Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ

189

BÀI 6.
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ THÔNG DỤNG
Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số
(
)
2 2
f x, a x dx
−
∫

x a sin t
=

t ,
2 2
π π
 
∈ −
 
 

(
)
2 2
f x, x a dx

t 0,
2
π

∈



a x
f x, dx
a x
 
+
 
−
 
∫

x a cos 2t
=

(
)
t 0,
2
π
∈

( ) ( )
(

2 2
t ,
π π
 
∈ −
 
 

x
1/2 1
t
π
/6
π
/2 •
( )
−
∫
3
1
2
1
3
1 2
1 x
I = dx
x
. Đặt
2 2
x sin t ;t ,

( ) ( )
6 3 2 3 2 3 2 3 2
4
4 4 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 0 0 0 0
cos td cos t
u du 1 1 u du 1 u
du du
1 u
1 cos t 1 u 1 u 1 u
π
π
− − +
= = = = −
−
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )
( ) ( )
2
3 2 3 2 3 2 3 2
2
2 2
2 2
0 0 0 0
1 1 u 1 u 1 u 1 1 1 1 u
du du du du

•
(
)
− −
∫
3 2
2 2
2
I = 3 x 3 x dx
.
Đ
ặ
t

3
2 2
u sin t ;t ,
π π
 
= ∈ −
 
 

⇒

u
0
3 2

Chương II: Nguyên hàm và tích phân

6 6 6
2
2
2 2
0 0 0
6 6
0 0
6
0
1 cos 2t 9
9 cos t dt 9 dt 1 2 cos 2t cos t dt
2 4
9 1 cos 4t 9
1 2 cos 2t dt 3 4cos 2t cos 4t dt
4 2 8
9 1 9 3 9 81 3
3t 2sin 2t sin 4t 3
8 4 8 2 8 16 64
π π π
π π
π
+
 
= = = + +
 
 
+
 
= + + = + +
 

2
2 2
u sin t ;t ,
π π
 
= ∈ −
 
 

⇒

du 2costdt
Khi đó:
( )
6 6
3
2 2 2 2
0 0
2 cos t dt 2 cos t dt
I
4 4sin t 4 4sin t 4 cos t 4 cos t
π π
= =
− −
∫ ∫( )
6
6 6

2 2 2
4
0
I = x a x dx
. Đặt
2 2
u a sint ;t ,
π π
 
= ∈ −
 
 

⇒

du acostdt
Khi đó:
( )
2
a
2 2 2 2 2 2 2 2
4
0 0
I x a x dx a sin t a a sin t a cos t dt
π
= − = −
∫ ∫( ) ( )


Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ

191

•
( )
(
)
1 2
0
2
2
1 2 0
1
1
1
1
1
2 4
4
dx du
u
x
−
=
−
+ −
+ − +
∫ ∫ ∫

2 2 2 2
5
2
0 0 0 0
cos t dt cos t dt 2 dt
I 1 dt 2 2J
2 cos t 2 cos t 2 2 cos t 2
2 1 sin t
π π π π
π π
 
= = = − = − = −
 
+ + +
 
+ −
∫ ∫ ∫ ∫

(
)
(
)
( )
2 2 2 2
2 2
2 2
0 0 0 0
2
13
0

( )
( ) ( )
( )
1 2 2
2 2 2 2
1 3 3
1
4
1 4 1
xdx u du
u u
x x
− − −
− − −
+
= =
− − −
− − −
∫ ∫ ∫
1 2
6
2
2
1 3
xdx
I =
x 1 3 + 2x x

u
3

2
2 2
3
3 3 3
4
4 4
2 2
3
3 3
1 2 sin t 2 cos t dt 1 2sin t dt 1 1 dt
I cotg t
4 2 sin t
4sin t
4sin t 4 cos t
3 3 1 sin t dt 3 3 1 d cos t 3 3 1 1 cos t
ln
12 2 12 2 12 4 1 cos t
1 cos t 1 cos t
3 3 1 2 2
ln l
12 4
2 2
−π
−π −π −π
−π
−π −π −π
−π
−π −π
−π
−π −π

( )
−
∫
1 2
2
7
5
2
0
x dx
I =
1 x
. Đặt
2 2
u sin t ;t ,
π π
 
= ∈ −
 
 

⇒

du costdt

⇒

( )
( )
6 6 6

(
)
−
∫
2 2
f x, x a dx
. Đặt
a
x
cos t
=
;
)
)
3
0
2 2
t , ,
π π
 
∈ ∪ π
 
 

x
2

2
t
π

dx sintdt/cos
2
t

3 3 3 3
2
1
2
4 4 4 4
2
sin t dt cos t
sin t dt sin t dt
I dt
cos t.tg t 3 4 12
1 1
cos t tg t
1
cos t
cos t
π π π π
π π π π
π π π
⇒ = = = = = − =
−
∫ ∫ ∫ ∫

x
2

2


⇒

dx sintdt/cos
2
t

( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 3 3
2
2
2 2 4
2
4
2 2
4 4 4
2
2
2
2
3 3 3
4 2
2
4 4 4
sin t sin t
1

∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫

( )
( ) ( )
( )
3 3
2
2 2 2
4 4
1 1 1 1 1 1 2
d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4
1 sin t
1 sin t 1 sin t
π π
π π
   
= + = + +
 
 
− +
 
−
− +
 
∫ ∫

3
4

4 8
t
0
π
/3
•
−
∫
8
2
3
4
x 16
I = dx
x
. Đặt
)
)
3
4
0
2 2
x ; t , ,
cost
π π
 
= ∈ ∪ π
 
 


( ) ( )
3 3 3
3
2
0
0 0 0
4 1 tg t 1 dt 4 d tg t dt 4 tg t t 4 3
3
π π π
π
 
π
 
 
 
= + − = − = − = −
 
 
 
 
 
∫ ∫ ∫

Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ

193

•
( )
− −

I
cos t a cos t tg t
1 1
a 1 a 1
cos t cos t
dt 1 cos t dt 1 d sin t 1
c
.a cos t tg t .a sin t .a sin t .a sin t
⇒ = ⋅ =
ε ⋅
   
− −
   
   
−
= = = = +
ε ε ε ε
∫ ∫
∫ ∫ ∫

trong đó
ε

=
1 nếu tgt > 0 và
ε

=

−

 
= ∈ ∪ π
 
 

⇒

dx asintdt/cos
2
t

2
3 3 3
2 2
2 2
2
5
4 4 4
a sin t dt
1
a 1
a tg t sin t dt
cos t cos t
I a tg t dt
a
cos t
cos t
π π π
π π π
 

 
∫ ∫ ∫

x
a 2

2a
t
π
/4
π
/3
•
−
∫
2a
2 2
6
2
a 2
x a
I = dx
x
. Đặt
)
)
3
0
2 2
a

I dt
a cos t cos t
a
cos t
π π π
π π π
 
− ⋅
 
⋅
 
⇒ = = =
∫ ∫ ∫

( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
3 3 3
2 2
4 2
2
4 4 4
sin t cos t sin t 1 1 sin t 1 sin t
dt d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t
cos t
1 sin t

 
−
− +
 
∫ ∫

(
)
3
4
1 1 1 1 sint 1 2 2 2 3 2 3 ln 2 3
ln ln
4 1 sint 1 sint 1 sint 4 2
2 3 2 3 2 3
π
π
 
 
+ + − +
= − − = − − =
 
 
− + −
− + −
 
 

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−

π
/6
π
/4
•
( )
∫
5
1
2
1
8
1 3
1 + x
I = dx
x
. Đặt
)
0
2
x tg t ;t ,
π

= ∈ ⇒



dx
2
dt cos t

π π π π
π π π π
π
π
−
π
π
 
+
 
 
⇒ = = = =
− −
= = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫
∫

•
( ) ( )
0 1
2
2
1 0
1 1 1 1
x d x u du
−
= + + + = +
∫ ∫ ∫
0
2

2 2
2
2 3 4 2
2
0 0 0 0 0
dt dt cos t dt d sin t
I u 1 du tg t 1
cos t cos t cos t
1 sin t
π π π π
= + = + = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
4 4
2
0 0
1 1 sin t 1 sin t 1 1 1
d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t
π π
 
+ + −
 
= = +
 

 
∫
1 2 2 2 2 2 1
ln ln 3 2 2
4 2 4
2 2 2 2 2 2
 
+
= − + = + +
 
− + −
 
 

•
−
∫
1 2
3
0
1 + x
I = dx
1 x
. Đặt
( )
2
2 2
2
1 1 4
1

1
4u du
I
u 1
=
+
∫
. Đặt
(
)
0
2
u tg t;t ,
π
= ∈

⇒

du dt/cos
2
t

⇒

( )
3
3 3
2
3
4

2 2 1
−
− −
= =
 
+
+ + +
 
∫ ∫ ∫
3 -2
4
3
2
2
1
dx
I =
x + 2 x + 4x + 5
dx d u
u u
x x

u
1
3

t
π
/4
π

2 2 6
3 2 2 3 2 2
π
π π π
π
π π π
− −
 
⇒ = ⋅ = = = −
 
 
   
− − − −
= − − − = + =
   
 
 
∫ ∫ ∫

•
− −
⋅
−
−
∫
2
2
5
2
2

2
2
0
u 1 u 1 du
u 1
u 1 u 1
+ − +
= ⋅
+
+ + +
∫
. Đặt
)
0
2
u tg t ;t ,
π

= ∈ ⇒



du
2
dt cos t

( )
4 4
2
5


(
)
(
)
(
)
4 4 4
2
2
0 0 0
4
4
12
0
0
dt dt dt
J
t t t
t t
sin t cos t 1
2sin cos 2 cos
2 cos 1 tg
2 2 2
2 2
t
d tg
2
t
ln 1 tg ln 1 tg ln 2 I 2 ln 2 ln 2

2
6
0
I = x x 2x + 2 dx

u

−
1

0
t
−π
/4

0
Đặt
)
0
2
u tg t ;t ,
π

= ∈



⇒

du dt/cos

( )
2
0 0 0 0
4 2 4
2
4 4 4 4
sin t dt d sin t d cos t 1 sin t 1 sin t
d sin t
1 sin t 1 sin t
cos t cos t
1 sin t
−π −π −π −π
 
+ + −
= + = − +
 
+ −
 
−
∫ ∫ ∫ ∫

( )
( ) ( )
( )
( )
0 20
3
4
4
0

 
= + + +
 
−
− +
 
 
− +
= + − +
 
− + −
 
 
− − +
= − − + = + +
 
+ − +
 
∫
∫

•
( )
2
3 2
2
2
3 2
3 2
2

2
x tg t ;t ,
π

= ∈ ⇒



dx
(
)
2
3 2
dt cos t

Khi đó ta có:
( ) ( )
( )
2 2
2 2
3 2 4
7
2 2 2
6
3 2
x 3 2 3 2 tg t 1
3dt
I 2 dx 2
x 2 cos t
3

2 2 2 2
2 2
1 2
1 2 1 2
du du 1 1 u 1 2 3 2 2
2 2 ln ln 2 2 2
2 1 u u 2 3
1 u u
 
 
+ +
 
= + = − = − +
 
 
−
 
−
 
∫ ∫

•
∫
1
3 2
I = x 1 + x dx
.

Đ
ặ

2 3 6 6
0 0 0 0
tg tdt sin t 1 cos t
I tg t 1 tg t dt dt d cos t
cos t cos t cos t cos t
π π π π
−
= + = = = −
∫ ∫ ∫ ∫( ) ( )
( )
4
4 4
6 4 5 3
0
0 0
d cos t d cos t 1 1 2
1 2
15
cos t cos t 5 cos t 3cos t
π
π π
 
= − + = − = +
 
 
∫ ∫


dt cos t

( )
( )
4 4 4 4
2
2 2 2
9
2 2 2
2 2
0 0 0 0
tg t
dt sin t sin t cos t sin t
I dt dt d sin t
cos t
cos t cos t 1 sin t
1 tg t 1 tg t
π π π π
= ⋅ = = =
−
+ +
∫ ∫ ∫ ∫

( )
( )
4
4
2
0
0

∫
1
2 2
10
3
1 3
x + 1 x + 1
I = dx
x
. Đặt
)
0
2
x tg t ;t ,
π

= ∈ ⇒



dx
2
dt cos t

(
)
4 4 4
2 2
10
3 2 3 2 4 2

6 6 6 6
d cost d cos t cos t 1 cos t
d cost
1 cos t cos t
1 cos t cos t 1 cos t cos t
cos t 1 d cos t d cos t cos t
d cos t 2 d cost
cos t
1 cos t 1 cos t cos t 1 cos t
π π π
π π π
π π π π
π π π π
 
+ −
= − = − =
 
 
−
 
− −
   
= + = + +
   
− − −
   
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫

( )

 
= − + − = + − −
 
 
− − +
 
+ 
∫

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

198

4. Dạng 4:
 
 
−
 
∫
a + x
f x, dx
a x
. Đặt
2
x a cos t
=

 
= ∈
 
 

⇒

dx
−
10
sin
2
tdt
⇒

( )
( )
( ) ( )
6 4
2
1
2
4 6
5 1 cos 2t cos t
I 10sin 2t dt 10 2 sin t cos t dt
5 1 cos 2t
sin t
π π
π π
+

/4
π
/6
•
−
∫
3/2
2
2
0
3 + x
I = x dx
3 x
. Đặt
3 2 0
2
x cos t ; t ,
π
 
= ∈
 
 

⇒

dx
−
6sin2tdt
⇒


6
54 cos 2t 2cos t dt 54 cos 2t 1 cos 2t dt 54 cos 2t cos 2
t dt
1 cos 4t cos 6t 3cos 2t 27 1 1 3
54 dt 2t sin 4t sin 6t sin 2t
2 4 2 2 6 2
27 1 3 3 3 3 27 4
3
2 2 6 2 3 4 4 2 6 3
π π π
π π π
π
π
π
π
= = + = +
+ +
   
= + = + + +
 
 
 
 
 
 
π π π
  
= − + − + + = + −
 
 

x
3a b
4
+

a b
2
+

t
π
/6
π
/4
•
( )( )
− −
∫
a+b
2
1
3a+b
4
dx
I =
x a b x

(a < b)
. Đặt
( )

2 2 2
2 2
6 6 6
b a sin 2t dt 2sin t cos t dt
I 2dt 2
4 6 6
sin t cos t
b a sin t 1 sin t
π π π
π π π
− π π π
 
= = = = − =
 
 
− −
∫ ∫ ∫

III. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
( ) ( )
2 2 2 1
3 2 3
1 2 3 4
3 2 3 2
3 2 3 2
1 o
3 2 3
dx dx 2 x
I x 4 x dx ; I ; I ;I x dx
2 x