Chương 2 CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG ĐO ĐẠC
2.1. TÍNH TOÁN TRONG ĐO ĐẠC
2.1.1. Sai số trong đo đạc
2.1.1. Khái niệm sai số và ý nghĩa
Khái niệm về sai số
Trong đo đạc khi đi xác định vị trí tương quan của các điểm trên mặt đất ta phải tiến
hành đo các đại lượng cần thiết. Các đại lượng đo là khoảng cách, chênh cao giữa hai
điểm, gốc giữa hai hướng v v Để xác định được các đại lượng đó phải dùng các dụng
cụđo tiến hành đo theo một phương pháp xác định.
Nếu gọi X là giá trị "Thật" cần tìm của đại lượng cần đo. Trong quá trình đo thu
được kết quả là D. Kết quảđo D này có thể gần bằng, cũng có thể bằng X. Như vậy giữa
giá trị cần tủn và kết quảđo tồn tại quan hệ:
X - D = ± ε
Trong đó: ± ε là sai số thực của các kết quảđo D.
Giá trị thực X là đại tượng cần tủn, trên thực tế khi đo chỉ thu được các kết quả đo D.
Vậy muốn tìm giá trị thực X thì ta cần tìm cách làm cho hệ số E là nhỏ nhất.
Trong đo đạc ta thường bắt gặp hai cách đo: Đo trực tiếp và đo gián tiếp. Đo trực tiếp
một đại lượng là so sánh nó với đại lượng đơn vị bằng cách đặt trực tiếp đại lượng đơn vị
vào đại lượng đo. Ví dụ: Dùng thước thép đo trực tiếp độ dài các đoạn thẳng trên mặt đất.
Còn đo gián tiếp là xác định các giá trị của đại lượng cần đo thông qua việc đo trực
tiếp các đại lượng khác. Ví dụ: Đo độ dài một cạnh trong một tam giác ta có thể xác định
nhờ vào đo hai góc và một cạnh khác của tam giác đo.
• Nguyên nhân gây ra sai số Khi đo nhiều lần một đại lượng nào đó như đường kính hoặc
chiều cao cây chẳng hạn, người ta thấy kết quả nhận được của đại lượng đo giữa các lần
đo không giống
nhau, điều đó chứng tỏ trong kết quảđo có sai số. Qua nghiên cứu và tìm hiểu người ta
thấy có ba nguyên nhân chính là gây nên sai sốđo đạc:
Do dụng cụđo: Một trong các nguyên nhân làm cho kết quảđo khác nhau là do dụng
cụđo vì công nghệ chế tạo các công cụđó chỉ đạt đến độ chính xác nhất định.
Do người đo: Khả năng giác quan của con người có hạn, nên khi đặt dụng cụđo
không đúng vị trí, đọc sai kết quả hoặc do một sơ xuất nào đó của người đo dẫn tới kết

Sai số này có thể khắc phục được nếu chúng ta tìm ra nguyên nhân. Đây cũng là loại
sai số cần loại bỏ trong dãy phép đo. Nói chung, chúng ta có thể biết được nguyên nhân và
giá trị của các sai số hệ thống. Do vậy chỉ cần loại trừ hoặc làm giảm ảnh hưởng của
chúng khỏi kết quảđo bằng cách: tính toán, hiệu chỉnh vào kết quảđo (chẳng hạn kiểm
nghiệm thước khi đo dài); dùng phương pháp đo thích hợp. Ví dụ: Đảo ống kính giữa hai
lần đo khi đo góc
Ví dụ: Dùng loại thước dài 30 m để đo dài một đoạn thẳng, nhưng thực tế toàn bộ
chiều dài thước chỉ có 29,90 m. Nếu dùng thước này đo độ dài một đoạn đường nào đó thì
mỗi lần đo sẽ thiếu 0, 1 m do thước. Đặc biệt nếu đo nhiều đoạn thì sai số sẽ càng lớn Đó
chính là sai số hệ thống do thước.
2.1.1.2.3. Sai số ngẫu nhiên
Sai số này gây ra do nhiều nguyên nhân như người đo, dụng cụđo và điều kiện ngoại
cảnh Đây là loại sai số có giá trị nhỏ có trị số và dấu thay đổi trong quá trình đo. Như vậy
đây là loại sai số không thể loại bỏ được trong phép đo. Đây cũng chính là đối tượng xem
xét của sai số trong đo đạc, tuy nhiên khi tiến hành với một số lượng lớn các phép đo sau
đó tìm và biểu diễn tương quan giữa số lần xuất hiện với giá trị của sai số. Chúng ta sẽ
nhận được các tính chất của sai số ngâu nhiên như sau:
Sai số ngẫu nhiên có giá trị càng nhỏ (giá trị tuyệt đối) thì số lần xuất hiện càng
nhiều.
Sai số ngẫu nhiên âm và dương có trị số tuyệt đối bằng nhau thì số lần xuất hiện gần
bằng nhau.
Sai số ngẫu nhiên không vượt quá
một giới hạn nhất định, giới hạn này được quy
định bởi dụng cụđo và phương pháp đó.
Trị trung bình của các sai số ngẫu nhiên có xu hướng tiến tới 0 khi số phép do tiến
đến vô cùng (∞ ).
Ví dụ: Khi đo cạnh đấu thước có thể đạt đúng vị trí, cũng có thể đặt sai vị trí (trước hoặc sau vị trí). Khi đo thước bị võng, nhưng võng ít hay nhiều phụ thuộc vào lực kéo

ta phải tính sai số trung bình s

theo công thức (*) ta có:
-Tổ A
Tổ B:
Nghĩa là sA = sB = \ do đó ta kết luận
tổ A, tổ B đo chính xác như nhau.
2.1.1.3. 2. Sai số trung phương (m )
Đây là công thức do Gauss đưa ra hay chính là công thức trung bình bình phương, kí
hiệu là m. Qua công thức trung bình (s) mới chỉ phản ánh được một đặc điểm của các sai
số về giá trị tuyệt đối, còn chưa phản ánh được mức độ dao động của các sai số. Để thấy rõ
đặc điểm giao động của sai số phải dùng sai số trung phương m theo định nghĩa sau đây:
Với ví dụ trên ta có:
-Tổ A và tổ B: Nhờ vào đó ta kết luận tổ A chính xác hơn tổ B. Nhận xét: Muốn tính
được sai số
trung
phương theo công thức (**) thì phải tính
được các sai số thật ∆i = X - li; nghĩa là phải biết được giá trị thật X của đại lượng cần đo.
Trong thực tế có nhiều trường hợp không thể biết được X. Vì thế nhà trắc địa Betsen đã
lìm ra công thức sau dây để tính sai số trung phương
Như vậy muốn giảm sai số thì phải tăng số lần đo.
2.1.1.3.3. Sai số xác suất (p)
Người ta có thểđánh giá chất lượng phép đo bằng cách tính của xác suất trong trường
hợp đó người ta sắp xếp các sai số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn về trị tuyệt đối khi đó sai sốở
giữa của dãy đó được gọi là sai số xác suất. Sai số xác suất có mối quan hệ mật thiết với
sai số trung bình cộng (s) và sai số trung phương (m). Qua nghiên cứu các tác giảđã đưa ra


(3) Sai số giới hạn f để loại các kết quả mang sai số sai lầm ra khỏi kết quảđo.
(4) Sai số tương đối là để so sánh các kết quảđo cạnh

2.1.1.4. Sai số trung phương của một hàm số các kết quảđo
Giả sử trong tam giác AEC đo hai góc được góc E và góc C với các sai số tương ứng
là mE và mC Ta tính được góc Â= 1800 - (Ê +Ĉ), nghĩa là A là một hàm số của Ê và Ĉ, mà
Ê và Ĉ dã có sai số thì ắt góc  cũng phải có sai số. Vậy mA của nó bằng bao nhiêu? Một
cách tổng quát hơn khi một đại lượng nào đó là hàm số của các đại lượng đo đạc độc lập
khác thì độ chính xác của các đại lượng ấy được tính như thế nào?
Nếu có hàm số nhiều. biến số F=f(x,y,…,v), trong đó x,y, ,v là các biến sốđo đạc
độc lập có các sai số trung bình
tương ứng mx, my, , mv thì
sai số trung phương của
hàm số mF được tính theo công
thức: Trong đó:
Các đạo hàm riêng phần của hàm số F theo từng biến số x y,…,v tương ứng.
Ví dụ: Trong tam giác AEC đo hai góc được góc Ê = 50
0
00'00" với mB = ± 3" và Ĉ =
60
0
00'00" với mC = ± 4". Tính góc  và mA;
Tính được  = 180
0
- (Ê + Ĉ) = 70
0
00'00"

phát từ tọa độ điểm A là xA, xB tiến hành
đo độ dài SAB, góc định hướng αAB.
Nội dung tính tọa độ điểm B như
sau:
Giải:
XB = XA + ∆AB = XA + SAB.cos αAB
YB = YA + ∆yAB
= YA + SAB. sin αAB Công thức trên chỉ
phù hợp với việc tính toán bằng máy
tính.

Nếu muốn sử dụng bảng.lôgant ta phải log hoá hai vế về số gia tọa độ rồi tra ngược
để có số gia tọa độ: ∆x = S.cos αAB; ∆y = S.sinαAB Cuối cùng có: XB = XA + ∆xAB Y B = YA
+ ∆yAB Ví dụ: Cho biết tọa độ điểm A là: XA = 498 m; YA = 107 m; chiều dài cạnh AB là
213 m; góc định hướng αAB = 137
0
. Hãy xác định tọa độđiểm B?
Giải:
Áp dụng công thức trên ta có: ∆x = S.cosαAB = 213.cos137
0
∆y = S.sinαAB =
213.sin137
0

Vậy tọa độ của điểm B là: XB = XA + ∆xAB = 498 + 213.cos137
0
= 342,22 m YB = YA

cách mà ánh sáng đi
được trong chân không
trong khoảng thời gian: 1/299792456 giây (Nguyễn Thế Thận, 1999).
Một định nghĩa khấc người ta cho mét là 1.552.734,83λk (ký hiệu là m). Trong đó λk
là bước sóng của ta hồng ngoại do Cadimi (Cd) phát ra trong điều kiện tiêu chuẩn.
Ngoài đơn vịđo mét dùng trong đo dài người ta còn dùng các bội số của mét như
đềcamét (dam), hectômet (hm), kilômet (km). Các ước số của mét là đềximet (dm),
xăngtimet (cm) và milimet (mm)

2.2.2. Đơn vịđo góc
Độ: Một vòng tròn có 360 độ (
0
), góc 1
0
chắn cung có chiều dài bằng 1/360 chu vi
đường tròn.
Phút (') 1'=1/600 hay 1
0
:60'
Giây (") 1,=1/60' hay 1':60"

Grát: Một vòng tròn có 400 grát (
g
). Góc 1
g
chắn cung bằng 1/400 chu vi đường tròn.
Xăngtigrát (c) 1

2
.
Ước số của mét vuông là
Đềcimet vuông (dm
2
) = 1m
2
. 10
-2

Xăngtimet vuông (cm
2
) = 1m
2
. 10
-4

Milimet vuông (mm
2
) = 1m
2
.10
-6

Bội số của mét vuông là:
Are (a) = 1m
2
.10
2