biểu diễn một bộ nhân của hai dãy tín hiệu với kết quả là
một dãy tích y(n). Cũng giống nh hai trờng hợp trớc, ở đây phép nhân cũng
là phép toán không nhớ.
d. Phần tử trễ đơn vị.
Phần tử trễ đơn vị( unit delay element) là hệ thống đặc biệt có tác dụng
làm trễ tín hiệu đi qua với thời gian bằng một đơn vị. Hệ thống này đợc mô
tả trên hình 1.14. Nếu tín hiệu đầu vào là x(n) thì tín hiệu ra là y(n) = x(n -
1), rõ ràng rằng để có thể nhận đợc tín hiệu đầu ra y(n) ở thời điểm n thì giá
trị mẫu đầu vào x(n) ở thời điểm trớc đó (n - 1) cần đợc lu trữ lại.
Nh vậy hệ thống này là hệ thống có nhớ. Trong miền Z phần tử này đ-
ợc ký hiệu bởi z
-1
.
x
1
(n)

Trái ngợc với hệ trễ đơn vị, hệ vợt trớc đơn vị sẽ chuyển đầu vào x(n)
dịch về trớc một mẫu theo thời gian để có thể nhận đợc ở đầu ra tín hiệu
y(n) = x(n+1). Hình 1.15 là cách biểu diễn hệ thống này trong đó z là ký
hiệu của hệ thống.
3. Phân loại các hệ thống rời rạc theo thời gian.
Các hệ thống rời rạc theo thời gian có thể đợc phân loại dựa vào các
tính chất mà hệ thống có đợc. Các tính chất quan trọng thờng dùng nhất là:
Tuyến tính, bất biến, nhân quả, nhớ và không nhớ, ổn định và khả đảo .
a. Hệ thống nhớ và không nhớ
Hệ thống rời rạc theo thời gian đợc gọi là không nhớ( memoryless)
hoặc tĩnh( static) nếu tín hiệu ra của nó ở mọi thời điểm chỉ phụ thuộc vào
tín hiệu đầu vào ở cùng một thời điểm mà không phụ thuộc vào các giá trị
mẫu của các tín hiệu đầu vào trong quá khứ hoặc tơng lai. Ngợc lại hệ
thống là có nhớ hoặc biến đổi( dynamic).
Các hệ thống đợc mô tả bằng các quan hệ vào/ra.:
y(n) = cx(n)
y(n) = nx(n) + bx
3
(n)
đều là các hệ thống không nhớ bởi vì các giá trị của y(n) chỉ phụ thuộc vào
giá trị tín hiệu đầu vào ở cùng một thời điểm.
Z
y(n) = x(n + 1)
x(n)
Hình 1.15. Biểu diễn qua sơ đồ của phần tử vợt trớc
16
Ngợc lại hệ thống: y(n) = x(n) + x(n - 1) là hệ thống có nhớ vì y(n)
không chỉ phụ thuộc vào giá trị tín hiệu đầu vào ở cùng một thời điểm mà
còn phụ thuộc vào quá khứ.
b. Hệ thống bất biến và không bất biến theo thời gian

2
x
2
(n)]
đối với mọi dãy tín hiệu đầu vào x
1
(n), x
2
(n) và các hằng số a
1
, a
2
.
d. Hệ nhân quả và không nhân quả
Một hệ thống đợc gọi là nhân quả nếu tín hiệu đầu ra của nó tại một
thời điểm bất kỳ n( nghĩa là y(n)) chỉ phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong
quá khứ và tại thời điểm đang xét. [ tức là chỉ phụ thuộc vào x(n), x(n - 1),
x(n - 2), ] và không phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào trong tơng lai
[x(n+1), x(n+2), ]. Nh vậy tín hiệu đầu ra y(n) có thể đợc biểu diễn nh
sau:
y(n) = F[x(n), x(n - 1), x(n - 2), ]
trong đó F[.] biểu diễn một hàm số bất kỳ.
17
Ngợc lại, hệ thống đợc gọi là không nhân quả nếu tín hiệu đầu ra
không những chỉ phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào ở hiện tại và quá khứ
mà còn phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong tơng lai.
e. Hệ ổn định và không ổn định.
Trong nhiều ứng dụng, đáp ứng y(n) của hệ thống đợc giới hạn mỗi khi
biên độ tín hiệu đầu vào bị giới hạn. Một hệ thống có tính chất này đợc gọi
là hệ thống có tính ổn định theo nghĩa đầu vào giới hạn và đầu ra giới hạn là

18
trị thực theo một biến liên tục t. Nh vậy, với mỗi giá trị của t, hàm x
a
(t) có
thể có một giá trị thực nào đó.
Tín hiệu ngõ ra của bộ biến đổi A/D la một dòng bit (bit stream) tơng
ứng với một chuỗi rời rạc theo thời gian x(n), chuỗi này có biên độ đợc lợng
tử hoá đối với mỗi giá trị của n, nghĩa là biên độ là một trong một số hữu
hạn các giá trị có thể có đợc. Các thành phần của một bộ biến đổi A/D đợc
mô tả trong hình dới.
Đầu tiên là bộ lấy mẫu (sampler), bộ này đôi khi còn gọi là bộ biến
đổi liên tục thành rời rạc (continuous-to-discrete C/D) hoặc bộ biến đổi
A/D lý tởng. Bộ lấy mẫu biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian x
a
(t) tại
những thời điểm là bội số nguyên của chu kỳ lấy mẫu T
s
, x(n) = x
a
(nT
s
).
Các tín hiệu rời rạc theo thời gian, một cách điển hình, đợc tạo thành
bằng cách lấy mẫu có chu kỳ hay tuần hoàn( periodically sampling) một tín
hiệu liên tục theo thời gian x(n) = x
a
(nT
s
).
Khoảng cách giữa các mẫu T

thành
một chuỗi tín hiệu là x(n) trong đó các giá trị của các mẫu đợc định chỉ số
bằng các biến nguyên n:
x(n) = x
a
(nT
s
)
19
Ta hãy xét một ví dụ: Giả sử x
a
(t) là tín hiệu tuần hoàn bị giới hạn
băng thông sao cho X
a
(j

) = 0 với |

| >

0
nh minh họa ở hình 1.16.
Nếu x
a
(t) đợc lấy mẫu với tần số lấy mẫu là

s
2

0

x
a
(t) bị sai lệch và X
a
(j

) không đợc tái tạo từ X
s
(j

).
Hình 1.16. Hình dạng phổ khi băng thông của tín hiệu bị giới hạn
X
s
(j)


0
-
0

s
-
s
Hình 1.17. Chu kỳ lấy mẫu đợc lặp lại
20
X
a
(j)


s
2

0
, aliasing không xuất hiện và tín hiệu x
a
(t) có thể đợc khôi
phục từ các mẫu x
a
(nT
s
) của tín hiệu này bằng một bộ lọc thấp. Sau đây là
phát biểu của định lý lấy mẫu Nyquist:
Định lý lấy mẫu: Nếu x
a
(t) là tín hiệu hoàn toàn bị giới hạn băng
thông, X
a
(j

) = 0 với |

| >

0
thì x
a
(t) có thể đợc khôi phục từ các mẫu
x
a

a
(t) là tín hiệu hoàn
toàn bị giới hạn băng thông, X
a
(j

) = 0 với |

| >

0
và nếu T
s
< /
0

thì
x
a
(t) có thể đợc khôi phục từ các mẫu x(n) = x
a
(nT
s
) . Quá trình khôi phục
bao gồm hai bớc nh đợc minh họa trong hình 1.19.
Biến đổi các
xung
Bộ lọc thông
thấp lý t
ởng


>

=
s
s
s
r
T
T
T
jH


||,0
||,
)(
. Hệ thống này đợc gọi là bộ biến
đổi rời rạc thành liên tục lý tởng (D/C). Do đáp ứng xung của bộ lọc khôi
phục là:
s
s
r
Tt
Tt
th
/
)/sin(
)(


(t) đợc khôi phục từ các
mẫu x(n) = x
a
(nT
s
). Trong miền tần số, công thức nội suy trên trở thành:


=

=
n
Tj
ra
s
ejHnxjX

)()()(
)()()()()(
ss
Tj
r
n
Tjn
ra
eXjHenxjHjX


=



T
s
) và sau đó bộ lọc thông
thấp loại bỏ mọi tần số trong phổ tuần hoàn
)(
s
Tj
eX

, các tần số này cao
22
Trong các trờng hợp khác
hơn tần số cắt

c
=

/T
s
. Do ta không thể thực hiện một bộ lọc thông thấp
lý tởng, nhiều bộ biến đổi D/A sử dụng một bộ giữ bậc 0( zero-order
holder) cho bộ lọc khôi phục.
Đáp ứng xung của bộ giữ bậc 0 là:




=
,0

một bộ lọc khôi phục bổ chính( reconstruction compensation filter), đáp
ứng tần số lấy gần đúng là:







>



=

s
s
Tj
s
s
c
T
T
e
TSin
T
jH
s



2T
s
T
s
0-T
s
-2T
s
t
4T
s
3T
s
2T
s
T
s
0-T
s
-2T
s
23
Trong các trờng hợp khác
Hình 1.20. Sử dụng bộ lọc giữ bậc 0 để nội suy giữa các mẫu trong x
s
(t)
1.3. Xử lý tín hiệu trong miền thời gian và miền tần số.
1.3.1. Xử lý tín hiệu trong miền thời gian.
Khi khảo sát các tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian, hiển nhiên
có liên quan đến các thao tác trên tín hiệu. Một cách tổng quát các thao tác

Thao tác này còn đợc gọi là lấy mẫu lên [up - sampling].
Các phép biến đổi biên độ thờng dùng nhất là cộng, nhân và lập tỷ lệ.
Việc thực hiện các phép toán này không phức tạp và chỉ bao gồm các phép
toán trên từng điểm của tín hiệu.
1. Cộng: Tổng của hai tín hiệu x
1
(n) và x
2
(n) là một tín hiệu y(n) với
giá trị ở mỗi thời điểm bằng tổng các giá trị của x
1
(n) và x
2
(n) tơng ứng ở
các thời điểm đó. Và nh vậy:
y(n) = x
1
(n) + x
2
(n), - < n <
2. Nhân: Tích của hai tín hiệu x
1
(n) và x
2
(n) là một tín hiệu y(n) với
giá trị ở mỗi thời điểm bằng tích các giá trị của x
1
(n) và x
2
(n) tơng ứng ở các