§Ỉng Ngäc D¬ng – Trêng THCS Giao Hµ - Giao Thủ – Nam §Þnh
Chuyªn ®Ị: Gi¶i ph¬ng tr×nh
I) C¸c kiÕn thøc cÇn nhí
1) C«ng thøc nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (1)
§Ỉt ∆=b
2
-4ac.
+) Nếu ∆>0 thì phương trình (1) có 2
nghiệm phân biệt:
1
2
b
x
a
- + D
=
;
2
2
b
x
a
- - D
=
+) Nếu ∆=0 phương trình (1) có
nghiệm kép:
1 2
2
b

a
-
= =
+) Nếu ∆’<0 thì phương trình (1) vô
nghiệm.
2) Ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai
a) Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng
- Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng
4 2
0ax bx c+ + =
(a≠0)
- C¸ch gi¶i: §Ỉt x
2
= t (t≥0) råi ®a vỊ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t. Sau ®ã ®èi chiÕu ®iỊu
kiƯn ®Ĩ lÊy t vµ tõ ®ã thay trë l¹i ®Ĩ t×m x.
b) Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu
C¸ch gi¶i:
Bíc 1: T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh cđa ph¬ng tr×nh.
Bíc 2: Quy ®ång mÉu thøc hai vÕ rråi khư mÉu
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh võa nhËn ®ỵc
Bíc 4: Trong c¸c gi¶ trÞ t×m ®ỵc cđa Èn, lo¹i c¸c gi¸ trÞ kh«ng tho¶ m·n ®iỊu kiƯn x¸c
®Þnh, c¸c gi¸ trÞ tho¶ m·n ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ®· cho.
c) Ph¬ng tr×nh tÝch
- Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: A(x).B(x).C(x)… = 0
trong ®ã A(x); B(x); C(x); … lµ c¸c ®a thøc Èn x.
- C¸ch gi¶i:

( ) 0
( ). ( ). ( ) 0 ( ) 0
( ) 0

e)
2
6 5 0x x+ - =
f)
2
3 5 2 0x x+ + =
g)
2
8 16 0x x- + =
h)
2
16 24 9 0z z+ + =
i)
2
12 288 0x x- - =
j)
2
9 12 4 0x x- + =
k)
2
13 36 0x x- + =
l)
2
3 2 5 0x x- + =
m)
2
64 3600 0x x- - =
n)
2
12 8 1 0x x- + =

d)
4 2
4 5 9 0x x- - =
e)
4 2
24 25 0t t+ - =
f)
4 2
9 8 1 0x x+ - =
g)
4 2
3 10 3 0x x+ + =
h)
4 2
9 2 32 0a a+ - =
i)
4 2
3 9 0u u+ + =
j)
4 2
2 5 2 0x x+ + =
k)
4 2
6 27 0x x- - =
l)
4 2
12 27 0a a- + =
m)
4 2
3 10 0t t+ + =

0
3 2 6
x x- - =
x)
4 2
(5 2) (5 2) 10 0x x+ - - - =
y)
4 2
39 360 0x x- + =
B i 2:
a)
4 2 2
2 1 15 35x x x x x+ - + = - -
b)
4 2 4 2
2 3 6 3x x x x+ - = + +
c)
4 2 4 2
5 7 2 3 10 3x x x x- - = - -
d)
4 2 2
5 2 16 10x x x+ - = -
e)
2
( 2)( 2)( 10) 72x x x- + - =
f)
( 2)( 1)( 1)( 2) 10x x x x- - + + =
g)
( 4)( 3)( 3)( 4) 44x x x x- - + + =
h)

c)
2
2
1 3 5
3 6
x x
x x x
- +
=
- - -
d)
2
2
1 8 4 32
0
4 8 12 6 3(4 16 )
x x x
x x x
+
- + =
+ - -
e)
3 2 2
3 2
7 6 30 16
1 1
x x x x x
x x x
+ + - - +
=

4 3 8 15 6x x x x
+ =
+ + + +
b)
2 2 2
1 2 3 6
5 6 8 15 13 40 5x x x x x x
+ + =
- + - + - +
c)
2 2 2
1 1 1 1
9 20 11 30 13 42 18x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
d)
2
2 2 2
1 1 2
4
5 6 3 2 4 3
x
x x x x x x
ổ ử
ữ
ỗ
+ + =
ữ
ỗ
ữ

x
ổ ử
ữ
ỗ
+ =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
-
b)
2
2
5
1 4
x
x
x
ổ ử
ữ
ỗ
+ =
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+

11
( 5)
x
x
x
+ =
+
Đặng Ngọc Dơng Trờng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ Nam Định
e)
2 2
1 1 5
( 2) 16x x
+ =
+
f)
2
2
2
4
12
( 2)
x
x
x
+ =
+
g)
2
2
2

ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
-
b)
2
2
2
2
2 2 4
20. 5 48. 0
1 1 1
x x x
x x x
ổ ử
- ổ + ử -
ữ
ữ
ỗ
ỗ
- + =
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ
ố ứ
+ - -
d)
2
2
2
2
2 2 4
5 48 4
1 1 1
x x x
x x x
ổ ử
- ổ + ử -
ữ
ữ
ỗ
ỗ
- + =
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

ố ứ
+ - -
B i 8
a)
(3 )
3
. 2
1 1
x x
x
x
x x
ổ ử
-
-
ữ
ỗ
+ =
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+ +
b)
(5 )
5
. 6
1 1

ỗ
+ =
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+ +
B i 9
a)
2 2
2 7
1
3 2 3 5 2
x x
x x x x
- =
- + + +
b)
2 2
4 3
1
4 8 7 4 10 7
x x
x x x x
+ =
- + - +
c)
2 2

x x x x
+ =
- + - +
g)
2 2
4 5
1
4 8 7 4 10 7
x x
x x x x
+ = -
- + - +
Đặng Ngọc Dơng Trờng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ Nam Định
B i 10
a)
2
2 2
10 15 4
6 15 12 15
x x x
x x x x
- +
=
- + - +
b)
2 2
2 2
3 5 5 5 1
4 5 6 5 4
x x x x

+ + + =
- + + -
c)
1 1 1 1 1 1 1 1
2 5 7 1 3 4 6x x x x x x x x
+ + + = + + +
+ + + + + + +
d)
2 2 2 2
2 2 8 20 4 6 6 12
1 4 2 3
x x x x x x x x
x x x x
+ + + + + + + +
+ = +
+ + + +
Loại 4: Phơng trình tích
B i 1:
a)
2
( 1)( 2 3) 0x x x- + - =
b)
3 2
3 2 0x x x+ + =
c)
2 2
(3 5 1)( 4) 0x x x- + - =
d)
2 2 2
(2 4) (2 1) 0x x x+ - - - =

o)
2 2 2 2
(2 10 5) (2 21 8)x x x x+ + = - -
p)
2 2 2 2
(2 7 20) ( 5 7)x x x x- + = + -
q)
2 2 2 2 2 2
(2 1998) 4( 3 950) 4(2 1998)( 3 950)x x x x x x x x+ - + - - = + - - -
r)
2 2 2 2
( 2) 2( 2)( 3 4) ( 3 4)x x x x x x- - - - + = - - +
s)
2 2 2 2 2 2
(3 10 7) 2(3 10 7)( 5 12) ( 5 12) 0y y y y y y y y+ - + + - + - + + - =
B i 2:
a)
3 2
6 3 10 0x x x+ + - =
b)
3 2
2 3 2 0x x x+ + + =
c)
3 2
3 1 0x x x- + + =
d)
3 2
7 14 8 0x x x- + - =
e)
3 2

c)
4 3 2
2 3 17 27 9 0x x x x+ - - - =
d)
4 3 2
2 6 10 5 0x x x x- + - + =
e)
4 3 2
4 19 106 120 0x x x x- - + - =
f)
4 3 2
2 21 74 105 50 0x x x x- + - + =
g)
4 3 2
3 14 6 4 0x x x x+ - - + =
h)
4 3 2
3 6 3 1 0x x x x- - + + =
Loại 5: Phơng trình tam thức
a)
6 3
7 6 0x x- + =
b)
6 3
9 8 0x x- + - =
c)
8 4
17 16 0x x- + =
d)
8 4

f)
3 2
2 5 5 2 0x x x- - - =
g)
3 2
8 5 5 8 0x x x+ + + =
h)
3 2
2 3 3 2 0x x x- + + - =
B i 2:
a)
4 3 2
2 3 16 3 2 0x x x x- - - + =
b)
4 3 2
5 12 5 1 0x x x x+ - + + =
c)
4 3 2
6 5 38 5 6 0x x x x+ - + + =
d)
4 3 2
6 7 36 7 6 0x x x x+ - + + =
e)
4 3 2
7 14 7 1 0x x x x- + - + =
f)
4 3 2
10 1 0x x x x+ - + + =
g)
4 3 2

e)
2 2 2
( 5 ) 10( 5 ) 24 0x x x x- + - + =
f)
2 2 2
( 5 ) 2( 5 ) 24 0x x x x+ - + - =
g)
2 2 2
( 2) 12( 2) 35 0x x x x+ + - + + + =
h)
2 2 2
( 3 1) 2( 1) 8 0x x x x+ - + + - - =
i)
2 2
( 3 2)( 3 1) 20x x x x+ + + + =
j)
2 2
( 3 4)( 3 2) 3x x x x- + - + =
Đặng Ngọc Dơng Trờng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ Nam Định
k)
2 2 2
( 4 4) 4 2 0x x x x- + + - - =
l)
2
1 1
4 3 0x x
x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ

ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
o)
2
2
1 1
5 12 0x x
x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ + + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
p)
2
2
1 1
4 12 47 0x x
x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ + + - =
ữ ữ

ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
s)
1 1
4 6 0x x
x x
ổ ử
ổ ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
+ - + + =
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
ố ứ
t)
2
2
7

ữ
ỗ
ố ứ

B i 2:
a)
( ) ( ) ( )
1 2 3 8x x x x+ + + =
b)
( ) ( )
( )
( )
1 4 5 8 31x x x x- - - - = -
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 7 8 144x x x x+ + - - =
d)
( )
( ) ( ) ( )
5 6 8 9 40x x x x+ + + + =
e)
( ) ( )
( )
( )
1 3 5 7 297x x x x- - + + =
f)
( ) ( ) ( )
( )
1 2 4 5 10x x x x+ + + + =
g)

16 1 2 3 9x x x x+ + + =
p)
( ) ( )
2 2
3 2 7 12 24x x x x+ + + + =
q)
( )
( )
2
1 1 56x x x x+ - + =
r)
( ) ( ) ( ) ( )
4 1 12 1 3 2 1 4x x x x+ - + + =
s)
( ) ( ) ( )
2
6 7 3 4 1 6x x x+ + + =
t)
( ) ( ) ( )
2
6 5 3 2 1 35x x x+ + + =
u)
( ) ( ) ( )
2
4 3 1 2 1 810x x x+ + + =
B i 3:
a)
( )
( ) ( ) ( )
2

b)
2 2
3 1 3x x x x+ + - = +
c)
2 2
2 3 2 2 3 9 33x x x x+ + + + =
d)
2 2
3 21 16 2 7 7 0x x x x+ + + + + =
e)
3 10 0x x+ - =
f)
12 35 0x x+ + =
g)
2 5 3 0x x+ + =
h)
2 13 45 0x x+ - =
i)
2 2 2 7
2 2 2 12
x x
x x
+ +
+ =
+ +
)
2 1 1
2
1 2 2
x

+ - - -
b)
2 2 2
1 1 9
2 2 2 3 2( 2 4)x x x x x x
+ =
- + - + - +
c)
2
2
5 3
4 0
5
x x x
x x x
+ -
+ + =
+ -
d)
2 2
2 2
2
1
1 2
x x x x
x x x x
- - +
- =
- + - -
e)

5 2 7x + =
d)
2 3 4x- + =
e)
4 5 1x + =
f)
2 2 5x- + =
g)
4 2x- + =
h)
3 2 7x + =
i)
1
4 3
3
x + =
j)
4
1
7
x- - =
k)
3 4
2
4 9
x- + =
l)
1
5 2 7
2

x x- = -
z)
2
3 3x x+ - =
aa)
2
0x x+ =
ab)
2
5 2 2x x- + = -
ac)
2
3 2 1 0x x x- + + - =
ad)
2
(3 1) 4 1 5 0x x- - - + =
Đặng Ngọc Dơng Trờng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ Nam Định
Bài 2:
a)
1 2 0x x- - - =
b)
2 3 5 2 0x x- - - =
c)
2 3 0x x- + + - =
d)
2 3 4 5 0x x+ + - - =
e)
3 2 2 1 3 0x x- + - - + + =
f)
1 5 4x x+ + - =

d)
1 2 3 1x x x+ + - - + =
e)
1 2 3 4x x x- + + = +
f)
2 1 3 2 0x x x- + + + =
g)
3 2 3 2x x x- - - + - =
h)
5 4 2 3 3 7x x x- - + + =
i)
1 2 3 3 2 1x x x x- - + - + + = -
j)
3 2 1 2 3 3 4x x x x- + - - + - = -
Loại 9: Phơng trình vô tỉ
Bài 1
a)
3 2 5 8 7 16 28x x x- + =
b)
4 8 5 2 9 18 20x x x- + - - - =
c)
16 16 9 9 4 4 1 16x x x x+ - + + + + + =
d)
25 25 7 49 49 1 4 4x x x x- - - = - + -
e)
5 1 36 36 9 9 8 12x x x x- - - + - = -
f)
4
4 20 3 5 9 45 6
3

k)
1 3x x- - =
l)
5 1x x- = -
m)
3 2 3x x+ - =
n)
2 2 1 5 0x x+ - + =
o)
2 8 2 1 21x x+ - =
Đặng Ngọc Dơng Trờng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ Nam Định
p)
2 1 16x x- - =
q)
3 2 2 3x + = =
r)
2
1 2 1x x- = -
B i 3:
a)
2
4 4 49x x- + =
b)
2
4 4 1 13x x- + =
c)
2
6 9 3x x x- + = +
d)
2

q)
2 4 2 7 6 2 1x x x x+ + - + + - - =
r)
2 1 1 1x x x- - - - =
s)
3 4 1 8 6 1 5x x x x+ + - + + - - =
t)
1 4 5 11 8 5 4x x x x- + - + + + - =
u)
2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x- + - + + + - =
v)
2 2
6 9 10 25 8x x x x- + + + + =
Bài 4:
a)
2 5 3 5 2x x+ - - =
b)
3 1 2x x+ + - =
c)
3 5 2x x+ = - -
d)
1 3 2x x+ = - -
e)
4 2 2x x+ + - =
f)
1 1x x+ + =
g)
3 4 1x x+ - - =
h)
15 3 6x x- + - =

e)
1 10 2 5x x x x+ + + = + + +
f)
3 2 1 3 4x x x x- - = + - +
B i 6:
a)
2
1 2 2 2 13 2x x x x x+ + - + - - = -
Bài 7:
a)
2
7 5 12 38x x x x- + - = - +
b)
2
7 9 16 66x x x x- + - = - +
c)
2
2 10 12 40x x x x- + - = - +
d)
2
5 1 2 1x x x x- + - = - + +
e)
2
94 96 190 9027x x x x- + - = - +
f)
2
4 6 10 27x x x x- + - = - +
g)
2
2 4 6 11x x x x- + - = - +

1 16 3x x+ - = +
e)
3
3
3
1 1 5x x x+ - - =
f)
3
3
25 3 4x x+ + - =
g)
3
3
2 5 1 5x x- - =
h)
3 3
2 1 1x x- + - =
i)
3
3
2 1 1x x+ + =
j)
3
3
34 3 1x x+ - - =
k)
3
3
13 22 5x x- + + =
Loại 11: Phơng trình khác

x x x x x x
- - - - - -
+ + + + + =
- - - - - -
= + + + + +
Đặng Ngọc Dơng Trờng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ Nam Định
f)
g)
3 5 7 9 11 13 15 17
2001 1999 1997 1995 1993 1991 1989 1987
x x x x x x x x+ + + + + + + +
+ + + = + + +
h)
315 313 311
3
105 103 101
x x x- - -
+ + =
i)
59 57 55 53 51
5
41 43 45 47 49
x x x x x- - - - -
+ + + + = -
j)
342 323 300 273
10
15 17 19 21
x x x x- - - -
+ + + =