Hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức
xem như môđun trên đại số Steenrod
và các ứng dụng
Trần Ngọc Nam
28–10–2006
Mở đầu
1 Bài toán “hit”
Đối đồng điều cùng với cấu trúc tích của nó là một bất biến cơ bản để
phân loại đồng luân các không gian tôpô. Tuy nhiên, trong nhiều trường
hợp, bất biến này chưa đủ tinh tế. Chẳng hạn, cái treo của mặt phẳng xạ
ảnh phức ΣCP
2
và tổng S
3
∨ S
5
của các mặt cầu 3 và 5 chiều có cùng vành
đối đồng điều với cấu trúc tích bằng không, nhưng không có cùng kiểu đồng
luân.
Một trong những công cụ làm tinh tế đối đồng điều là toán tử đối đồng
điều. Nói một cách sơ lược, một toán tử đối đồng điều (sơ cấp) là một họ các
ánh xạ Φ
X
: H
∗
X −→ H
∗
X giao hoán với các đồng cấu cảm sinh trên đối
đồng điều b ởi các ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô. Trong phát biểu
này, các ánh xạ Φ
X

(u
1
u
2
)=

i
1
+i
2
=i
Sq
i
1
(u
1
)Sq
i
2
(u
2
),
còn liên hệ nội tại của chúng được thể hiện qua các quan hệ Adem:
Sq
a
Sq
b
=

0≤j≤[a/2]

1
Sq
i
2
···Sq
i
k
)=i
1
+ i
2
+ ···+ i
k
với mọi i
1
,i
2
, ,i
k
≥ 0. Hơn nữa, nó là một đại số phân bậc có bổ sung,
nghĩa là có một toàn cấu F
2
-đại số phân bậc tự nhiên ε : A−→F
2
thỏa mãn
ε(Sq
i
)=

1 nếu i =0,

2
tác động không
tầm thường trên H
3
(ΣCP
2
) là như sau: mặt phẳng xạ ảnh phức CP
2
có thể
thu được bằng cách dán một ngăn 4 chiều vào mặt cầu S
2
nhờ ánh xạ Hopf
h : S
3
→ S
2
; ánh xạ này không đồng luân tầm thường.
Gọi P = H
∗
(RP
∞
)
k
là đại số đối đồng điều môđulô 2 của tích trực tiếp
k không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều. Theo công thức K¨unneth, P là một
F
2
-đại số đa thức phân bậc của k biến (hay phần tử sinh), trong đó mỗi biến
có bậc bằng 1. Tác động của A lên P được mô tả bởi công thức Cartan và
các hệ thức

của đại số Steenrod. Bài toán này thường được gọi là bài toán “hit.”
2
2 Một số động cơ nghiên cứu bài toán “hit”
2.1 Số hạng E
2
của dãy phổ Adams
Để tiếp cận bài toán nổi tiếng khó là việc tính các nhóm đồng luân ổn
định của mặt cầu, trên cơ sở “dán các dãy phổ Serre vào với nhau,” năm 1958
Adams đã đưa ra một dãy phổ hội tụ đến thành phần 2-xoắn
2
π
S
∗
(S
0
) của các
nhóm này với số hạng E
2
là Ext
∗
A
(F
2
, F
2
). Kể từ đó, việc tính Ext
∗
A
(F
2

A
k
(F
2
, F
2
) −→ F
2
⊗
A
P. Ông chứng minh rằng ảnh của ánh xạ này bất
biến dưới tác động chính quy của nhóm tuyến tính tổng quát GL = GL(k, F
2
).
Ánh xạ đối ngẫu
Tr
k
: Hom ((F
2
⊗
A
P)
GL
, F
2
) −→ Ext
k
A
(F
2

∗
A
(F
2
, F
2
). Boardman chứng minh rằng Tr
3
cũng là một đẳng cấu. Công trình của ông dựa trên những tính toán cụ thể
về không gian véctơ F
2
⊗
A
P cho k =3của Kameko.
2.2 Lý thuyết cobordism
Bài toán “hit” có liên hệ mật thiết với lý thuyết cobordism thông qua
những khảo sát của Peterson trong lý thuyết này.
Giả sử M là một đa tạp d chiều trơn, compact và không có biên. Giả
sử mọi tích của nhiều hơn k lớp Stiefel–Whitney của phân thớ véctơ pháp
3
tuyến của M đều bằng 0. Điều kiện này được thỏa mãn (chẳng hạn) nếu M
có phạm trù Lusternik–Schnirelmann không lớn hơn k, nghĩa là nếu M có
thể viết dưới dạng hợp của không quá k +1 tập con mở và co rút được trong
M. Peterson khẳng định rằng khi đó, nếu α( d) >k(ở đây α(d) là số chữ
số 1 trong biễu diễn nhị phân của d), thì M là biên của một đa tạp trơn và
compact nào đó.
Để thiết lập kết quả này, Peterson đã đưa ra giả thuyết nổi tiếng nói rằng
nếu α(d) >k, thì không gian véctơ phân bậc F
2
⊗

d
giao hoán với nhau, nên (F
2
⊗
A
P)
d
∼
=
(P/
¯
AP)
d
cũng là một biểu diễn môđula của M và của GL. Nhận xét của
Wood là: mọi biểu diễn bất khả quy của M hay của GL đều là một nhân tử
hợp thành của (F
2
⊗
A
P)
d
với d>0 nào đó. Nhận xét này chỉ ra vai trò quan
trọng của F
2
⊗
A
P đối với nghiên cứu các biểu diễn môđula của nhóm tuyến
tính tổng quát cũng như vai trò quan trọng của biểu diễn nhóm tuyến tính
tổng quát trong nghiên cứu F
2

; F
2
)
4
chỉ phát hiện được các phần tử của π
∗
(Q
0
S
0
)
∼
=
π
S
∗
(S
0
) có bất biến Hopf bằng
1 hoặc bất biến Kervaire bằng 1. Một số người cho rằng giả thuyết này là
của Curtis, còn một số khác lại cho rằng nó là của Madsen. Trong dãy phổ
Adams của S
0
, các phần tử của π
S
∗
(S
0
) có bất biến Hopf bằng 1 ứng với các
chu trình vĩnh cửu h

(S
0
) ứng với các chu trình vĩnh cửu trong Ext
k
A
(F
2
, F
2
) với k>2 đều
nằm trong hạch của đồng cấu Hurewicz môđulô 2 của Q
0
S
0
. Giả thuyết này
có liên quan bất ngờ đến bài toán “hit” nhờ các công trình của Lannes–Zarati,
Goerss và N. H. V. Hưng.
Trước hết, vào năm 1983 Lannes–Zarati xây dựng một ánh xạ tuyến tính
LZ : Ext
k
A
(F
2
, F
2
) −→ Hom(F
2
⊗
A
P

(F
2
, F
2
), và vào năm 1995 ông tiên
đoán rằng cái hợp thành LZ ◦ Tr
k
bằng 0 tại các bậc dương nếu k>2. Hơn
nữa, ông chứng minh rằng khẳng định trên về LZ ◦ Tr
k
tương đương với
sự kiện rằng ánh xạ F
2
⊗
A
P
GL
−→ F
2
⊗
A
P được cảm sinh bởi phép nhúng
P
GL
→P bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2. Đây là một ý tưởng hiệu
quả: tiên đoán đó của ông đã được chúng tôi chứng minh vào năm 1998. Lưu
ý rằng tại thời điểm 1995, ánh xạ vừa nêu được tin là rất khác 0: có tác giả
(chẳng hạn như Singer) dùng miền xác định của ánh xạ này để nghiên cứu
miền giá trị của nó khi k ≤ 2.
Như vậy, giả thuyết của N. H. V. Hưng về LZ ◦ Tr

tác động của các nhóm con parabôlíc của nhóm tuyến tính tổng quát (được
công bố trong các bài báo [2],[4]), bài toán “hit” ở bậc đủ tổng quát (được
công bố trong bài báo [5]). Tiếp nối đề tài của luận án, trong một công trình
khác, chúng tôi chứng minh một số kết quả khác về các phần tử đối bất biến
của đối ngẫu đại số đa thức 4 biến dưới tác động của nhóm tuyến tính tổng
quát, số chiều một biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng quát có được từ đại
số đa thức đối ngẫu, và ảnh của đồng cấu chuyển Singer tại một số bậc nào
đó.
3.1 Bài toán “hit” cho đại số Dickson
Cấu trúc các phần tử của P bất biến dưới tác động tự nhiên của nhóm
tuyến tính tổng quát GL đã được làm sáng tỏ b ởi Dickson vào năm 1908. Vì
thế người ta ký hiệu D = P
GL
là tập hợp con của P gồm các phần tử bất
biến này. D là một A-mô đun con của P. Định lý trung tâm của Chương I là
Định lý C1. Ánh xạ F
2
⊗
A
D−→F
2
⊗
A
P, được cảm sinh bởi phép nhúng
D →P, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2.
Định lý này (đồng thời là kết quả chính của hai bài báo [1],[3]) khẳng
định một giả thuyết của N. H. V. Hưng và nằm trong bối cảnh sau.
(i) Một mặt, các công trình Singer, Chen–Shen, Monks, Silverman, Cross-
6
ley, Karaca, Meyer, Janfada–Wood đều có mục đích tìm càng nhiều

A
D−→
Tor
A
k
(F
2
, F
2
) là ánh xạ đối ngẫu của đồng cấu Lannes–Zarati, còn Tr
∗
k
:
Tor
A
k
(F
2
, F
2
) −→ F
2
⊗
A
P là ánh xạ đối ngẫu của đồng cấu chuyển
Singer. Định lý C1 tương đương với sự kiện: cái hạn chế của LZ trên
ảnh của đồng cấu chuyển bằng 0 tại các bậc dương nếu k>2. Thế mà
việc LZ =0tại các bậc dương với mọi k>2 chính là một dạng phát
biểu đại số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu. Nhìn từ khía cạnh này,
Định lý C1 đồng thời là một câu trả lời bộ phận cho dạng đại số của

A
1
∗
.
.
.
0 A
m



|A
1
∈GL
k
1
, ,A
m
∈GL
k
m
}
trong đó k
1
+ ··· + k
m
= k . Trên cơ sở kết quả của bài toán “hit” cho
các bất biến Dickson, trực giác dẫn chúng tôi đến dự đoán rằng: ánh xạ
F
2

k−n
:= {

A ∗
0 I
k−n

|A ∈GL
n
}. Giả sử k
1
> 2. Để ý rằng GL
3
•I
k−3
⊂
GL
k
1
• I
k−k
1
⊂ G
k
1
, ,k
m
. Từ đó suy ra P
GL
3

A
P
GL
3
•I
k−3
−→ F
2
⊗
A
P, được cảm sinh bởi phép
nhúng P
GL
3
•I
k−3
→P, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2.
Từ định lý này chúng tôi thu được hệ quả: ánh xạ F
2
⊗
A
P
G
k
1
, ,k
m
−→
F
2

rất nhiều so với lớp các đa thức phân tích được nêu trong Định lý C1.
3.3 Bài toán “hit” ở bậc đủ tổng quát
Đặc thù các kỹ thuật sử dụng để giải bài toán “hit” là chứa rất nhiều tính
toán đại số khiến việc nhận ra những tính chất mấu chốt trở nên khó khăn.
Tuy nhiên, nhờ được dẫn dắt bởi những trực giác nào đó, người ta vẫn có
thể tìm được những kết quả tổng quát. Như đã nói, Peterson phát biểu giả
thuyết nói rằng không gian véctơ phân bậc F
2
⊗
A
P bằng 0 tại các bậc d thỏa
mãn điều kiện α(d +k) >k, trong đó α(d +k) là số chữ số 1 trong khai triển
nhị phân của d + k. Được chứng minh bởi Wood vào năm 1988, giả thuyết
này, nay được gọi là định lý Wood, cho phép rút gọn nghiên cứu bài toán
“hit” về các bậc có dạng d =2
m
1
+ ···+2
m
k
− k với m
1
≥···≥m
k
≥ 0.
Việc tính toán cụ thể F
2
⊗
A
P là rất khó khiến người ta quan tâm đến việc

≥|GL/G
0
|
nếu 2
m
1
−m
2
>k, 2
m
2
−m
3
>k− 1, ,2
m
k
−1
−m
k
> 2. Crabb–Hubbuck gọi
những giá trị của d trong định lý của họ là “đủ tổng quát.”
Một kết quả tương tự, nhưng được phát biểu một cách ít tường minh
hơn, cũng đã được Repka–Selick tìm ra vào năm 1995. Họ chứng minh rằng
dim(F
2
⊗
A
P)
d
≥|GL/G

≥ 2,m
2
− m
3
≥ 3, ,m
k−1
− m
k
≥ k, thì
dim(F
2
⊗
A
P)
d
= |GL/G
0
| =
k

i=1
(2
i
− 1).
Phỏng theo Crabb–Hubbuck và Repka–Selick, chúng tôi gọi những giá trị
d trong Định lý C3 là “đủ tổng quát.” Định lý này cũng là kết quả chính
của bài báo [5]. Cần nói thêm rằng một định lý tương tự (trong đó giả thiết
được thay thành m
1
− m

(Baltimore, Mỹ) vào năm 1990. Khoảng 6 tháng sau, kết quả của Kameko
được xác nhận lại bằng một phương pháp đối ngẫu với những kỹ thuật độc
lập bởi Alghamdi–Crabb–Hubbuck tại Đại học Aberdeen. Bản thân chúng
tôi cũng đã tìm lại được kết quả của Kameko với kỹ thuật chứng minh độc
9
lập trong khóa luận tốt nghiệp Trường đại học khoa học tự nhiên Hà Nội
năm 1999.
Có thể vì những khó khăn kỹ thuật, ngoại trừ những kết quả tinh tế hóa
định lý của Wood và các tính toán cho k ≤ 2 khi trường các hệ số có đặc số
lẻ của Crossley, suốt trong thập kỷ 90 hướng nghiên cứu do Peterson khởi
xướng không có kết quả gì mới. Chỉ rất gần đây F
2
⊗
A
P mới được tính cho
k =4tại bậc d =2
p+3
+2
p+2
− 4 trong công trình của Bruner–Hà–Hưng
(2002). Với việc tập trung vào bậc d =2
p+3
+2
p+2
− 4, các tác giả này đã
phủ định một giả thuyết của Minami. Tại thời điểm viết luận án này, chúng
tôi được biết Kameko đang hoàn tất bài viết mới, cho kết quả hoàn toàn về
F
2
⊗

, ,k
r
,d)
thỏa mãn 1 ≤ r ≤ k, m
1
≥···≥m
r
≥ 0, 0 <k
1
< ··· <k
r
≤ k và
d = k
1
(2
m
1
− 1) + (k
2
− k
1
)(2
m
2
− 1) + ···+(k
r
− k
r−1
)(2
m

>k,2
m
2
−m
3
>k− 1, ,2
m
r−1
−m
r
>k− r +
2, 2
m
r
>k−r +1. Trong trường hợp riêng (thực ra là trường hợp quan trọng
nhất), khi r = k, họ suy ra rằng dim(F
2
⊗
A
P)
d
≥

k
i=1
(2
i
− 1). Đây chính
là định lý Crabb–Hubbuck nói trong mục trước.
Sử dụng các ký hiệu này, chúng tôi chứng minh trong [6] khẳng định rằng

∼
=
F
2
GL/G
ω
. Kết quả của chúng tôi thật ra tổng quát
hơn. Nó cho các đánh giá về cận dưới của dim GLa
ω
 và được sử dụng trong
các trường hợp sau đây.
10
(i) Chúng tôi đã chứng minh trong [5] rằng dim(F
2
⊗
A
P)
d
= |GL/G
0
| khi
d đủ tổng quát. Do đó, trong trường hợp đủ tổng quát ta có
Hom ((F
2
⊗
A
P)
d
, F
2

P)
d
, F
2
).
Bằng cách so sánh số chiều của các không gian véctơ có liên quan,
chúng tôi chứng minh được rằng
GLa
ω
 + Hom ((F
2
⊗
A
P)
d/2−2
, F
2
) = Hom ((F
2
⊗
A
P)
d
, F
2
),
trong đó không gian véctơ Hom trong vế trái được xét như không gian
con của không gian véctơ Hom trong vế phải theo phép nhúng vừa
nêu. Đẳng thức này cho phép xác định bằng quy nạp tập các phần tử
GL-đối bất biến Hom ((F

− m
2
>
1,m
2
− m
3
> 1, ,m
k−1
− m
k
> 1. Kết quả này mạnh hơn định lý
Crabb–Hubbuck. Đi xa hơn, chúng tôi tin rằng ước lượng này là tốt
nhất có thể được, theo nghĩa: nếu d không có dạng 2
m
1
+ ···+2
m
k
− k
với m
1
−m
2
> 1,m
2
−m
3
> 1, ,m
k−1

(F
2
, F
2
). Việc xác định ảnh của nó đã được thực hiện
với k =1,2 bởi Singer vào năm 1980, và với k =3bởi Boardman vào năm
1991. Trong thập kỷ sau đó không có một tiến bộ nào theo hướng nghiên
cứu này, trừ kết quả của Crossley cho k ≤ 2 khi trường các hệ số có đặc số
lẻ. Chỉ đến năm 2002 mới xuất hiện công trình của Bruner–Hà–Hưng, trong
đó họ chứng minh rằng các phần tử g
i
∈ H
4
(A) không nằm trong ảnh của
đồng cấu chuyển. Kết quả này giúp họ bác bỏ một giả thuyết của Minami,
11
nói rằng đồng cấu chuyển Singer là đẳng cấu sau khi địa phương hóa nó bằng
cách làm cho toán tử Sq
0
khả nghịch tại miền xác định và miền giá trị của
đồng cấu chuyển này.
Một bài báo khác của chúng tôi nối tiếp công trình của Bruner–Hà–Hưng.
Một mặt, dựa vào một định lý của Lin chỉ rõ cấu trúc của H
4
(A), chúng tôi
xác định ảnh của đồng cấu chuyển ứng với k =4tại hầu hết các bậc, qua
đó khẳng định một phần giả thuyết về tính đơn ánh của đồng cấu này. Kết
quả này cùng với các kết quả trước đó của Bruner–Hà–Hưng, N. H. V. Hưng,
và L. M. Hà chứng minh một phần giả thuyết của N. H. V. Hưng về ảnh
của đồng cấu chuyển với k =4. Mặt khác, xem như hệ quả của các định lý






Q
k,r
nếu i =2
s
− 2
r
, r ≤ s,
Q
k,r
Q
k,t
nếu i =2
k
− 2
t
+2
s
− 2
r
, r ≤ s<t,
Q
2
k,s
nếu i =2
k

2
thuộc vào I
n
P. Ta quy ước R
1
≡ R
2
(mod I
n
) nghĩa là R
1
= R
2
với
n<0.
Đây là một quan hệ tương đương. Ta có
Bổ đề I.3. Giả sử k>1 và S là một tập con khác rỗng của {0, ,k− 1}
sao cho 1 ∈ S. Khi đó
QR
2
≡ 0 (mod I
0
),
trong đó Q =

s∈S
Q
s
và R là một đa thức bất kỳ của P.
13

=0. Xét
khai triển nhị phân của tất cả các α
s
khác không:
α
s
=

0≤i≤n(s)
α
si
2
i
,
trong đó α
sn(s)
=1. Bây giờ ký hiệu
n := max
α
s
=0, 0≤s<k
n(s),
α
si
:= 0 nếu n(s) <i≤ n (0 ≤ s<k),
A
i
:=

0≤s<k

sn
s
chia hết cho Q
α
rn
r
= Q
α
rn(r)
r
= Q
r
, cho nên A
n
=1.
Định nghĩa I.4. (i) Ta gọi n là độ cao của Q. Đơn thức A
2
i
i
= A
i
(Q)
2
i
gọi là nhát cắt thứ i của Q. Nhát cắt này gọi là đầy đủ nếu A
i
chia hết
cho
Π
0<s<k

m+n+1
(R
2
n+1
) ∈
¯
AP với 0 ≤ m<
k − 1.
14
Bổ đề I.6. Giả sử k>2. Nếu A là một nhát cắt cơ sở đầy đủ, thì A ≡ 0
(mod I
1
).
Bổ đề I.5 được chứng minh bằng 2 bước.
Bước 1. Nếu Bổ đề I.5(a) là đúng cho mọi n ≤ N, thì Bổ đề I.5(b) cũng
đúng cho mọi n ≤ N.
Bước 2. Bổ đề I.5(a) đúng cho mọi số nguyên không âm n.
15
Chương II
Bài toán “hit” cho các bất biến
parabolic
Mục đích của chương này là chứng minh Định lý C2, khẳng định rằng ánh
xạ F
2
⊗
A
P
GL
3
•I

k
) sẽ được ký hiệu là Q
0
, Q
1
, Q
2
, W
4
, ,W
k
. Khi đó
P
H
= F
2
[Q
0
,Q
1
,Q
2
,W
4
, ,W
k
].
Định nghĩa I I.1. Mỗi đơn thức theo Q
0
, Q

k
trong R. Đặt
h(R):=i
0
(R)+i
1
(R)+i
2
(R)+i
4
(R)+···+ i
k
(R).
Ký hiệu s(R) là số nguyên không âm bé nhất sao cho 2
s(R)
không xuất hiện
trong khai triển nhị phân của i
2
(R).
Bổ đề II.2. Giả sử R =1là một tích các phần tử phân biệt trong tập hợp
{Q
0
, Q
1
, Q
2
, W
4
, , W
k

∈
¯
AP.
16
(iii) Nếu i
2
(R)=2
n
− 1 ≥ i
1
(R), h(R) ≡ 2
n
− 1 (mod 2
n
) và u ∈ Sq
1
P +
Sq
2
P, thì Ru
2
n
∈
¯
AP.
Giả sử R là một H-đơn thức bậc dương trong P
H
. Ta phải chứng minh
rằng R ∈
¯

(R), i
2
(R), i
4
(R), , i
k
(R) tất cả đều ≤ 2
n+1
− 1
và tồn tại u ∈{Q
0
,Q
1
,Q
2
,W
4
, ,W
k
} sao cho u
2
n
chia hết R.
Trường hợp 4. i
0
(R), i
1
(R), i
2
(R), i

= |GL/G
0
| =
k

i=1
(2
i
− 1).
Định lý này được phát biểu chi tiết hơn trong Định lý III.2(ii) dưới đây.
Ký hiệu E := {1, 2, ,k}, X := x
1
x
2
···x
k
, X
i
:= X/x
i
(i ∈ E). Với mỗi
tập hợp con khác rỗng I ⊂ E, ký hiệu |I| là số phần tử của nó, còn min I là
phần tử bé nhất của nó. Ngoài ra, nếu I = {i
0
> ···>i
r
} và m>r, ta đặt
X(I, m):=(

0≤<r

nếu π(B) sinh ra π(P

),và
(iii) B là một cơ sở của P

nếu π(B) là một cơ sở của π(P

).
Định lý III.1. Giả sử n, d

≥ 0 là các số nguyên. Với mỗi i ∈ E, giả sử
B(i) ⊂P(i ) là một tập hợp con mà tất cả các phần tử dều có bậc d

.Ký
hiệu B là tập hợp các phần tử X
2
n
−1
X(I, k)
2
n
P
2
k+n
, trong đó ∅ = I = {i
0
>
···>i
r
}⊂E et P ∈B(i

k
⊂ J
k
:= E và ∅ = I

⊂ J

:= J
+1
\{min I
+1
} với 1 ≤ <k.
Nếu k>1, ta ký hiệu
¯
Ω là tập hợp các dãy ¯ω =(I
k
,J
k
, ,I
2
,J
2
) sao cho
I
2
= J
2
và
(I
k



0≤<r
(

j∈J\{i

}
x
j
)
2
+n

×(

j∈J\{i
r
}
x
j
)
2
|J|+n
−2
r+n
,
Ψ(I, J, n):=(

j∈J

1
)=x
2
m
1
−1
1
là phần tử sinh khác không duy
nhất của A-môđun F
2
[x
1
] ởbậcd. Nếu k =2và m
1
− m
2
=1, thì hai
phần tử
Ψ({1},E,m
2
)=x
2
m
1
−1
1
x
2
m
2

Φ(ω):=Φ(I
k
,J
k
,m
k
)

1<≤k
Φ(I
−1
,J
−1
,m
−1
− m

− )
2
m

+
với mỗi ω ∈ Ω. Khi đó, tập hợp B := {Φ(ω) | ω ∈ Ω} là một hệ sinh
cực tiểu của A-môđun P ởbậcd. Vì vậy
dim (P/
¯
AP)
d
=


,m
2
− m
3
− 3)
2
m
3
+3
Φ(I
k
,J
k
,m
k
)
với mỗi ¯ω ∈
¯
Ω. Khi đó, tập hợp
¯
B := {Ψ(¯ω) | ¯ω ∈
¯
Ω} là một hệ sinh
cực tiểu của A-môđun P ởbậcd. Vì vậy
dim (P/
¯
AP)
d
=2


P, được cảm sinh bởi phép
nhúng P
GL
3
•I
k−3
→P, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2.
Định lý C3. Nếu m
1
− m
2
≥ 2,m
2
− m
3
≥ 3, ,m
k−1
− m
k
≥ k, thì
dim(F
2
⊗
A
P)
d
= |GL/G
0
| =
k