ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH
PHÙNG HỒ HẢI
Viện Toán học
Bản nháp 0.01
Ngày 30.11.2009
Phùng Hồ Hải Đại số Đa tuyến tính
Mục lục
Chương I. Không gian véc tơ 5
1.1. Trường 5
1.2. Không gian véc tơ 7
1.3. Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính 13
1.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ 16
1.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu 20
1.6. Bài toán phổ dụng 24
Chương II. Tích ten xơ 31
2.1. Ánh xạ đa tuyến tính 31
2.2. Tích ten xơ 32
2.3. Tính kết hợp và giao hoán của tích ten xơ 37
2.4. Tích ten xơ của ánh xạ, của tổng trực tiếp, tính khớp 39
2.5. Tích ten xơ của các không gian con và không gian thương 41
2.6. Liên hệ với hàm tử Hom 44
2.7. Lũy thừa ten xơ 47
2.8. Ten xơ hỗn hợp 48
Chương III. Nhóm đối xứng 51
3.1. Nhóm đối xứng 51
3.2. Tác động của S
n
57
3.3. Đại số nhóm [S
n
] 61
phần tử đơn vị ký hiệu là 1, gọi là phần tử đơn vị của ,
(iii) phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng:
(1.1.1) (a + b) · c = (a · b) + (a · c)
CHÚ Ý 1.1.2. (i) Chúng ta sẽ quy ước như thông lệ là
phép nhân được thực hiện trước phép cộng và thông
thường sẽ bỏ dấu · khi ký hiệu phép nhân.
(ii) Từ định nghĩa, một trường có ít nhất hai phần tử 0 và 1.
VÍ DỤ 1.1.3. (i) Các tập hợp , , với các phép toán
thông thường lập thành trường.
(ii) Trường có đúng hai phần tử 0 và 1 thường được ký hiệu
là
2
. Cấu trúc trường trên
2
có thể được mô tả thông
qua các phép cộng và nhân modulo 2.
(iii) Tương tự, với mỗi số nguyên tố p, tập các lớp đồng dư
theo modulo p với các phép toán cộng và nhân tạo thành
5
6 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
một trường, thường được ký hiệu là
p
. Trường
p
như
vậy có p phần tử.
(iv) Cố định một trường , ta có thể xây dựng một trường
mới chứa như sau. Xét tập hợp các phân thức hữu tỷ
theo một biến t:
(1.1.2) (t) :=
và
p
(t) có đặc số p.
1
Một trường con của trường là một tập con sao cho ( , +) và
×
, ·) là
các nhóm con tương ứng của ( , +) và (
×
, ·).
1.2. Không gian véc tơ 7
• Dễ dàng kiểm tra rằng nếu p > 0 là đặc số của thì p
phải là số nguyên tố. Thật vậy, nếu p không là nguyên tố,
p = p
1
p
2
, p
i
> 1, thì
(p
1
· 1)(p
2
· 1) = p · 1 = 0
dẫn tới p
1
· 1 hoặc p
2
· 1 phải bằng 0, mâu thuẫn với giả
ra ngay các tính chất sau:
0 · v = 0,
(−1) · v = −v
Chúng ta cũng sẽ quy ước như mọi khi là phép nhân với vô
hướng sẽ được thực hiện trước phép cộng véc tơ cũng như sẽ bỏ
dấu · khi ký hiệu phép nhân với vô hướng.
VÍ DỤ 1.2.3. (i) Trên mặt phẳng cố định một điểm O. Tập
các véc tơ với gốc là O và ngọn là một điểm bất kỳ trong
mặt phẳng lập thành một không gian véc tơ trên với
phép cộng véc tơ thông thường.
(ii) Ví dụ trên có thể mở rộng ra không gian. Một không gian
véc tơ trên thường được gọi là một không gian véc tơ
thực.
(iii) Tập hợp các đa thức với hệ số trong một trường là một
không gian véc tơ trên , phép cộng véc tơ ở đây là phép
cộng đa thức, phép nhân với vô hướng là phép nhân một
đa thức với một phần tử của . Chú ý trong trường hợp
này ta có thể đồng nhất trường một cách chính tắc với
tập các đa thức bậc 0. Đối với một không gian bất kỳ
không có phép đồng nhất (một cách chính tắc) như vậy.
ĐỊNH NGHĨA 1.2.4 (Không gian con). Tập con U trong không
gian véc tơ V được gọi là không gian con nếu (U, +) là nhóm con
của (V, +) và U đóng với phép nhân với vô hướng.
1.2. Không gian véc tơ 9
ĐỊNH NGHĨA 1.2.5 (Ánh xạ tuyến tính). Cho hai không gian
véc tơ V và W trên trường . Một ánh xạ f : V −→ W được gọi là
ánh xạ tuyến tính nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
i) f(u + v) = f(u) + f(v) với mọi u, v ∈ V ,
ii) f(λu) = λf(u) với mọi λ ∈ , u ∈ V .
Hạch của ánh xạ tuyến tính f được định nghĩa là tập
λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ . . . λ
n
v
n
= 0
Trong trường hợp ngược lại bộ (v
i
) được gọi là độc lập tuyến tính.
Một tập con S trong V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tập
con hữu hạn của nó là độc lập tuyến tính.
Nhận xét rằng một tập độc lập tuyến tính không thể chứa véc
tơ 0. Ngược lại một tập bao gồm chỉ một véc tơ khác 0 luôn là độc
lập tuyến tính.
ĐỊNH NGHĨA 1.2.7. Tập sinh của một không gian véc tơ V là
một tập con S của V sao cho mọi phần tử của V biểu diễn được
10 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S.
Cơ sở của V là một tập con B sao cho mọi phần tử của V biểu
diễn được một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các
phần tử trong B.
NHẬN XÉT 1.2.8. i) Một cách tổng quát hơn, với mỗi tập
con S ⊂ V , tập các tổ hợp tuyến tính của các véc tơ từ
W
ĐỊNH LÝ 1.2.11. Trong một không gian véc tơ bất kỳ luôn tồn tại
ít nhất một cơ sở. Hai cơ sở bất kỳ có cùng lực lượng. Hơn thế nữa,
nếu cho một tập các véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian thì
ta luôn có thể bổ sung vào đó các véc tơ để thu được một cơ sở của
không gian.
1.2. Không gian véc tơ 11
ĐỊNH NGHĨA 1.2.12. Lực lượng của cơ sở trong một không gian
véc tơ được gọi là số chiều (hoặc nói một cách rút gọn là chiều)
của không gian véc tơ đó.
CHÚ Ý 1.2.13. Trong giáo trình này, nếu không nói ngược lại,
một không gian véc tơ sẽ luôn được giả thiết là hữu hạn chiều.
Xét một không gian véc tơ V và giả sử (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) là một
cơ sở của V . Để thuận tiện, ta sẽ quy ước ký hiệu một cơ sở như
vậy là (x). Với mỗi v ∈ V ta có khai triển
theo cơ sở (x). Nói cách khác ta có
x
k
=
i
p
i
k
x
i
hoặc
(x
) = (x)P
12 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Ma trận P được gọi là ma trận chuyển cơ sở (x) sang (x
). Ta có
mô tả cụ thể
P =
p
1
1
Vì (x
) cũng là cơ sở nên ma trận này là khả nghịch. Nghịch đảo
của nó chính là ma trận chuyển sơ sở từ (x) sang (x
).
Ta có thể tính được tọa độ của một véc tơ v theo cơ sở (x
)
thông qua tọa độ của nó theo (x) và (x
) bởi công thức
[v
] = P
−1
[v]
Thật vậy đẳng thức trên được suy ra từ đẳng thức
v = (x)[v] = (x
)[v
] = (x)P [v
]
Ta nói P
−1
là ma trận chuyển tọa độ từ cơ sở (x) sang cơ sở
(x
x
i
như vậy ở vế phải tổng được lấy theo i.
VÍ DỤ 1.2.15. i) Cho A = [a
j
i
] là ma trận kích thước m ×
n (nghĩa là có m hàng và n cột) và B = [b
l
k
] là ma trận
kích thước n × p. Khi đó ta có tích của chúng là ma trận
C = [c
j
k
] cho bởi
c
j
k
= a
j
i
b
i
k
ở đây vế phải tổng được lấy theo chỉ số i chạy từ 1 tới n
trong khi các chỉ số k, j là cố định.
ii) Vết của ma trận vuông A = [a
j
i
cũng như phép nhân với vô hướng:
(1.3.1)
(f + g)(v) := f (v) + g(v)
(λf)(v) := λ(f(v))
Từ đó L(V, W ) có cấu trúc một không gian véc tơ.
Nếu cố định hai cơ sở (x) = (x
i
) và (y) = (y
j
) tương ứng trong
V và W thì ta có thể mô tả f thông qua một ma trận như sau. Vì
f là một ánh xạ tuyến tính nên nó được xác định một cách duy
nhất bởi ảnh của các véc tơ x
i
. Thật vậy, với mỗi v ∈ V ta viết
v =
v
i
x
i
từ đó
f(v) =
i
v
i
f(x
i
)
n
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
n
. . . . . . .
a
m
1
a
m
2
. . . a
m
n
với cột thứ i là tọa độ của véc tơ f(x
i
) theo cơ sở (y). Dế thấy rằng
nếu [v] ký hiệu véc tơ cột mô tả tọa độ của v theo cơ sở (x) thì
[f(v)] = A · [v]
biến x
i
vào y
j
còn các phần tử khác của
cơ sở (x) vào 0. Từ các tính chất trên của một ánh xạ tuyến tính
ta thấy f là tổ hợp tuyến tính của các ánh xạ e
i
j
với hệ số là các
phần tử trong ma trận biểu diễn của f theo các cơ sở (x) và (y):
f = a
j
i
e
i
j
Từ đó suy ra kết luận của mệnh đề.
Trong trường hợp V = W , ánh xạ tuyến tính f : V −→ V được
gọi là một tự đồng cấu tuyến tính hoặc một phép biến đổi tuyến
tính. Trong trường hợp này thay vì chọn hai cơ sở như ở trên ta
chỉ chọn 1 cơ sở. Nói cách khác, ma trận biểu diễn của ánh xạ f
theo cơ sở (x) của V được cho bởi điều kiện:
f(x
i
) = a
j
i
x
j
−1
AP
Trong trường hợp f : V −→ V là một tự đồng cấu tuyến tính
và P là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (x) sang cơ sở (x
). Khi đó
ma trận biểu diễn A và A
của f tương theo các cơ sở (x) và (x
)
tương ứng được liên hệ bởi công thức
A
= P
−1
AP
1.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ
Giả sử U
1
, U
2
là các không gian con của V khi đó tổng U =
U
1
+ U
2
tập hợp các véc tơ có dạng u
1
+ u
⊕ U
2
.
MỆNH ĐỀ 1.4.2. Điều kiện cần và đủ để V là tổng trực tiếp
(trong) của hai không gian con U
1
và U
2
là: V = U
1
+U
2
và U
1
∩U
2
=
0.
1.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ 17
CHỨNG MINH. Nếu V là tổng trực tiếp của U
1
và U
2
, thì với
mọi v ∈ U
1
∩ U
2
từ hệ thức v − v = 0 ta có ngay v = 0. Ngược
lại nếu V là tổng của U
2
∈ U
1
∩ U
2
= 0. Nghĩa là u
1
= v
1
, u
2
= v
2
.
ĐỊNH NGHĨA 1.4.3. Tổng trực tiếp (ngoài) của hai không gian
véc tơ V
1
và V
2
(không nhất thiết hữu hạn chiều) là một không
gian véc tơ V cùng các ánh xạ tuyến tính
j
1,2
: V
1,2
−→ V, p
1.2
: V −→ V
1,2
thoả mãn các hệ thức sau:
1
, v
2
) với các phép toán thực hiện
theo thành phần.
ii) Khi V là tổng trực tiếp ngoài của V
1
và V
2
, ta có thể đồng
nhất V
i
với ảnh của nó trong V qua j
i
. Khi đó V là tổng
trực tiếp trong của V
1
và V
2
.
iii) Khi nói tới tổng trực tiếp ta không chỉ quan tâm tới mình
không gian V mà cả các ánh xạ p
i
, j
i
.
iv) Ví dụ: cho 0 −→ U
f
−→ V
g
tượng hình học, đây là không gian con U được tịnh tiến đi bởi véc
tơ v. Dễ dàng kiểm tra rằng các lớp ghép của các véc tơ v và v
theo U hoặc trùng nhau hoặc không giao nhau. Tưởng tượng hình
học ta thấy chúng song song với nhau. Tập các lớp ghép của các
phần tử của V theo U được gọi là tập thương của V theo U.
Điều kiện để v + U và v
+ U trùng nhau là v − v
∈ U.
Trên tập thương V/U có một cấu trúc không gian véc tơ được
định nghĩa như sau.
(1.4.2)
(v + U) + (v
+ U) = (v + v
) + U
λ(v + U) = (λv) + U
Tập V/U với cấu trúc này được gọi là không gian thương của V
theo U. Ánh xạ tự nhiên V −→ V/U, v −→ v + U, gọi là ánh xạ
thương, là một ánh xạ tuyến tính. Nhận xét rằng đây là một toàn
ánh.
1.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ 19
Không gian thương V/U có tính chất quan trọng sau. Giả thiết
f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính biến U vào 0. Khi đó f cảm
sinh một ánh xạ tuyến tính
¯
f : V/U −→ W , xác định bởi
i
nếu
Im(f
i
) = Ker(f
i+1
)
Một dãy khớp dạng
0 −→ U
f
−→ V
g
−→ W −→ 0
được gọi là một dãy khớp ngắn. Dãy khớp ngắn như vậy được gọi
là chẻ ra nếu tồn tại ánh xạ h : W −→ V sao cho g ◦ h = id
W
.
MỆNH ĐỀ 1.4.6. Mọi dãy khớp ngắn các không gian véc tơ đều
chẻ ra. Ánh xạ chẻ không được xác định duy nhất. Mỗi ánh xạ chẻ
h xác định một đẳng cấu giữa V và U ⊕ W .
CHỨNG MINH. Đây là một hệ quả hiển nhiên của sự tồn tại cơ
sở trong một không gian véc tơ. Sự tồn tại ánh xạ chẻ h tương
đương với sự tồn tại không gian con W
trong V sao cho W
⊕
f(U) = V .
20 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ
1.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu
W
ϕ
Ánh xạ f
∗
được gọi là ánh xạ đối ngẫu của f.
Nếu g : U −→ V là một ánh xạ tuyến tính khác thì ta có quy
tắc hợp thành
g
∗
◦ f
∗
= (f ◦ g)
∗
) = ϕ(x
i
)ξ
i
(v)
1.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu 21
nghĩa là
ϕ = ϕ(x
i
)ξ
i
Vậy (ξ) = (ξ
i
) là một cơ sở của V . Cơ sở này được gọi là cơ sở
đối ngẫu với cơ sở (x). Chú ý rằng cơ sở đối ngẫu được đánh số
bởi các chỉ số trên, điều này cũng tương thích với việc ξ
i
là phiếm
hàm xác định tọa độ thứ i của một véc tơ.
Giả thiết A = [a
i
j
] là ma trận của f theo các cơ sở (x) và (y)
tương ứng trong V và W :
f(x
i
) = a
j
i
y
i
x
k
) = a
j
i
v
i
x
j
= a
j
i
ξ
i
(v)
Nhận xét rằng ma trận của f
∗
theo các cơ sở đối ngẫu không
thực sự trùng với ma trận A của f theo các cơ sở ban đầu mà là
ma trận chuyển vị của ma trận A. Lý do là ở công thức (1.5.2) các
chỉ số của cơ sở là chỉ số trên.
Ta tiếp tục xét không gian đối ngẫu hai lần V
∗∗
của V được
định nghĩa là
V
∗∗
:= L(V
∗
trên ta thấy V
∗
và V có chiều bằng nhau, do đó V
∗∗
cũng có chiều
bằng chiều của V . Vậy một ánh xạ đơn ánh giữa chúng phải là
đẳng cấu.
CHÚ Ý 1.5.2. Giả sử V là một không gian tuyến tính vô hạn
chiều. Khi đó ta vẫn có các tính chất sau:
i) Cố định một cơ sở (x) = (x
i
)
i∈I
của V thì tồn tại các
phiếm hàm tuyến tính ξ
i
, ξ
i
(x
j
) = δ
j
i
.
ii) Phiếm hàm ξ
j
là phiếm hàm xác định tọa độ theo cơ sở
(x).
iii) Ánh xạ đối ngẫu f
∗
∗
2
1.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu 23
Thật vậy, giả thiết j
i
, p
i
, i = 1, 2 là các ánh xạ cấu trúc xác định
tổng trực tiếp V
1
⊕ V
2
. Khi đó đẳng cấu trên được cho bởi các ánh
xạ j
∗
i
và p
∗
i
.
Giả thiết 0 −→ U
g
−→ V
f
−→ W −→ 0 là một dãy khớp ngắn.
Khi đó ta có dãy đỗi ngẫu
0 −→ W
∗
f
∗
phiếm hàm trên V .
Không gian U
⊥
còn được gọi là phần bù trực giao của U trong
V
∗
. Ngược lại U
∗
có thể được đồng nhất với không gian thương
của V
∗
bao gồm các lớp tương đương của các phiếm hàm nhận
cùng giá trị trên V . Ta cũng sẽ dùng ký hiệu (V /U)
⊥
cho U
∗
. Vậy
theo trên ta có đẳng thức
V
∗
/
U
⊥
= (V/U)
⊥
Ta có các tính chất sau của phần bù trực giao.
MỆNH ĐỀ 1.5.3. i) Giả thiết U
1
, U
2
= Kerf
∗
, (Kerf)
⊥
= Imf
∗
CHỨNG MINH. Các tính chất trong (i) được suy ra từ định nghĩa.
Việc chứng minh dành cho bạn đọc.
Ta chứng minh (ii). Từ định nghĩa ϕ ∈ (Imf)
⊥
nghĩa là ϕ ◦ f =
0. Nhưng điều đó cũng có nghĩa ϕ ∈ Kerf
∗
.
Đẳng thức thứ hai chứng minh phức tạp hơn một chút. Giả
thiết ϕ là một phiếm hàm tuyến tính trên V mà nhận giá trị 0 khi
hạn chế lên U := Kerf. Thế thì theo 1.4.3 ta có các ánh xạ tuyến
tính
ϕ : V/U −→ và
¯
f : V/U −→ W
với
¯
f là đơn ánh.
V
f
V/U
¯
f
ϕ
2
là
hai tập hợp. Tích trực tiếp hoặc tích Đề Các của hai tập hợp này
là tập hợp
S
1
× S
2
:= {(s
1
, s
2
)|s
i
∈ S
i
, i = 1, 2}
Ta có các ánh xạ hiển nhiên pr
i
: S
1
× S
2
−→ S
i
gọi là các phép
chiếu
pr
i
: (s
), f(t
2
)). Mô tả bằng sơ
đồ:
(1.6.1)
T
f
2
f
1
f
S
1
× S
2
pr
2
pr
1
S
1
S
2
Ta nói bộ ba (S
1
S
2
ta ký hiệu các ánh xạ nhúng
là j
i
: S
i
−→ S
1
S
2
. Tương tự như trong ví dụ trên, S
1
S
2
cùng các ánh xạ nhúng thỏa mãn tính chất sau: với mọi cặp ánh
Copyright: Tài liệu đại học ©